2022-2023學年寧夏銀川六中高二（下）期末數(shù)學試卷（理科）（含解析）

2022-2023學年寧夏銀川六中高二（下）期末數(shù)學試卷（理科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知點P的直角坐標為（1,-，馬）則它的極坐標是（）

?-（2>?）b?QY）C?（嗒）D.（詞

2.若直線的參數(shù)方程為二霽為參數(shù)），則其傾斜角為（）

A.40oB.50oC.140oD.130°

3.已知二項式（X-羞）n展開式的二項式系數(shù)和為64,則展開式中的常數(shù)項為（）

A.100B.150C.180D.240

4.下列說法正確的是（）

A.己知一組數(shù)據(jù)X1，%2,右，…，與0的方差為10，則X]+2,X2+2.X3+2,Xlo+2的

方差為12

B.已知變量％,y,其線性回歸方程為y=o,3x-m,若樣本點的中心為（m,2.8）,則實數(shù)m的

值是4

C.已知隨機變量X服從正態(tài)分布NOe2）,若P（X>-2）+P（X≥4）=1,貝以=1

D.己知隨機變量X服從二項分布B（n[）,若E（3X+1）=6,則聯(lián)=6

5.某家庭有三個孩子，假定生男孩和生女孩是等可能且相互獨立的.記事件4該家庭既有

男孩又有女孩；事件8：該家庭最多有一個男孩；事件C：該家庭最多有一個女孩；則下列說

法中正確的是（）

A.事件B與事件C互斥但不對立B.事件4與事件B互斥且對立

C.事件B與事件C相互獨立D.事件A與事件B相互獨立

6.某射手射擊所得環(huán)數(shù)f的分布列如下：

78910

PX0.10.3y

己知f的數(shù)學期望E（f）=8.9,貝IJy的值為（）

A.0.8B.0.6C.0.4D.0.2

7.現(xiàn)從3名男同學和2名女同學中選取兩人加入“數(shù)學興趣小組”，用4表示事件“抽到兩名

同學性別相同”，B表示事件“抽到兩名女同學”，則在已知4事件發(fā)生的情況下B事件發(fā)生

的概率即P(B∣4)=()

A.；B.lC.∣D.1

8.若以直角坐標系的原點為極點，X軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，則線段y=l-

X(O≤x≤l)的極坐標方程為()

A.p=?.,O≤0≤≡B.p=?.,O≤θ≤l

CoSe+smθfl21CoSe+smθfl4

C.p=cosθ÷sinθ,O≤0≤D.p=cosθ+sinθ,O≤?！埽?/p>

9.ρ2cosθ+ρ-3pcosθ-3=O表示()

A.一個圓B.一個圓與一條直線C兩個圓D.兩條線

10.在(1+x)(久一33的展開式中，X的系數(shù)為()

A.12B.-12C.6D.-6

11.在極坐標系中，圓Cp=2/2sin(。+：)上到直線LPCOSo=2距離為1的點的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

12.“校本課程”是現(xiàn)代高中多樣化課程的典型代表，自在進一步培養(yǎng)學生的人文底蘊和科

學精神，為繼續(xù)滿足同學們不同興趣愛好，藝術科組準備了學生喜愛的中華文化傳承系列的

校本活動課：創(chuàng)意陶盆，拓印，扎染，壁掛，剪紙五個項目供同學們選學，每位同學選擇1個

項目.則甲、乙、丙、丁這4名學生至少有3名學生所選的課全不相同的方法共有()

A.360種B.480種C.720種D.1080種

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.己知隨機變量《?B(18,p),且E(f)=9,則DO=.

14.已知3編=4得τ,則X=.

saxaχ25f

15.?(1-x)=α0+ι+2---asx,則IaoI+∣α∕+∣c?lT--------卜l?l=.

16.假設云南省40萬學生數(shù)學模擬考試的成績X近似服從正態(tài)分布N(98,100),已知某學生

成績排名進入全省前9100名，那么該生的數(shù)學成績不會低于分.(參考數(shù)據(jù)：P(μ-σ<

X<μ+σ)=0.6827,P(∕ι-2σ<X<μ+2σ)=0.9545)

三、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.（本小題10.0分）

已知甲、乙、丙參加某項測試時，通過的概率分別為0.6,0.8,0.9,而且這3人之間的測試互

不影響.

（1）求甲、乙、丙都通過測試的概率；

（2）求甲、乙、丙至少有一人通過測試的概率.

18.（本小題12.0分）

5G技術對社會和國家十分重要.從戰(zhàn)略地位來看，業(yè)界一般將其定義為繼蒸汽機革命、電氣革

命和計算機革命后的第四次工業(yè)革命，某科技集團生產(chǎn)A,B兩種5G通信基站核心部件，下表

統(tǒng)計了該科技集團近幾年來在4部件上的研發(fā)投入x（億元）與收益y（億元）的數(shù)據(jù)，結(jié)果如下：

研發(fā)投入式（億元）12345

收益y（億元）3791011

（1）利用樣本相關系數(shù)r說明是否可以用線性回歸模型擬合y與X的關系（當Irl∈[0.75,1]時，可

以認為兩個變量有很強的線性相關性）；

（2）求出y關于％的經(jīng)驗回歸方程，若要使生產(chǎn)4部件的收益不低于15億元，估計至少需要投入

多少研發(fā)資金？（精確到0.001億元）

附：樣本相關系數(shù)r=I-2,回歸直線方程的斜率b=到然寫2，

JΣ%（%r）2J∑^1（yi-y）∑之I（XLX）2

截距α=y—bχ?

19.（本小題12.0分）

Cx=t+p

在平面直角坐標系Xoy中，曲線G的參數(shù)方程為《；（t為參數(shù)），點P（4,0）,以。為極點，

[y=t~7

X軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為p=2Ccos8,射線,的極坐標方程

為9=TP≥0）.

（1）寫出曲線G的極坐標方程；

（2）若t?G,C?分別交于48（異于原點）兩點，求APAB的面積.

20.（本小題12.0分）

以原點。為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知點4（4,羊），曲線E的極坐標方程為

p=pcos2θ+HaCos。（a>0），過點4作直線。=與SeR）的垂線1,分別交曲線E于B,C兩

點.

(1)寫出曲線E和直線，的直角坐標方程；

(2)若MB?BC?,∣4C∣成等比數(shù)列,求實數(shù)ɑ的值.

21.(本小題12.0分)

為了了解中學生是否有運動習慣，我校從高一新生中隨機抽取了100人，其中男生40人，女

生60人，調(diào)查結(jié)果顯示，男生中只有20%表示自己不喜歡運動，女生中有32人不喜歡運動,

為了了解喜歡運動與否是否與性別有關，構(gòu)建了2X2列聯(lián)表:

不喜歡運動喜歡運動總計

男生

女生

總計

(1)請將2X2列聯(lián)表補充完整，并判斷能否有99%的把握認為“喜歡運動”與性別有關.

(2)從男生中按“是否喜歡運動”為標準采取分層抽樣方式抽出10人,再從這10人中隨機抽出

2人，若所選2人中“不喜歡運動”人數(shù)為X,求X分布列及期望.

2

附.卜2=n(αd-加)

n=a+b+c+d<

(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)

P(k2≥fc0)0.0250.010.001

k°5.0246.63510.8

22.(本小題12.0分)

某電視臺舉行電視奧運知識大獎賽，比賽分初賽和決賽兩部分，為了增加節(jié)目的趣味性，初

賽采用選手選一題答一題的方式進行,每位選手最多有5次選題答題的機會,選手累計答對3題

或答錯3題即終止其初賽的比賽，答對3題者直接進入決賽，答錯3題者則被淘汰，己知選手

甲答題的正確率為|.

(I)求選手甲可進入決賽的概率；

(H)設選手甲在初賽中答題的個數(shù)為f,試寫出f的分布列，并求f的數(shù)學期望.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：由于點P的直角坐標為(l,-√^3),則P=I2+(-√3)2=2-

百°s。結(jié)合選項可得：。=苫,

再由°

—V3=psιnθJ

所以點P的極坐標為(2,-令.

故選：B.

根據(jù)點的直角坐標系求出P，再由｛；二，:需，即可求出。，從而得到點P的極坐標.

本題主要考查點的極坐標與直角坐標的互化，屬于基礎題.

2.【答案】B

【解析】解：由題意可知，直線的斜率為k=筆=包浮=tan50。，

sιn40cos50

所以，該直線的傾斜角為50。，

故選：B.

求出直線的斜率，結(jié)合誘導公式可求得該直線的傾斜角.

本題考查直線的斜率以及誘導公式，屬于基礎題.

3.【答案】D

【解析】解：二項式(x-J=)"展開式的二項式系數(shù)和為2"=64,可得n=6,

fck6k

所以，二項式(X一套)6展開式的通項為幾+1=竦.χ6-k.(--?)=CA?(-2)?X4(fc=

0,1,2,…,6),

令6-∣k=0,可得々=4,則展開式中常數(shù)項為C>(一2尸=240.

故選：D.

利用展開式二項式系數(shù)和求出n的值，然后寫出二項展開式通項，令X的指數(shù)為零，求出參數(shù)的值,

代入通項即可得解.

本題主要考查二項式定理，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

4.【答案】C

【解析】解：對于從已知一組數(shù)據(jù)修，打，?>???>XIo的方差為IO,則與+2,小+2,Λ?+2,

…，+2的方差為UX10=10,故A錯誤：

對于8：對具有線性相關關系的變量％,y,其線性回歸方程為y=o.3x-m,若樣本點的中心為

（m,2.8）,故2.8=0.3Zn-Tn,解得m=-4,故B錯誤；

對于C：已知隨機變量X服從正態(tài)分布N3,M）,若P（χ>-2）+P（X≥4）=l,則〃=慧匕=1,

故C正確；

對于D：已知隨機變量X服從二項分布B（n,》，所以E（X）=Wn,若E（3X+1）=3xgn+1=6,

則M=5,故力錯誤.

故選：C.

直接利用均值和方差的關系式及正態(tài)分布的性質(zhì)判斷4、8、C、。的結(jié)論.

本題考查均值和方差的關系式及正態(tài)分布的性質(zhì)，屬于基礎題.

5.【答案】D

【解析】解：生3個小孩的總事件。包含（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男,

男），（男，女,女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女），共8個基本事件，

事件4包含（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，

男），共6個基本事件，

事件B包含（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女），共4個基本事件，

事件C包含（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），共4個基本事件，

A選項，因為BnC=0,BUC=O,所以事件B與事件C互斥且對立，4錯誤；

B選項，因為AnB羊0,所以事件4與事件B不互斥，不對立，8錯誤；

C選項，因為BnC=。，所以P（BC）=0,又P（B）=P（C）=W=[故P（BC）羊P（B）P（C）,故事

件B與事件C不獨立，C錯誤；

D選項，因為4CB有3個基本事件，所以PaIB）=|,又P（4）=J=',

oO4

所以P（AB）=PQ4）P（B）,。正確.

故選：D.

先列出生3個小孩包含的基本事件數(shù)及事件4事件事件C,包含的基本事件數(shù)，再利用互斥,

對立和獨立事件所滿足的關系，對四個選項一一作出判斷.

本題主要考查了古典概率公式的應用，屬于基礎題.

6.【答案】C

【解析】解：由表格可知：X+0.1+0.3+y=1,

7x+8×0.1+9×0.3+10×y=8.9

解得y=0.4.

故選：C.

根據(jù)分布列的概率之和是1,得到關于X和y之間的一個關系式，由變量的期望值，得到另一個關

于X和y的關系式，聯(lián)立方程，解出要求的y的值.

本題是期望和分布列的簡單應用，通過創(chuàng)設情境激發(fā)學生學習數(shù)學的情感，培養(yǎng)其嚴謹治學的態(tài)

度.在學生分析問題、解決問題的過程中培養(yǎng)其積極探索的精神，屬于基礎題.

7.【答案】A

【解析】解：由題意可得4表示事件“抽到兩名同學性別相同”，

則PG4)=誓=|,

8表示事件“抽到兩名女同學”，則P(AB)=:=余

故P(BM)=需=,=*,

故選：A.

分別求出PG4),P(AB),根據(jù)條件概率的計算公式即可求得答案.

本題主要考查了古典概型的概率公式，考查了條件概率公式，屬于基礎題.

8.【答案】A

【解析】解：根據(jù)直角坐標和極坐標的互化公式X=PCos。，y=psinθ,

則將線段y=1-x(0≤%≤1)化為極坐標方程為PCoSo+psinθ=1,

由0WX≤1,可得線段y=1-X(O≤X≤1)所對應的點在第一象限內(nèi)及坐標軸正半軸上，

故極角6e[θJ],即P=

2Lcos48+sι.n0.?

故選:A.

根據(jù)直角坐標和極坐標的互化公式X=PCOSO,y-psinθ,把方程y=1-x(0≤x≤1)化為極坐

標方程.

本題主要考查把直角坐標方程化為極坐標方程的方法，注意極角。的范圍，屬于基礎題.

9【答案】B

【解析】解：p2cos8+p—3pcosθ—3=0,

???(p-3)(pcosθ+1)=0?解得P=3或PCOSe=-1,

???p2=X2+y2,X=pcosθ,

■-X2+y2=9或X=-1,

故p2cos8+p~3pcosθ-3=。表示一個圓與一條直線.

故選:B.

根據(jù)已知條件，推得p=3或PCOSe=-1,再結(jié)合極坐標公式，即可求解.

本題主要考查簡單曲線的極坐標公式，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎題.

10.【答案】D

【解析】解：因為@一勺3=或.爐+廢./(一勺+廢.4_?+熊.(一滬

所以只有(1+X)中的1與(X-勺3中的瑪.相乘才會得到X,

即瑪?/(-$=-6x,所以X的系數(shù)為—6.

故選：D.

根據(jù)題意，由二項式的展開式可得只有(1+x)中的1與(X-33中的廢?/(一勺相乘才會得到刀,

然后代入計算，即可得到結(jié)果.

本題主要考查二項式定理，考查運算求解能力，屬于基礎題.

11.【答案】B

【解析】

【分析】

本題主要考查把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，點到直線的距離公式的應用，直線和圓的

位置關系，屬于基礎題.

把極坐標方程化為直角坐標方程，求出圓心到直線的距離為1,大于半徑的一半且小于半徑，從而

得出結(jié)論.

【解答】

解：直線的方程為X=2,圓的方程為(X-I)2+⑶-1)2=2,

圓心(1,1)到直線X=2的距離為1,大于半徑的一半且小于半徑，

故圓C上有2個點到1距離為1,

故選:B.

12.【答案】B

【解析】解：①恰有2名學生選課相同，

第一步，先將選課相同的2名學生選出，有量=6種可能；

第二步，從5個項目中選出3個排序，有用=60,

根據(jù)分步計數(shù)原理可得，方法有6×60=360種；

②4名學生所選的課全不相同的方法有用=120種，

根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得，

甲、乙、丙、丁這4名學生至少有3名學生所選的課全不相同的方法共有360+120=480種.

故選：B.

分為恰有2名學生所選的課相同，以及4名學生所選的課全不相同兩種情況，分別計算求解得出，

相加即可得出答案.

本題考查了排列組合的混合問題，先選后排是最基本的指導思想，屬于中檔題.

13.【答案W

【解析】解：因為隨機變量f~B(18,p),且Eo=9,

此時E(f)=18p=9,

解得P=I，

所以D(f)=18X^X(1_》=?

故答案為:∣?

由題意，根據(jù)二項分布的期望與方差公式進行計算即可.

本題考查二項分布及其應用，屬于基礎題.

14.【答案】6

【解析】解：因為3國=4指τ,所以3X?=4X-

o77Qo-XJl7Qv-X+1)\

Q

所以4用，“丁黃，化簡得/

3=×7(IU-X)(9-X)-19%+78=0,

即(X—6)(X—13)=0,解得X=6或X=13,

又因為0≤x≤8且0≤x-l≤9,所以l≤x≤8,所以X=6.

故答案為：6.

由排列數(shù)公式列出關于X的方程，解方程求出X.

本題主要考查了排列數(shù)公式的應用，屬于基礎題.

15.【答案】32

【解析】解：由二項式(1-x)5的展開式的通項為圖+1=Cl(-x)r=(-l)r?Cζxr,

所以IaOl+IaIl+∣α2∣+,??+lɑ?l=<?-a1+fl?一。3+。4一

-=

令X--1,可得=a0-a1+a2-a3+a4ɑs32.

故答案為：32.

求得二項式(1-X)5的展開式的通項，得到IaOI+IaIl+???+∣a5∣=a1-a1+a2-a3+a4-a5,

令X=-1,即可求解.

本題考查了二項式定理的應用，屬于基礎題.

16.【答案】118

【解析】解：從40萬名學生任取1名，成績排名在前9100名的概率為溫*=0.02275,

因為成績X近似服從正態(tài)分布N(98,100),則〃=98,σ=10,

P(β-2σ<X<μ+2σ)=P(78<X<118)=0.9545,

顯然P(X≥118)=0.5×(1-0.9545)=0.02275,從而數(shù)學成績大于等于118分的人數(shù)恰好為

9100,

所以要進入前9100名，成績不會低于118分.

故答案為：118.

求出從40萬名學生任取1名，成績排名在前9100名的概率，再利用正態(tài)分布的對稱性求出對應分

數(shù)作答?

本題考查正態(tài)分布相關知識，屬于中檔題.

17.【答案】解：⑴甲、乙、丙都通過測試的概率為0.6X0.8X0.9=0.432；

(2)甲、乙、丙至少有一人通過測試的概率為I-(I-0.6)X(1—0.8)X(1—0.9)=0.992.

【解析】(1)利用獨立事件的乘法公式可得答案；

(2)利用獨立事件的乘法公式、對立事件概率計算公式可得答案.

本題考查了相互獨立事件和對立事件的概率計算公式，是基礎題.

18.【答案】解：(1)-=1+2+3+4+5=3；-=3+7+9+10+11=8(

Σf-ι(Xf-x)(yi-y)=(l-3)(3-8)+(2-3)(7-8)+(3-3)(9-8)+(4-3)(10-8)+

(5-3)(11-8)=19,

J∑L(3-3)2=J(I-3)2+(2-3)2+(3—3)2+(4—3)2+(5-33=√^W,

J∑F=ι(yi-y)2=J(3—8)2+(7—8)2+(9-8)2+(10—8)2+(11—8。=

Σ乙(母二^^兀-亍)_19

所以「0.95∈[0.75,1],

JΣ乙(XLA)2j∑1("一歷2EX>Γ?U

所以可以用線性回歸模型擬合y與X的關系，且認為兩個變量有很強的線性相關性；

∑?ι(χ∣-χ)(y-y)19.-.^

(2)b=12?~?t-=Io=1?o9'所fif以rα=8-1.9X3=2.3>

Σ?ι8-x)IU

所以y關于X的經(jīng)驗回歸方程為y=1.9X+2.3,

由1.9X+2.3>15得X≥巖Q6.684,

若要使生產(chǎn)4部件的收益不低于15億元，估計至少需要投入6.684億元.

22

【解析】⑴計算出工，。Σ≡-1(χi-χ)(yi-y).J∑f=1(χi-χ)'y∣∑f=1(yi-y)'求出r可得

答案；

(2)利用(1)求出y關于X的經(jīng)驗回歸方程可得答案.

本題考查線性回歸方程相關知識，屬于中檔題.

fx=t+p

19.【答案】解：(1)曲線Cl的參數(shù)方程為｛；(t為參數(shù))，

???X2—y2=(t+1)2—(t—?)2=16—(—16)=32,

X,.?X=pcosθ,y=psinθ,

p2cos2θ—p2s?n2θ=32,

^p2cos2θ=32,

.?,曲線G的極坐標方程為p2cos28=32；

(2)將。=然入CI的極坐標方程得，p2cos^=32,

則p2=64,即Ioal=8,

將。=舞入C2的極坐標方程得，P=2√^cos≡

則P=3,即IoBl=3>

??AB?=?0A?-?0B?=5,

???點P(4,0),

???點P到射線，的距離d=4×sin*=2,

O

.???PAB的面積為TX?AB?xd=gx5x2=5.

【解析】(1)先把曲線Cl的參數(shù)方程化為普通方程，再利用X=Peos。，y=psin?；癁闃O坐標方程

即可；

(2)將。=3分別代入CI和C2的極坐標方程，求出|0川，IoBl的值，進而求出∣4B∣的值，再利用三

角形面積公式求解.

本題主要考查了簡單曲線的極坐標方程，考查了三角形面積公式的應用，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)由曲線E的極坐標方程為P=PCoS之。+V^"ΣQCOSO(Q〉0),

轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為：y2=yj~2aχy

點力(4片)轉(zhuǎn)換為直角坐標為2(-2Y1,-2√^Σ)

又直線/的斜率為1.且過點4

故直線，的直角坐標方程為：x-y=0

(2)在直角坐標系Xoy中，

（x--2√^2+?t

直線慘數(shù)方程為：4yLa為參數(shù)）.

（y=-2^+^t

代入y2=y∕-2ax>

得：t2一（8+2。）￡+8。=0（4和12為8、C對應的參數(shù)）.

所以：t]+12=8+2α,t??t2=16+8α,

由于：MBl,∣BC∣,MCl成等比數(shù)列，

所以：?BC?2=?AB?■?AC?,

即：（t]—t2）2=tl'，

2

故：（?ι+Cz）=5t1?t2,

所以：α2-2α—4=0.

解得：ɑ