函數(shù)與函數(shù)極限

函數(shù)與函數(shù)極限匯報人：XX2024-01-28XXREPORTING目錄函數(shù)基本概念與性質(zhì)極限基本概念與性質(zhì)函數(shù)連續(xù)性及間斷點類型一元函數(shù)微分學(xué)基礎(chǔ)一元函數(shù)積分學(xué)基礎(chǔ)多元函數(shù)微分學(xué)與積分學(xué)簡介PART01函數(shù)基本概念與性質(zhì)REPORTINGXX函數(shù)定義函數(shù)是一種特殊的對應(yīng)關(guān)系，它表達了自變量與因變量之間的依賴關(guān)系。表示方法函數(shù)可以通過解析式、表格和圖像三種方式來表示。其中，解析式是用數(shù)學(xué)符號和運算來表示函數(shù)關(guān)系；表格是通過列出自變量和對應(yīng)的函數(shù)值來表示函數(shù)關(guān)系；圖像則是通過平面直角坐標系中的曲線或點來表示函數(shù)關(guān)系。函數(shù)定義及表示方法函數(shù)的四則運算是指對函數(shù)的值進行加、減、乘、除四種基本運算。通過四則運算，可以得到新的函數(shù)。復(fù)合函數(shù)是由兩個或兩個以上的函數(shù)通過一定的方式復(fù)合而成的函數(shù)。具體來說，如果y是u的函數(shù)，u又是x的函數(shù)，那么y就是x的復(fù)合函數(shù)。函數(shù)四則運算與復(fù)合運算復(fù)合運算四則運算奇偶性函數(shù)的奇偶性是指函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于任意的x，都有f(-x)=f(x)（偶函數(shù)）或f(-x)=-f(x)（奇函數(shù)）。奇函數(shù)和偶函數(shù)在圖像上分別關(guān)于原點和y軸對稱。周期性函數(shù)的周期性是指函數(shù)在其定義域內(nèi)，存在一個正數(shù)T，使得對于任意的x，都有f(x+T)=f(x)。T被稱為函數(shù)的周期。周期函數(shù)在圖像上呈現(xiàn)出一種重復(fù)性的模式。有界性函數(shù)的有界性是指函數(shù)在其定義域內(nèi)，其函數(shù)值的絕對值不超過某個正數(shù)M。具體來說，如果存在一個正數(shù)M，使得對于任意的x，都有|f(x)|≤M，那么函數(shù)f(x)就是有界的。有界函數(shù)在圖像上被限制在一定的范圍內(nèi)波動。函數(shù)的奇偶性、周期性、有界性PART02極限基本概念與性質(zhì)REPORTINGXX設(shè)函數(shù)$f(x)$在點$x_0$的某個去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)$A$，對于任意給定的正數(shù)$epsilon$（無論它多么?。?，總存在正數(shù)$delta$，使得當$x$滿足不等式$0<|x-x_0|<delta$時，對應(yīng)的函數(shù)值$f(x)$都滿足不等式$|f(x)-A|<epsilon$，那么常數(shù)$A$就叫做函數(shù)$f(x)$當$xtox_0$時的極限。極限定義函數(shù)極限存在的充分必要條件是左極限和右極限各自存在并且相等。極限存在條件極限定義及存在條件極限運算法則極限的四則運算法則包括加法、減法、乘法和除法。設(shè)$lim_{xtox_0}f(x)=A$，$lim_{xtox_0}g(x)=B$，則有$lim_{xtox_0}[f(x)pmg(x)]=ApmB$，$lim_{xtox_0}[f(x)cdotg(x)]=AcdotB$，$lim_{xtox_0}frac{f(x)}{g(x)}=frac{A}{B}$（$Bneq0$）。極限性質(zhì)極限具有唯一性、局部有界性、保號性和有理運算性質(zhì)。極限運算法則與性質(zhì)無窮小量定義如果函數(shù)$f(x)$當$xtox_0$（或$xtoinfty$）時的極限為零，那么稱函數(shù)$f(x)$為當$xtox_0$（或$xtoinfty$）時的無窮小量。如果對于任意給定的正數(shù)$M$（無論它多么大），總存在正數(shù)$delta$（或正數(shù)$X$），使得當$x$滿足不等式$0<|x-x_0|<delta$（或$|x|>X$）時，對應(yīng)的函數(shù)值$f(x)$都滿足不等式$|f(x)|>M$，那么稱函數(shù)$f(x)$為當$xtox_0$（或$xtoinfty$）時的無窮大量。在同一變化過程中，如果函數(shù)$f(x)$是無窮小量，且存在正數(shù)$epsilon_0$，使得當$|f(x)|<epsilon_0$時，總有$|g(x)|>M$（其中$M$是任意給定的正數(shù)），那么稱函數(shù)$g(x)$是當$f(x)to0$時的無窮大量。無窮大量定義無窮小量與無窮大量的關(guān)系無窮小量與無窮大量PART03函數(shù)連續(xù)性及間斷點類型REPORTINGXX連續(xù)函數(shù)定義及性質(zhì)定義如果函數(shù)y=f(x)在點x0的某一鄰域內(nèi)有定義，且當自變量x在x0處有增量Δx，(x0+Δx)也在該鄰域內(nèi)時，相應(yīng)地函數(shù)取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)；如果Δy與Δx之比當Δx→0時極限存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點x0處連續(xù)。性質(zhì)連續(xù)函數(shù)具有局部有界性、保號性、保不等式性、保序性、介值性、最大值最小值定理等性質(zhì)。間斷點類型及其判斷方法首先判斷函數(shù)在哪些點無定義或定義但函數(shù)值不存在，然后分別計算這些點左右兩側(cè)的極限，根據(jù)極限的存在性和相等性來判斷間斷點的類型。判斷方法左右極限都存在，包括可去間斷點（左右極限相等但不等于函數(shù)值）和跳躍間斷點（左右極限不相等）。第一類間斷點左右極限至少有一個不存在，包括無窮間斷點（極限為無窮大）和震蕩間斷點（極限不存在也不是無窮大，而是震蕩）。第二類間斷點連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上性質(zhì)如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值f(a)=A及f(b)=B，則對于A與B之間的任意一個數(shù)C，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點c，使得f(c)=C。最大值和最小值定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值。一致連續(xù)性定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，I為閉區(qū)間，則f(x)在I上一致連續(xù)。如果I是無限區(qū)間且f(x)在I上一致連續(xù)，則f(x)必有界。介值定理PART04一元函數(shù)微分學(xué)基礎(chǔ)REPORTINGXXVS設(shè)函數(shù)$y=f(x)$在點$x_0$的某個鄰域內(nèi)有定義，當自變量$x$在$x_0$處取得增量$Deltax$（點$x_0+Deltax$仍在該鄰域內(nèi)）時，相應(yīng)地函數(shù)取得增量$Deltay=f(x_0+Deltax)-f(x_0)$；如果$Deltay$與$Deltax$之比當$Deltaxto0$時極限存在，則稱函數(shù)$y=f(x)$在點$x_0$處可導(dǎo)，并稱這個極限為函數(shù)$y=f(x)$在點$x_0$處的導(dǎo)數(shù)，記作$f'(x_0)$。導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)$y=f(x)$在點$x_0$處的導(dǎo)數(shù)$f'(x_0)$在幾何上表示曲線$y=f(x)$在點$(x_0,f(x_0))$處的切線的斜率。導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)定義及幾何意義包括常數(shù)與函數(shù)的乘法、函數(shù)與函數(shù)的乘法、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則等。求導(dǎo)法則二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)。高階導(dǎo)數(shù)的計算可以通過逐次求導(dǎo)來實現(xiàn)。高階導(dǎo)數(shù)計算求導(dǎo)法則與高階導(dǎo)數(shù)計算微分的定義設(shè)函數(shù)$y=f(x)$在某區(qū)間內(nèi)有定義，$x_0$及$x_0+Deltax$在這區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)的增量$Deltay=f(x_0+Deltax)-f(x_0)$可表示為$Deltay=ADeltax+o(Deltax)$（其中A是不依賴于$Deltax$的常數(shù)），而$o(Deltax)$是比$Deltax$高階的無窮小，那么稱函數(shù)$f(x)$在點$x_0$是可微的，且ADeltax稱作函數(shù)在點$x_0$相應(yīng)于自變量增量$Deltax$的微分，記作$dy$，即$dy=ADeltax$。微分在近似計算中的應(yīng)用微分可以用來近似計算函數(shù)的值。例如，當$Deltax$很小時，可以用微分來近似計算函數(shù)的增量，即$Deltayapproxdy$。這種近似計算在工程、物理等領(lǐng)域中經(jīng)常用到。微分概念及其在近似計算中應(yīng)用PART05一元函數(shù)積分學(xué)基礎(chǔ)REPORTINGXX不定積分的性質(zhì)不定積分具有線性性、可加性和常數(shù)倍性質(zhì)。此外，還有積分區(qū)間可加性、積分不等式性質(zhì)等。原函數(shù)與不定積分的關(guān)系原函數(shù)是不定積分的結(jié)果函數(shù)，不定積分是求原函數(shù)的過程。二者之間存在微分與積分的互逆關(guān)系。不定積分的定義不定積分是求一個函數(shù)的原函數(shù)或反導(dǎo)數(shù)的過程，其結(jié)果是一個函數(shù)族，每個函數(shù)之間相差一個常數(shù)。不定積分概念與性質(zhì)換元積分法通過變量代換將復(fù)雜的不定積分轉(zhuǎn)化為簡單的不定積分。常見的換元法有三角代換、根式代換、倒代換等。分部積分法將不定積分分解為兩個函數(shù)的乘積的積分，然后按照特定規(guī)則進行求解。分部積分法適用于被積函數(shù)為兩個函數(shù)乘積的情況。兩種方法的比較與選擇換元積分法和分部積分法各有特點，應(yīng)根據(jù)被積函數(shù)的形式和特點選擇合適的方法。有些情況下，兩種方法都可以使用，但可能有一種方法更簡單或更直接。010203換元積分法和分部積分法定積分的定義定積分是求一個函數(shù)在閉區(qū)間上的積分值，其結(jié)果是一個數(shù)。定積分的概念與不定積分密切相關(guān)，可以理解為不定積分在特定區(qū)間上的“限定”。定積分的性質(zhì)定積分具有線性性、可加性、保號性、絕對值不等式性質(zhì)等。這些性質(zhì)在定積分的計算和證明中非常有用。定積分的計算定積分的計算可以通過牛頓-萊布尼茲公式進行，該公式將定積分轉(zhuǎn)化為被積函數(shù)的原函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值之差。在實際計算中，還需要結(jié)合換元法、分部積分法等方法進行求解。定積分概念、性質(zhì)及計算PART06多元函數(shù)微分學(xué)與積分學(xué)簡介REPORTINGXX設(shè)$D$為一個非空的$n$元有序數(shù)組的集合，$f$為某一確定的對應(yīng)規(guī)則。若對于每一個有序數(shù)組$(x1,x2,…,xn)∈D$，通過對應(yīng)規(guī)則$f$，都有唯一確定的實數(shù)$y$與之對應(yīng)，則稱對應(yīng)規(guī)則$f$為定義在$D$上的$n$元函數(shù)。多元函數(shù)具有一些與一元函數(shù)類似的性質(zhì)，如連續(xù)性、可微性、可積性等。同時，多元函數(shù)也有一些特殊的性質(zhì)，如方向?qū)?shù)、梯度等。多元函數(shù)的定義多元函數(shù)的性質(zhì)多元函數(shù)基本概念與性質(zhì)03偏導(dǎo)數(shù)和全微分在幾何中的應(yīng)用偏導(dǎo)數(shù)和全微分在幾何中有著重要的應(yīng)用，如曲線的切線斜率、曲面的法線方向等都可以通過偏導(dǎo)數(shù)和全微分來求解。01偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)反映的是多元函數(shù)沿坐標軸方向的變化率，其他多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)類似。02全微分的定義全微分反映的是多元函數(shù)在某一點附近的全局變化率。