數(shù)學(xué)物理方法級(jí)數(shù)

第四章級(jí)數(shù)第一節(jié)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第二節(jié)冪級(jí)數(shù)第三節(jié)Taylor級(jí)數(shù)表示第四節(jié)Laurent級(jí)數(shù)表示第五節(jié)孤立奇點(diǎn)的分類第六節(jié)微分方程的冪級(jí)數(shù)解法為什么要講級(jí)數(shù)？一個(gè)積分一個(gè)實(shí)級(jí)數(shù)為什么要在復(fù)變函數(shù)中講級(jí)數(shù)？復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散概念形如

的表達(dá)式被稱為復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，其中wn是復(fù)數(shù)。若

的前n項(xiàng)和

有極限（n

）,則稱該級(jí)數(shù)收斂，且稱此極限值為該無窮級(jí)數(shù)的和；否則稱為發(fā)散。第一節(jié)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件絕對(duì)收斂與條件收斂設(shè)，則級(jí)數(shù)

收斂的充分必要條件是

和

都收斂，其中un和

vn皆為實(shí)數(shù)。稱級(jí)數(shù)

是絕對(duì)收斂的，如果

是收斂的稱級(jí)數(shù)

是條件收斂的，如果

是發(fā)散的，而

是收斂的第一節(jié)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)舉例考察級(jí)數(shù)的斂散性考察級(jí)數(shù)的斂散性考察級(jí)數(shù)的斂散性第一節(jié)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念收斂與發(fā)散形如

的表達(dá)式被稱為復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，其中wn(z)是復(fù)變函數(shù)。域收斂：點(diǎn)收斂：收斂稱之收斂，z

B，稱之第一節(jié)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件級(jí)數(shù)

收斂的充分必要條件是

和

都收斂，其中第一節(jié)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂M判別法對(duì)于

，稱它在B內(nèi)一致收斂于函數(shù)f(z)，如果

>0，N()，當(dāng)n>N()時(shí)，有且收斂第一節(jié)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)性質(zhì)連續(xù)性級(jí)數(shù)在B內(nèi)一致收斂，且wn(z)連續(xù)，則該級(jí)數(shù)在B內(nèi)連續(xù)可積性級(jí)數(shù)在C上一致收斂，且wn(z)在C上連續(xù)，則第一節(jié)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)解析性級(jí)數(shù)在B內(nèi)一致收斂f(z)，且wn(z)在B內(nèi)解析，則f(z)在B內(nèi)解析，且第一節(jié)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第二節(jié)冪級(jí)數(shù)收斂半徑與收斂圓概念形如的級(jí)數(shù)被稱為以z0為中心的冪級(jí)數(shù)，其中an是復(fù)變常數(shù)。若存在正數(shù)R，使得當(dāng)|z-z0|<R時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；而得當(dāng)|z-z0|>R時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，則稱R為級(jí)數(shù)的收斂半徑，其中|z-z0|<R被稱為收斂圓。收斂半徑的求法D'Alembert公式Cauchy(根式)公式舉例求級(jí)數(shù)的斂散半徑及收斂圓求級(jí)數(shù)的斂散半徑及收斂圓第二節(jié)冪級(jí)數(shù)內(nèi)閉一致收斂冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)在收斂園內(nèi)冪級(jí)數(shù)具有連續(xù)性、可積性和解析性冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)內(nèi)閉一致收斂第二節(jié)冪級(jí)數(shù)Taylor定理設(shè)函數(shù)f(z)以z0為圓心的圓周CR內(nèi)解析，則對(duì)于圓內(nèi)任一點(diǎn)z，函數(shù)f(z)可寫成z0zCRCR'RR'第三節(jié)Taylor級(jí)數(shù)表示舉例函數(shù)f(z)=ez

在z=0點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)展開函數(shù)f(z)=sinz和f(z)=cos

z

在z=0點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)展開函數(shù)f(z)=Ln

z

在z=1點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)展開函數(shù)f(z)=(1+z)n在z=0點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)展開第三節(jié)Taylor級(jí)數(shù)表示解析函數(shù)的一個(gè)等價(jià)命題函數(shù)f(z)在B內(nèi)解析的充分必要條件為f(z)在B內(nèi)任一點(diǎn)的鄰域內(nèi)可展成冪級(jí)數(shù)第三節(jié)Taylor級(jí)數(shù)表示展成冪級(jí)數(shù)的幾種方法直接方法間接方法函數(shù)f(z)=arctan

z

在z=0點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)展開函數(shù)f(z)=sinz

在z=0點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)展開函數(shù)f(z)=1/(1-z)2

在z=0點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)展開待定系數(shù)法函數(shù)f(z)=tanz

在z=0點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)展開第三節(jié)Taylor級(jí)數(shù)表示問題的提出已知結(jié)果：當(dāng)f(z)在圓|z-z0|<R內(nèi)解析，Taylor定理告訴我們，f(z)必可展開成冪級(jí)數(shù)。問題是：當(dāng)f(z)在圓|z-z0|<R內(nèi)有奇點(diǎn)時(shí)，能否展開成冪級(jí)數(shù)或展開成類似于冪級(jí)數(shù)的形式。如何刻畫解析性的問題？如何刻畫奇性的問題？第四節(jié)Laurent級(jí)數(shù)表示雙邊冪級(jí)數(shù)其中被稱為雙邊冪級(jí)數(shù)的正冪部分被稱為雙邊冪級(jí)數(shù)的負(fù)冪部分第四節(jié)Laurent級(jí)數(shù)表示收斂環(huán)的確定設(shè)正冪部分的收斂半徑為R1；而負(fù)冪部分在變換

=1/(z-z0)下的級(jí)數(shù)的收斂半徑為1/R2

，則其在|z-z0|>R2外收斂。如果R2<R1，那么雙邊冪級(jí)數(shù)就在環(huán)狀域R2<|z-z0|<R1內(nèi)收斂，所以R2<|z-z0|<R1給出了雙邊冪級(jí)數(shù)的環(huán)狀收斂域，稱為收斂環(huán)。雙邊冪級(jí)數(shù)在收斂環(huán)內(nèi)絕對(duì)內(nèi)閉一致收斂。第四節(jié)Laurent級(jí)數(shù)表示正冪部分R2R1z0R1z0|z-z0|<R1R2z0R2<|z-z0|收斂環(huán)R2<|z-z0|<R1負(fù)冪部分第四節(jié)Laurent級(jí)數(shù)表示雙邊冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)R2R1z0B定理設(shè)雙邊冪級(jí)數(shù)

的收斂環(huán)B為R2<|z-z0|<R1，則(1)在B內(nèi)連續(xù)；(2)在B內(nèi)解析，且于B內(nèi)可逐項(xiàng)可導(dǎo)；(3)在B內(nèi)可逐項(xiàng)積分。第四節(jié)Laurent級(jí)數(shù)表示Laurent定理設(shè)函數(shù)f(z)在環(huán)狀域R2<|z-z0|<R1

的內(nèi)部單值解析，則對(duì)于環(huán)內(nèi)任一點(diǎn)z，f(z)可展開成zCR1CR2R2R1z0C第四節(jié)Laurent級(jí)數(shù)表示Laurent級(jí)數(shù)中的z0點(diǎn)可能是奇點(diǎn)，也可能不是奇點(diǎn)說明Laurent級(jí)數(shù)展開的唯一性收斂范圍的極限的確定第四節(jié)Laurent級(jí)數(shù)表示舉例函數(shù)f(z)=sinz/z在0<|z|<

內(nèi)的Laurent級(jí)數(shù)展開函數(shù)f(z)=1/(1-z2)

分別在1<|z|<

和0<|z-1|<2內(nèi)的Laurent級(jí)數(shù)展開11-11<|z|<

21-10<|z-1|<2第四節(jié)Laurent級(jí)數(shù)表示概念若函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0處不可導(dǎo)，而在z0的某鄰域內(nèi)除z0外連續(xù)可導(dǎo)，則稱z0為f(z)的孤立奇點(diǎn)；若在z0的無論多小的鄰域內(nèi)總可以找到z0以外的不可導(dǎo)點(diǎn)，則稱z0為f(z)的非孤立奇點(diǎn)。舉例孤立奇點(diǎn)的例子非孤立奇點(diǎn)的例子第五節(jié)孤立奇點(diǎn)的分類孤立奇點(diǎn)的Laurent級(jí)數(shù)展開在區(qū)域0<|z-z0|<R

內(nèi)的單值解析函數(shù)f(z)可展開成其中正冪部分是該級(jí)數(shù)的解析部分是該級(jí)數(shù)的主要部分負(fù)冪部分這里a-1具有特殊的作用，被稱為f(z)在點(diǎn)z=z0處的留數(shù)第五節(jié)孤立奇點(diǎn)的分類孤立奇點(diǎn)的分類可去奇點(diǎn)：主要部分不存在m階極點(diǎn)：主要部分有m項(xiàng)本性奇點(diǎn)：主要部分有無窮多項(xiàng)第五節(jié)孤立奇點(diǎn)的分類孤立奇點(diǎn)的等價(jià)命題第五節(jié)孤立奇點(diǎn)的分類舉例求下列函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，并指出類型第五節(jié)孤立奇點(diǎn)的分類二階常微分方程如果p(z)和q(z)在z0點(diǎn)解析，則稱z0點(diǎn)為方程的常點(diǎn)如果p(z)和q(z)中至少有一個(gè)在z0點(diǎn)不解析，則稱z0點(diǎn)為方程的奇點(diǎn)第六節(jié)微分方程的冪級(jí)數(shù)解法勒讓德方程有奇點(diǎn)為z=

1第六節(jié)微分方程的冪級(jí)數(shù)解法第六節(jié)微分方程的冪級(jí)數(shù)解法第六節(jié)微分方程的冪級(jí)數(shù)解法當(dāng)|z|<1級(jí)數(shù)收斂，而當(dāng)|z|=1級(jí)數(shù)發(fā)散若要求|z|=1級(jí)數(shù)收斂，只能取l=0,1,2,

第六節(jié)微分方程的冪級(jí)數(shù)解法Legendre多項(xiàng)式第六節(jié)微分方程的冪級(jí)數(shù)解法第六節(jié)微分方程的冪級(jí)數(shù)解法多項(xiàng)式表示Rodrigues公式遞推關(guān)系其中第六節(jié)微分方程的冪級(jí)數(shù)解法在[-1,1]內(nèi)有l(wèi)個(gè)零點(diǎn)正交性Legendre多項(xiàng)式的性質(zhì)貝塞爾方程第六節(jié)微分方程的冪級(jí)數(shù)解法第六節(jié)微分方程的冪級(jí)數(shù)解法z的零次冪：z的1次冪：z的k次冪：取c1=0第六節(jié)微分方程的冪級(jí)數(shù)解法

階貝塞爾函數(shù)-階貝塞爾函數(shù)，正整數(shù)第六節(jié)微分方程的冪級(jí)數(shù)解法問題：當(dāng)=0或正整數(shù)時(shí)，如何去構(gòu)造與J

(z)線性無關(guān)的解？v階Nuemann函數(shù)第六節(jié)微分方程的冪級(jí)數(shù)解法J0(x