（江蘇專(zhuān)用）高三數(shù)學(xué) 必過(guò)關(guān)題 立體幾何

高三必過(guò)關(guān)題9立體幾何一，填空題例1．將一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方體，切成27個(gè)全等的小正方體，則表面積增加了________．[解析]每個(gè)小正方體的表面積是eq\f(1,9)a2×6＝eq\f(2,3)a2，故表面積增加了eq\f(2,3)a2×27－6a2＝12a2.例2．若圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為120°、半徑為l的扇形，則這個(gè)圓錐的表面積與側(cè)面積的比是________．[解析]設(shè)圓錐的底面半徑為r，則eq\f(2π,3)l＝2πr，∴l(xiāng)＝3r，∴eq\f(S表,S側(cè))＝eq\f(πr2＋πrl,πrl)＝eq\f(πr2＋3πr2,3πr2)＝eq\f(4,3).例3．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12.則球O的半徑為.[解析]由題意將直三棱柱ABC－A1B1C1還原為長(zhǎng)方體ABDC－A1B1D1C1，則球的直徑即為長(zhǎng)方體ABDC－A1B1D1C1的體對(duì)角線AD1，所以球的直徑AD1＝eq\r(AB2＋AC2＋AAeq\o\al(2,1))＝eq\r(32＋42＋122)＝13，則球的半徑為eq\f(13,2).例4．已知正的邊長(zhǎng)為,則到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都為1的平面有_____個(gè).[答案]8個(gè)例5．與空間不共面的四個(gè)點(diǎn)距離相等的平面有個(gè).[解析]有兩類(lèi):一類(lèi)是三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面,另一個(gè)點(diǎn)在平面的一側(cè),過(guò)該點(diǎn)作平面的垂線段,過(guò)垂線段中點(diǎn)作與已知平面平行的平面,即符合條件,這樣的平面可作4個(gè);另一類(lèi)是兩個(gè)點(diǎn)在平面一側(cè),其他兩點(diǎn)在平面另一側(cè),可作3個(gè)平面,共7個(gè).例6．對(duì)于空間中的三條直線，有以下四個(gè)條件：①三條直線兩兩相交；②三條直線兩兩平行；③三條直線共點(diǎn)；④兩直線相交，第三條平行于其中一條與另個(gè)一條相交，其中使這三條直線共面的充分條件有個(gè). [答案]1個(gè)例7．設(shè)為平面，為直線，以下四組條件：①②；③；④；可以作為的一個(gè)充分條件是．[解析]題中線面關(guān)系既復(fù)雜又抽象，注意到其中包含大量的垂直關(guān)系，故可以在正方體內(nèi)ABCDD1A1B1C1觀察：①記面AD1為，面AC為，則AD為，若視AB為，⊥，但在面內(nèi)；②若兩兩垂直，則可以得到，但該條件中沒(méi)有⊥，故反例只可能存在于此處，記面AD1為，面BB1D1D為，面AC為，則AD為，但與成450角；③注意到⊥，只要、不平行，就得不到，記面AD1為，面BB1D1D為，面AC為，視AB為，但與成450角；④由⊥，⊥得∥，再由⊥得；故只有④．ABCDD1A1B1C1例8．如圖，ABCD中，AB⊥BD，沿BD將△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，連結(jié)AC，則在四面體ABCD的四個(gè)面中，互相垂直的平面有對(duì).[解析]本題考查圖形的翻折，和面面垂直的判定，顯然面ABD⊥面BCD，面ABC⊥面BCD，面ABD⊥面ACD，所以答案3對(duì)例9．正方體，分別是，的中點(diǎn)，P是上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)）過(guò)E、D、P作正方體的截面，若截面為四邊形，則P的軌跡是．[解析]本題考查幾何體中的線面關(guān)系，∥平面∴平面DEC與平面的交線CM∥ED連結(jié)EM，易證MC=ED∴，則M到達(dá)時(shí)，仍可構(gòu)成四邊形，即P到F，P在之間則滿(mǎn)足要求P到仍可構(gòu)成四邊形，故P的軌跡為線段CF和點(diǎn).例10．設(shè)是空間的不同直線或不同平面，且直線不在平面內(nèi)，下列條件中能保證“若，且”為真命題的是（填所有正確條件的代號(hào)）.①x為直線，y，z為平面 ②x，y，z為平面③x，y為直線，z為平面 ④x，y為平面，z為直線⑤x，y，z為直線[答案]①③④例11．已知三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為eq\f(9,4)，底面是邊長(zhǎng)為eq\r(3)的正三角形．若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為．[解析]設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為a，△ABC的中心為Q，聯(lián)結(jié)PQ，由于側(cè)棱與底面垂直，∴PQ⊥平面ABC，即∠PAQ為PA與平面ABC所成的角．又∵VABC－A1B1C1＝eq\f(\r(3),4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)))eq\s\up12(2)×a＝eq\f(9,4)，解得a＝eq\r(3)，∴tan∠PAQ＝eq\f(PQ,AQ)＝eq\f(\r(3),\f(\r(3),2)×\r(3)×\f(2,3))＝eq\r(3)，故∠PAQ＝eq\f(π,3).例12．如圖1所示，正四面體A－BCD中，AO⊥平面BCD，垂足為O，設(shè)M是線段AO上一點(diǎn)，且∠BMC是直角，則eq\f(AM,MO)＝________．圖1圖2[解析]如圖2，聯(lián)結(jié)OB，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為1，則OB＝eq\f(\r(3),3)，MB＝eq\f(\r(2),2)，故OM＝eq\f(\r(6),6)＝eq\f(1,2)OA＝AM，則eq\f(AM,MO)＝1.例13．一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為eq\f(4,3)π，半徑為18cm的扇形，則圓錐母線與底面所成角的余弦值為_(kāi)_______．[答案]eq\f(2,3)例14．如圖，在四面體P－ABC中，PA＝PB＝PC＝2，∠APB＝∠BPC＝∠APC＝30°，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿著四面體的表面繞一周，再回到A點(diǎn)，問(wèn)：螞蟻沿著怎樣的路徑爬行時(shí)路程最短，最短路徑是________．[解析]如右圖，將四面體沿PA剪開(kāi)，并將其側(cè)面展開(kāi)平鋪在一個(gè)平面上，連接AA′分別交PB，PC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，則當(dāng)螞蟻沿著A劉E劉F劉A′路徑爬行時(shí)，路程最短．在△APA′中，∠APA′＝90°，PA＝PA′＝2，∴AA′＝2eq\r(2)，即最短路程AA′的長(zhǎng)為2eq\r(2).例15．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為棱AA1、CC1的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線A1D1、EF、CD都相交的直線有________條．[解析]在A1D1上任取一點(diǎn)P.過(guò)點(diǎn)P與直線EF作一個(gè)平面α，因CD與平面α不平行，所以它們相交，設(shè)α∩CD＝Q，連結(jié)PQ，則PQ與EF必然相交，即PQ為所求直線．由點(diǎn)P的任意性，知有無(wú)數(shù)條直線與A1D1、EF、CD都相交．[答案]無(wú)數(shù)例16．如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)C在圓周上(異于點(diǎn)A，B)，直線PA垂直于圓O所在的平面，點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)．有以下四個(gè)命題：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正確的命題是________．(填上所有正確命題的序號(hào))[解析]因?yàn)镻A?平面MOB，不可能PA∥平面MOB，故①錯(cuò)誤；因?yàn)镸、O分別為PB，AB的中點(diǎn)，所以MO∥PA，得MO∥面PAC，故②正確．又圓的直徑可知BC⊥AC，又PA⊥平面ABC，所以BC⊥PA，所以BC⊥平面PAC，在空間過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直，所以O(shè)C不可能與平面PAC垂直，故③錯(cuò)誤；由③可知BC⊥平面PAC，又BC?平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC，故④正確．[答案]②④第17題例17．如圖,在三棱錐中,、、兩兩垂直,且．設(shè)是底面內(nèi)一點(diǎn),定義,其中、、分別是三棱錐、三棱錐、三棱錐的體積．若,且恒成立,則正實(shí)數(shù)的最小值為_(kāi)_______．第17題[答案]1例18.如圖所示,在直三棱柱ABC—中,點(diǎn)M,N分別在上,且給出以下四個(gè)結(jié)論:①;②AC∥MN;③MN∥平面ABC;④MN與AC是異面直線.其中正確的有.[解析]如圖所示,在上取一點(diǎn)P,使則MP∥AB,NP∥∥CB,∴MP∥平面ABC,NP∥平面ABC.∴平面PMN∥平面ABC.∴MN∥平面ABC,即③正確.又∵平面ABC,∴平面PMN.∴即①正確.當(dāng)時(shí),M,N分別是的中點(diǎn),此時(shí)有AC∥MN,當(dāng)時(shí),連結(jié)CN,用反證法易知MN與AC是異面直線,故結(jié)論②④欠嚴(yán)密性.綜上,四個(gè)結(jié)論中正確的有①③.例19．水管或煤氣管的外部經(jīng)常需要包扎,以便對(duì)管道起保護(hù)作用,包扎時(shí)用很長(zhǎng)的帶子纏繞在管道外部.若需要使帶子全部包住管道且沒(méi)有重疊的部分(不考慮管子兩端的情況,如圖所示),這就要精確計(jì)算帶子的”纏繞角度”α（α指纏繞中將部分帶子拉成圖中所示的平面ABCD時(shí)的其中AB為管道側(cè)面母線的一部分).若帶子寬度為1,水管直徑為2,則”纏繞角度”的余弦值為.[解析]如圖,展開(kāi)繞在管子外部一周的帶子,若符合條件,則AC=2r=2,且°.所以cos.例20．已知正四棱錐中，，當(dāng)該棱錐的體積最大時(shí)，它的高為_(kāi)____.[解析]本試題主要考察椎體的體積，考察函數(shù)的最值問(wèn)題.設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，則高所以體積，設(shè)，則，當(dāng)y取最值時(shí)，，解得a=0或a=4時(shí)，體積最大，此時(shí).二，解答題例21.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分別為棱BC、CC1、C1D1、AA1的中點(diǎn)，O為AC與BD的交點(diǎn)（如圖）求證：⑴EG∥平面BB1D1D；⑵平面BDF∥平面B1D1H；⑶A1O⊥平面BDF；⑷平面BDF⊥平面AA1C.[解析]（1）欲證EG∥平面BB1D1D，須在平面BB1D1D內(nèi)找一條與EG平行的直線，構(gòu)造輔助平面BEGO’及輔助直線BO’，顯然BO’即是.（2）按線線平行線面平行面面平行的思路，在平面B1D1H內(nèi)尋找B1D1和O’H兩條關(guān)鍵的相交直線，轉(zhuǎn)化為證明：B1D1∥平面BDF，O’H∥平面BDF．⑶為證A1O⊥平面BDF，由三垂線定理，易得BD⊥A1O，再尋A1O垂直于平面BDF內(nèi)的另一條直線．猜想A1O⊥OF.借助于正方體棱長(zhǎng)及有關(guān)線段的關(guān)系計(jì)算得：A1O2+OF2=A1F2A1O⊥OF.（4）∵CC1⊥平面AC∴CC1⊥BD又BD⊥AC∴BD⊥平面AA1C又BD平面BDF∴平面BDF⊥平面AA1CD例22．右圖是一個(gè)直三棱柱（以為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為．已知，，，，．D若點(diǎn)是的中點(diǎn)，證明：平面.[解析]取A1B1中點(diǎn)，連．則．．∴四邊形是平行四邊形，因此有．又平面且平面，∴面．注：在找“線”與面內(nèi)的一條直線平行時(shí)，常用到一些平面圖形的性質(zhì)，如：三角形的中位線、梯形中位線、平行四邊形、平行線分線段成比例定理的逆定理等．例23．如圖,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn),作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.（1）證明PA//平面EDB；（2）證明PB⊥平面EFD.[解析]本小題考查直線與平面平行,直線與平面垂直基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力和推理論證能力.證明：（1）連結(jié)AC,AC交BD于O,連結(jié)EO.∵底面ABCD是正方形,∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)在中,EO是中位線,∴PA//EO而平面EDB且平面EDB,所以,PA//平面EDB（2）∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD,∴∵PD=DC,可知是等腰直角三角形,而DE是斜邊PC的中線,∴.①同樣由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC.而平面PDC,∴.②由①和②推得平面PBC.而平面PBC,∴又且,所以PB⊥平面EFD.例24．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=AD=2．（1）證明：面BDD1B1⊥面ACD1；（2）若E是BC1的中點(diǎn)，P是AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是A1C1上的點(diǎn)，C1F=mFA1，試求m的值，使得EF∥D1P．EABEABCDA1B1C1D1FP證明（1）：在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=AD=2，故四邊形ABCD是正方形，AP⊥DP，又∵D1D⊥面ABCD，AP面ABCD∴D1D⊥AP，D1D∩DP=D∴AP⊥面BDD1B1∵AP面AD1C∴面BDB1D1⊥面ACD1（2）：記A1C1與B1D1的交點(diǎn)為Q，連BQ，∵P是AC的中點(diǎn)，∴D1P∥BQ，要使得EF∥D1P，則必有EF∥BQ在△QBC1中，E是BC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是QC1上的點(diǎn)，EF∥BQ∴F是QC1的中點(diǎn)，即3C1F=FA1，故所求m的值是．例25．如圖，已知三棱錐A—BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB中點(diǎn)，D為PB中點(diǎn)，且△PMB為正三角形．（1）求證：DM∥平面APC；（2）求證：平面ABC⊥平面APC；（3）若BC=4，AB=20，求三棱錐D—BCM的體積．[解析]本題考查線面平行的證明，面面垂直的證明以及三棱錐體積的計(jì)算證明：（1）∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，D為PB中點(diǎn)，∴MD//AP，又∴MD平面ABC∴DM//平面APC．（2）∵△PMB為正三角形，且D為PB中點(diǎn)．∴MD⊥PB．又由（1）∴知MD//AP，∴AP⊥PB．又已知AP⊥PC∴AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC．∴BC⊥平面APC，∴平面ABC⊥平面PAC，（3）∵AB=20∴MB=10∴PB=10又BC=4，∴又MD∴VD-BCM=VM-BCD=例26．如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠