平面圖形的幾何性質(zhì)-平面圖形的幾何性質(zhì)（建筑力學）

第二節(jié)慣性矩、極慣性矩、慣性積、慣性半徑一、慣性矩和極慣性矩整個平面圖形上各微面積對z軸（或y軸）慣性矩的總和稱為該平面圖形對z軸（或y軸）的慣性矩，用Iz（或Iy）表示。平面圖形的幾何性質(zhì)

整個圖形上所有微面積對點O的極慣性矩的總和稱為該圖形對點O的極慣性矩，用Ip表示。平面圖形的幾何性質(zhì)

平面圖形對任一點的極慣性矩，等于圖形對以該點為原點的任意兩正交坐標軸的慣性矩之和。

慣性矩的單位為ｍ4

或ｍｍ4

。其值恒為正。慣性矩也是對坐標軸而言的。同一圖形對不同的坐標軸，其慣性矩不同。

極慣性矩是對點來說的，同一圖形對不同點的極慣性矩也不相同。

平面圖形的幾何性質(zhì)二、慣性積

慣性積是平面圖形對某兩個正交坐標軸而言，同一圖形對不同的正交坐標軸，其慣性積不同。

由于坐標值z、y有正負，因此慣性積可能為正或負，也可能為零。

其單位為m4或mm4。

整個圖形上所有微面積對z、y兩軸慣性積的總和稱為該圖形對z、y兩軸的慣性積，用Izy表示。平面圖形的幾何性質(zhì)

兩個坐標軸中只要有一根軸為平面圖形的對稱軸，則該圖形對這一對坐標軸的慣性積一定等于零。平面圖形的幾何性質(zhì)三、慣性半徑在工程中因為某些計算的特殊需要，常將圖形的慣性矩表示為圖形面積A與某一長度平方的乘積。即

式中iz和iy分別稱為平面圖形對z軸和y軸的慣性半徑，也叫回轉(zhuǎn)半徑。單位為m或mm。平面圖形的幾何性質(zhì)為了便于查用，表6-1列出了幾種常見截面圖形的面積、形心和慣性矩。平面圖形的幾何性質(zhì)

第六章平面圖形的幾何性質(zhì)學習目標：平面圖形的幾何性質(zhì)

1.理解靜矩、慣性矩、極慣性矩、慣性半徑和慣性積的概念。2.熟練掌握組合圖形形心位置的計算。

3.會應用平行移軸公式計算組合圖形對形心軸的慣性矩。4.熟記矩形、圓形等簡單圖形對其形心軸的慣性矩。組合圖形形心位置的確定及組合圖形對形心軸的慣性矩的計算。重點：第一節(jié)靜矩一、靜矩的概念

微面積dA與坐標y（或坐標z）的乘積稱為微面積dA對z軸（或y軸）的靜矩

.

這些微小乘積在整個面積A內(nèi)的總和，稱為該平面圖形對z軸（或y軸）的靜矩。

用Sz（或Sy）表示。即

平面圖形的幾何性質(zhì)

從上述定義可以看出，平面圖形的靜矩是對指定的坐標軸而言的。

同一平面圖形對不同的坐標軸，其靜矩顯然不同。

靜矩的數(shù)值可能為正，可能為負，也可能等于零。

常用單位是

m3或mm3。平面圖形的幾何性質(zhì)

現(xiàn)設平面圖形的形心C的坐標為zC、yC。

在第四章中，已得到求平面圖形形心的坐標的公式為平面圖形的幾何性質(zhì)ΔA→0

?

當坐標軸通過平面圖形的形心時，其靜矩為零；反之，若平面圖形對某軸的靜矩為零，則該軸必通過平面圖形的形心。

?如果平面圖形具有對稱軸，對稱軸必然是平面圖形的形心軸。故平面圖形對其對稱軸的靜矩必等于零。二、組合圖形的靜矩

在工程實際中，經(jīng)常遇到工字形、T形、環(huán)形等橫截面的構(gòu)件，這些構(gòu)件的截面圖形是由幾個簡單的幾何圖形組合而成的，稱為組合圖形。平面圖形的幾何性質(zhì)由式可見:

根據(jù)平面圖形靜矩的定義，組合圖形對z軸（或y軸）的靜矩等于各簡單圖形對同一軸靜矩的代數(shù)和，即

式中yCi、zCi及Ai分別為各簡單圖形的形心坐標和面積，n為組成組合圖形的簡單圖形的個數(shù)。平面圖形的幾何性質(zhì)例6-1

矩形截面尺寸如圖所示。試求該矩形對

z1軸的靜矩Sz1和對形心軸z的靜矩Sz。平面圖形的幾何性質(zhì)解（１）計算矩形截面對z1軸的靜矩。（２）計算矩形截面對形心軸的靜矩。

由于z軸為矩形截面的對稱軸，故矩形截面對z軸的靜矩為

例6-2試計算如圖示的平面圖形對z1和y1的靜矩，并求該圖形的形心位置。

解將平面圖形看作由矩形Ⅰ和Ⅱ組成矩形Ⅰ矩形ⅡA1=10×120mm2=1200mm2

A2=70×10mm2=700mm2平面圖形的幾何性質(zhì)該平面圖形對z1軸和y1軸的靜矩分別為求得該平面圖形的形心坐標為平面圖形的幾何性質(zhì)第二節(jié)慣性矩、極慣性矩、慣性積、慣性半徑一、慣性矩和極慣性矩整個平面圖形上各微面積對z軸（或y軸）慣性矩的總和稱為該平面圖形對z軸（或y軸）的慣性矩，用Iz（或Iy）表示。平面圖形的幾何性質(zhì)

整個圖形上所有微面積對點O的極慣性矩的總和稱為該圖形對點O的極慣性矩，用Ip表示。平面圖形的幾何性質(zhì)

平面圖形對任一點的極慣性矩，等于圖形對以該點為原點的任意兩正交坐標軸的慣性矩之和。

慣性矩的單位為ｍ4

或ｍｍ4

。其值恒為正。慣性矩也是對坐標軸而言的。同一圖形對不同的坐標軸，其慣性矩不同。

極慣性矩是對點來說的，同一圖形對不同點的極慣性矩也不相同。

平面圖形的幾何性質(zhì)二、慣性積

慣性積是平面圖形對某兩個正交坐標軸而言，同一圖形對不同的正交坐標軸，其慣性積不同。

由于坐標值z、y有正負，因此慣性積可能為正或負，也可能為零。

其單位為m4或mm4。

整個圖形上所有微面積對z、y兩軸慣性積的總和稱為該圖形對z、y兩軸的慣性積，用Izy表示。平面圖形的幾何性質(zhì)

兩個坐標軸中只要有一根軸為平面圖形的對稱軸，則該圖形對這一對坐標軸的慣性積一定等于零。平面圖形的幾何性質(zhì)三、慣性半徑在工程中因為某些計算的特殊需要，常將圖形的慣性矩表示為圖形面積A與某一長度平方的乘積。即

式中iz和iy分別稱為平面圖形對z軸和y軸的慣性半徑，也叫回轉(zhuǎn)半徑。單位為m或mm。平面圖形的幾何性質(zhì)為了便于查用，表6-1列出了幾種常見截面圖形的面積、形心和慣性矩。平面圖形的幾何性質(zhì)第三節(jié)組合圖形的慣性矩一、平行移軸公式平面圖形的幾何性質(zhì)微面積dA在兩個坐標系中的坐標有如下關系：

特別注意：式中Iz與Iy必須是平面圖形對其形心軸的慣性矩。

上式表明：圖形對任一軸的慣性矩，等于圖形對與該軸平行的形心軸的慣性矩，再加上圖形面積與兩平行軸間距離平方的乘積。

由于a2恒為正值，故在所有平行軸中，平面圖形對形心軸的慣性矩最小。平面圖形的幾何性質(zhì)例6-5

計算圖示的矩形截面對z1軸和y1軸的慣性矩。平面圖形的幾何性質(zhì)解二、組合圖形慣性矩的計算

由矩形、圓形和三角形等幾個簡單圖形組成，或由幾個型鋼組成，稱為組合圖形。

由慣性矩定義可知：組合圖形對任一軸的慣性矩，等于組成組合圖形的各簡單圖形對同一軸慣性矩之和。即平面圖形的幾何性質(zhì)在計算組合圖形的慣性矩時：首先應確定組合圖形的形心位置，然后通過積分或查表求得各簡單圖形對自身形心軸的慣性矩，再利用平行移軸公式，就可計算出組合圖形對其形心軸的慣性矩。

由于截面有一根對稱軸y，故形心必在此軸上，即zc=0

選坐標系yoz′，以確定截面形心的位置yC。矩形ⅠA1=50×12=600cm2

yC1=58+6=64cm例6-6

試計算圖示T形截面對其形心軸z、y的慣性矩。解（１）計算截面的形心位置。平面圖形的幾何性質(zhì)矩形Ⅱ

A2=25×58=1450cm2

yC2=29cm(2)計算組合圖形對形心軸的慣性矩Iz、Iy。

首先分別求出矩形Ⅰ、Ⅱ?qū)π涡妮Sz的慣性矩。由平行移軸公式可得平面圖形的幾何性質(zhì)整個圖形對z軸的慣性矩為平面圖形的幾何性質(zhì)y軸正好經(jīng)過矩形截面A1和A2的形心，所以整個圖形對y軸的慣性矩為

當把組合圖形視為幾個簡單圖形之和時，其慣性矩等于簡單圖形對同一軸慣性矩之和；當把組合圖形視為幾個簡單圖形之差時，其慣性矩等于簡單圖形對同一軸慣性矩之差。平面圖形的幾何性質(zhì)第四節(jié)形心主慣性軸形心主慣性矩一、形心主慣性軸平面圖形對某一對坐標軸z0、y0軸的慣性積為零，則這一對坐標軸稱為平面圖形的主慣性軸，簡稱主軸。

平面圖形對主軸的慣性矩稱為主慣性矩。

若主慣性軸通過平面圖形形心，則該軸稱為圖形的形心主慣性軸，簡稱形心主軸。平面圖形對形心主軸的慣性矩稱為形心主慣性矩。二、形心主慣性矩平面圖形的幾何性質(zhì)

第六章平面圖形的幾何性質(zhì)學習目標：平面圖形的幾何性質(zhì)

1.理解靜矩、慣性矩、極慣性矩、慣性半徑和慣性積的概念。2.熟練掌握組合圖形形心位置的計算。

3.會應用平行移軸公式計算組合圖形對形心軸的慣性矩。4.熟記矩形、圓形等簡單圖形對其形心軸的慣性矩。組合圖形形心位置的確定及組合圖形對形心軸的慣性矩的計算。重點：第一節(jié)靜矩一、靜矩的概念

微面積dA與坐標y（或坐標z）的乘積稱為微面積dA對z軸（或y軸）的靜矩

.

這些微小乘積在整個面積A內(nèi)的總和，稱為該平面圖形對z軸（或y軸）的靜矩。

用Sz（或Sy）表示。即

平面圖形的幾何性質(zhì)

從上述定義可以看出，平面圖形的靜矩是對指定的坐標軸而言的。

同一平面圖形對不同的坐標軸，其靜矩顯然不同。

靜矩的數(shù)值可能為正，可能為負，也可能等于零。

常用單位是

m3或mm3。平面圖形的幾何性質(zhì)

現(xiàn)設平面圖形的形心C的坐標為zC、yC。

在第四章中，已得到求平面圖形形心的坐標的公式為平面圖形的幾何性質(zhì)ΔA→0

?

當坐標軸通過平面圖形的形心時，其靜矩為零；反之，若平面圖形對某軸的靜矩為零，則該軸必通過平面圖形的形心。

?如果平面圖形具有對稱軸，對稱軸必然是平面圖形的形心軸。故平面圖形對其對稱軸的靜矩必等于零。二、組合圖形的靜矩

在工程實際中，經(jīng)常遇到工字形、T形、環(huán)形等橫截面的構(gòu)件，這些構(gòu)件的截面圖形是由幾個簡單的幾何圖形組合而成的，稱為組合圖形。平面圖形的幾何性質(zhì)由式可見:

根據(jù)平面圖形靜矩的定義，組合圖形對z軸（或y軸）的靜矩等于各簡單圖形對同一軸靜矩的代數(shù)和，即

式中yCi、zCi及Ai分別為各簡單圖形的形心坐標和面積，n為組成組合圖形的簡單圖形的個數(shù)。平面圖形的幾何性質(zhì)例6-1

矩形截面尺寸如圖所示。試求該矩形對

z1軸的靜矩Sz1和對形心軸z的靜矩Sz。平面圖形的幾何性質(zhì)解（１）計算矩形截面對z1軸的靜矩。（２）計算矩形截面對形心軸的靜矩。

由于z軸為矩形截面的對稱軸，故矩形截面對z軸的靜矩為

例6-2試計算如圖示的平面圖形對z1和y1的靜矩，并求該圖形的形心位置。

解將平面圖形看作由矩形Ⅰ和Ⅱ組成矩形Ⅰ矩形ⅡA1=10×120mm2=1200mm2

A2=70×10mm2=700mm2平面圖形的幾何性質(zhì)該平面圖形對z1軸和y1軸的靜矩分別為求得該平面圖形的形心坐標為平面圖形的幾何性質(zhì)第四節(jié)形心主慣性軸形心主慣性矩一、形心主慣性軸平面圖形對某一對坐標軸z0、y0軸的慣性積為零，則這一對坐標軸稱為平面圖形的主慣性軸，簡稱主軸。

平面圖形對主軸的慣性矩稱為主慣性矩。

若主慣性軸通過平面圖形形心，則該軸稱為圖形的形心主慣性軸，簡稱形心主軸。平面圖形對形心主軸的慣性矩稱為形心主慣性矩。二、形心主慣性矩平面圖形的幾何性質(zhì)第三節(jié)組合圖形的慣性矩一、平行移軸公式平面圖形的幾何性質(zhì)微面積dA在兩個坐標系中的坐標有如下關系：

特別注意：式中Iz與Iy必須是平面圖形對其形心軸的慣性矩。

上式表明：圖形對任一軸的慣性矩，等于圖形對與該軸平行的形心軸的慣性矩，再加上圖形面積與兩平行軸間距離平方的乘積。

由于a2恒為正值，故在所有平行軸中，平面圖形對形心軸的慣性矩最小。平面圖形的幾何性質(zhì)例6-5

計算圖示的矩形截面對z1軸和y1軸的慣性矩。平面圖形的幾何性質(zhì)解二、組合圖形慣性矩的計算

由矩形、圓形和三角形等幾個簡單圖形組成，或由幾個型鋼組成，稱為組