2022屆高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)總復(fù)習(xí)提升之突破詳解：22 空間中的平行與垂直證明技巧 含解析

一.學(xué)習(xí)目標(biāo)及知識點(diǎn)方法規(guī)律總結(jié)

(-).【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

(1).熟練掌握線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)，會把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.

(2).學(xué)會應(yīng)用“化歸思想”進(jìn)行“線線問題、線面問題、面面問題”的互相轉(zhuǎn)化.

(3).能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題.

(4).熟練掌握空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理；運(yùn)用公理、定理證明或判定空

間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題.不論何種“垂直”都能化歸到“線線垂直”

(二).知識點(diǎn)及方法歸納

1.直線與平面平行的判定

(1)判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線,那么這條直線和這個(gè)平面平

行，即a〃Z?,ada,Z?ua=a〃a.

(2)如果兩個(gè)平面平行,那么一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行，則a〃鳳

2.直線與平面平行的性質(zhì)

如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交；那么這條直線就和

平面平行,即。〃a,au￡,ar\B=b,.

3.直線與平面垂直的判定

(1)(定義)如果一條直線和平面內(nèi)任意一條直線都垂直,那么這條直線和這個(gè)平面垂直.

(2)(判定定理1)如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于

這個(gè)平面.用符號語言表示為：若/仁a,naa,mC\n—B,ILm,l±n,則

(3)如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面,那么另一條也垂直于這個(gè)平面.用符號語言

表示為：若a〃方，a±a,則6J.a.

(4)(面面垂直的性質(zhì)定理)如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂

直于另一個(gè)平面.

(5)(兩平面平行的性質(zhì)定理)如果兩個(gè)平面平行，那么與其中一個(gè)平面垂直的直線也與另一

個(gè)平面垂直.

(6)如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.

4..兩平面平行的判斷方法

(1)依定義采用反證法.

(2)依判定定理通過說明一平面內(nèi)有兩相交直線與另一平面平行來判斷兩平面平行.

(3)依據(jù)垂直于同一直線的兩平面平行來判定.

(4)依據(jù)平行于同一平面的兩平面平行來判定.

5.平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化程序

線線平行7~~"線面平行面面平行

從上易知三者之間可以進(jìn)行任意轉(zhuǎn)化，因此要判定某一平行的過程就是從一平行出發(fā)不斷轉(zhuǎn)

化的過程.在解題時(shí)要把握這一點(diǎn)，靈活確定轉(zhuǎn)化思路和方向.

1.證明直線與平面平行和直線與平面垂直常運(yùn)用判定定理，即轉(zhuǎn)化為線線的平行與垂直關(guān)

系來證明.

2.直線與平面平行的判定方法：

⑴ana=0=>a〃a(定義法)，

a//b

(2)或a>=a〃。，

Zxza

這里a表示平面，a,6表示直線.

3.證明線面垂直的方法主要有：(以下1為點(diǎn)，m,n,1,a,6表示直線，a,￡表示平

面)

(1)利用線面垂直的定義：a與a內(nèi)任何直線垂直

(2)利用判定定理：

m,忙a,mHn—A

a；

lA.n\

(3)利用第二判定定理：a//b,ala,則6_La：

(4)利用面面平行的性質(zhì)定理：a〃￡,a,a,則a±￡.

(5)利用面面垂直的性質(zhì)定理：

a_L￡,afl￡=/,aua,a_LJ,則a_L￡.

4.面面垂直的證明方法：

(D利用定義：a和B所成的二面角為直二面角=a±0；

(2)利用判定定理：若a_LB,aua,貝aJ.B.

5.性質(zhì)定理的恰當(dāng)應(yīng)用：

(1)若aJ.B,an3=1,aca,all,則a_LB,用來證明線面垂直，也用來確定點(diǎn)到

平面的垂線段.

⑵若a_LB，點(diǎn)PGa,PGa,a±f3,貝l|aua.

5.垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化程序

線線垂直匚T線面垂直面面垂直.

二.命題陷阱類型

1.平行垂直判斷

2.平行垂直證明

3.翻折中的平行垂直

4.平行垂直中的探索性問題

三.題型

1.平行垂直判斷

例1.已知組一是相異兩平面，人，是相異兩直線，則下列命題中塔送的是（）

A.若m//〃,〃z_La,則“_LaB.若〃z_La,〃?_!_/?,則&//尸

C.若〃zJ_a,〃z///7,則a_L/7D.若tnl/a,ac/3=n,則加//〃

【答案】D

由線面垂直的性質(zhì)可知選項(xiàng)A,B,C正確，

如圖所示，對于選項(xiàng)〃在正方體A6CO—4月￡，中，取直線加為AO,平面a為上頂

面平面夕為平面CORG，則直線〃為GA，

此時(shí)有m//a,ac￡=〃，直線用與〃為異面直線，即選項(xiàng)。的說法是錯(cuò)誤的；

本題選擇〃選項(xiàng).

1.設(shè)/，機(jī),〃表示不同的直線，a表示平面，已知加||/,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.若加||〃，則/||〃B.若n/_L“，則/_L"

C.若則/||aD.若m_La,貝”_La

【答案】C

由于/可能含于a,故。選項(xiàng)錯(cuò)誤.

2.已知a、僅是兩個(gè)不同的平面，勿、〃是兩條不同的直線,下列命題中錯(cuò)誤的是

A.若勿_1_a、m//n,nu/3,則a_L夕B.若a〃P，R_La,nl.0,則m//n

C.若a〃P，mcza,"u耳，則m//nD.若a_L夕，mua,ac/?=〃，，mLn,

則ml.p

【答案】B

【解析】A.根據(jù)線面垂直的判定可知，當(dāng)mla、m"n,nu尸時(shí)可得nla,則a16，所以A正確.

B.根據(jù)面面平行的性質(zhì)可知，allP，mla,nl/所以mj_a,ml/故利||n,即B正確.

C.根據(jù)面面平行的性質(zhì)可知，m,”可能平行或異面，所以C錯(cuò)誤.

D.根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知，若al尸，mua,ac月="，，mln,則ml/,所以D正確.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查空間直線和平面之間的位置關(guān)系的判斷，要求熟練掌握平行和垂直的

判定定理和性質(zhì)定理.

3.已知a,尸是兩個(gè)平面，外〃是兩條直線，則下列命題是真命題的是（）

A.若mJln,m//a,m///3,則a//月B.若m_!_〃,〃?//a,〃///?,則cz_L/7

C.若工a,n//0，則a//￡D.若m/1n,mua,n工0,則a_L/7

【答案】D

mlIn,mlla,mlI/3,a與6可能相交,A錯(cuò)；若m工n,m/1a,n/10,則a與尸不

一定垂直，甚至可能重合，B錯(cuò)；若m_!_%〃//￡,則a與￡可能相交，C錯(cuò)；若

m//n,m<^a,n±/3,則〃?_!_/?,所以a_L￡,D正確，故選I）.

【方法總結(jié)工空間線面間的位置關(guān)系判斷，實(shí)際上可以借助于特殊的幾何體來說明，如正

方體，這樣容易想象，直觀性強(qiáng)，便于判斷，本題中，如在正方體ABCO-AAGA，

m^AB,n=AiBi,a是平面CDDCt，2是平面ABC。，這說明A錯(cuò)誤.同樣可

說明BC錯(cuò)誤.

4.下圖是一幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABC。為正方形，APDC,\PBC,

"AB,APDA為全等的等邊三角形，E、E分別為24、的中點(diǎn).在此幾何體中，

下列結(jié)論中錯(cuò)誤的為（）

A.直線BE與直線CF共面B.直線應(yīng):與直線A/是異面直線

C.平面8CE，平面PA。D.面R4O與面P8C的交線與8C平行

【答案】C

由題意可知，A,直線BE與直線CF共面，正確，

因?yàn)镋,F是PA與PD的中點(diǎn)，可知EF"AD,

所以EF//BC,直線BE與直線CF是共面直線；

B,直線BE與直線AF異面；滿足異面直線的定義，正確.

C,因?yàn)锳PAB是等腰三角形，BE與PA的關(guān)系不能確定，所以平面BCE1平面PAD,不正確.

D,,.?AD”BC,1.AD"平面PBC,.?.面PAD與面PBC的交線與BC平行，正確.

故答案選C.

5.已知人〃是兩條直線，名尸是兩個(gè)平面，則下列命題中正確的是（）

A.mYa,aL/3,mlln=>nll（3B.m/la,aJ3=n=>n//m

C.a//j3,m//a,m±n=>n±/3D./n=a〃/3

【答案】D

A不正確，因?yàn)閚可能在平面夕內(nèi)；

B兩條直線可以不平行；

C當(dāng)m在平面夕內(nèi)時(shí);n此時(shí)也可以在平面夕內(nèi)。故選項(xiàng)不對。

D正確，垂直于同一條直線的兩個(gè)平面是平行的。

故答案為：D?

6.已知a,￡為不同的平面，a,b,c為不同的直線，則下列命題中正確的是（）

A.若aua,blla,則。//a

B.若a_L力，aop-c,bLc,則匕J_￡

C.若a_L力，hLc,貝!Ja//c

D.若acZ?=A,aua,bua,a!//3,blip,則。//4

【答案】D

【解析】/選項(xiàng)直線6有可能在平面a內(nèi)，故不正確.衛(wèi)選項(xiàng)由于6的位置不確定，不滿足面面垂直的性

質(zhì)定理，故不正確.C選項(xiàng)a,c位置關(guān)系不能確定，故不正確.。選項(xiàng)是面面平行的判定定理，故正確.

【方法總結(jié)】立體幾何的4個(gè)判定定理和4個(gè)性質(zhì)定理的內(nèi)容要熟記.如果平面外一條直線

與此平面內(nèi)的一條直線平行,那么該直線與此平面平行.如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與

另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面平行.如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂

直,那么該直線與此平面垂直.如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線,那么這兩個(gè)平面互相

垂直.如果一條直線與一個(gè)平面平行,那么經(jīng)過該直線的任一個(gè)平面與此平面的交線和該直

線平行.如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交,那么它們的交線相互平行.垂直于同一個(gè)

平面的兩條直線平行.

7.已知三條直線a,b,c及平面a,具備以下哪一條件時(shí)a//b?

A.alia,bllaB.a_Lc,bl.c

C.a.Lc,c±a,hilaI）.aLa,h±a

【答案】D

兩直線垂直于同一個(gè)平面，則兩直線平行，這是線面垂直的性質(zhì)定理，故選O.

8.己知加，〃是空間中兩條不同的直線，a,P是兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確

的是（）

A.若根ua,nu/3,a||/?,則

B.若〃zua,a||￡,則利||/

C.若〃_L/7,a1./3,則〃

D.若機(jī)utz,nu0,ac(3=l,且/w_L/,nl.1,則a_L/7

【答案】B

【解析】兩個(gè)平行平面中的兩條直線可能異面,A錯(cuò);兩個(gè)平行平面中任一平面內(nèi)的直線都與另一平面平行,

B正確；C中直線”也可能在平面a內(nèi)，C錯(cuò)；任一二面角的平面角的兩條邊都二面角的棱垂直，但這個(gè)二

面角不一定是直二面角，D錯(cuò).故選C

9.a,夕表示兩個(gè)不同的平面，/表示既不在a內(nèi)也不在夕內(nèi)的直線，存在以下三種情況：

①/_La；②///夕；③aJ?月.

若以其中兩個(gè)為條件，另一個(gè)為結(jié)論構(gòu)成命題，則其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

：a、P表示平面，1表示不在a內(nèi)也不在B內(nèi)的直線，①l_La,②1〃B,③aJ,B,

以①②作為條件，③作為結(jié)論，即若l_La,1〃B,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及面面垂直的

判定，可得a故是真命題；

以①③作為條件，②作為結(jié)論，即若l，a,a±0,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)及線面平行的判

定，可得1〃B,故是真命題；

以②③作為條件，①作為結(jié)論，即若1〃B,a_￡B,則1_La,或1與a相交，故是假命

題.

故選C.

10.設(shè)/，機(jī),〃表示不同的直線，a,尸,/表示不同的平面，給出下列四個(gè)命題：

①若加/〃，且加_La,則/_La；②若J_/?,mlla,〃_!_/?,則，〃_L〃；

③若a_L尸，y工0,則a//y；④如果m_L〃，mYa,n/1/3,則cr_L6.

則錯(cuò)誤的命題個(gè)數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

①若加〃/,且加_La,則/La是正確的，垂直于同一個(gè)平面的直線互相平行；

②若mlla,nL/3,則，是錯(cuò)誤的，當(dāng)m和n平行時(shí)，也會滿足前邊

的條件。

③若a，/7,/J_尸，則a//y,不對，垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面可以是交叉的；

④如果m_L〃，m1a,〃///7,則a_L￡；是錯(cuò)誤的，平面尸和a可以是任意的夾角；

故答案為：B。

11.已知，表示兩個(gè)不同的平面，/表示一條直線，且。，分，則/，力是的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要

【答案】D

【解析】由題意，a'B，IJ."則或lua,所以充分條件不成立，又當(dāng)a_L/,時(shí)，不

能得到I_L\,所以必要條件不成立，

故選：D.

12.已知是直線，a,/7,y是平面，給出下列命題：

①若a_L￡,ac0=m,〃_!_/〃，則”_La或〃J_￡.

②若a//加acyy=m,0cy=n,則m//〃.

③若巾ua,〃ua,m//,,〃//尸,則a//4.

④若ac￡=〃z,〃/且萬，則〃//a且”//，.

其中正確的命題是（）

A.①②B.②③C.②④D.③④

【答案】C

若aj.￡,anff=m,nLm,則"和。和￡兩個(gè)平面之間有相交，在面上，故①不正確，

若?！ā?any=/n,6Cly=〃，則叫〃〃.這是兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理，故②正確。

若歸a,naa,〃〃￡,〃〃￡,貝lja〃￡,缺少兩條直線相交的條件，故③不正確，

若aCB=m,n〃m旦rda,M￡,則n//a且n//P,④正確，

故選C.

2.平行垂直證明

例2.27.在如圖所示的五面體ABCDEF中，四邊形A5CZ）為菱形，且NZMB=60,

所//平面ABC。，EA=ED=AB=2EF=2,M為BC中煎.

(1)求證：FM//平面BDE；

(2)若平面ADE_L平面ABC。，求尸到平面BDE的距離.

【答案】(1)見解+析；(2)雪

試題分析：

(1)取CO中點(diǎn)N,連接MN,FN,由線面平行的判定定理可得肱V//平面3OE；再

由所//平面A3CO可得EF//AB；由題意可證得四邊形EfTV。為平行四邊形，故得

FN//ED,從而得到FN//平面8DE,由面面平行的判定可得平面M/W//平面BOE,

由此可得結(jié)論成立.(2)由(1)得FM//平面BDE,故尸到平面8DE的距離等于M到

平面BOE的距離.取AZ>的中點(diǎn)”，連接EH,BH,可證得“_LA￡>,BH±AD,從

而可得EH，平面ABC。，在此基礎(chǔ)上可得S"DE，Sw然后設(shè)F到平面BDE的距

離為h，由VE_BDM=VM_BDE可得所求。

試題詳細(xì)分析：

(1)取CD中點(diǎn)N,連接MN,尸N,

因?yàn)榉謩e為CD,BC中點(diǎn)，所以MN//BD,

又6￡>u平面8DE,且MNZ平面所以MN//平面BOE,

因?yàn)镋FV/平面ABC。，EFu平面ABEF,平面A6CDC平面=A3,

所以EF//AB.

又AB=CD=2DN=2EF=2,AB//CD,

所以EF//CD,EF=DN.

所以四邊形ERV。為平行四邊形.

所以FN//ED.

又EDu平面且FNa平面所以FN//平面18nE,

又FNcMN=N,所以平面MFN//平面8DE.

又MFu平面MFN,所以RM//平面BDE.

(2)由(1)得加〃平面ADE,所以尸到平面ADE的距離等于M到平面EDE的距離.

取血的中點(diǎn)H,連接

因?yàn)樗倪呅窝狢D為菱形，且ND/￡=60。，EA=ED=AB=2EF,

所以即_L/D,BH1AD,

因?yàn)槠矫鎑DEJL平面4BCD,平面4DEc平面4BCD=4D,

所以即_L平面加CD,EHA.BH,

因?yàn)榧?2H=6,所以方￡=招,

所以^SBEB—

設(shè)尸到平面5DE的距離為力，又因?yàn)椤兹铡c

所以由“一6?！?乙-如￡，*爾與=2警

解得〃=巫.

5

即F到平面BDE的距離為平

【方法總結(jié)】:

(1)求空間中點(diǎn)到面的距離時(shí)，一般是選擇一個(gè)合適的三棱錐，將所求的距離看作是該棱

錐的高，然后根據(jù)等體積法求解.

(2)空間距離的求法一般都化歸為點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線、點(diǎn)到面的距離來求.

練習(xí)1.直三棱柱ABC—A用G中，AB=5,AC=3,8C=4,點(diǎn)。是線段AB上

的動(dòng)點(diǎn).

(1)當(dāng)點(diǎn)。是的中點(diǎn)時(shí)，求證：人。|||平面4。。；

(2)線段A6上是否存在點(diǎn)。，使得平面45耳片，平面CQg?若存在，試求出A￡)的

長度；若不存在，請說明理由.

9

【答案】(1)見解+析；(2)-

5

【試題分析】(1)連接BG，交于點(diǎn)E,連接OE,則點(diǎn)E是BG的中點(diǎn)，利用三角

形的中位線有OE//AG，，由此證得線面平行.(2)當(dāng)CD_LA8時(shí)平面，平面

C。用.利用CO_LA8,C。J.A&,可證得CD,平面AB4A，由此證得兩個(gè)平面垂直.

利用等面積法求得AO的長.

【詳細(xì)分析】

(1)如圖，連接BG，交B,于點(diǎn)E,連接OE,則點(diǎn)E是8G的中點(diǎn)，

又點(diǎn)。是A3的中點(diǎn)，由中位線定理得OE||AG，

因?yàn)?。Eu平面BgD,AC,<Z平面B、CD,

所以AC|II平面

(2)當(dāng)C￡>_LA3時(shí)平面，平面CDB「

證明：因?yàn)锳A_L平面ABC,CDu平面ABC,所以44_LCD.

又C￡>，AB,A41cAB=A,所以CD,平面

因?yàn)镃Du平面CDB],所以平面ABq4_L平面CDB「

故點(diǎn)。滿足CDLAB.

因?yàn)锳B=5,AC=3,BC=4,所以ACZ+BC?=AB?,

故人鉆。是以角。為直角的三角形，

9

又CD上AB,所以AD=3.

5

2.如圖，四邊形ABC。是邊長為1的正方形，"￡>_L平面ABC。，N8L平面ABC。,

且MD=NB=1,G為MC的中點(diǎn).則下列結(jié)論中不正確的是（）

A.MCIANB.G8//平面AWN

C.平面CMN,平面AAWD.平面。CM//平面ABN

【答案】C

【解析】由題意，取中點(diǎn)。，易知40C就是二面角N-AW-C的平面角，有條件可知,

410C/90°,所以平面CM"與平面&WN不垂直，故C錯(cuò)誤。

故選C。

3.如圖，AA8C為等邊三角形，￡4_L平面ABC,EA//DC,EA=2DC,F為EB

的中點(diǎn).

B

(I)求證：OF//平面ABC；

(II)求證：平面5DE，平面AE3.

【答案】(1)見解+析(2)見解+析

試題分析：(1)取AB的中點(diǎn)G,連結(jié)FG,GC,由三角形中位線定理可得FG〃AE,FG=-AE,

2

結(jié)合已知DC〃AE,DC//AE,可得四邊形DCGF為平行四邊形，得至UFD〃

2

GC,由線面平行的判定可得FD〃平面ABC；(2)由線面垂直的性質(zhì)可得￡4_1_面ABC,得到

EA1GC,再由AABC為等邊三角形，得CG_LAB,結(jié)合線面垂直的判定可得CGJ_平面EAB,再

由面面垂直的判定可得面BDEJ"面EAB.

詳細(xì)分析：

(1)證明：取A3的中點(diǎn)G,連結(jié)FG,GC

?..在AE4B中，F(xiàn)G//AE,FG^-AE

2

■：DC//AE,DC=-AE：.DC//FG,FG=DC

2

四邊形DCGF為平行四邊形；.FD//GC

又?；FOZ平面ABCFO//平面ABC

(2)證：?.?區(qū)4，面48。，CGu平面ABC,；.E4_LGC,

又；AABC為等邊三角形，CG_LA8,

又；E4cAB=A,二CGL平面E4B,

又：CG//ED,ED，面￡43,

又*:FDu面BDE，，面BDEL面EAB

E

B

4.如圖，已知四棱錐P—ABC。中，底面ABC。為平行四邊形，點(diǎn)M,N,。分別

是B4,BD,PO的中點(diǎn).

(1)求證：MN//平面PCD；

(2)求證：平面MNQ//平面P8C.

【答案】(1)見解+析(2)見解+析

【解析】【試題分析】(D根據(jù)三角形的中位線，可得MN//PC,由此證得〃平面PCD.(2)利用

中位線證明M2〃dD,dD/ABC,故MQ/ABC,由(1)得MN//PC,由此可得平面M%//平面

PBC.

【詳細(xì)分析】

(1)由題意：四棱錐P—ABC。的底面ABCD為平行四邊形，點(diǎn)/，N,。分別是24,

BD,尸。的中點(diǎn)，

...N是AC的中點(diǎn)，

/.MN//PC,

又,/PCu平面PCD,MN2平面PCD,

.?.MV//平面PCD.

(2)由(1),知MN//PC,

?：M,。分別是F4,PO的中點(diǎn)，

，MQ//AD//BC,

又平面PBC,PCu平面PBC,BCcPC=C,MQu平面MN。，MNu

平面MNQ,MQcMN=M,

平面MNQ//平面PBC.

5.如圖，在多面體A8CDE尸中，已知ABC。是邊長為2的正方形，ABCV為正三角形,

G,”分別為的中點(diǎn)，EF=4且EF//AB,EF±FB.

(1)求證：G”//平面E4O；

(2)求證：FG,平面A3C。；

(3)求G”與平面ABC。所成角的正弦值.

/57

【答案】(1)見解+析；(2)見解+析；(3)—

7

【解析】試題分析：

(1)取取加的中點(diǎn)版，連接EM,GM,根據(jù)條件可證得四邊形EMGH為平行四邊形，故GHMEM,

由線面平行的判定定理可得結(jié)論.(2)由條件可得ABJL平面FBC,故得ABA.FG；又正三角形AF3c

中FG_LBC,可得FG_L平面加CD.(3)由(1)>(2)可知即/_L平面X8CD,故'為GH■與

平面加CD所成的角，解三角形可得sinZAGM=器=串，即GB與平面加CD所成角的正弦值為

試題詳細(xì)分析

(1)證明：如圖1,取的中點(diǎn)“，連接EM,GM,

因?yàn)镸、G分別為4)、3c的中點(diǎn),

所以MG//AB,MG^AB,

又EF//AB,

所以MG//斯,

因?yàn)椤盀镋F的中點(diǎn)，EF=4,A8=2,

所以EH=AB=MG,

所以四邊形為平行四邊形，

所以GH//EM,

又因?yàn)镚HU平面E4。，EWu平面E4￡>,

所以G/7〃平面E4￡).

(2)證明：因?yàn)镋ELEB,EF\\AB,

所以A5LEB.

在正方形ABC。中，AB1BC,

又FBcBC=B,

所以AB_L平面人8c.

又FGu平面RBC,

所以A3J.FG,

在正三角形\FBC中bG_LBC,

又ABcBC=B,

所以FG_L平面ABCD.

(3)如圖2,連接H7W,

由(1)、(2)可知平面ABCD.

所以NHGM為GH與平面A3CD所成的角.

在RfAHGM中,HM=6MG=2,

所以HG=NHM2+MG?=幣,

./口皿_HM

所rrr以lsin/HGA/==——=,

WGV77

而

即GH與平面A5CD所成角的正弦值為".

7

【規(guī)律解法總結(jié)】：

(1)證明空間中的線面關(guān)系時(shí)要注意答題的規(guī)范性，首先根據(jù)證明的結(jié)論尋找需要的條件,

然后根據(jù)定理的要求寫出證明的過程，書寫時(shí)注意步驟的完整性，要根據(jù)定理的要求寫出證

明的過程.

(2)求空間角時(shí)要遵循“一找、二證、三計(jì)算”的步驟，即首先根據(jù)題意作出所要求的角，

并給出證明，然后通過解三角形的方法求出該角(或其三角函數(shù)值).

3.翻折中的平行垂直

例3.已知平面四邊形Q4BC中，NB4C=NPC4中，N84C=90°,現(xiàn)沿AC進(jìn)行翻

折，得到三棱錐P—ABC,點(diǎn)。，E分別是線段BC,AC上的點(diǎn)，且。E||平面MB.

求證：(1)直線45||平面尸。石；

(2)當(dāng)。是BC中點(diǎn)時(shí)，求證：平面平面PDE.

【答案】(1)見解+析(2)見解+析

【解析】試題分析：(1)證明：因?yàn)镈E||平面￡四，DEu平面如C,得到泅

,再利用線面平行的判定定理，即可證明||平面⑼七一

(2)因?yàn)?。?C的中點(diǎn)，得到SELAC,進(jìn)而證得OE_LAC,從而AC,

平面SDE,利用面面垂直的判定定理，即可證得平面A8CL平面SDE.

試題詳細(xì)分析：

(1)證明：因?yàn)?。E||平面OEu平面ABC,

平面SABc平面ABC=AB,所以。E||A3

因?yàn)镈Eu平面SOE,ABa平面SDE,所以||平面SDE

(2)因?yàn)?。?C的中點(diǎn)，DE\\AB,所以E為AC的中點(diǎn).

又因?yàn)镾4=SC,所以SEJ_AC

又AB_LAC,DE\\AB,所以DELAC,

DE,SEu平面S￡>￡,DEcSE=E,所以AC_L平面SDE.

因?yàn)锳Cu平面ABC,所以平面ABC_L平面SDE.

練習(xí)1.某正方體的平面展開圖如圖所示，則在這個(gè)正方體中（）

A.NC與DE相交B.CM與皮）平行C.AF與CN平行D.4尸與CM異

面

【答案】B

根據(jù)題意得到立體圖如圖所示：

ANC與OE是異面直線，故不相交；

BCM與平行，由立體圖知是正確的；

CAF與CN位于兩個(gè)平行平面內(nèi)，故不正確;

DAf與CM是相交的。

故答案為：B。

2.已知直角梯形ABCO,如圖（1）所示，AB\\CD,AB1BC,AB=BC=2,

8=4,連接AC,將AABC沿AC折起，使得平面ABCJ_平面ACO,得到幾何體

B—ACD,如圖（2）所示.

（1）求證：4），平面ABC；

____i____

(2)若BE=—BD,求二面角E-AC—O的大小.

3

圖（D圖（2）

【答案】（1）見解+析（2）45°

【解析】試題分析：（1）利用平幾知識計(jì)算可得.仞J_dC,再根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理可得結(jié)論（2）根據(jù)

條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用垂直關(guān)系解方程組得各面法向量，利用向量數(shù)量積求法向

量夾角，最后根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系求二面角大小

試題詳細(xì)分析：（1）證明：如圖（1）,過A作AM_LC￡＞交于得正方形A3CM,

AB=BC=CM=MA=2

，MD=2

：.AC=^AB2+BC1=272,AD=yjAM2+MD2=272

AC2+AD2=CD2

ADA.AC

如圖（2）,?.?平面ABC,平面AC。，且兩面交線為AC,A￡＞u平面ACO

AD_L平面ABC

（2）解：取AC中點(diǎn)。，連接80、MO,則8。，平面AC。

VM.。分別為CZXAC中點(diǎn)

MO\\AD

：.MOA.AC

以。為原點(diǎn)，OC.OM、03所在的直線為x軸、y軸、Z軸，建立如圖坐標(biāo)系。一型，

A（—血,0,0）,B（0,0,V2）,C（V2,0,0）,￡＞（-72,272,0）

?ZBE=-BD

3

V2,V22V2

—,b=—,c=^—

.￡fV2也還］

,,I--，T，M

.?.通J逑，逑,述］,AC=(2^2,0,0)

、333J

設(shè)京=(x,y,z)為平面E4c的一個(gè)法向量，則

_K262V22V2

zn-AE=-----xH-----yH-----z=n。

{333

m?AC=2>/2x=0

取y=l,則x=O,z=-l

A/n=(O,l,-l)

又折=(0,(),1)為平面ACD的一個(gè)法向量

m-n

cos(/n,n)—也

I研何

???二面角E-AC-D為銳角

二面角E—AC-O為45°.

3.如圖，正方形ABC。的邊長為4,點(diǎn)E,尸分別為84,8C的中點(diǎn)，將八4;%,

NDCF,分別沿OE,OE折起，使A,C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)A',連接A'8.

(1)求證：￡/，平面8就?；

（2）求A'￡>與平面BE。尸所成角的正弦值.

【答案】（1）見解+析（2）1

3

試題分析：（I）-.-A'DLA'E^'DIA'F,A'O_L平面,又EFu平面4所，

.?.4。，所，由已知可得所_LB￡>,.?.所，平面AB。；（H）由面面垂直的性質(zhì)定理

可得ZADB為4。與平面BEDF所成角，在心△ADM中，

sinZABD=4絲=4，,從而可得A。與平面BEDF所成角的正弦值.

DM363

試題詳細(xì)分析：（I）■.-A'D±A'E,A'D±A'F,，AT）,平面AM,

又放u平面AEE,：.AD±EF,

由已知可得EF±BD,：.防_L平面A'BD；

（II）由（I）知平面A'BD±平面BEDF,則ZADB為A!D與平面BEDF所成角，

設(shè)8D,EF交于點(diǎn)M,連AM,則A'A/=5M=JLDM=36,

又平面AM,AMu平面AEF,..ADA.AM,

在m△ADM中，sinZA'BD=^-=^=-,

DM3723

4。與平面REDE所成角的正弦值為』.

3

【方法總結(jié)】本題主要考查線面垂直的判定定理及線面角的求法，屬于難題.證明直線和平

面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推論（a|g,a，a=8_Le）：

（3）利用面面平行的性質(zhì)（。_1。,。||分=。，力）；（4）利用面面垂直的性質(zhì)，當(dāng)兩個(gè)平

面垂直時(shí)，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面.

4.如圖①，在直角梯形/a?中，AD//BC,ZBAD=7,AB=BC=jAD=a,/是4?的中點(diǎn)，0

是然與龍的交點(diǎn).將△力龍沿施■折起到圖②中龍的位置，得到四棱錐4-政族

(1)證明：G9_L平面40C；

(2)當(dāng)平面4%工平面加%時(shí)，四棱錐4-8。密的體積為36々，求a的值.

【答案】(1)見解+析；⑵6.

試題分析：(1)在折疊前，根據(jù)平幾知識得皿/C從而折疊后皿40,BE10C,再根據(jù)

線面垂直判定定理得結(jié)果(2)由面面垂直性質(zhì)定理得40_1平面BCDE,再根據(jù)錐體體積公

式得關(guān)于a的方程，解得a的值.

1n

試題詳細(xì)分析：(1)證明：在題圖①中，因?yàn)锳B=BC=$Aga,“是火〃的中點(diǎn)，N,

所以皿”：

即在題圖②中，BEL小0,BEVOC,

從而aLL平面AyOC,

又CD//BE,所以C?_L平面AxOC.

(2)由已知，平面4細(xì)」平面BCDE,

且平面4皮m平面BCDE=BE,

又由(1),A.OVBE,所以40，平面比%

即40是四棱錐4-6。陽的高.

亞啦

由題圖①知，40=?AB=?a,平行四邊形直灰?的面積S=BC?AB=a.

11近亞近

從而四棱錐4-［姒應(yīng)的體積為勺RXSX/igaXa-'X?a=fia,由6a=36v2,得a=6.

5.已知某幾何體直觀圖和三視圖如圖所示，其正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，

俯視圖為直角梯形.

cCi

(1)求證：BNJ_平面GAN；

(2)設(shè)e為直線GN與平面CN耳所成的角，求sine的值；

(3)設(shè)M為45中點(diǎn)，在BC邊上找一點(diǎn)P,使〃平面CNq并求”的值.

1PC

5op1

【答案】(1)見解+析(2)—(3)——=-

3PC3

【解析】試題分析：(1)因?yàn)樵搸缀误w的正視圖為矩形,側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形,

BA,BC,BBX兩兩垂直,以B為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以BA,BC,BBX所在直線別為x,yz軸建立空間直角坐標(biāo)系,

證出麗.甌=0,而.跖=0后即可證明RM_L平面G為M;(2)求出平面NCE］的一個(gè)法向量利

用前與此法向量的夾角的余弦可求出直線GN與平面CA%所成的角正弦值；(3)設(shè)P(0￡。)為3c上

一點(diǎn)，由必〃平面CA%,得知加_L瓦，利用向量數(shù)量積為。求出。的值，并求出我的值.

試題詳細(xì)分析：(1)證明：因?yàn)樵搸缀误w的正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視

圖為直角梯形，

二BA,BC,BBi兩兩垂直。

以BA,BC,BBi分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則N(4,4,0),B,(0,8,0),3(0,8,4),

C(0,0,4)：鶴?砥=(4,4,0)?(-4,4,0)=T6+16=0(4,4,0)?(0,0,4)

=0.*.BN±NBi,BN_LBC且NBi與BC相交于Bi,

，BN_L平面CBN；

(2)設(shè)內(nèi)=(x,y,z)為平面NC4的一個(gè)法向量，則

環(huán)?西二0(x,y,z)-(4,4,-4)=0

兀,麗=0=(x,y,z)-(-4,4,0)=0

^^x+y-z=O，取，甲y

-x+y=O

kA（4,-4,^）.（1,1,2）V2

則sing=_-=——；

V16+16+16-V1+1+43

（3）（2,0,0）.設(shè)P（O,O,a）為BC上一點(diǎn)，則礪=（-2,0,a）,

：MP〃平面CNBi,

MP_Ln,=MP?小=（—2,0,a＞（l,l,2）=—2+2a=0=a=1.

又PMU平面CNB、MP//平面CNB1,

L＞p1

當(dāng)PB=\時(shí)，仍//平面C陶：.——=-.

PC3

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用空間向量求二面角、證明線面垂直，求線面角，屬于難題.空

間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）

寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂

直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量：（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理

結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.

6.在0248c中，P4=4,PC=2血,NP=45°,。是中點(diǎn)（如圖1）.將APCD

沿CD折起到圖2中CD的位置，得到四棱錐々一ABCD.

（1）將APCO沿折起的過程中，CD，平面60A是否成立？并證明你的結(jié)論；

（2）若＜A=2,過4A的平面交于點(diǎn)且M為8c的中點(diǎn)，求三棱錐

的體積.

【答案】（1）見解+析；（2）空.

3

試題分析：（1）將APCD沿CD折起過程中，CQ1,平面［0A成立。原因是：在"DC

中，由余弦定理求出cr）=2,滿足勾股定理，所以APOC為等腰直角三角形且C￡>_LB4,

又々OcA0=。，所以C。，平面40A成立；（2）求出三棱錐々一A8W

的高〃=《0=6,算出AABM的面積，由三棱錐體積公式求出三棱錐6AM的體積.

試題詳細(xì)分析：（1）將APCZ）沿CD折起過程中，8,平面［OA成立，

證明：?.?。是Q4中點(diǎn)，...￡>「=04=2,

在APOC中，由余弦定理得，

CD2=PC2+PD2-2PC-PD-cos450=8+4-2x20x2x正=4.

2

CD=2=PD,

-：CD2+DP2=8=PC2,

八。。。為等腰直角三角形且CDLQ4,

ACDA.DA,CD1P.D,PXD（~>AD=D

CD_L平面［OA.

（2）因?yàn)椤?=￡>A=，A=2,

...MD4為等邊三角形，

取AO中點(diǎn)。，連結(jié)片。，則片O=J5,qOLAD,

由（1）知。。，平面片D4,COu平面ABC。,

平面［D4J_平面ABC。，

/.［。1?平面ABC。，

.??三棱錐6-48知的高〃=片。=6.

：M為3c中點(diǎn)，...BA/=2,=-BMxCD=-x2x2^2.

.1/_V_1r,1_29/o_2叢

,,V三棱IftB-GAM=V三棱錐-8M=3dMBM,"=§XZ"=—^―

4.平行垂直中的探索性問題

例4.如圖，在直四棱柱ABCD-A^C.D,中，底面ABCD是梯形，

ADHBC,ACLBD.

(I)求證：AC1BD,;

(H)若5C=2AO,點(diǎn)P為線段8。的中點(diǎn).請?jiān)诰€段4G上找一點(diǎn)。，使AQ//平面

PCD,并說明理由.

【答案】(D見解+析(口)線段4G的中點(diǎn)即為所求的點(diǎn)。

【解析】試題分析：(1)證明線線垂直，可先證明線面垂直NC_1平面3及3。因?yàn)锳Dq平面3用。1。，

故/C_LAD；(2)線段為G的中點(diǎn)即為所求的點(diǎn)Q,根據(jù)平行四邊形，得到線線平行，進(jìn)而得到線面平

行。

詳細(xì)分析：

(I)在直四棱柱ABCO—A4G2中，

???QR，平面ABCD,ACc平面438,

：.DD、±AC,

又AC±BD,DDtcBD=D,

：.AC_L平面

；BOq平面83]￡>Q,AC_L3。.

（ID線段與G的中點(diǎn)即為所求的點(diǎn)。[或：過a作AG（或者DC）平行線交^G于點(diǎn)

Q].

理由如下：取線段gG的中點(diǎn)Q，連結(jié)QA「

BC=2AD,:.AR=g4G，

又：GQ=g4G，，AQ=GQ-

又...在梯形中，A9〃GQ，

四邊形AQGA是平行四邊形.

4Q//CQ,

又,：CQJ/CD,

：.AQiICD

?.?延長OP必過耳，...4，。,。,產(chǎn)四點(diǎn)共面，

，。不在平面與。C內(nèi)，即AQZ平面片PC。，

又???CDu平面PC。，

/.A。//平面PCD.

練習(xí)1.如圖，已知ABL平面ACD,DEL平面ACD,4ACD為等邊三角形，AD=DE=2AB=2a,

F為CD的中點(diǎn).

(1)求證：AF〃平面BCE；

(2)判斷平面BCE與平面CDE的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【答案】(1)見解+析；(2)見解+析

試題分析：(1)取CE中點(diǎn)旭根據(jù)平幾知識可得四邊形BAFM為平行四邊形，即得BW/AF,

再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論(2)先根據(jù)空間直角坐標(biāo)系，再設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)方程

組解得平面法向量，根據(jù)法向量相互垂直得平面BCE與平面CDE垂直.

試題詳細(xì)分析:

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系/-xyz,則力(0,0,0),C(2a,0,0),6(0,0,a),D(a,小a,

0),E1a,x/3a,2a).

因?yàn)槭瑸榍械闹悬c(diǎn)，

所以息乎&。)

⑴證明：2aoi￡=(a,#a,a),康=(2a,0,-a).

-1——

因?yàn)榧樱?5(/加+//),AR■平面BCE,所以"■〃平面比E

(2)平面6血平面CDE.證明如下：

-自駕，01-r---一一

因?yàn)椤?=122''4m=(-a,V3&0),/力=(0,0,—2a),所以4"?/刀=0,?人力

=0,所以力，AFLFD,所以"■_!平面碗

又1尸〃平面BCE,所以平面加瓦L平