2023-2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)湘教版 4-6 函數(shù)y＝A sin (ωx＋φ)的圖象及應(yīng)用 學(xué)案

第六節(jié)函數(shù)>=力sin(S:+。)的圖象及應(yīng)用

【課標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)】1.了解函數(shù)N=ZSin(S?+p)的物理意義；能畫(huà)出V=ZSin(ωx+夕)的圖

象，了解參數(shù)4。，9對(duì)函數(shù)圖象變化的影響2了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要

函數(shù)模型，會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

必備知識(shí)夯實(shí)雙基

知識(shí)梳理

L“五點(diǎn)法”作函數(shù)y=4sin(s+9)(∕>0,o>0)的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)為

2.由函數(shù).y=sinx的圖象通過(guò)變換得到y(tǒng)=/sin(0x+p)(∕>O,。>0)的圖象的兩種方法

［常用結(jié)論］

1.函數(shù)y=∕sin(cυx+9)+%圖象平移的規(guī)律：“左加右減，上加下減”.

2.由y=sincox到y(tǒng)=sin(3χ+9)(0>O,0>0)的變換：向左平移里個(gè)單位長(zhǎng)度而非夕個(gè)

單位長(zhǎng)度.

3.函數(shù)y=4sin(<υx+p)圖象的對(duì)稱軸由cox+p=?+］，ZGZ確定；對(duì)稱中心由cυx

+φ=kπ,A∈Z確定其橫坐標(biāo).

夯實(shí)雙基

1.思考辨析(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)將函數(shù)y=3sin2x的圖象左移；個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象的解析式是y=3sin(2x+

》()

(2)利用圖象變換作圖時(shí)，“先平移，后伸縮”與“先伸縮，后平移”中平移的長(zhǎng)度一

致?()

(3)將函數(shù)y=2sinX的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的右縱坐標(biāo)不變，得函數(shù)y

=2Sin:的圖象.()

(4)由圖象求解析式時(shí)，振幅/的大小是由一個(gè)周期內(nèi)圖象中最高點(diǎn)的值與最低點(diǎn)的值

確定的.()

2.(教材改編)將函數(shù)/(x)=Sina+》圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)

6

不變，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式為()

A.j=sin(2x÷-)B.y=sin(2x+-)

63

c.y=sinφc+弓)D.y=sin?+?)

3.(教材改編)已知函數(shù)√(x)=Asin(ωx+φ)(A>O,co>0,OV0<兀)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如

圖所示，則函數(shù)人工)的解析式為.

4.(易錯(cuò))要得到函數(shù)y=sin(4x—9的圖象，只需將函數(shù)y=sin4x的圖象()

A.向左平移色個(gè)單位長(zhǎng)度

B.向右平移三個(gè)單位長(zhǎng)度

C.向左平移三個(gè)單位長(zhǎng)度

D.向右平移色個(gè)單位長(zhǎng)度

5.(易錯(cuò))已知函數(shù)√(x)=2sin(ox+0)(<υ>O,一兀<。<0)的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)間的距離為且

/(一?=-2,則°=?

O

關(guān)鍵能力題型突破

題型一函數(shù)y=/sin(cox+。)的圖象及變換

例1已知函數(shù)√(x)=2sin(2x+］.

(1)作出｛x)在［0,π］上的圖象(要列表)；

(2)函數(shù)y=Λx)的圖象可由函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到？

題后師說(shuō)

作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>O,ω>0)

的圖象常用的方法

鞏固訓(xùn)練1

(1)(多選)要得到y(tǒng)=sinx的圖象，可以將函數(shù)y=sin(2x的圖象上所有的點(diǎn)()

A.向右平行移動(dòng)三個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的3倍

B.向左平行移動(dòng)巳個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍

C.橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的!倍，再把所得各點(diǎn)向右平行移動(dòng)巳個(gè)單位長(zhǎng)度

D.橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，再把所得各點(diǎn)向左平行移動(dòng)W個(gè)單位長(zhǎng)度

(2)［2023?河南三門峽模擬］為了得到函數(shù)y=sin(2x—：)的圖象，只需把函數(shù)y=cos2%的

圖象上所有點(diǎn)()

A.向左平移［個(gè)單位長(zhǎng)度

B.向右平移J個(gè)單位長(zhǎng)度

C.向左平移9個(gè)單位長(zhǎng)度

D.向右平移W個(gè)單位長(zhǎng)度

8

題型二由圖象確定V=Nsin(cox+s)的解析式

例2(l)[2023?江西南昌模擬]已知函數(shù)√(x)=cos(ωχ-^)(ω>0,|夕卜兀)的部分圖象如圖所

示，則Φ=()

(2)[2023?山東濱州模擬]函數(shù)次勸=/sin(0x+9)(∕>O,cυ>O,陽(yáng)<》的部分圖象如圖所示，

現(xiàn)將函數(shù)T(X)的圖象向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍

O

(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)虱X)的圖象，則g(x)的表達(dá)式可以為()

A.g(x)=2sin(x+≡)

B.g(x)=2cos(x—$

C.g(x)=2SinGX+》

D.g(x)=2cos(夭一》

題后師說(shuō)

求y=/sin(S+9)中φ的兩種常用方法

鞏固訓(xùn)練2

［2023?山東泰安模擬］(多選)下圖是函數(shù)y=sin(cux+g)的部分圖象，則Sin(ωx+φ)=

)

A.sin(2x+g)B.Sin(；—2x)

C.cos(2x+-)D.cos(—―2x)

66

題型三函數(shù)y=4sin(Gx+p)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

角度一圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

例3［2023?河北衡水中學(xué)模擬］已知函數(shù)/(x)=Sin(2x+-)+cos(2x÷-)-2sinxcosx.

36

(1)求函數(shù)人X)的最小正周期及對(duì)稱軸方程；

(2)將函數(shù)y=∕(x)的圖象向左平移卷個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐

標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求y=g(x)在［0,2π］上的單調(diào)遞減區(qū)間.

題后師說(shuō)

三角函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合問(wèn)題的解題步驟

鞏固訓(xùn)練3

［2023?山東臨沂模擬］已知函數(shù)/(x)=8CoSXsin(x÷-)-2√3sin2x~3.

6

(1)求/(x)的周期；

(2)將函數(shù)段)的圖象向右平移卷個(gè)單位,再把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,

縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g(x)的圖象，求g(x)在［0,π］上的值域.

角度二三角函數(shù)模型的應(yīng)用

例4［2023?山東師大附中月考］水車是一種利用水流的動(dòng)力進(jìn)行灌溉的工具，工作示意

圖如圖所示.設(shè)水車(即圓周)的直徑為3米，其中心(即圓心)。到水面的距離b為1.2米，

逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)一圈的時(shí)間是80秒.水車邊緣上一點(diǎn)尸距水面的高度為人(單位；米)，水車

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)間為f(單位：秒).當(dāng)點(diǎn)尸在水面上時(shí)高度記為正值，當(dāng)點(diǎn)尸旋轉(zhuǎn)到水面以下

時(shí).，點(diǎn)尸距水面的高度記為負(fù)值.過(guò)點(diǎn)P向水面作垂線，交水面于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)。作PW的

垂線，交尸M于點(diǎn)M從水車與水面交于點(diǎn)。時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)。=0),設(shè)NQON=<p,水車逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)t秒轉(zhuǎn)動(dòng)的角的大小記為ɑ.

⑴求〃與，的函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)雨季來(lái)臨時(shí)，河流水量增加，點(diǎn)O到水面的距離減少了0.3米，求此時(shí)N的

大小；

(3)若水車轉(zhuǎn)速加快到原來(lái)的2倍，直接寫(xiě)出h與t的函數(shù)解析式.

(參考數(shù)據(jù)：sin^≈0.60,sin^≈0.80,siny≈0.86)

題后師說(shuō)

三角函數(shù)模型的應(yīng)用體現(xiàn)在兩方面：一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學(xué)問(wèn)題，二是把實(shí)際問(wèn)題

抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題.

鞏固訓(xùn)練4

如圖，某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為120m,轉(zhuǎn)盤直徑為IlOm,開(kāi)啟后按逆時(shí)針?lè)?/p>

向勻速旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)一周需要30min.游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙,開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)/min

后距離地面的高度為“m,則在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，高度〃關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)解析式是（）

B.∕7=55sin(^-J+65(0≤∕≤30)

C.H=-55cos(→+^)+65(0≤Z≤30)

D.∕7=-55sin(→+^)+65(0≤∕≤30)

1.[2022?浙江卷]為了得到函數(shù)y=2sin3x的圖象，只要把函數(shù)y=2sin（3x+§圖象上所

有的點(diǎn)（）

A.向左平移方個(gè)單位長(zhǎng)度

B.向右平移W個(gè)單位長(zhǎng)度

C.向左平移己個(gè)單位長(zhǎng)度

D.向右平移R個(gè)單位長(zhǎng)度

2.[2022?全國(guó)甲卷]將函數(shù)火X）=Sin（ox+》?＞0）的圖象向左平移三個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲

線C,若C關(guān)于y軸對(duì)稱，則。的最小值是（）

A.-B.-C.-D.-

6432

3.[2022?新高考I卷]記函數(shù)y（x）=sin?x+》+W）＞0）的最小正周期為T.若稱＜“兀，且

y=Λx）的圖象關(guān)于點(diǎn)（手，2）中心對(duì)稱，則圾）=（）

35

A.1B.-C.-D.3

22

4.[2022?新高考∏卷]（多選）函數(shù)＜x）=sin（2x+3）（0vp＜兀）的圖象以（g,0）中心對(duì)稱，則

（）

A.N=∕（x）在（0,工）單調(diào)遞減

B.尸/⑶在（一巳，詈）有2個(gè)極值點(diǎn)

C.直線X=?是一條對(duì)稱軸

6

D.直線產(chǎn)苧一X是一條切線

第六節(jié)函數(shù)＞=NsinQX+。）的圖象及應(yīng)用

必備知識(shí)?夯實(shí)雙基

知識(shí)梳理

LT°）（啜,⑷（詈°）（修F）（『°）

2.sinωxsin((υx+p)

夯實(shí)雙基

1.答案：(I)X(2)×(3)×(4)√

2.解析：將函數(shù)大X）=Sina+》圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不

O

變，得到y(tǒng)=singx+?.

ZO

故選C.

答案：C

3.解析：由圖象知：4=2,7=4*(藪—1)=4π,

所以溫=4兀，又因?yàn)閙>0,所以①=?∣,

所以√(x)=2sinQx+φ),

又/(])=2,所以2sinGX]+(P)=2,

即Sinɑ+φ)=l,

又因?yàn)?<8<兀，所以e=%

所以√(x)=2sinQx÷≡).

答案：危)=2SinQx+;)

4.解析：y=sin(4x—g)=sin4(x—因此將函數(shù)V=Sin4x的圖象向右平移巳個(gè)單位.

故選D.

答案：D

5.解析：由題意知:?空=?,所以3=2.

Z3Z

??7(一》=2Sin(一：+。)=-2,

π

φ=4

答案：—3

4

關(guān)鍵能力?題型突破

例1解析：(1)因?yàn)棣謊[O,π],所以2x+me2,另』.

6LooJ

列表如下：

ππ3π13π

2x+-π2π

662T甘

π5π2πl(wèi)lπ

XOπ

612T~12

yω]2O一20]

描點(diǎn)、連線得圖象如圖所示:

(2)將y=sinx的圖象上的所有點(diǎn)向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=sin(x+]的圖象,

再將y=sin(x+J的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的3縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=sin

(2x+e)圖象，再將y=sin(2x+J上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)2倍(橫坐標(biāo)不變),得到/(x)=2Sin

(2X+9的圖象.

鞏固訓(xùn)練1解析：(1)要想得到y(tǒng)=sinx的圖象，y=sin(2χ-0圖象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)

擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，故排除AC；

y=sin(2χ-()圖象上所有點(diǎn)先向左平移巳個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=sin[2(x+幣-$=SinZr,

再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，得到y(tǒng)=sinx,B正確；

y=sin(2x—￡)的圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，變?yōu)閥=sin(χ-^),

再把所得各點(diǎn)向左平行移動(dòng)W個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=sinx,D正確.

故選BD.

(2)將函數(shù)尸COSIx的圖象向右平移等個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=cos[2(x-^?)]?eos(2χ-?-

oo4

T)=Sin(2χ-^).

故選D.

答案：(I)BD(2)D

例2解析：⑴由圖可知，?=!,解得7=2,故(O=與=π,則√(x)=cos(πχ一0)；

而花)=1，故？-p=2∕π(%∈Z),解得°=?一2Aπ(A∈Z),

666

又嗣＜π,得(P=與.

O

故選B.

(2)由圖象可知：J=2；y(0)=2sinφ=~?,又|夕附，所以φ=-g由7(^)=2sin(公三一》

N6INIZo

=0,可得①?雪一擊E,?∈Z,解得G=彌+泉又|＜詈?，即[詈譽(yù)聾，解得六①書(shū)，

故〃=1,G=2,即｛x)=2sin(2x—：),將函數(shù)/(x)的圖象向左平移;個(gè)單位長(zhǎng)度得y=2sin[2(x

66

+=)-^]=2sin(2x+3，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍得g(x)=2sin(x+3

=2Sin(x-1+)=2cos(χ-^).

故選B.

答案：(I)B(2)B

鞏固訓(xùn)練2解析：由函數(shù)圖象可知：；=3一

2362

?*?T=π,貝山訓(xùn)=與=,=2,

2π

不妨令G=2,當(dāng)時(shí)，歹=一1，

???2X工+9=芋+2E(%∈Z),解得s=2E+靠%∈Z),

即函數(shù)的解析式為y=sin(2x÷?+2Λπ)=sin(2x÷γ),故A正確；

又sin(2x+爭(zhēng)=Sin(π+2χ-5=-sin(2x—丹=SinG—2x),故B正確；

又sin(2x÷-)=sin(2x÷-+-)=zcos(2x÷-),故C正確；

3626

而cos(2x÷-)=cos(π÷2χ-cos(2χ--)=-cos(—―Zr),故D錯(cuò)誤.

6666

故選ABC.

答案：ABC

例3解析：(l)∕(x)=∣sin2x+ycos2x+γcos2χ-?sin2x—Sin2x,

∕ζx)=√3cos2χ-sin2x=2(γcos2χ-?sin2x)=2(cos2xcossin2xsing)=2cos(2x÷

所以函數(shù)/(X)的最小正周期為π,

令2x+g=E,%∈Z,得函數(shù)/(x)的對(duì)稱軸方程為X=-S+9?∈Z.

6122

(2)將函數(shù)y=%)的圖象向左平移5個(gè)單位后所得圖象的解析式為y=2cos[2(x+?+=]

IZ126

=2cos(2x÷j),

所以g(x)=2cos(2X∣r+g=2cos(x+?

令2E≤x+g<π+2E,

所以一；+2EWxW*+2E,E∈Z.又x∈[0,2π],

所以V=g(x)在[0,2π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為[0,y],[?,2π].

鞏固訓(xùn)練3解析：(iy(x)=8cosXsin(x+-)—2√3sin2x-3=8CoSx(—sinx÷?osx)-

622

2√3sin2χ-3=4V3sinxcosx÷4cos2x—2√3sin2x—3=2√3sin2x÷4cos2x—2√3sin2x—3=

2cos2χ-1,

所以/(x)的周期r=y=π.

(2)將函數(shù)/(x)的圖象向右平移9個(gè)單位，可得y=2cos［2(x—9)］一l=2cos(2χ-?-l,

12126

再把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，可得y=2cos(x一》一1,

6

所以g(x)=2cos(X—7)—1,

因?yàn)镺WXWm所以一^Wx-^w9，

666

所以一^Wcos(x—；)W1,

26

所以一Λ∕5W2COS(x—U)W2,

6

所以一遮一1≤g(x)≤1,

所以g(x)在［0,句上的值域?yàn)椋垡话僖?,1］.

例4解析：(1)由題意設(shè)方(。=4sin初一p)+d,

貝UZ=R=;,7=80,貝IJG=F=案=白，

2T8040

由題意SinP=^l=g,9是銳角，所以夕=工.

?(Z)=∣sin(?-^)+√,HO)=ISin(一§+",T

所以咐=ISin(2一書(shū)+*

(2)河水上漲0.3米，在Rt△(?QN中，sinNQoN=三詈

所以NQoN=M

(3)水車轉(zhuǎn)速加快到原來(lái)的2倍，則周期變?yōu)樵瓉?lái)的一半，

即7=40,ω--=-,

4020

所以A(Z)--sin(―/——

'"2'20IO75

鞏固訓(xùn)練4解析：根據(jù)題意設(shè)，H(t)=Asin(ω∕+?>)+β(0≤Z≤30),

因?yàn)槟衬μ燧喿罡唿c(diǎn)距離地面高度為120m,轉(zhuǎn)盤直徑為IlOm,

所以該摩天輪最低點(diǎn)距離地面高度為10m,

B

所以［A：JirI雅，解得/=55,8=65.

因?yàn)殚_(kāi)啟后按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周需要30min,

所以T=空=30,解得co=S，

ω15

因?yàn)閞=0時(shí)，"(0)=10,故10=55sine+65,即Sin夕=-1,解得夕=一1+2桁，?∈Z.

所以9)=55Sin*f-》+65(0WfW30).

故選B.

答案：B

真題展臺(tái)——知道高考考什么？

1.解析：因?yàn)閥=2sin(3x+,)=2sin[3。+勺],所以把函數(shù)y=2sin(3x+全圖象上所有

的點(diǎn)向右平移卷個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=2sin[3(x+?-J)]=2sin3x的圖象.

故選D.

答案：D

2.解析：通解將函數(shù)√(x)=sin?x+$的圖象向左平移;個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=si