第五章知識資料材料力學（九）

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁/共頁第五節(jié) 截面圖形的幾何性質(zhì)一、靜矩與形心對圖所示截面靜矩的量綱為長度的三次方。對于由幾個容易圖形組成的組合截面形心坐標顯然，若z軸過形心，yc=0，則有Sz=0，反之亦然：若y軸過形心，zc=0，則有Sy=0，反之亦然?！菊骖}解析】5—30（2007年真題）圖所示矩形截面，m-m線以上部分和以下部分對形心軸z的兩個靜矩()。(A)絕對值相等，正負號相同(B)絕對值相等，正負號不同(c)絕對值不等，正負號相同(D)絕對值不等，正負號不同解：按照靜矩定義，圖示矩形截面的靜矩等于m-m線以上部分和以下部分靜矩之和，即，又因為z軸是形心軸，Sz=0，故答案：(B)二、慣性矩、慣性半徑、極慣性矩、慣性積對圖所示截面，對z軸和y軸的慣性矩為慣性矩總是正當，其量綱為長度的四次方，也可寫成iz、iy稱為截面向z、y軸的慣性半徑，其量綱為長度的一次方。截面向0點的極慣性矩為因ρ2=y2+z2，故有Ip=Iz+Iy，顯然Ip也恒為正當，其量綱為長度的四次方。截面向y、z軸的慣性積Iyz可以為正當，也可以為負值，也可以是零，其量綱為長度的四次方。若y、z兩坐標軸中有一個為截面的對稱軸，則其慣性積Iyz恒等于零。例6圖(a)、(b)所示的兩截面，其慣性矩關(guān)系應為哪一種？A.(Iy)1>(Iy)2,(Iz)1=(Iz)2B.(Iy)1=(Iy)2,(Iz)1>(Iz)2C.(Iy)1=(Iy)2,(Iz)1<(Iz)2D.(Iy)1<(Iy)2,(Iz)1=(Iz)2解：兩截面面積相同，但圖(a)截面分布離z軸較遠，故Iz較大。對y軸慣性矩相同。答案：B2016—63真題面積相同的兩個如圖所示，對各自水平形心軸z的慣性矩之間的關(guān)系為（）。提醒：圖（a）與圖（b）面積相同，面積分布的位置到z軸的距離也相同，故慣性矩Iza=Izb而圖（c）固然面積與（a）、（b）相同，但是其面積分布的位置到z軸的距離小，所以慣性矩Izc也小。答案：（D）常用截面的幾何性質(zhì)見表2。例7圖(a)所示截面向z軸和y軸的慣性矩和慣性積為多少?解：按照慣性矩的可加性，圖示截面向z軸和y軸的慣性矩與半圓相同，如圖(b)所示。至于慣性積的計算，可以把原圖示截面分解成兩個分離對稱于y軸和z軸的圖形，如圖(c)和(d)所示，兩部分的Izy都為零，故原截面Izy也就是零。答案：C三、平行移軸公式若已知任一截面圖形形心為c，面積為A，對形心軸Zc和Yc的慣性矩為Izc和Iyc、慣性積為Iyczc，則該圖形對于與zc軸平行且相距為a的z軸及與Yc軸平行且相距為b的y軸的慣性矩和慣性積分離為顯然，在圖形對所有互相平行的軸的慣性矩中，以形心軸的慣性矩為最小?！菊骖}解析】5—37（2009年真題）矩形截面挖去一個邊長為a的正方形，如圖所示，該截面向z軸的慣性矩Iz為()。解：正方形的形心軸距z軸的距離是a/2，如下圖所示。用移軸定理得囫圇組合截面的慣性矩為答案：(c)四、主慣性軸和主慣性矩、形心主（慣性）軸和形心主（慣性）矩若截面圖形對通過某點的某一對正交坐標軸的慣性積為零，則稱這對坐標軸為圖形在該點的主慣性軸，簡稱主軸。圖形對主慣性軸的慣性矩稱為主慣性矩。顯然，當隨意一對正交坐標軸中之一軸為圖形的對稱軸時，圖形對該兩軸的慣性積必為零，故這對軸必為主軸。過截面形心的主慣性軸，稱為形心主軸。截面向形心主軸的慣性矩稱為形心主矩。桿件的軸線與橫截面形心主軸所組成的平面，稱為形心主慣性平面。例8求圖所示T形截面的形心主慣性矩I