數(shù)學(xué)分析1-34 函數(shù)

第一章二、映射三、函數(shù)一、集合第三節(jié)集合與函數(shù)3/2/20241元素a

屬于集合

M,記作元素a

不屬于集合M,記作一、集合1.定義及表示法定義1.

具有某種性質(zhì)的事物的全體稱為集合.組成集合的事物稱為元素.不含任何元素的集合稱為空集,記作

.

(或).注:

M

為數(shù)集表示M

中排除0與負(fù)數(shù)的集.3/2/202422.表示法：(1)列舉法：按某種方式列出集合中的全體元素.例:有限集合自然數(shù)集(2)描述法：

x

所具有的特征例:

整數(shù)集合或有理數(shù)集

p與q

互質(zhì)實(shí)數(shù)集合

x

為有理數(shù)或無(wú)理數(shù)(3)公式法：3/2/202431.區(qū)間3.常用集合2.鄰域3/2/20244是B的子集

,或稱B包含A,4.集合之間的關(guān)系及運(yùn)算定義2

.則稱A若且則稱A

與B

相等,例如,顯然有下列關(guān)系:

,

,

若設(shè)有集合記作記作必有3/2/20245定義3

.

給定兩個(gè)集合A,B,并集交集且差集且定義下列運(yùn)算:余集直積特例:記為平面上的全體點(diǎn)集或B在A中的余集3/2/20246二、函數(shù)概念1.【函數(shù)定義】設(shè)數(shù)集D包含于R，若因變量自變量函數(shù)定義域函數(shù)值值域則f稱為為定義在D上的函數(shù)，通常簡(jiǎn)記為:3/2/202472.【幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例】(1)【常數(shù)函數(shù)】c為常數(shù)

圖形是一條平行于軸的直線(2)【絕對(duì)值函數(shù)】3/2/20248

(3)

【符號(hào)函數(shù)】1-1xyo或3/2/20249(4)

【取整函數(shù)】y=[x][x]表示不超過(guò)的最大整數(shù)

12345-2-4-4-3-2-1

4321-1-3xyo階梯曲線該函數(shù)是數(shù)論中一個(gè)極為重要的函數(shù)[3.5][-3.5]3/2/202410有理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)?1xyo(5)

【狄利克雷函數(shù)】3/2/202411(6)

【取大（?。┖瘮?shù)】yxoyxo3/2/202412在自變量的不同變化范圍中,對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來(lái)表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).(7)【分段函數(shù)】3/2/202413三、具有某種特性的函數(shù)1.【有界函數(shù)】上界下界(1)【定義】則稱函數(shù)f(x)在X上有界.否則稱無(wú)界.界不唯一3/2/202414M-MyxoXM-Myxoy=f(x)X有界無(wú)界【結(jié)論】f(x)在X上無(wú)界3/2/2024152．【單調(diào)函數(shù)】xyo則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的.3/2/202416xyo則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減少的.3/2/2024173．【函數(shù)的奇偶性】偶函數(shù)yxox-x圖象關(guān)于y軸對(duì)稱稱f(x)為D上的偶函數(shù)3/2/202418奇函數(shù)yxox-x圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱則稱函數(shù)f(x)為D上的奇函數(shù)3/2/202419偶函數(shù)雙曲余弦記3/2/202420又如,奇函數(shù)雙曲正弦記再如,奇函數(shù)雙曲正切記3/2/2024214．【函數(shù)的周期性】（通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.且則稱

f(x)為周期函數(shù)

,若稱

l

為周期【定義】3/2/202422周期為

周期為【注】

周期函數(shù)不一定存在最小正周期.【例如】

常量函數(shù)3/2/202423【例2】【解】單值函數(shù),有界函數(shù),偶函數(shù),周期函數(shù)(無(wú)最小正周期)不是單調(diào)函數(shù),特別注意狄利克雷函數(shù)3/2/202424四、函數(shù)的四則運(yùn)算3/2/202425對(duì)映射若,則稱f為滿射;若有則稱f

為單射;若f既是滿射又是單射,則稱f

為雙射或一一映射.①滿射②單射③雙射五、反函數(shù)3/2/202426五、反函數(shù)DWDW【定義】若函數(shù)為一、一映射（單射,滿射）則存在逆映射稱此映射為f

的反函數(shù).3/2/202427【注】3/2/202428六、復(fù)合函數(shù)1.【復(fù)合函數(shù)】(1)【定義】【說(shuō)明】通常f稱為外層函數(shù)，g稱為內(nèi)層函數(shù).則設(shè)有函數(shù)鏈稱為由①,

②確定的復(fù)合函數(shù),①②u稱為中間變量.3/2/202429(2)【注意】2）復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)合構(gòu)成.三重復(fù)合函數(shù)1）構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件不可少.（即：內(nèi)層函數(shù)在復(fù)合函數(shù)定義域D內(nèi)的值域g(D)一定包含在外層函數(shù)的定義域D1內(nèi)）3/2/202430七.初等函數(shù)常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與反三角函數(shù)這六種函數(shù),稱為基本初等函數(shù).1.基本初等函數(shù)3/2/2024313/2/2024323/2/2024333/2/2024343/2/2024353/2/2024363/2/2024373/2/202438【定義】由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次的復(fù)合運(yùn)算所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).否則稱為非初等函數(shù).2.初等函數(shù)3/2/202439八.平面曲線的其他表示方法平面曲線在直角坐標(biāo)系下，1.參數(shù)方程形式有些表示比較復(fù)雜，使用不方便，往往用參數(shù)方程形式或極坐標(biāo)形式表示.3/2/2024402.極坐標(biāo)形式oo幾個(gè)重要曲線附錄2.ppto3/2/202441【例1】【解】3/2/202442綜上所述3/2/2024433.【非初等函數(shù)舉例】①［符號(hào)函數(shù)］②［取整函數(shù)］當(dāng)有理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)?1xyo③［狄里克雷函數(shù)］1-1xyo④［分段函數(shù)］（略）：一般是非初等函數(shù).3/2/202444九、小結(jié)1.基本概念集合,區(qū)間,鄰域。2.函數(shù)的概念3.函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性.4.反函數(shù)5.復(fù)合函數(shù)，初等函數(shù)3/2/202445且練習(xí)題證明證:

令則由消去得時(shí)其中