第6章 共形映射

第一節(jié)共形映射的概念一、兩曲線的夾角二、解析函數導數的幾何意義三、共形映射的概念四、小結與思考3一、兩曲線的夾角正向:t增大時,點

z移動的方向.如果規(guī)定:平面內的有向連續(xù)曲線C可表示為:yxC..4當p方向與C一致.C..yx5處切線的正向,則有x軸正向之間的夾角.C.yx6之間的夾角..7二、解析函數導數的幾何意義正向:t增大的方向;C.yx8其參數方程為正向:t增大的方向.C.yxyx.9或10說明:轉動角的大小與方向跟曲線C的形狀無關.映射w=f(z)具有轉動角的不變性...11則有結論:的夾角在其大小和方向上都等同于經過方向不變的性質,此性質稱為保角性.12

Cyxyx....13結論:

方向無關.所以這種映射又具有伸縮率的不變性.14綜上所述,有質:(1)保角性;(2)伸縮率不變性.定理一15三、共形映射的概念

定義說明:也稱為第一類共形映射.但僅保持夾角的絕對值不變而方向相反,則稱之為第二類共形映射.16問題:關于實軸對稱的映射是第一類共形映射嗎?答案:將z

平面與

w平面重合觀察，y(v)x(u)..夾角的絕對值相同而方向相反.

否.17解18反之放大.19四、小結與思考

熟悉解析函數導數的幾何意義,了解共形映射的概念及其重要性質.20思考題21思考題答案放映結束，按Esc退出.第二節(jié)分式線性映射一、分式線性映射的概念二、幾種簡單的分式線性映射三、分式線性映射的性質四、小結與思考23一、分式線性映射的概念稱為分式線性映射.說明:否則,由于那末整個z平面映射成w平面上的一點.小知識24分式線性映射的逆映射,也是分式線性映射.2)由3)兩分式線性映射仍復合為分式線性映254)分式線性映射一個一般形式的分式線性映射是由下列三種特殊的簡單映射復合而成:26二、幾種簡單的分式線性映射平移映射(為方便起見,令w平面與z平面重合)27二、幾種簡單的分式線性映射平移映射(為方便起見,令w平面與z平面重合)28旋轉與伸長(或縮短)變換事實上,設那末因此,把z先轉一個角度29關于橫軸對稱反演變換此映射可進一步分解為欲由點z作出點w,可考慮如下作圖次序:關鍵:30對稱點的定義:設C為以原點為中心,r為半徑的圓周.在以滿足關系式那末就稱這兩點為關于這圓周的對稱點.規(guī)定:無窮遠點的對稱點是圓心O.31...設P在C外,從P作C的切線PT,由T作OP的垂作圖:.32故可知:...關于單位圓對稱關于實軸對稱33三、分式線性映射的性質1.一一對應性例如:結論:分式線性映射在擴充復平面上一一對應.342.保角性若規(guī)定:兩條伸向無窮遠的曲線在無窮遠點處的交角,等于它們在映射

下所映成的通過圓點的兩條象曲線的交角.35綜上所述知:36綜上所述:定理一分式線性映射在擴充復平面上是一一對應的，且具有保角性373.保圓性

所謂保圓性指在擴充復平面上將圓周映射為圓周的性質.特殊地，直線可看作是半徑為無窮大的圓周.1)映射特點:所以此映射在擴充復平面上具有保圓性.382)映射若z平面上圓方程為:令有代入z平面圓方程得其象曲線方程:即所以此映射在擴充復平面上具有保圓性.393)分式線性映射定理二

分式線性映射將擴充z平面上的圓周映射成擴充w平面上的圓周,即具有保圓性.說明:

如果給定的圓周或直線上沒有點映射成無窮遠點,那末它就映射成半徑為有限的圓周;有一個點映射成無窮遠點,那末它就映射成直線.如果404.保對稱性對稱點的特性....41....42結論充要條件是:43即分式線性映射具有保對稱性.定理三44證分式線性映射[證畢]45小知識分式線性映射首先由德國數學家默比烏斯(1790~1868)研究,所以也稱為默比烏斯映射.對每一個固定的w,此式關于z是線性的;對每一個固定的z,此式關于w也是線性的,因此稱上式是雙線性的.分式線性映射也稱雙線性映射.默比烏斯46四、小結與思考

分式線性映射是一類比較簡單而又很重要的共形映射,應熟悉分式線性映射的分解和復合,及其保角性、保圓性和保對稱性.47思考題48思考題答案放映結束，按Esc退出.49默比烏斯資料AugustM?biusBorn:17Nov1790inSchulpforta,Saxony(nowGermany)

Died:26Sept1868inLeipzig,Germany第三節(jié)唯一決定分式線性映射的條件一、分式線性映射的確定二、分式線性映射對圓域的映射三、典型例題四、小結與思考51一、分式線性映射的確定含有三個獨立的常數,定理

只需給定三個條件就能決定一個分式線性映射.52證依次映射成設將相異點由此得53所以三對對應點可唯一確定一個分式線性映射.唯一性:重復上述步驟,仍得到相同形式的結果.[證畢]54二、分式線性映射對圓域的映射1.問題:圓域內部被映射成什么區(qū)域?.......與一一對應性相矛盾.55結論:在分式線性映射下,C的內部不是映射成判別方法:方法1在分式線性映射下,如果在圓周C內任取56方法2......57

若繞向相反,則C......方法258......

若繞向相反,則C方法2592.分式線性映射對圓弧邊界區(qū)域的映射:這二圓周的弧所圍成的區(qū)域映射成一圓弧與一直線所圍成的區(qū)域.2)當二圓周上有一點映射成無窮遠點時,3)當二圓交點中的一個映射成無窮遠點時,這二圓周的弧所圍成的區(qū)域映成角形區(qū)域.1)當二圓周上沒有點映射成無窮遠點時,這二圓周的弧所圍成的區(qū)域映射成二圓弧所圍成的區(qū)域.60三、典型例題...解...例161所求分式線性映射為化簡得:注意:本題中如果選取其他三對不同點,也能得出滿足要求但不同于本題結果的分式線性映射.可見,把上半平面映射成單位圓的分式線性映射不唯一,有無窮多個.62另解:設實軸映射成單位圓周,則所求映射具有下列形式:...63由于z為實數時,上半平面映為單位圓的分式線性映射的一般形式說明:64解

依上題結論得例265從而所求映射為66解...例367因此可設所求分式線性映射為:68故所求分式線性映射為:將上半平面映為單位圓的常用映射69例4

解依上題結論得70所以所求映射為71分析..上半平面單位圓域單位圓域例572平移伸長解如圖示..則所求映射為:...73另解如圖示:.....74于是所求的映射為75四、小結與思考

分式線性映射是共形映射的一個重要內容,應熟練掌握并會應用分式線性映射的各種性質尋找一些簡單而典型的區(qū)域之間的共形映射；掌握上半平面到上半平面,上半平面到單位圓,單位圓到單位圓的分式線性映射.76思考題77思考題答案放映結束，按Esc退出.第四節(jié)幾個初等函數所構成的映射一、冪函數二、指數函數三、儒可夫斯基函數四、小結與思考79一、冪函數80則:1)(特殊地:單位圓周映射為單位圓周)2)81))82特殊地:)上岸0沿正實軸剪開的w平面下岸83映射特點:把以原點為頂點的角形域映射成以原點為頂點的角形域,但張角變成為原來的n倍.)??如果要把角形域映射成角形域，常利用冪級數.例184解)因此所求映射為:850個映射.0??例2860解0實現此步的映射是分式線性函數:870088.0089009000.0因此所求映射為:91.分析:關鍵點是將垂直于x軸的割痕的兩側跟x軸之間的夾角展平.00??例392解

如圖所示:0.0.0.0.930.0.解

如圖所示:940.0.0..0...解

如圖所示:95二、指數函數96001)002)970000特殊地:98??映射特點:如果要把帶形域映射成角形域,常利用指數函數.解例499解

000??例5100三、儒可夫斯基函數1.定義1012.問題:

儒可夫斯基函數映射為什么區(qū)域?102分解為103..2)具有保角性.104...105...沿射線argt=2a剪開的半平面??沿連接點a與-a的圓弧割開的w平面106結論:107說明:108109共焦點的橢圓族方程110橢圓漸扁..上半圓周割痕下岸下半圓周割痕上岸1113.儒可夫斯基截線(機翼截線)......112..且因儒可夫斯基采用它作為機翼的型線.假設機翼型線為此曲線而進行一些流體力學上的理論計算，使對機翼繞流的研究化為對圓柱繞流的研究.機翼截線名稱的由來:113......??解例7114四、小結與思考

本課我們學習了冪函數、指數函數的映射特點,將分式線性映射與初等函數相結合,求一些邊界由圓周、圓弧、直線、直線段所圍區(qū)域的共形映射問題是本章的難點.115思考題116思考題答案放映結束，按Esc退出.第五節(jié)關于共形映射的幾個

一般性定理一、單值解析函數共形性逆定理二、黎曼定理三、邊界對應原理四、小結與思考118一、單值解析函數共形性逆定理定理1119二、黎曼定理由多于一個點所構成的)是怎樣的,并且這樣的共形映射是唯一的.定理2也不論這兩域120說明121該條件的幾何解析：122三、邊界對應原理定理3123四、小結與思考了解黎曼定理和邊界對應原理的內容.放映結束，按Esc退出.第六節(jié)施瓦茨-克里斯托費爾映射

(Schwarz-christoffel)一、施瓦茨-克里斯托費爾映射的引入二、施瓦茨-克里斯托費爾映射的概念三、應用舉例四、小結與思考125一、施瓦茨-克里斯托費爾映射的引入問題:邊界由直線,線段,或射線組成126..可看作特殊的多角形域例如,127將上例推廣:映射可用下列方程來確定:128驗證而其它項不變,是w欲沿下一條邊移動所必須轉過的角129依次下去:當z歷經整個x軸時,w沿著多角形的邊界移動.(如圖示)...........可見:由此方程確定的映射將上半平面映射成內130二、施瓦茨-克里斯托費爾映射的概念1.定義對于方程兩邊積分,解得稱為施瓦茨-克里斯托費爾映射施瓦茨克里斯托費爾131施瓦茨-克里斯托費爾映射成為:說明:所以映射在這些點以外的上半平面是共形的.與前式相差一個因子1322.將上半平面映射為已知的多角形區(qū)域可分解為:133上式表示把z平面上的上半平面映射成t平的映射.與已知多角形域相似的多角形域因此:上半平面已知多角形域?134補充:在實際問題中,常見的多角形是變態(tài)多角形,即它的頂點有一個或幾個在無窮遠....規(guī)定:例如，135三、應用舉例解...11361234兩區(qū)域繞向相同.所求映射為137138139點如圖示.解?看作有三個頂點C,A,B的多角形,B,C在無窮遠例2140141142因此所求映射為143例3平行板電容器中等位線與電力線的分布情況.分析由于理想平行板電容器無邊緣,其電力線和等位線是互相垂直的兩族平行線.等位線電力線平行于平行板垂直于平行板邊緣中心線平行板電容器實際是有邊緣的.電場分布關于中心線對稱.144考慮中心線上方的一半帶有割痕的半平面．帶形區(qū)域的映射,若能求出w平面中帶割痕的上半平面與z平面中欲求平行板電容器的等位線和電力線只需將z平面中的兩族互相垂直的平行線映射到w平面即可.就可推知電容器的電場分布．145解因此把z平面中帶形區(qū)域映射到w平面中帶割痕的上半平面的映射是146將所求出映射的實部和虛部分離得147電力線等位線

此問題也可看成由兩條半直線構成的開口槽中流體的流線與等位線的分布情形,此時圖中說明：的等位線變?yōu)榱骶€,而電力線變?yōu)榈任痪€.148四、小結與思考

施瓦茲-克里斯托費爾公式是反映上半平面到多角形區(qū)域的映射公式.它的實際應用比較困難.充分了解本課內容.放映結束，按Esc退出.149施瓦茨資料HermanSchwarzBorn:25Jan1843inHermsdorf,Silesia(nowPoland)

Died:30Nov1921inBerlin,Germany150克里斯托費爾資料ElwinChristoffelBorn:10Nov1829inMontjoieAachen(nowMonschau),Germany

Died:15March1900inStrasbourg,France第七節(jié)拉普拉斯方程的邊值問題一、問題的提出二、定理三、應用舉例四、小結與思考152一、問題的提出問題:調和，并且在區(qū)域的邊界上滿足已知條件.1.對于簡單區(qū)域可從某些熟知的解析函數直接求解.2.對于復雜區(qū)域可通過一適當的共形映射將其變?yōu)楹唵螀^(qū)域,再求解.解決方法:求一個二元實變函數，使其在已知區(qū)域中153二、定理拉普拉斯154證155以上兩式相加,化簡得同樣可得:156［證畢］157例一塊金屬薄板吻合于z平面中的第一象限,上下均絕緣,因此熱流嚴格限制在平面內.如果邊界上的溫度分布如圖示,求金屬板上定常的溫度分布.三、應用舉例158解所求的定常溫度分布T必滿足拉普拉斯方程且滿足第一象限邊界上的條件.限映射成w平面中的上半平面.w在實軸上4的右邊:159當w取實數時,取得邊值.160的虛部,可看作是函數

此函數在上半平面處處解析.161即為拉普拉斯方程在w平面中的解.變形后得原問題的解為162四、小結與思考

拉普拉斯方程的邊值問題常見于許多物理應用之中.放映結束，按Esc退出.163拉普拉斯資料Pierre-SimonLaplaceBorn:23March1749inBeaumont-en-Auge,Normandy,France

Died:5March1827inParis,France165一、重點與難點重點：難點：分式線性變換及其映射特點分式線性變換與初等函數相結合，求一些簡單區(qū)域之間的映射166二、內容提要共形映射分式線性映射一一對應性保角性保圓性幾個初等函數構成的映射分式線性映射的確定對確定區(qū)域的映射保對稱性

冪函數指數函數1671.的幾何意義正向之間的夾角.168的一條有向光滑曲線之間的夾角.1692)轉動角的大小與方向跟曲線C的形狀與方向無關.3)保角性方向不變的性質,此性質稱為保角性.夾角在其大小和方向上都等同于經過170

4）伸縮率方向無關.所以這種映射又具有伸縮率的不變性.1712.共形映射（保角映射）也稱為第一類共形映射.僅保持夾角的絕對值不變而方向相反的映射,稱為第二類共形映射質:(1)保角性;(2)伸縮率不變性.172稱為分式線性映射.任一分式線性映射都可看成是由下列三種基本的分式映射復合而成:

3.分式線性映射173

分式線性映射的性質1）分式線性映射在擴充復平面上一一對應.2）分式線性映射在擴充復平面上具有保角性.174

2.如果給定的圓周或直線上沒有點映射成無窮遠點,那末它就映射成半徑為有限的圓周;如果有一個點映射成無窮遠點,那末它就映射成直線.

分式線性映射將擴充z平面上的圓周映射成擴充w平面上的圓周,即具有保圓性.3）分式線性映射在擴充復平面上具有保圓性注意：1.此時把直線看作是經過無窮遠點的圓周.1754）分式線性映射具有保對稱性.這一性質稱為保對稱性.1764.唯一決定分式線性映射的條件交比不變性177判別方法:對確定區(qū)域的映射

在分式線性映射下,C的內部不是映射成方法1在分式線性映射下,如果在圓周C內任取

若繞向相反,則C方法2178圓周的弧所圍成的區(qū)域映射成一圓弧與一直線所2)當二圓周上有一點映射成無窮遠點時,這二圍成的區(qū)域.3)當二圓交點中的一個映射成無窮遠點時