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(三)基于圖的幾個(gè)算法圖的相關(guān)概念參考最新版的PDF的preliminaries這一章節(jié);建議這一部分對(duì)比pdf一起讀,里面涉及比較多的算法,算法里面有很多細(xì)節(jié)問(wèn)題,pdf講算法時(shí)很多小問(wèn)題值得思考基于圖的相關(guān)函數(shù)及其復(fù)雜度圖的搜索(graghsearch)注:上面是圖的搜索中如何從當(dāng)前層的搜索進(jìn)入下一層的搜索的流程,具體實(shí)現(xiàn)時(shí)可以有幾步合并成一步進(jìn)行。將上述過(guò)程完善就可得到圖的搜索的一般流程:注:上述算法中涉及一個(gè)選擇的問(wèn)題,正由于這個(gè)選擇(后面的步驟會(huì)相應(yīng)作出一點(diǎn)改變)才導(dǎo)致了許多不同的算法,基于不同的選擇,介紹三種不同算法:三種圖的搜索算法:(PFS,BFS,DFS)PFS(priority-firstsearch):基于一個(gè)自己定義的優(yōu)先級(jí)搜索。BFS(breadth-firstsearch):基于寬度優(yōu)先的搜索。即每一層所有結(jié)點(diǎn)訪問(wèn)結(jié)束后才進(jìn)入下一層結(jié)點(diǎn)的訪問(wèn)。BFS算法的訪問(wèn)過(guò)程XNiF{}0{s}{s}{a,b}1{a,b}{s,a,b}{b,c,d}2{c,d}{s,a,b,c,d}{s,c,e,f}3{e,f}{s,a,b,c,d,e,f}{}4{}復(fù)雜度的計(jì)算:三行基于樹(shù)的操作可以直接得到類(lèi)似于union的計(jì)算得到第二行是基于table的操作singlethreadedsequence(stsequence):一種sequencesequence,即一個(gè)sequence中的每一個(gè)元素均為sequence,而每個(gè)sequence按找每個(gè)點(diǎn)的順序存放,每個(gè)sequence中的元素為與該sequence對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的鄰接點(diǎn)按順序組成的sequence下面是一個(gè)stsequence的例子:注:stsequence訪問(wèn)其中的元素相對(duì)方便,速度也較快,而添加或刪減一條邊的復(fù)雜度均較高,因此在只訪問(wèn)不改變存儲(chǔ)元素的情況下使用stsequence較為方便下面采用stsequence來(lái)生成BFS樹(shù):注:上面對(duì)比了X,F基于sequence和stsequence實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜度DFS(depth-firstsearch):基于深度優(yōu)先的搜索。即優(yōu)先沿著一條路徑訪問(wèn)到葉結(jié)點(diǎn)再訪問(wèn)其他路徑。定義DFSnumber:v/u,v表示第一次訪問(wèn)到該結(jié)點(diǎn)所用的次數(shù);u表示最后一次訪問(wèn)該結(jié)點(diǎn)所用的次數(shù)。BFS算法的訪問(wèn)過(guò)程依次訪問(wèn)的結(jié)點(diǎn)vus0a1c2e3e(回溯)4f5f(回溯)6c(回溯)7b8d9d(回溯)10b(回溯)11a(回溯)12s(回溯)13記圖中任意一條有向邊為ei→ej其DFSnumber分別為:vi/ui,vj/uj,則:crossedge:vi<vj且ui<uj或vi>vj且ui>ujfrontedge:vi<vj且ui>ujbackedge:vi>vj且ui<uj保存DFSnumber的DFS算法如下:topologicalsort原理:基于DFSnumber的環(huán)路檢測(cè):higherorderDFS由此可以導(dǎo)出以下算法:基于STsequence實(shí)現(xiàn)的DFS最短路徑Dijkstra’salgorithm具體實(shí)現(xiàn)如下:復(fù)雜度:注:該算法并行度不高,work和span統(tǒng)一數(shù)量級(jí)BellmanFordalgorithm表示從s點(diǎn)到t點(diǎn)用最多k條邊的最短路徑長(zhǎng)度(每條邊有權(quán)值)基于下面關(guān)系,可以得到BellmanFordalgorithm算法每一層的復(fù)雜度為:由于最多為迭代n次,因此復(fù)雜度最大為:注:逆向思考,從v點(diǎn)往前思考graphcontration問(wèn)題:收縮的時(shí)候會(huì)部分結(jié)點(diǎn)有可能重復(fù),需要避免這個(gè)問(wèn)題,于是有如下兩種收縮方式:stargraph偽代碼如下:第六行的union操作具體為:通過(guò)圖的收縮來(lái)判斷連通性如果想將每個(gè)連通分支的結(jié)點(diǎn)都返回的話(huà),做如下改進(jìn):復(fù)雜度分析:假設(shè)一次迭代后,點(diǎn)的個(gè)數(shù)由個(gè)變成了個(gè),由于,因此,因此迭代的次數(shù)期望為級(jí)別。下面計(jì)算一個(gè)highprobability的work,即認(rèn)為,迭代次數(shù)為級(jí)別注:每次至少減少的邊數(shù)不少于收縮的點(diǎn)數(shù)故:當(dāng)G為樹(shù)時(shí),有:(span不改變) 最小生成樹(shù)(minimumspanningtree)注:pdf中這部分限制了圖的權(quán)值不允許出現(xiàn)重復(fù),這個(gè)定理成立的條件便是在不出現(xiàn)重復(fù)權(quán)值,一旦權(quán)值重復(fù)則該定理不正確,因?yàn)樽钚∩蓸?shù)可能不止一個(gè),這是就無(wú)法根據(jù)局部性質(zhì)判斷出那一條邊一定不在一個(gè)最小生成樹(shù)里面,不過(guò)可以確定的是,仍然選取最小的權(quán)值一定在一個(gè)最小生成樹(shù)里面,但其他的最小生成樹(shù)里面可能沒(méi)有這條邊,并且每次并不是都選取的最短權(quán)值的邊Kruskal’salgorithminsert的復(fù)雜度基于不同的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),但不超過(guò),由于進(jìn)行了O(m)次迭代,因此,span同理也為Prim’salgorithmBor?vka’salgorithm對(duì)樹(shù)進(jìn)行contraction,基于sequence實(shí)現(xiàn),其work為,span為,而update操作的work為,故總的work為,由于最多進(jìn)行次迭代,因此work為,span為,用starcontraction改進(jìn)最終work仍為,span降低為,下面用starcontraction改進(jìn):TSP與MST的關(guān)系前提條件:圖中無(wú)權(quán)值為負(fù)的邊;任意三個(gè)點(diǎn)a,b,c,滿(mǎn)足三角不等式:注:滿(mǎn)足這個(gè)三角不等式的TSP問(wèn)題稱(chēng)為metricTSP問(wèn)題在一棵最小生成樹(shù)中任意選取一點(diǎn)s,用DFS算法的訪問(wèn)路徑來(lái)進(jìn)行訪問(wèn),最終又回到s點(diǎn),任意兩個(gè)點(diǎn)u,v必定會(huì)有從u訪問(wèn)到v,再?gòu)膙訪問(wèn)到u兩種情況,路徑上的每條邊都訪問(wèn)了兩次,這時(shí)有部分

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