2023年四川省樂山市中考數(shù)學真題 （解析版）

樂山市2023年初中學業(yè)水平考試

數(shù)學

本試題卷分第I卷（選擇題）和第∏卷（非選擇題），共8頁?？忌鞔饡r，須將答案答在答

題卡上，在本試題卷、草稿紙上答題無效。滿分150分?？荚嚂r間120分鐘?？荚嚱Y束后，

將本試題卷和答題卡一并交回?？忌鞔饡r，不能使用任何型號的計算器。

第I卷（選擇題共30分）

注意事項：

1.選擇題必須使用2B鉛筆將答案標號填涂在答題卡對應題目標號的位置上。

2.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。

一、選擇題：本大題共10個小題，每小題3分，共30分。

1.計算：2a-a=（）

A.aB.一αC.3aD.I

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)合并同類項法則進行計算即可.

【詳解】解：2a—a=a,故A正確.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了合并同類項，解題的關鍵是熟練掌握合并同類項法則，準確計算.

2.下面幾何體中，是圓柱的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)圓柱體的特征進行判斷即可.

【詳解】解：A.是正方體，不符合題意；

B.是圓柱，符合題意；

C.是圓錐，不符合題意；

D.是球體，不符合題意，

故選:B.

【點睛】本題考查了認識立體圖形，熟練掌握每個幾何體的特征是解題的關鍵.

3.下列各點在函數(shù)y=2x—1圖象上的是()

A.(―1,3)B.(04)C.(1,—1)D.(2,3)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，將選項中的各點分別代入函數(shù)解析式y(tǒng)=2χ-l,進行計算

即可得到答案.

【詳解】解：一次函數(shù)圖象上的點都在函數(shù)圖象上，

函數(shù)圖象上的點都滿足函數(shù)解析式y(tǒng)=2x-1,

A.當戶—1時，y=-3,故本選項錯誤，不符合題意；

B.當尤=0時，y=-l,故本選項錯誤，不符合題意；

C.當x=l時，y=l,故本選項錯誤，不符合題意；

D.當x=2時?，y=3,故本選項正確，符合題意；

故選：D.

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握一次函數(shù)圖象上的點都在函數(shù)圖象上，

是解題的關鍵.

4.從水利部長江水利委員會獲悉，截止2023年3月30日17時，南水北調中線一期工程自2014年12月

全面通水以來，已累計向受水區(qū)實施生態(tài)補水約90億立方米.其中9000000000用科學記數(shù)法表示為

()

A.9×IO8B.9×IO9C.9×1()'°D.9×lθ"

【答案】B

【解析】

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為αX10"的形式，其中1≤同<1(),〃為整數(shù).確定〃的值時，看小數(shù)點移

動了多少位，”的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.小數(shù)點向左移動時，〃是正整數(shù)；小數(shù)點向右移動時，

”是負整數(shù).

【詳解】解：9000000000=9×IO9

故選:B.

【點睛】本題主要考查科學記數(shù)法.科學記數(shù)法的表示形式為αX10"的形式，其中l(wèi)≤∣α∣<l(),〃為整

數(shù).解題關鍵是正確確定α的值以及〃的值.

5.樂山是一座著名的旅游城市，有著豐富的文旅資源.某校準備組織初一年級500名學生進行研學旅行活

動，政教處周老師隨機抽取了其中50名同學進行研學目的地意向調查，并將調查結果制成如下統(tǒng)計圖，

如圖所示估計初一年級愿意去“沫若故居”的學生人數(shù)為()

人數(shù)

故居新寨故宮

A.100B.150C.200D.400

【答案】C

【解析】

【分析】用初一年級總人數(shù)500名乘以隨機抽取的50名同學中愿意去“沫若故居”的學生人數(shù)占的比值了可

求解.

【詳解】解：500×-=200,

故選：C.

【點睛】本題考查條形統(tǒng)計圖，用樣本估計總體一，熟練掌握用樣本頻數(shù)估計總體頻數(shù)是解題的關鍵.

6.如圖，菱形ABe。的對角線AC與Bo相交于點O,E為邊8C的中點，連結OE?若

AC=6,Bo=8,則OE=()

5

A2B,-C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】先由菱形的性質得AC工83,OC=LAC=JX6=3,OB=-BD=-×8=4,再由勾股定理

2222

求出3C=5,然后由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求解.

【詳解】解：；菱形ABC。，

ΛAClBD,OC=LAC」x6=3,OB=-BD=-S^A,

2222

由勾股定理，得BC=JOB?+OC?=5,

為邊BC的中點，

.?.OE=LBC='χ5=*

222

故選：B.

【點睛】本考查菱形的性質，勾股定理，直角三角形的性質，熟練掌握菱形的性質，直角三角形的性質是

解題的關鍵.

7.若關于X的一元二次方程X?-8x+m=0兩根為番、?-且玉=3々，則，"的值為()

A.4B.8C.12D.16

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系得出西+々=8,然后即可確定兩個根，再由根與系數(shù)的關系求

解即可.

【詳解】解：；關于X的一元二次方程一8χ+w=0兩根為玉、X2,

/.x1+x2=8,

,.?x1=3X2,

?*?X?=2,X]=6,

/.m-xlx2=12,

故選：C.

【點睛】題目主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關系，熟練掌握此關系是解題關鍵.

8.我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出“趙爽弦圖”，如圖所示，它是由四個全等的直角三角

形與中間的小正方形拼成的一個大正方形.如果大正方形面積為25,小正方形面積為1,則Sine=()

21

A.-bC.一D.-

5?155

【答案】A

【解析】

【分析】先由兩個正方形的面積分別得出其邊長，由趙爽弦圖的特征可得AD=BC,則Ao=AC+1,在

RtAABC中，利用勾股定理求出AD=BC=4,最后按照正弦函數(shù)的定義計算求解即可.

【詳解】解：；大正方形的面積是25,小正方形面積是I,

.?.大正方形的邊長AB=5,小正方形的邊長CD=1,

?.?AD=BC,

：.AD=AC+?，

在RtZVlBC中，AC2+BC2=AB2，

.,.(AD-I)2+ZiD2=52,

解得AD=5C=4（負值舍去）

?..sin。=四=±

AB5

故選A.

【點睛】本題考查了勾股定理、弦圖及正弦函數(shù)的計算，明確相關性質及定理是解題的關鍵.

9.如圖，拋物線,=辦2+法+。經(jīng)過點4-1,0）、β（m,0）,且1<機<2,有下列結論：φ?<0;②

a+b>O;③0<a<—c；④若點C∣-）在拋物線上，則M>必?其中，正確的結論有

V.B.τ

V

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】B

【解析】

【分析】拋物線>=公2+桁+。經(jīng)過點4—1,0)、B(w,O),且1<m<2,,可以得到α>O,

h1

0<——<-,從而可以得到6的正負情況，從而可以判斷①；繼而可得出—h<α,則α+力>0,即可

2a2

判斷②；由圖象可知I,當X=I時，y<0,即α+8+c<0,所以有a+h<—c,從而可得出

O<β<-c.即可判斷③；利用再根據(jù)0<一?<:，所以

b(4)<l-(^?),從而可得X<%>即可判斷④.

五

【詳解】解：???拋物線y=6i√+法+C的圖象開口向上，

??Q>O,

；拋物線y=加+?r+c經(jīng)過點A(-1,O)、B(m,0),且1<租<2,

Λ0C<----b-<-1,

2a2

：.b<0,故①正確;

V0<——<-,a>0,

2a2

.".-b<a

：.a+h>O,故②正確；

由圖象可知，當X=I時，y<0,即α+h+c<(),

.,.a+b<-c

:α>O,b<0,

?"?O<6!<—C>故③正確；

1251

233~2

k??°<V4

b25b

<

2a332a

：拋物線y=0χ2+?x+c的圖象開口向上,

???M<%,故④錯誤.

.?.正確的有①②③共3個，

故選：B.

【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，二次函數(shù)的性質，熟練掌握根據(jù)二次函數(shù)圖象性質是解題

的關鍵.

10.如圖，在平面直角坐標系XQy中，直線y=-x-2與X軸、y軸分別交于A、8兩點，C、。是半徑

為1的0。上兩動點，且CO=J5，尸為弦CZ）的中點.當C、。兩點在圓上運動時，.243面積的最大

C.4D.3

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)一次函數(shù)與坐標軸的交點得出Q4=OB=2,確定48=2直，再由題意得出當P。的延長

線恰好垂直A6時，垂足為點E,此時PE即為三角形的最大高，連接。0,利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：；直線y=—x—2與X軸、y軸分別交于A、B兩點，

當X=O時，y=-2,當y=0時，χ=-2,

ΛA(-2,0),B(0,-2)1

?*.OA=OB=2，

???AB=y∣O^+OB2=2√2,

?；.√?6的底邊AB=2√Σ為定值，

，使得二∕?β底邊上的高最大時，面積最大，

點P為C。的中點，當Po的延長線恰好垂直AB時，垂足為點E,此時/石即為三角形的最大高，連接

√2

2

.?.OP=√or>2-DP2=—，

2

?.?OEVAB,

：.OE=LAB=丘,

2

.??PE=OE+OP=辿，

2

?'?SPAB=gx2&x^^=3>

故選：D.

【點睛】題目主要考查一次函數(shù)的應用及勾股定理解三角形，垂徑定理的應用，理解題意，確定出高的最大

值是解題關鍵.

第∏卷（非選擇題共120分）

注意事項：

1.考生使用0?5m黑色墨汁簽字筆在答題卡上題目所指示的答題區(qū)域內作答，答在試題卷上

無效。

2.作圖時，可先用鉛筆畫線，確認后再用0.5mm黑色墨汁簽字筆描清楚。

3.解答題應寫出文字說明、證明過程或推演步驟。

4.本部分共16個小題，共120分。

二、填空題：本大題共6個小題，每小題3分，共18分。

11.不等式x—1>()的解集是.

【答案】x>l

【解析】

【分析】直接移項即可得解.

【詳解】解：Yx-1>0,

??X>1，

故答案為：x>l.

【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解答本題的關鍵.

12.小張在“陽光大課間”活動中進行了5次一分鐘跳繩練習，所跳個數(shù)分別為：160,163,160,157,

160.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為.

【答案】160

【解析】

【分析】根據(jù)眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值求解即可.

【詳解】解：這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是160,出現(xiàn)了三次，

???這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為160,

故答案為：160.

【點睛】題目注意考查求一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，理解眾數(shù)的定義是解題關鍵.

13.如圖，點。在直線Ag上，0。是/30C的平分線，若NAOC=I4()。，則/BOD的度數(shù)為

【答案】20°##20度

【解析】

【分析】根據(jù)鄰補角得出NJBOC=I80。—140。=4()。，再由角平分線求解即可.

【詳解】解：=NAOC=140°,

/.ΛBOC=180o-140o=40°,

,/QD是NjBoC的平分線，

.??ZfiOD=20。，

故答案為：20°.

【點睛】題目注意考查鄰補角及角平分線的計算，找準各角之間的關系是解題關鍵.

14.若m、〃滿足3加一〃一4=0,貝∣J8"'+2"=.

【答案】16

【解析】

【分析】先將已知3〃?一〃一4=0變形為3加—〃=4,再將8"'÷2"變形為23"”"，然后整體代入即可.

【詳解】解：；3加一〃一4=0

.,.3m—〃=4

.?.8'"÷2"=(23J"÷2"=23m÷2"=23n,^n=24=16

故答案為：16.

【點睛】本題考查代數(shù)式值，基的乘方和同底數(shù)累除法，熟練掌握累的乘方和同底數(shù)基除法法則是解題的

關鍵.

ΛΓ7

15.如圖，在平行四邊形ABCo中，E是線段AB上一點，連結AC、DE交于點、F.若上=*,則

EB3

SMD"_

SXAEF

【答案】I

2

【解析】

【分析】四邊形4B8是平行四邊形，則AB=CD,A5CD,可證明..E4∕sDCF,得到

DF—,由空=2進一步即可得到答案.

~EFAEAEEB3

【詳解】解：：四邊形A88是平行四邊形,

.*.AB=CD,ABCD,

.?.ZAEF=/CDF,ZEAF=ZDCF,

.EAFar).DCF,

.DFCDAB

''~EF~~AE~~AE'

...AE=—2，

EB3

.AB5

??=—,

AE2

.S4ADF_DF_AB_5

''SΔAEF~EF~AE~2?

故答案為：一

2

【點睛】此題考查了平行四邊形的性質、相似三角形的判定和性質等知識，證明一E4bs*Oa7是解題的

關鍵.

16.定義：若X,y滿足尤2=4y+f,y2=4χ+/且χ*yG為常數(shù))，則稱點M(X,y)為“和諧點”.

(1)若P(3,m)是“和諧點”，貝[]〃?=.

k

(2)若雙曲線、=一(—3<%<一1)存在“和諧點”，則&取值范圍為.

X

【答案】①.-7②.3<Zr<4

【解析】

【分析】(1)根據(jù)“和諧點”的定義得到32=4m+f,m2=4x3+f,整理得到病+4初-21=0,解得

/珥=-7,應=3(不合題意，舍去)，即可得到答案；

(2)設點(a,。)為雙曲線y=5(-3<x<-l)上的“和諧點”，根據(jù)“和諧點”的定義整理得到

L

(a-b)(a+b+4)=0,由疝。得到a+b+4=0,則〃=—a—4,由。=—(-3<a<-l)進一步得到

a

女=—(a+2j+4,且—3<a<—1,根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質即可得到女的取值范圍.

【詳解】解：⑴若P(3,m)是“和諧點”，則32=4根+f2=4χ3+f,

則32—4m=t,m2-?2=t,

?,?32-4m=m2-12，

即療+4m—21=0,解得肛=-7,人=3(不合題意,舍去)，

.*.tn=-7,

故答案為：-7

(2)設點(α,0)為雙曲線y=g(-3<x<-l)上的“和諧點”，

k

/.cr=4Z?+r,/?2=4。+，，/?=—(-3<tz<-l),

a

.?.cr=4〃+/萬=4。+"

即a?-4b=b2-4a，

/.(Q+〃)(Q-Z?)+4(Q-/?)=0,

則(〃一人)(。+力+4)=(),

Va*b,

?*?α+Z?+4=O,

即。=一。一4,

?：b=-(-3<a<-l),

a

?*?k=cιh=Q(—Q—4)=-a"—41=—(Q+2)~+4,且—3<QV—1,

對拋物線Z=—(。+2)2+4來說，

V-1<O,

；?開口向下，

當〃=-1時，&=一(-1+2『+4=3,

當。二-3時，?=-(-3+2)2+4=3,

?.?對稱軸為a=-2>—3<α<—1>

當a=—2時，Z取最大值為4,

的取值范圍為3<k<4,

故答案為：3<女<4

【點睛】此題考查了反比例函數(shù)的性質、二次函數(shù)的圖象和性質等知識，讀懂題意，熟練掌握反比例函數(shù)

和二次函數(shù)的性質是解題的關鍵.

三、解答題：本大題共10個小題，共102分。解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算

步驟。

17.計算：∣-2∣+2O23o-√4

【答案】1

【解析】

【分析】先化簡絕對值及算術平方根，計算零次幕的運算，然后進行加減法即可.

【詳解】解：］—2|+2023°—

=2+1-2

=1.

【點睛】題目注意考查實數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解題關鍵.

x-y=1

18.解二元一次方程組:

3x+2y=8

【答案】《x=2,

Iy=I

【解析】

【分析】采用加減消元法即可求解.

【詳解】解：①x2,得2x-2y=2②,

將②+③，得5x=10,

解得χ=2.

將X=2代入①，

得"1，

x=2

.?.方程組的解為：\.

Iy=I

【點睛】本題主要考查了運用加減消元法解二元一次方程組的知識，掌握加減消元法是解答本題的關鍵.

19.如圖，AB、CD相交于點O,AO=BO,AC〃DB.求證：AC=BD.

【答案】見解析

【解析】

【分析】要證明AC=BD,只要證明△AOCgaBOD,根據(jù)AC//DB可得NA=NB,NC=ND,又知

AO=BO,則可得到△A0Cg4B0D,從而求得結論.

【詳解】（方法一）

?/AC∕∕DB,

ΛZA=ZB,ZC=ZD.

在4AOC與^BOD中

VZA=ZB,ZC=ZD,AO=BO,

Λ?A0C^?B0D.

ΛAC=BD.

（方法二）VAC//DB,

ΛZA=ZB.

在4AOC?ΔBoD中，

ZA=NB

V?AO=BO,

ZAOC=NBOD

Λ?AOC^?BOD.

AC=BD.

20.如圖，在RtZ?A3C中，NC=90°,點。為AB邊上任意一點（不與點A、2重合），過點。作

DE//BC,DF//AC,分別交AC、BC于點E、F,連接Ef.

（1）求證：四邊形ECFD是矩形；

（2）若CE=2,CE=4,求點C到E尸的距離.

【答案】（1）見解析⑵3方

【解析】

【分析】（1）利用平行線的性質證明NCED=NeFe）=90°,再利用四邊形內角和為360°,證明

NEDF=90°,即可由矩形判定定理得出結論；

（2）先由勾股定理求出所=Jb2+慮2=2?,再根據(jù)三角形面積公式求解即可.

【小問1詳解】

證明：?.?OE"3C,DF//AC,

.?.四邊形ECFD為平行四邊形，

???ZC=90°,

四邊形ECFD是矩形.

【小問2詳解】

解：?.?NC=90°,CF=2,CE=4,

；?EF=√CF2+CE2=2√5

設點C到所的距離為〃，

?.?Scef=^CE?CF=gEF?h

；?2×4=2√5∕z

.,4√5

??n=----

5

答：點C到EF的距離為生&.

5

【點睛】本題考查矩形的判定，平行線的性質，勾股定理.熟練掌握矩形的判定定理和利用面積法求線段

長是解題的關鍵.

21.為了踐行習近平總書記提出的“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某地計劃在規(guī)定時間內種植梨

樹6000棵.開始種植時，由于志愿者的加入，實際每天種植梨樹的數(shù)量比原計劃增加了20%,結果提前

2天完成任務.問原計劃每天種植梨樹多少棵？

【答案】原計劃每天種植梨樹500棵

【解析】

【分析】根據(jù)題意列出分式方程求解即可.

【詳解】解：設原計劃每天種植梨樹X棵

=二60006000C

由題可知：丁一百標=2

解得：尤=5(X)

經(jīng)檢驗：x=500是原方程的根，且符合題意.

答：原計劃每天種植梨樹500棵.

【點睛】題目注意考查分式方程的應用，理解題意列出分式方程是解題關鍵.

22.為培養(yǎng)同學們愛勞動的習慣，某班開展了“做好一件家務”主題活動，要求全班同學人人參與經(jīng)統(tǒng)

計，同學們做的家務類型為“洗衣”“拖地"''煮飯”“刷碗”.班主任將以上信息繪制成了統(tǒng)計圖表,

如圖所示.

家務類型洗衣拖地煮飯刷碗

人數(shù)(人)101210m

根據(jù)上面圖表信息，回答下列問題：

(1)m=；

(2)在扇形統(tǒng)計圖中，“拖地”所占的圓心角度數(shù)為；

(3)班會課上，班主任評選出了近期做家務表現(xiàn)優(yōu)異的4名同學，其中有2名男生.現(xiàn)準備從表現(xiàn)優(yōu)異的

同學中隨機選取兩名同學分享體會，請用畫樹狀圖或列表的方法求所選同學中有男生的概率.

【答案】(I)8(2)108°

(3)-

6

【解析】

【分析】(1)用做飯的人數(shù)除以做飯點的百分比25%,得抽取的總人數(shù)，再減去“洗衣”、“拖地”、“刷

碗”的人數(shù)即可求得到，〃值；

(2)用360。乘以“拖地”人數(shù)所占的百分比，即可求解；

(3)畫樹狀圖或列表分析出所有可能的結果數(shù)和有男生的結果數(shù)，再用概率公式計算即可.

【小問1詳解】

解：“7=10+25%—10-12-10=8,

故答案：8；

【小問2詳解】

解：360o×12÷(10÷25%)=108°,

故苔案為：108°；

【小問3詳解】

解：方法一：畫樹狀圖如下：

開蛤

男2女I女2男I女I女2男I男2女29JI男2女I

由圖可知所有可能的結果共的12種，有男生的結果有10種，所以所選同學中有男生的概率為3=3.

126

方法二：列表如下：

男1男2女1女2

男1(男1，男2)（男1,女1）（男1,女2）

男2（男2,男1）（男2,女1）（男2,女2）

女1（女1,男1）（女1,男2）（女I,女2）

女2（女2,男1）（女2,女1）

由表可知所有可能的結果共的12種，有男生的結果有K)種，所以所選同學中有男生的概率為W=*?

126

【點睛】本題考查統(tǒng)計表，扇形統(tǒng)計圖，用畫樹狀圖或列表的方法求概率.熟練掌握從統(tǒng)計圖表中獲取有

用信息和用畫樹狀圖或列表的方法求概率是解題的關鍵.

23.如圖，一次函數(shù))，=履+b的圖象與反比例函數(shù)y=＜的圖象交于點A(∕",4),與X軸交于點8,與y

X

軸交于點C(0,3).

(1)求，〃的值和一次函數(shù)的表達式；

4

(2)已知尸為反比例函數(shù)y=一圖象上的一點，SZBP=2SMAc，求點尸的坐標.

X))

【答案】(1)y=%+3

(2)P(2,2)或(-2,-2)

【解析】

【分析】(1)先把點A坐標代入反比例函數(shù)解析式求出〃7的值，進而求出點A的坐標，再把點A和點C的

坐標代入一次函數(shù)解析式中求出一次函數(shù)解析式即可；

(2)先求出。8=3,0C=3,過點A作Ly軸于點H,過點P作PDJ.χ軸于點。，如圖所示，

根據(jù)Sa°Bp=2SaoAc可得gθB?PO=2xgθC?AH,求出PD=2,則點P的縱坐標為2或—2，由此

即可得到答案.

【小問1詳解】

解：點A(m,4)在反比例函數(shù)y=3的圖象上，

m

??.A(1,4),

又點A(l,4),C(0,3)都在一次函數(shù)y=履+匕的圖象上，

4-k+h

[3=b

k=1

解得/.，

p=3

，一次函數(shù)的解析式為y=χ+3.

【小問2詳解】

解：對于y=x+3,當y=0時，X=-3,

：.B(-3,0),

.,.OB=3,

VC(0,3),

..OC=3

過點A作AHLy軸于點”，過點P作X軸于點。，如圖所示.

'?'S&)BP=2%AOC，

.?.-OBPD=2×-OCAH.

22

./x3xP￡)=2x』x3xl,

22

解得PD=2?

.??點P的縱坐標為2或一2?

4

將y=2代入y=-得χ=2,

X

4

將y=-2代入y=_得x=_2,

X

.?.點P(2,2)或(一2,—2).

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，利用數(shù)形結合的思想求解是解題的關鍵.

24.如圖，已知.。是RtAABC的外接圓，NAC3=90°,。是圓上一點，E是。C延長線上一點，連結

AD9AE，且AD=AEyCA=CE.

(1)求證：直線AE是。是的切線；

2

(2)若SinE=O的半徑為3,求Ao的長.

【答案】(1)見解析(2)8叵

3

【解析】

【分析】(1)由NACB=90。，可知AB是。的直徑，由AC=AC，可得乙鉆。=乙4。。，由

AD=AE,CA=CE,可得NE=ZAr>C,NCAE=AE,則NC4E=ZADC=ZABC,由

ZABC+ZCAB=90°,可得NC4E+NCAB=90°,即NQ4E=90°,進而結論得證；

(2)作CF_LAE,垂足為E,如圖所示，由題意知，A4CE是等腰三角形，則EF=LAE,由題意

2

知，AB=6,SinZAδC=sinZE,可求AC=AJB?sinB=6χ2=4,CE-4,

3

CF=CEsinE^Ax-=-,由勾股定理得EF=JCE?一b?=逑,根據(jù)Ao=AE=2印，計算

333

求解即可.

【小問1詳解】

證明：VZACB=90°,

AB是。。的直徑，

?；AC=AC'

：.ZABC=ZADC,

VAD=AE,CA=CE,

：.ZEZADC,NCAE=NE,

：.ZCAE=ZADC=ZABC,

?/ZABC+NCAB=90。，

.?.ACAE+ACAB=90°,

：.N(ME=90°,

又???Q4是半徑，

直線AE是CO是的切線：

【小問2詳解】

解：作CFLAE,垂足為E,如圖所示，

ECD

??,CA=CE,

：.AACE是等腰三角形，

?.?CFIAE,

：,EF=-AE,

2

由題意知，AB=6,SinZABC=SinZE,

，2

：,AC=ABsinB=6×-=4

3f

.*.CE=4，

2Q

ΛCF=CE?sinE=4×-=-,

33

由勾股定理得EF=√Cfi2-CF2=生6，

3

OR

AD=AE=2EF=-,

3

.?.AO的長為與叵.

3

【點睛】本題考查了切線的判定，90°的圓周角所對的弦為直徑，同弧所對的圓周角相等，等腰三角形的

判定與性質，正弦，勾股定理等知識.解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用.

25.在學習完《圖形的旋轉》后，劉老師帶領學生開展了一次數(shù)學探究活動

【問題情境】

劉老師先引導學生回顧了華東師大版教材七年級下冊第121頁“探索”部分內容：

如圖，將一個三角形紙板一ABC繞點A逆時針旋轉。到達4AB'C'的位置，那么可以得到：AB=AB',

AC=AC',BC=B'C-,ZBAC=ZBrAC',ZABC=ZABC'>ZACBZACB'()

劉老師進一步談到：圖形的旋轉蘊含于自然界的運動變化規(guī)律中，即“變”中蘊含著“不變”，這是我們

解決圖形旋轉的關鍵；故數(shù)學就是一門哲學.

問題解決】

(1)上述問題情境中“()”處應填理由：；

（2）如圖，小王將一個半徑為4cm,圓心角為6（）。的扇形紙板ABC繞點。逆時針旋轉90°到達扇形紙

板AB'C'的位置.

①請在圖中作出點。；

②如果BB'=6cm,則在旋轉過程中，點8經(jīng)過的路徑長為；

【問題拓展】

小李突發(fā)奇想，將與（2）中完全相同的兩個扇形紙板重疊，一個固定在墻上，使得一邊位于水平位置，

另一個在弧的中點處固定，然后放開紙板，使其擺動到豎直位置時靜止，此時，兩個紙板重疊部分的面積

是多少呢？如圖所示，請你幫助小李解決這個問題.

【答案】問題解決（I）旋轉前后的圖形對應線段相等，對應角相等；（2）①見解析②述兀cm;問題拓展:

【解析】

【分析】問題解決（1）根據(jù)旋轉性質得出旋轉前后的圖形對應線段相等，對應角相等；

（2）①分別作88'和AA的垂直平分線，兩垂直平分線的交點即為所求點O；②根據(jù)弧長公式求解即可;

問題拓展，連接/%',交AC于M,連接陽,PD,AA',由旋轉得NPAB'=30。，QA=Fq=4,在

RtPAM和Rti.A'DM中求出A!M和DM的長，可以求出S陰影部分Bn）-S扇形Bw尸-Sλ?dp,再證明

ADP^A'DP，即可求出最后結果.

【詳解】解：【問題解決】

（1）旋轉前后的圖形對應線段相等，對應角相等

(2)①下圖中，點O為所求

②連接OB,OB,

扇形紙板ABC繞點。逆時針旋轉90°到達扇形紙板A!B'C'的位置,

：.ZBoB'=90°,OB=OB',

BB'=6cm>

設OB—OB'-XCm,

.?.%2+X2=62>

OB-OB'-3-?^cm，

在旋轉過程中，點B經(jīng)過的路徑長為以點。為圓心，圓心角為90°,OB為半徑的所對應的弧長,

,上C以'+v,u??ajz.90x7TX3近3y∣2

■■點8經(jīng)過的1路徑長=----------=二一乃Cm；

1802

【問題拓展】解：連接PA,交AC于M,連接∕?,PD，AA'如

圖所示

.?.ZPAC=-ZBAC=30°.

2

由旋轉得NPA'8'=30°,Q4=ar=4?

在RLB4〃中，

AM=PM=Q4?sinZPAM=4×sin30o=2.

在RtADW中，

∕DA'M=-NB'A'C'=30o,

2

A1M24

.?.A'D=

cosZDA,Mcos3003

DM=-A'D=-×-^=-yβ.

2233

：.S..=-DM-A'P=-x-^3x4=-y/3.

δaAdDpP2233

_30×π×42_4

π,

扇形BWP——麗―-3

441

?*?S陰影部分=S扇形布P-S^Λ,DP=—π--√3,

在ZVLDP和Z?A7)P中,

AD=AM-DM=2痘-Z用=±/=A1D,

33

又?NPAr)=NPAr)=30°,PA=PA!,

.?.ADP^,ADP.

又S扇形PAC=S扇形BWP'

?,?S陰影部分B7>∕>-S陰影部分CDP,

【點睛】本題考查了旋轉的性質，弧長公式，解直角三角形，三角形全等的性質與判定，解題的關鍵是抓

住圖形旋轉前后的對應邊相等，對應角相等，正確作出輔助線構造出直角三角形.

26.已