土動力學(xué)與土工抗震工程之集中質(zhì)量體系地震反應(yīng)分析

土動力學(xué)與土工抗震工程1基巖地基地震波土壩結(jié)構(gòu)特性地基特性地震特性地基及土工結(jié)構(gòu)物動力分析抗震措施安全評價(jià)第十講集中質(zhì)量法與振型疊加法適用于水平成層地基或土工結(jié)構(gòu)物適用于任意地基或土工結(jié)構(gòu)物結(jié)構(gòu)簡化剪切層集中質(zhì)量系有限單元求解區(qū)域時(shí)域：如逐步積分法頻域：利用傅立葉變換振型：疊加法2集中質(zhì)量體系地震反應(yīng)分析第十講3一、集中質(zhì)量體系三、振型疊加法簡化方法基本方程自振頻率和振型地震反應(yīng)振型疊加法第十講集中質(zhì)量體系地震反應(yīng)分析二、逐步積分法線性加速度法Wilson-θ法Newmark-β法4一、集中質(zhì)量體系1.簡化方法第十講集中質(zhì)量法與振型疊加法集中質(zhì)量：剛度系數(shù)：5一、集中質(zhì)量體系2.基本方程第十講集中質(zhì)量體系地震反應(yīng)分析相對位移矢量：相對速度矢量：相對加速度矢量：地震加速度：基本方程：[M]:質(zhì)量矩陣[C]:阻尼矩陣[K]:剛度矩陣{E}:質(zhì)量列陣62.基本方程各矩陣的表達(dá)式：－瑞利阻尼公式一、集中質(zhì)量體系第十講集中質(zhì)量體系地震反應(yīng)分析[C]的表達(dá)式與[K]類似，簡化計(jì)算時(shí)72.基本方程瑞利阻尼公式λ1、ω1為第一振型的阻尼比和自振圓頻率近似?。篠DOF：水平成層地基：一、集中質(zhì)量體系第十講集中質(zhì)量體系地震反應(yīng)分析8第十講集中質(zhì)量體系地震反應(yīng)分析一、集中質(zhì)量體系三、振型疊加法簡化方法基本方程自振頻率和振型地震反應(yīng)振型疊加法二、逐步積分法線性加速度法Wilson-θ法Newmark-β法9二、逐步積分法基本思路:1、輸入地震波歷時(shí)為T，將其分為N個微小時(shí)段：Δt=T/N2、如t時(shí)刻的各物理量已知,3、假定與間的關(guān)系4、通過積分可用表示5、再積分可用表示6、以為基本未知量，代入基本方程，即可求出7、再求出8、至此已求出如t＋Δt時(shí)刻的各物理量：9、t=0時(shí)各量已知，按上述方法可逐步求出全程解答（此步常用增量形式）第十講集中質(zhì)量體系地震反應(yīng)分析10具體方法：按與間的關(guān)系假定可分為線性加速度法Wilson-θ法Newmark-β法適用范圍：單自由度體系的動力反應(yīng)解答多自由度體系的動力反應(yīng)解答有限元法的動力反應(yīng)解答其它與時(shí)間有關(guān)的問題（固結(jié)）二、逐步積分法第十講集中質(zhì)量體系地震反應(yīng)分析111.線性加速度法假定加速度在Δt=t2-t1的微小時(shí)段內(nèi)呈線性變化如t1時(shí)刻的各物理量已知,t1t2=t1+Δtt速度為：t2時(shí)刻的速度為：位移為：t2時(shí)刻的位移為：二、逐步積分法第十講集中質(zhì)量體系地震反應(yīng)分析12以u(t2)為基本未知量：1.線性加速度法t1t2=t1+Δttt2時(shí)刻的速度和位移為：增量：二、逐步積分法第十講集中質(zhì)量體系地震反應(yīng)分析13t1t2=t1+Δtt增量：動力微分方程：1.線性加速度法二、逐步積分法第十講集中質(zhì)量體系地震反應(yīng)分析14穩(wěn)定性：增量：全量：TN為第N振型的自振周期有條件穩(wěn)定1.線性加速度法二、逐步積分法第十講集中質(zhì)量體系地震反應(yīng)分析152.

Wilson-θ法t1tt3=t1+θΔtt2=t1+Δtθ≥1假定加速度在δt=θΔt

的時(shí)段內(nèi)呈線性變化t1時(shí)刻的各物理量已知,t2時(shí)刻的速度和位移為：t3時(shí)刻的速度和位移為：二、逐步積分法第十講集中質(zhì)量體系地震反應(yīng)分析162.Wilson-θ法增量：以t3和t1間的增量為未知量，增量形式動力微分方程：t1tt3=t1+θΔtt2=t1+Δt二、逐步積分法第十講集中質(zhì)量體系地震反應(yīng)分析17穩(wěn)定性：無條件穩(wěn)定

最優(yōu)常用線性加速度法增量：全量：2.Wilson-θ法二、逐步積分法第十講集中質(zhì)量體系地震反應(yīng)分析183.

Newmark-β法假定速度和位移在t2=t1＋Δt時(shí)刻按下式計(jì)算如t1時(shí)刻的各物理量已知,速度：位移：t1t2=t1+Δtt增量形式：二、逐步積分法第十講集中質(zhì)量體系地震反應(yīng)分析19以Δu為基本未知量：3.Newmark-β法t1t2=t1+Δtt二、逐步積分法第十講集中質(zhì)量體系地震反應(yīng)分析20穩(wěn)定性：β=1/6，γ=1/2時(shí)，即為線性加速度法，有條件穩(wěn)定β=1/4，γ=1/2時(shí)，即為常值加速度法，無條件穩(wěn)定

增量：全量：3.Newmark-β法二、逐步積分法第十講集中質(zhì)量體系地震反應(yīng)分析21第十講集中質(zhì)量體系地震反應(yīng)分析一、集中質(zhì)量體系三、振型疊加法簡化方法基本方程自振頻率和振型地震反應(yīng)振型疊加法二、逐步積分法線性加速度法Wilson-θ法Newmark-β法22三、振型疊加法振型：對于無阻尼的多自由度體系，在某一初始分布位移刺激下產(chǎn)生自由振動，如果在以后的振動過程中位移分布形狀保持不變，只是大小發(fā)生周期性變化，則稱這種位移分布形式為該多自由度體系的一個振型。m2mk2k第十講集中質(zhì)量體系地震反應(yīng)分析23將土體的動力反應(yīng)看作是由土體在一系列不同頻率（自振頻率）下振動所產(chǎn)生反應(yīng)（振型）的疊加。因而，動力基本方程的求解，就歸結(jié)為求各自振頻率ω和相應(yīng)的位移分布φ(x)（振型），并且在此基礎(chǔ)上求解常系數(shù)二階常微分方程式，得出幅值Y隨時(shí)間的變化。振型的特性正交性：多自由度體系的任何振型，在振動過程中不在其它振型上做功，即振動能量不會轉(zhuǎn)移到其它振型上去，或者說，它不會激起其它振型的振動。三、振型疊加法線性無關(guān)性：多自由度體系的位移可用各振型位移的線性組合來表示。振型疊加法：第十講集中質(zhì)量體系地震反應(yīng)分析24基本思路地基或土工結(jié)構(gòu)物離散成多自由度體系如集中質(zhì)量體系無阻尼和有阻尼的特征值和特征向量（頻率、阻尼、振型）地震動力反應(yīng)振型疊加法（各振型的幅值及振型疊加）三、振型疊加法第十講集中質(zhì)量體系地震反應(yīng)分析25（1）無阻尼自由振動假定方程的解為：代入振動方程得：將兩邊左乘以得：令則有解得ω為無阻尼自由振動的圓頻率常數(shù)A、α由初始條件確定多自由度振動體系(MDOFSystem)，N個自由度1.自振頻率和振型振動方程為：三、振型疊加法第十講集中質(zhì)量體系地震反應(yīng)分析其中為位移空間分布向量261.自振頻率和振型特征方程式有非零解的充要條件為方程組的系數(shù)行列式等于零，即或齊次線性代數(shù)方程組該式為關(guān)于ω2的N次代數(shù)方程式，求解可得ω2的N個根，即N個自振頻率。按其由小到大排列，稱之為第一頻率（基本頻率），第二頻率，……，第N頻率；它們都只是剛度分布與質(zhì)量分布的函數(shù)。（1）無阻尼自由振動三、振型疊加法第十講集中質(zhì)量體系地震反應(yīng)分析27設(shè)第i個頻率為ωi（1）無阻尼自由振動1.自振頻率和振型三、振型疊加法第十講集中質(zhì)量體系地震反應(yīng)分析28（2）特征向量的性質(zhì)取兩個特征值相應(yīng)的特征向量正交性線性無關(guān)性成立的條件是式中常數(shù)αi全為零1.自振頻率和振型三、振型疊加法第十講集中質(zhì)量體系地震反應(yīng)分析29取兩個特征值，相應(yīng)的特征向量特征方程：對上二式分別用左乘其兩端，得當(dāng)[M]，[K]為對稱矩陣時(shí)，根據(jù)矩陣的乘法可得將此代入前二式，再相減得（2）特征向量的性質(zhì)1.自振頻率和振型三、振型疊加法第十講集中質(zhì)量體系地震反應(yīng)分析30同樣可得由上二式可以寫出由于，上式必須有特征向量的正交性(共扼)（2）特征向量的性質(zhì)1.自振頻率和振型三、振型疊加法第十講集中質(zhì)量體系地震反應(yīng)分析31式一：體系以s振型作自由振動時(shí)，它所引起的慣性力對于r振型的位移所作的功等于零。對于r振型的位移某振型在振動過程中能量不會轉(zhuǎn)移到其它振型上，即不激起其它振型的振動。（[M]，[K]為對稱矩陣時(shí)成立）正交性的物理意義式二：體系以s振型作自由振動時(shí)，它所引起的彈性力所作的功也等于零。（2）特征向量的性質(zhì)1.自振頻率和振型三、振型疊加法第十講集中質(zhì)量體系地震反應(yīng)分析32如果線性相關(guān)，則式中的常數(shù)αi不能全為零左乘上式得由正交性，當(dāng)i≠j時(shí)，，故上式中只剩下i＝j(luò)的值，即不能等于零。因此，線性相關(guān)的條件不能成立。由線性無關(guān)性，動力系統(tǒng)的位移可用特征向量的線性組合來表示，即或?qū)憺榫仃囆问焦视幸杂梅醋C法證明特征向量的線性無關(guān)性（2）特征向量的性質(zhì)1.自振頻率和振型三、振型疊加法第十講集中質(zhì)量體系地震反應(yīng)分析33無阻尼自由振動方程解耦（2）特征向量的性質(zhì)1.自振頻率和振型基本方程：通解以左乘上式兩端，得令則得三、振型疊加法第十講集中質(zhì)量體系地震反應(yīng)分析34[K*]、[M*]矩陣中的元素分別為根據(jù)特征向量的正交性：[K*]、[M*]均為對角矩陣，只有對角線上的元素不為零無阻尼自由振動方程解耦（2）特征向量的性質(zhì)1.自振頻率和振型三、振型疊加法第十講集中質(zhì)量體系地震反應(yīng)分析35由前面采用的表示式，可得或?qū)o阻尼自由振動方程解耦無阻尼自由振動方程解耦（2）特征向量的性質(zhì)1.自振頻率和振型[K*]、[M*]

均為對角矩陣三、振型疊加法第十講集中質(zhì)量體系地震反應(yīng)分析36（3）有阻尼自由振動解答可寫為將兩邊左乘以將兩邊除以并令其中可得λi為與第i振型相應(yīng)的阻尼比1.自振頻率和振型解耦條件：[C*]為對角矩陣三、振型疊加法第十講集中質(zhì)量體系地震反應(yīng)分析37常數(shù)A、α由初始條件確定兩個特征方程式（3）有阻尼自由振動解答為：1.自振頻率和振型三、振型疊加法第十講集中質(zhì)量體系地震反應(yīng)分析38三、振型疊加法第十講集中質(zhì)量體系地震反應(yīng)分析一、集中質(zhì)量體系三、振型疊加法簡化方法基本方程自振頻率和振型地震反應(yīng)振型疊加法二、逐步積分法線性加速度法Wilson-θ法Newmark-β法392.地震反應(yīng)振型疊加法基本方程：令以左乘上式兩端，得令則得三、振型疊加法第十講集中質(zhì)量體系地震反應(yīng)分析402.地震反應(yīng)振型疊加法根據(jù)特征向量的正交性：[K*]、[M*]和[C*]均為對角矩陣，只有對角線上的元素不為零