數(shù)學(xué)人教A版必修2學(xué)案4-2-2圓與圓的位置關(guān)系4-2-3直線與圓的方程的應(yīng)用

4．2.2圓與圓的位置關(guān)系4．2.3直線與圓的方程的應(yīng)用[目標(biāo)]1.能根據(jù)給定的圓的方程，判斷圓與圓的位置關(guān)系；2.能解決兩圓相切、兩圓相交的有關(guān)問題；3.能夠利用直線與圓的關(guān)系解決簡單的實際問題．[重點]圓與圓位置關(guān)系的判斷；兩圓相切、相交的有關(guān)問題．[難點]兩圓相切、相交的有關(guān)問題．知識點一圓與圓的位置關(guān)系[填一填]1．圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系有5種：外離、外切、相交、內(nèi)切和內(nèi)含．外切和內(nèi)切統(tǒng)稱為相切．2．圓與圓位置關(guān)系的判定(1)幾何法若圓C1與圓C2的半徑分別為r和R，兩圓圓心距為d，則當(dāng)d<|R－r|時，兩圓內(nèi)含；當(dāng)d＝|R－r|時，兩圓內(nèi)切；當(dāng)|R－r|<d<R＋r時，兩圓相交；當(dāng)d＝R＋r時，兩圓外切；當(dāng)d>R＋r時，兩圓外離．(2)代數(shù)法設(shè)兩圓方程分別為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，聯(lián)立方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))方程組有兩組不同的實數(shù)解?兩圓相交，有一組實數(shù)解?兩圓相切，無實數(shù)解?兩圓外離或內(nèi)含．[答一答]1．如果兩個圓沒有公共點，那么它們一定外離；如果兩個圓只有一個公共點，那么它們一定外切，這種說法是否正確？提示：這種說法不正確．如果兩個圓沒有公共點，那么它們外離或內(nèi)含，這兩種位置關(guān)系統(tǒng)稱為相離；如果兩個圓只有一個公共點，那么它們外切或內(nèi)切，這兩種位置關(guān)系統(tǒng)稱為相切．2．兩圓的公切線條數(shù)與兩圓位置關(guān)系有何聯(lián)系？能否根據(jù)公切線條數(shù)判斷兩圓位置關(guān)系？提示：兩圓不同的位置關(guān)系對應(yīng)著不同的公切線條數(shù)，因此可以由公切線的條數(shù)判斷兩圓的位置關(guān)系，即當(dāng)兩圓內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離時，分別對應(yīng)的公切線條數(shù)為0、1、2、3、4，反之亦成立．知識點二用直線與圓的方程解決實際問題的步驟[填一填]1．從實際問題中提煉幾何圖形；2．建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元素，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；3．通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題；4．將結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論并作答．[答一答]3．用坐標(biāo)法解決實際應(yīng)用問題注意什么問題？提示：(1)建立直角坐標(biāo)系時不能隨便，應(yīng)在利于解題的原則下建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，要盡可能使所涉及的點在坐標(biāo)軸上．(2)在實際問題中，有些量具有一定的條件，轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題時要注意范圍．(3)最后一定要把數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實際意義．知識點三用坐標(biāo)方法解決幾何問題的“三步曲”[填一填]1．建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元素，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；2．通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題；3．將代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論．[答一答]4．用坐標(biāo)法解決幾何問題體現(xiàn)了什么思想方法？提示：坐標(biāo)法實際上是用代數(shù)的方法解決幾何問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．類型一圓和圓的位置關(guān)系問題[例1]已知圓C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圓C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a試求a為何值時，兩圓C1，C2：(1)相切；(2)相交；(3)相離；(4)內(nèi)含．[解]對圓C1，C2的方程，配方可得圓C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，圓C2：(x－2a)2＋(y－1)2所以C1(a,1)，r1＝4，C2(2a,1)，r2所以|C1C2|＝eq\r(a－2a2＋1－12)＝a.(1)當(dāng)|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a當(dāng)|C1C2|＝r1－r2＝3，即a(2)當(dāng)3<|C1C2|<5，即3<a(3)當(dāng)|C1C2|>5，即a(4)當(dāng)|C1C2|<3，即a判斷兩圓的位置關(guān)系有幾何法和代數(shù)法兩種，幾何法比代數(shù)法簡便，因此解題時常用幾何法，用幾何法判斷兩圓位置關(guān)系的步驟如下：1將兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程.2求出兩圓的圓心距d和半徑r1，r2.,3根據(jù)d與|r1－r2|、r1＋r2的大小關(guān)系作出判斷.[變式訓(xùn)練1]圓x2＋y2＋4x－4y＋7＝0與圓x2＋y2－4x＋10y＋13＝0的公切線的條數(shù)是(D)A.1B.2C.3D.解析：兩圓的圓心距d＝eq\r(－2－22＋2＋52)＝eq\r(65)，半徑r1＝1，r2＝4，所以d>r1＋r2，所以兩圓相離，故有4條公切線，故選D.類型二兩圓相交問題[例2]已知圓C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0與圓C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0相交于兩點．(1)求兩圓的公共弦所在直線的方程；(2)求兩圓的公共弦長．[解]解法1：圓C1與圓C2的方程聯(lián)立，得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，①,x2＋y2－4x－4y－2＝0，②))相減得x＋2y－1＝0，即x＝1－2y.③把③代入①并整理得y2－1＝0.解得y＝1或y＝－1，代入③得x＝－1或x＝3.因此圓C1與圓C2相交于A(－1,1)，B(3，－1)兩點．(1)兩圓的公共弦所在的直線即為直線AB，方程為eq\f(y－1,－1－1)＝eq\f(x－－1,3－－1)，即x＋2y－1＝0.(2)兩圓的公共弦長|AB|＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5).解法2：(1)設(shè)兩圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A、B的坐標(biāo)滿足方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，,x2＋y2－4x－4y－2＝0.))兩式相減得x＋2y－1＝0.此方程即為過A，B兩點的直線方程．所以兩圓的公共弦所在直線的方程為x＋2y－1＝0.(2)圓C1可化為(x＋1)2＋(y＋4)2＝25，圓C1的圓心為(－1，－4)，半徑長r1＝5.C1(－1，－4)到直線x＋2y－1＝0的距離d＝eq\f(10,\r(5))＝2eq\r(5).則弦長|AB|＝2eq\r(r\o\al(2,1)－d2)＝2eq\r(5).(1)兩圓相交時，公共弦所在的直線方程若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在直線的方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.(2)公共弦長的求法①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式求出弦長．②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解．[變式訓(xùn)練2](1)若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0的公共弦長為2eq\r(3)，則a的值為(B)A.1B.±1C.3D.±2解析：由題意知，圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0的公共弦所在的直線為2ay－2＝0，而圓心(0,0)到2ay－2＝0的距離為d＝eq\f(|－2|,\r(2a2))＝eq\f(1,|a|)，所以22＝(eq\r(3))2＋(eq\f(1,|a|))2，解得a＝±1.(2)圓C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0與圓C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直線的方程為x－2y＋4＝0，公共弦長為2eq\r(5).解析：聯(lián)立兩圓的方程得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x＋10y－24＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，))兩式相減并化簡，得x－2y＋4＝0，此即為兩圓公共弦所在直線的方程．設(shè)兩圓相交于A，B兩點，則A，B兩點滿足方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2.))所以|AB|＝eq\r(－4－02＋0－22)＝2eq\r(5)，即公共弦長為2eq\r(5).類型三直線與圓方程的實際應(yīng)用[例3]已知隧道的截面是半徑為4.0m的半圓，車輛只能在道路中心線一側(cè)行駛，一輛寬為2.7m、高為2.5m的貨車能不能駛?cè)脒@個隧道？假設(shè)貨車的最大寬度為am，那么要正常駛?cè)朐撍淼?，貨車的最大高度為多少？[解]以隧道截面半圓的圓心為坐標(biāo)原點，半圓直徑所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則半圓方程為x2＋y2＝16(y≥0)．將x＝2.7代入x2＋y2＝16(y≥0)得：y＝eq\r(16－2.72)＝eq\r(8.71)>2.5，即在離中心線2.7m處，隧道高度高于貨車的高度，所以貨車能駛?cè)脒@個隧道．將x＝a代入x2＋y2＝16(y≥0)得y＝eq\r(16－a2)，所以貨車要正常駛?cè)朐撍淼溃畲蟾叨葹閑q\r(16－a2)m.利用直線與圓的方程解決實際問題的一般步驟是：1認(rèn)真審題，明確題意；2建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點，用方程表示曲線，從而在實際問題中建立直線與圓的方程；3利用直線與圓的方程的有關(guān)知識求解問題；4把代數(shù)結(jié)果還原為實際問題的結(jié)果.[變式訓(xùn)練3]一艘輪船沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風(fēng)預(yù)報，臺風(fēng)中心位于輪船正西70km處，受影響的范圍是半徑為30km的圓形區(qū)域．已知港口位于臺風(fēng)中心正北40km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會受到臺風(fēng)的影響？解：以臺風(fēng)中心為坐標(biāo)原點，以正東方向為x軸正向建立平面直角坐標(biāo)系(如下圖)，其中取10km為單位長度．則受臺風(fēng)影響的圓形區(qū)域所對應(yīng)的圓的方程為x2＋y2＝9.港口所對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(0,4)，輪船的初始位置所對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(7,0)．則輪船航線所在直線l的方程為eq\f(x,7)＋eq\f(y,4)＝1，即4x＋7y－28＝0.圓心(0,0)到直線4x＋7y－28＝0的距離為d＝eq\f(|－28|,\r(42＋72))＝eq\f(28,\r(65))，半徑r＝3.因為d>r，所以直線與圓相離．所以輪船不會受到臺風(fēng)的影響．類型四坐標(biāo)法的應(yīng)用[例4]如圖所示，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，且AB⊥CD，E為垂足．利用坐標(biāo)法證明E是CD的中點．[證明]如圖所示，以O(shè)為原點，以直徑AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)⊙O的半徑為r，|OE|＝m，則⊙O的方程為x2＋y2＝r2，設(shè)C(m，b1)，D(m，b2)．則有m2＋beq\o\al(2,1)＝r2，m2＋beq\o\al(2,2)＝r2，即b1，b2是關(guān)于b的方程m2＋b2＝r2的根，解方程得b＝±eq\r(r2－m2)，不妨設(shè)b1＝－eq\r(r2－m2)，b2＝eq\r(r2－m2)，則CD的中點的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(\r(r2－m2)－\r(r2－m2),2)))，即(m,0)．故E(m,0)是CD的中點，即E是CD的中點．eq\a\vs4\al(坐標(biāo)法解決幾何問題，一般建系時要堅持如下原則：,1若有兩條互相垂直的直線，一般以它們分別為x軸和y軸；,2充分利用圖形的對稱性；,3讓盡可能多的點落到坐標(biāo)軸上，或關(guān)于坐標(biāo)軸對稱；,4關(guān)鍵點的坐標(biāo)易于求得.)[變式訓(xùn)練4]直角△ABC的斜邊為定長m，以斜邊的中點O為圓心，作半徑為eq\f(n,2)(n<m)的圓，分別交BC于P、Q兩點，求證|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2為定值．證明：如下圖，以O(shè)為原點，以直線PQ為x軸，建立直角坐標(biāo)系．于是有Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，0))，P－eq\f(n,2)，0，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)，0)).設(shè)A(x，y)，由已知，點A在圓x2＋y2＝eq\f(m2,4)上，則AP2＋AQ2＋PQ2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(n,2)))2＋y2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(n,2)))2＋y2＋n2＝2x2＋2y2＋eq\f(3,2)n2＝eq\f(m2,2)＋eq\f(3,2)n2(定值)．1．圓O1：x2＋y2－2x＝0和圓O2：x2＋y2＋4y＝0的位置關(guān)系是(D)A.相離B.外切C.內(nèi)切D.相交解析：圓O1的圓心為(1,0)，半徑r1＝1，圓O2的圓心為(0，－2)，半徑r2＝2，|O1O2|＝eq\r(5)，r1＋r2＝3，r2－r1＝1，所以兩圓相交．2．已知圓A，圓B相切，圓心距為10cm，其中圓A的半徑為4cm，則圓B的半徑為(A)A.6cm或14cm BC.14cm D.解析：圓A與圓B相切包括內(nèi)切與外切，∴10＝4＋r或10＝r－4，即r＝6或14.3．若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則m＝(C)A.21B.19C.9D.解析：圓C1的圓心是(0,0)，半徑長r1＝1.圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，圓心C2(3,4)，半徑