高中數(shù)學(xué)北師大版練習(xí)第一章1-3第2課時(shí)全集與補(bǔ)集

第2課時(shí)全集與補(bǔ)集1．根據(jù)研究問(wèn)題的不同，可以指定不同的全集．()2．存在x∈U，xA，且xUA.()3．設(shè)全集U＝R，A＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)>1))))，則UA＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)≤1)))).()4．設(shè)全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|x>0且y>0}，則UA＝{(x，y)|x≤0且y≤0}．()5．若A?B，則UAUB.()【解析】1.√.2．提示：×.要么x∈A，要么x∈UA，且有且只有一個(gè)成立．3．提示：×.A＝{x|0<x<1}，UA＝{x|x≤0或x≥1}．4．提示：×.全集U是由平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合，而集合A表示第一象限內(nèi)的點(diǎn)構(gòu)成的集合，顯然所求的UA是錯(cuò)誤的．5．√.·題組一補(bǔ)集的基本運(yùn)算1．設(shè)集合U＝R，M＝{x|x>2或x<－2}，則UM＝()A．{x|－2≤x≤2} B．{x|－2<x<2}C．{x|x<－2或x>2} D．{x|x≤－2或x≥2}【解析】選A.如圖，在數(shù)軸上表示出集合M，可知UM＝{x|－2≤x≤2}．2．已知全集U＝{1，2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，UA＝{3}，則實(shí)數(shù)a＝________．【解析】由題意可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,a2－2a＋3＝3，))解得a＝2.答案：23．已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3<x≤4}，則UA＝________．【解析】借助數(shù)軸得UA＝{x|x＝－3或x>4}．答案：{x|x＝－3或x>4}4．設(shè)U＝{0，1，2，3}，A＝{x|x2＋mx＝0}，若UA＝{1，2}，則實(shí)數(shù)m＝________．【解析】因?yàn)閁A＝{1，2}，所以A＝{0，3}，所以0，3是方程x2＋mx＝0的兩個(gè)根，所以m＝－3.答案：－35．已知集合U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{0，1，2}，則UA＝()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，0)) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1))C．{0，1，2} D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2))【解析】選B.由U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{0，1，2}，得UA＝{－2，－1}．·題組二集合交、并、補(bǔ)的綜合運(yùn)算1．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，則(UA)∪B＝________，A∩(UB)＝________．【解析】利用數(shù)軸，分別表示出全集U及集合A，B，如圖．則UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，UB＝{x|x<－3或2<x≤4}．所以(UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}；A∩(UB)＝{x|2<x<3}．答案：{x|x≤2或3≤x≤4}{x|2<x<3}2．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，則集合U(A∪B)＝()A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}【解析】選D.因?yàn)閁＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，所以A∪B＝{x|x≤0，或x≥1}，所以U(A∪B)＝{x|0<x<1}．3．如圖，U為全集，M，N是集合U的子集，則陰影部分所表示的集合是()A．M∩N B．U(M∩N)C．(UN)∩M D．(UM)∩N【解析】選C.已知陰影部分在集合M中，而不在集合N中，故陰影部分所表示的元素屬于M，不屬于N(屬于N的補(bǔ)集)，即M∩eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(UN)).4．我們知道，如果集合A?S，那么S的子集A的補(bǔ)集為SA＝{x|x∈S且xA}．類似地，對(duì)于集合A，B，我們把集合{x|x∈A，且xB}叫做集合A與B的差集，記作A－B.設(shè)A＝M∪N，B＝M∩N，若M＝{x|－1≤x≤3}，N＝{x|0<x<4}，則差集A－B是()A．{x|－1≤x≤0}B．{x|3<x<4}C．{x|－1≤x≤0，或3<x<4}D．{x|－1<x<0，或3≤x≤4}【解析】選C.因?yàn)锳＝M∪N＝{x|－1≤x<4}，B＝M∩N＝{x|0<x≤3}，根據(jù)差集定義可知：A－B＝{x|－1≤x≤0，或3<x<4}．5．已知集合S＝{x|1<x≤7}，A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3≤x<7}．則：(1)(SA)∩(SB)＝________；(2)S(A∪B)＝________；(3)(SA)∪(SB)＝________；(4)S(A∩B)＝________．【解析】如圖所示，可得A∩B＝{x|3≤x<5}，A∪B＝{x|2≤x<7}，SA＝{x|1<x<2或5≤x≤7}，SB＝{x|1<x<3}∪{7}．由此可得(1)(SA)∩(SB)＝{x|1<x<2}∪{7}．(2)S(A∪B)＝{x|1<x<2}∪{7}．(3)(SA)∪(SB)＝{x|1<x<2或5≤x≤7}∪{x|1<x<3}∪{7}＝{x|1<x<3或5≤x≤7}．(4)S(A∩B)＝{x|1<x<3或5≤x≤7}．答案：(1){x|1<x<2}∪{7}(2){x|1<x<2}∪{7}(3){x|1<x<3或5≤x≤7}(4){x|1<x<3或5≤x≤7}·題組三根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算求參數(shù)的值或范圍1．已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，滿足B∩(UA)＝{2}，A∩(UB)＝{4}，U＝R，則實(shí)數(shù)a＝________，b＝________．【解析】因?yàn)锽∩(UA)＝{2}，所以2∈B，但2A.因?yàn)锳∩(UB)＝{4}，所以4∈A，但4B.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(42＋4a＋12b＝0，,22－2a＋b＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(8,7)，,b＝－\f(12,7)，))所以a，b的值分別為eq\f(8,7)，－eq\f(12,7).答案：eq\f(8,7)－eq\f(12,7)2．已知集合A＝{x|2a－2<x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A?RB，則a的取值范圍是________．【解析】RB＝{x|x≤1或x≥2}≠?.因?yàn)锳?RB，所以分A＝?和A≠?兩種情況討論：①若A＝?，此時(shí)有2a－2≥a，所以a≥2.②若A≠?，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－2<a，,a≤1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－2<a，,2a－2≥2.))所以a≤1.綜上所述，a的取值范圍為{a|a≤1或a≥2}．答案：a≤1或a≥23．設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k<x<k＋1，k∈R}，且B∩eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(UA))≠?，則k的取值范圍是()A．k<0或k>3B．2<k<3C．0<k<3D．－1<k<3【解析】選C.因?yàn)榧螦＝{x|x≤1或x≥3}，所以UA＝{x|1<x<3}，因?yàn)锽＝{x|k<x<k＋1，k∈R}，若B∩eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(UA))＝?，則k＋1≤1或k≥3，即k≤0或k≥3；又B∩eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(UA))≠?，所以0<k<3.易錯(cuò)點(diǎn)一忽視補(bǔ)集概念的內(nèi)涵致錯(cuò)設(shè)全集U＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|，2}，UA＝{5}，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______．【解析】因?yàn)閁A＝{5}，所以5∈U，且5A.所以a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4.當(dāng)a＝2時(shí)，|2a－1|＝3≠5，此時(shí)A＝{3，2}，U＝{2，3，5}，符合題意；當(dāng)a＝－4時(shí)，|2a－1|＝9，此時(shí)A＝{9，2}，U＝{2，3，5}，不滿足條件UA＝{5}，故a＝－4舍去．綜上知a＝2.答案：2【易錯(cuò)誤區(qū)】忽略驗(yàn)證條件A?U.易錯(cuò)點(diǎn)二忽視集合運(yùn)算中的隱含條件設(shè)全集U＝{2，3，a2＋a－3}，集合A＝{|a|，3}，UA＝{2}，則a＝________．【解析】由UA＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2))，U＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，3，a2＋a－3))，可知A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(3，a2＋a－3))，即eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(3，a2＋a－3))＝{|a|，3}．故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋a－3＝|a|，|a|≠2，3.))當(dāng)a≥0時(shí)，a2＋a－3＝aa＝eq\r(3)；當(dāng)a<0時(shí)，a2＋a－3＝－a，即a2＋2a－3＝0(a－1)(a＋3)＝0，故a＝－3.不滿足|a|≠2，3.故a＝eq\r(3).答案：eq\r(3)【易錯(cuò)誤區(qū)】忽略|a|≠2，3，導(dǎo)致答案中不舍－3.一、選擇題(每小題5分，共30分)1．(2021·八省聯(lián)考)已知M，N均為R的子集，且RM?N，則M∪(RN)＝()A．?B．MC．ND．R【解析】選B.方法一：因?yàn)镽M?N，所以RN?M，則M∪(RN)＝M.方法二：由題意可作圖如圖所示：所以M∪(RN)＝M.2．設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|2≤x<5}，則A∩(UB)＝()A．{x|1≤x<2} B．{x|x<2}C．{x|x≥5} D．{x|1<x<2}【解析】選D.UB＝{x|x<2或x≥5}，A∩(UB)＝{x|1<x<2}．3．已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1，0，1}，則(RA)∩B＝()A．{－2，－1} B．{－2}C．{－1，0，1} D．{0，1}【解析】選A.因?yàn)榧螦＝{x|x>－1}，所以RA＝{x|x≤－1}，則(RA)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1，0，1}＝{－2，－1}．【變式備選】設(shè)集合A＝{x|1<x<4}，B＝{x|－1≤x≤3}，則A∩(RB)等于()A．{x|1<x<4}B．{x|3<x<4}C．{x|1<x<3}D．{x|1<x<2}∪{x|3<x<4}【解析】選B.因?yàn)锽＝{x|－1≤x≤3}，所以RB＝{x|x<－1或x>3}，所以A∩(RB)＝{x|1<x<4}∩{x|x<－1或x>3}＝{x|3<x<4}．Ｋ4．若全集U＝{0，1，2，3}且UA＝{2}，則集合A的真子集共有()A．3個(gè)B．5個(gè)C．7個(gè)D．8個(gè)【解析】選C.A＝{0，1，3}，真子集有23－1＝7(個(gè)).5．(金榜原創(chuàng)題)設(shè)全集U＝R，已知集合A＝{x|x<3或x≥9}，集合B＝{x|x≥a}．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(UA))∩B≠?，則a的取值范圍為()A．a(chǎn)>3B．a(chǎn)≤3C．a(chǎn)<9D．a(chǎn)≤9【解析】選C.因?yàn)锳＝{x|x<3或x≥9}，所以UA＝{x|3≤x<9}，若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(UA))∩B≠?，則a<9.6．(多選)設(shè)A，B，I均為非空集合，且滿足A?B?I，則下列各式中正確的是()A．(IA)∪B＝IB．(IA)∪(IB)＝IC．A∩(IB)＝?D．(IA)∩(IB)＝IB【解析】選ACD.因?yàn)锳，B，I滿足A?B?I，如圖：由圖可判斷出A，C，D都是正確的；而(IA)∪(IB)＝IA，故B錯(cuò)誤．二、填空題(每小題5分，共20分)7．已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x－a≥0}，若全集U＝R，且A?UB，則a的取值范圍為_(kāi)_______.【解析】UB＝{x|x<a}，如圖所示．因?yàn)锳?UB，所以a>－2.答案：{a|a>－2}【變式備選】已知集合A＝{x|(x＋2)(x－5)>0}，B＝{x|m≤x<m＋1}，且B?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(RA))，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．【解析】由題意可得RA＝{x|(x＋2)(x－5)≤0}＝{x|－2≤x≤5}，據(jù)此結(jié)合題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥－2，,m＋1≤5，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥－2，,m≤4，))即實(shí)數(shù)m的取值范圍是－2≤m≤4.答案：－2≤m≤4Ｋ8．已知全集U＝N*，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5，6}，則(UA)∩B＝________．【解析】因?yàn)槿疷＝N*，集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4))，所以UA＝{x|x∈N*且x≥5}，又B＝{3，4，5，6}，所以(UA)∩B＝{5，6}．答案：{5，6}【變式備選】已知U＝{x∈N|x≤10}，A＝{小于11的質(zhì)數(shù)}，則UA＝________．【解析】因?yàn)閁＝{x∈N|x≤10}＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，A＝{小于11的質(zhì)數(shù)}＝{2，3，5，7}，所以UA＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1，4，6，8，9，10)).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1，4，6，8，9，10))Ｋ9．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x<a}，若UA＝{x|2≤x≤5}，則a＝________．【解析】因?yàn)锳＝{x|1≤x<a}，UA＝{x|2≤x≤5}，所以A∪(UA)＝U＝{x|1≤x≤5}，且A∩(UA)＝?，因此a＝2.答案：210．(練拓展)設(shè)集合M＝{x|a1x2＋b1x＋c1＝0}，N＝{x|a2x2＋b2x＋c2＝0}，則方程eq\f(a1x2＋b1x＋c1,a2x2＋b2x＋c2)＝0的解集用集合M，N可表示為_(kāi)_______．【解析】eq\f(a1x2＋b1x＋c1,a2x2＋b2x＋c2)＝0可轉(zhuǎn)化為a1x2＋b1x＋c1＝0且a2x2＋b2x＋c2≠0，即M＝{x|a1x2＋b1x＋c1＝0}與N＝{x|a2x2＋b2x＋c2＝0}補(bǔ)集的交集，所以方程的解集用集合M，N可表示為M∩(RN).答案：M∩(RN)三、解答題11．(10分)設(shè)全集為R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求：(1)A∩B；(2)RA；(3)R(A∪B).【解析】(1)因?yàn)锳＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，所以A∩B＝{x|3≤x<7}．(2)因?yàn)槿癁镽，A＝{x|3≤x<7}，所以RA＝{x|x<3或x≥7}．(3)因?yàn)锳∪B＝{x|2<x<10}，所以R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．【變式備選】1.已知集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}．(1)若a＝－2，求A∩RB；(2)若A∪B＝B，求a的取值范圍．【解析】(1)a＝－2時(shí)，A＝{x|－2≤x≤1}，B＝{x|x<－1或x>5}，所以RB＝{x|－1≤x≤5}，所以A∩RB＝{x|－1≤x≤1}．(2)因?yàn)锳∪B＝B，所以A?B，所以a＋3<－1或a>5，即a<－4或a>5.Ｋ2.設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|x≤－2或x≥5}，B＝{x|x≤2}．求：(1)U(A∪B)；(2)記U(A∪B)＝D，C＝{x|2a－3≤x≤－a}，且C∩D＝C，求a的取值范圍．【解析】(1)由題意知，A＝{x|x≤－2或x≥5}，B＝{x|x≤2}，則A∪B＝{x|x≤2或x≥5}，又全集U＝R，則U(A∪B)＝{x|2<x<5}．(2)由(1)得D＝{x|2<x<5}，由C∩D＝C得C?D.①當(dāng)C＝?時(shí)，有－a<2a－3，解得a>1；②當(dāng)C≠?時(shí)，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－3≤－a，,2a－3>2，,－a<5，))無(wú)解；綜上，a的取值范圍為{a|a>1}．3．已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．(1)若(RA)∪B＝R，求a的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)a使(RA)∪B＝R且A∩B＝?？【解析】(1)因?yàn)锳＝{x|0≤x≤2}，所以RA＝{x|x<0或x>2}．因?yàn)?RA)∪B＝R，所以eq