第3章 光學(xué)諧振腔與激光模式課件

光學(xué)諧振腔理論研究的精確方法：對(duì)經(jīng)典電磁場(chǎng)理論中的波動(dòng)方程嚴(yán)格求解光學(xué)諧振腔理論研究的近似方法：1.幾何光學(xué)將光看成光線，用幾何光學(xué)方法來(lái)處理，忽略衍射2.矩陣光學(xué)用矩陣代數(shù)的方法研究光學(xué)問(wèn)題。用變換矩陣來(lái)描述光在光腔內(nèi)的往返傳播。3.波動(dòng)光學(xué)菲涅耳－基爾霍夫衍射積分理論光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性光學(xué)諧振腔的模式第三章光學(xué)諧振腔與激光模式2024/3/31第3章光學(xué)諧振腔與激光模式第三章光學(xué)諧振腔與激光模式3.1光學(xué)諧振腔的構(gòu)成和分類（a）閉腔；（b）開(kāi)腔；（c）氣體波導(dǎo)腔3.1.1光學(xué)諧振腔的構(gòu)成和分類2024/3/32第3章光學(xué)諧振腔與激光模式第三章光學(xué)諧振腔與激光模式分類：

按照腔鏡的形狀和結(jié)構(gòu)球面腔和非球面腔

腔內(nèi)是否插入透鏡之類的光學(xué)元件，或者是否考慮腔鏡以外的反射表面簡(jiǎn)單腔和復(fù)合腔

根據(jù)腔中輻射場(chǎng)的特點(diǎn)駐波腔和行波腔

根據(jù)反饋機(jī)理的不同端面反饋腔和分布反饋腔

根據(jù)構(gòu)成諧振腔反射鏡的個(gè)數(shù)兩鏡腔和多鏡腔2024/3/33第3章光學(xué)諧振腔與激光模式第三章光學(xué)諧振腔與激光模式3.1.2典型開(kāi)放式光學(xué)諧振腔1.平行平面腔組成：兩塊互相平行且垂直于激光器光軸的平面鏡激光技術(shù)發(fā)展歷史上最早提出的光學(xué)諧振腔，這種裝置在光學(xué)上稱為法布里—珀羅干涉儀，簡(jiǎn)記為F—P腔。2024/3/34第3章光學(xué)諧振腔與激光模式第三章光學(xué)諧振腔與激光模式2.對(duì)稱共焦腔組成：兩塊相距為L(zhǎng)，曲率半徑分別為和的凹面反射鏡，且。即兩凹面鏡曲率半徑相同且焦點(diǎn)在腔中心處重合。這種結(jié)構(gòu)的諧振腔在腔中心對(duì)光束有弱聚焦作用；特點(diǎn)：對(duì)準(zhǔn)靈敏度低，易于裝調(diào)；衍射損耗低；能充分地利用激活介質(zhì)。2024/3/35第3章光學(xué)諧振腔與激光模式第三章光學(xué)諧振腔與激光模式3.共心腔組成：兩塊相距為L(zhǎng)，曲率半徑分別為和的凹面反射鏡，且。若兩反射鏡曲率半徑相等，則兩凹面鏡曲率中心在腔中心重合，為對(duì)稱共心腔。特點(diǎn)：對(duì)準(zhǔn)精度要求低，裝調(diào)容易；衍射損耗低；不能充分利用激光介質(zhì)。2024/3/36第3章光學(xué)諧振腔與激光模式第三章光學(xué)諧振腔與激光模式4.平凹腔組成：相距為L(zhǎng)的一塊平面反射鏡和一塊曲率半徑為R的凹面反射鏡當(dāng)，稱為半共焦腔特點(diǎn)：衍射損耗低，易于裝調(diào)2024/3/37第3章光學(xué)諧振腔與激光模式模式：諧振腔內(nèi)可能存在的電磁場(chǎng)本征狀態(tài)（振蕩頻率和空間分布）縱模：沿光軸方向的光強(qiáng)分布；橫模：垂直于光軸的橫截面上的光強(qiáng)分布。腔的結(jié)構(gòu)確定模式特征第三章光學(xué)諧振腔與激光模式3.2激光模式2024/3/38第3章光學(xué)諧振腔與激光模式第三章光學(xué)諧振腔與激光模式3.2.1駐波與諧振頻率當(dāng)激光器處于振蕩狀態(tài)，激光器內(nèi)部的光為滿足一定相位條件的駐波。2024/3/39第3章光學(xué)諧振腔與激光模式第三章光學(xué)諧振腔與激光模式頻率、振幅、振動(dòng)方向均相同的兩列波在同一直線上沿相反方向傳播時(shí)，相干形成駐波。駐波條件：諧振條件：2024/3/310第3章光學(xué)諧振腔與激光模式基縱模：整數(shù)所表征的腔內(nèi)縱向穩(wěn)定場(chǎng)分布縱模間隔：第三章光學(xué)諧振腔與激光模式3.2.2縱模(LongitudinalMode)不同的駐波的電磁場(chǎng)在沿軸線方向（縱向）上的分布是不一樣的，由整數(shù)q所表征的腔內(nèi)縱向的穩(wěn)定場(chǎng)分布稱為激光的縱模。q稱為縱模的序數(shù)，不同縱模相應(yīng)于不同的q值，對(duì)應(yīng)不同的諧振頻率。2024/3/311第3章光學(xué)諧振腔與激光模式第三章光學(xué)諧振腔與激光模式理想情況下，一個(gè)縱模對(duì)應(yīng)一個(gè)諧振頻率值，實(shí)際上每一個(gè)縱模都具有一定寬度:2024/3/312第3章光學(xué)諧振腔與激光模式例：He－Ne激光器，，當(dāng)和時(shí)，激光器中分別可能出現(xiàn)幾種頻率的激光？（已知Ne原子自發(fā)輻射的中心頻率，熒光光譜線寬）解：一種頻率（單縱模）三種頻率（多縱模）2024/3/313第3章光學(xué)諧振腔與激光模式結(jié)論：1.

工作原子（分子、離子）自發(fā)輻射的熒光線寬越大，可能出現(xiàn)的縱模數(shù)越多。2.

激光器腔長(zhǎng)越大，相鄰縱模的頻率間隔越小，因而同樣的熒光譜線寬度內(nèi)可容納的縱模數(shù)越多。第三章光學(xué)諧振腔與激光模式2024/3/314第3章光學(xué)諧振腔與激光模式m——x方向節(jié)線數(shù)n——y方向節(jié)線數(shù)諧振腔內(nèi)的光波在垂直于光軸的橫截面內(nèi)的電磁場(chǎng)分布。每一種橫模對(duì)應(yīng)一種橫向的穩(wěn)定場(chǎng)分布。第三章光學(xué)諧振腔與激光模式3.2.3橫模(TransverseElectro-MagneticMode)將一塊觀察屏插入激光器的輸出鏡前，即可觀察到激光輸出的橫模圖形，即光束橫截面上的光強(qiáng)分布情況。2024/3/315第3章光學(xué)諧振腔與激光模式橫模

TransverseElectro-MagneticMode2024/3/316第3章光學(xué)諧振腔與激光模式自再現(xiàn)模（橫模）：在腔反射鏡面上經(jīng)過(guò)一次往返傳播后能“自再現(xiàn)”的穩(wěn)定場(chǎng)分布，相對(duì)分布不受衍射影響。鏡邊緣的衍射效應(yīng)：損失能量，引起能量分布的變化。橫模－橫模的形成2024/3/317第3章光學(xué)諧振腔與激光模式（a）理想開(kāi)腔；（b）孔闌傳輸線；（c）自再現(xiàn)模的形成橫模－橫模的形成孔闌傳輸線2024/3/318第3章光學(xué)諧振腔與激光模式第三章光學(xué)諧振腔與激光模式對(duì)激光模式的理解：

縱模和橫模各從一個(gè)側(cè)面反映了諧振腔內(nèi)穩(wěn)定的光場(chǎng)分布，只有同時(shí)運(yùn)用縱模和橫模概念，才能全面反映腔內(nèi)光場(chǎng)分布。

不同縱模和不同橫模都各自對(duì)應(yīng)著不同的光場(chǎng)分布和頻率，但不同縱模光場(chǎng)分布之間差異很小，不能用肉眼觀察到，只能從頻率的差異區(qū)分它們；不同的橫模，由于其光場(chǎng)分布差異較大，很容易從光斑圖形來(lái)區(qū)分。應(yīng)當(dāng)注意，不同橫模之間，也有頻率差異，這一點(diǎn)常被人們忽視。2024/3/319第3章光學(xué)諧振腔與激光模式選擇性損耗（因橫模而異）幾何損耗：腔的類型，幾何尺寸，橫模階次衍射損耗：腔鏡邊緣的衍射效應(yīng)非選擇性損耗（與模式無(wú)關(guān)）腔鏡反射不完全引起的損耗：透射輸出損耗非激活吸收散射：鏡的吸收、散射、透射3.3光學(xué)諧振腔的損耗3.3.1光腔的損耗1.損耗的種類2024/3/320第3章光學(xué)諧振腔與激光模式2.平均單程損耗因子3.3光學(xué)諧振腔的損耗2024/3/321第3章光學(xué)諧振腔與激光模式3.損耗舉例2024/3/322第3章光學(xué)諧振腔與激光模式光腔的損耗－損耗舉例2024/3/323第3章光學(xué)諧振腔與激光模式光腔的損耗－損耗舉例（3）透射損耗設(shè)兩個(gè)反射鏡的反射率分別為和，則初始光強(qiáng)為的光在腔內(nèi)往返一周，經(jīng)兩個(gè)鏡面反射后，光強(qiáng)變?yōu)椋寒?dāng)，時(shí)，有：2024/3/324第3章光學(xué)諧振腔與激光模式光腔的損耗－損耗舉例（4）吸收損耗一般常用吸收系數(shù)來(lái)定量描述介質(zhì)對(duì)光的吸收作用。其定義為通過(guò)單位長(zhǎng)度介質(zhì)后光強(qiáng)衰減的百分?jǐn)?shù)：介質(zhì)中不同位置處的光強(qiáng)為：若腔內(nèi)介質(zhì)的吸收系數(shù)是均勻的，則光在腔內(nèi)往返一次后光強(qiáng)衰減為：由此可得，由介質(zhì)吸收引起的單程損耗因子為：——介質(zhì)的長(zhǎng)度2024/3/325第3章光學(xué)諧振腔與激光模式——初始光強(qiáng)；——往返m次后的光強(qiáng)時(shí)間往返次數(shù)：3.3.2光子在腔內(nèi)的平均壽命2024/3/326第3章光學(xué)諧振腔與激光模式腔內(nèi)光子數(shù)密度衰減到初始值的所用的時(shí)間。腔損耗越小越大腔內(nèi)光子的平均壽命越長(zhǎng)2024/3/327第3章光學(xué)諧振腔與激光模式品質(zhì)因數(shù)儲(chǔ)存在腔內(nèi)的總能量單位時(shí)間內(nèi)損耗的能量腔內(nèi)振蕩光束體積損耗越小，Q值越高3.3.3無(wú)源腔的品質(zhì)因數(shù)－Q值2024/3/328第3章光學(xué)諧振腔與激光模式1.光線傳播矩陣列矩陣，稱為光線在某一截面處的光線矩陣3.4光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性條件3.4.1腔內(nèi)光線往返傳播的矩陣表示2024/3/329第3章光學(xué)諧振腔與激光模式2.光線變換矩陣用矩陣表達(dá)式來(lái)表示近軸光線通過(guò)一個(gè)光學(xué)系統(tǒng)后光線參數(shù)的變換規(guī)律光線變換矩陣2024/3/330第3章光學(xué)諧振腔與激光模式(1)均勻介質(zhì)層的光線變換矩陣ＺＹ０Ｚ＝Ｌ2024/3/331第3章光學(xué)諧振腔與激光模式凹面鏡：凸面鏡：(2)球面反射鏡的光線變換矩陣2024/3/332第3章光學(xué)諧振腔與激光模式(3)薄透鏡的光線變換矩陣會(huì)聚透鏡：發(fā)散透鏡：2024/3/333第3章光學(xué)諧振腔與激光模式常用光學(xué)元件的光線變換矩陣2024/3/334第3章光學(xué)諧振腔與激光模式反射：反射：3.光學(xué)諧振腔內(nèi)光線往返傳播矩陣2024/3/335第3章光學(xué)諧振腔與激光模式一次往返總變換矩陣：共軸球面腔的穩(wěn)定性條件－腔內(nèi)光線往返傳播的矩陣表示2024/3/336第3章光學(xué)諧振腔與激光模式光線在腔內(nèi)經(jīng)n次往返，變換矩陣為：共軸球面腔的穩(wěn)定性條件－腔內(nèi)光線往返傳播的矩陣表示2024/3/337第3章光學(xué)諧振腔與激光模式穩(wěn)定性條件（1）穩(wěn)定腔：近軸光線在腔內(nèi)往返任意多次而不橫向逸處腔外為有限值為實(shí)數(shù)穩(wěn)定性條件凹面鏡：凸面鏡：3.4.2共軸球面腔的穩(wěn)定性條件2024/3/338第3章光學(xué)諧振腔與激光模式（2）非穩(wěn)腔：光線在腔內(nèi)有限次往返后必然從側(cè)面逸出腔外即或：即（3）臨界腔：即或：即共軸球面腔的穩(wěn)定性條件2024/3/339第3章光學(xué)諧振腔與激光模式2.穩(wěn)區(qū)圖2024/3/340第3章光學(xué)諧振腔與激光模式2024/3/341第3章光學(xué)諧振腔與激光模式2024/3/342第3章光學(xué)諧振腔與激光模式共焦腔：兩個(gè)反射鏡的焦點(diǎn)重合的共軸球面腔對(duì)稱共焦腔：兩個(gè)反射鏡曲率半徑相等的共焦腔簡(jiǎn)并：穩(wěn)定腔內(nèi)光束有限次往返后可形成閉合光路穩(wěn)定腔3.4.3臨界腔1.對(duì)稱共焦腔2024/3/343第3章光學(xué)諧振腔與激光模式軸向光線：閉合非軸向光線：逸出介穩(wěn)腔2.平行平面腔2024/3/344第3章光學(xué)諧振腔與激光模式過(guò)公共中心的光線：閉合不過(guò)公共中心的光線：逸出介穩(wěn)腔實(shí)共心腔虛共心腔對(duì)稱共心腔3.共心腔2024/3/345第3章光學(xué)諧振腔與激光模式題目今有一個(gè)球面腔R1=120mm,R2=200mm,l=80mm,激光輸出鏡為R2

2024/3/346第3章光學(xué)諧振腔與激光模式題目今有一個(gè)球面腔R1=100mm,R2=-150mm,l=80mm,激光輸出鏡為R2，證明諧振腔是否穩(wěn)定！2024/3/347第3章光學(xué)諧振腔與激光模式題目今有一個(gè)平凹腔R1=∞mm,R2=80mm,L=100mm,激光輸出鏡為R2

R2R1L=R22024/3/348第3章光學(xué)諧振腔與激光模式題目今有一個(gè)球面腔R1=100mm,R2=100mm,L=100mm,激光輸出鏡為R2

R2R1L=R1=R22024/3/349第3章光學(xué)諧振腔與激光模式幾何光學(xué)——光線在光腔中的傳播、腔的穩(wěn)定性物理光學(xué)——模式的形成、光場(chǎng)的振幅和相位分布、衍射損耗諧振腔模式理論的基礎(chǔ)菲涅耳－基爾霍夫衍射積分模式自再現(xiàn)概念光的衍射理論自再現(xiàn)模所滿足的積分方程任意諧振腔的性質(zhì)（場(chǎng)的振幅分布、相位分布、衍射損耗、附加相移）基本步驟：3.5光學(xué)諧振腔的衍射理論基礎(chǔ)2024/3/350第3章光學(xué)諧振腔與激光模式光學(xué)諧振腔的衍射理論基礎(chǔ)3.5.1自再現(xiàn)模自再現(xiàn)模（橫模）：在腔反射鏡面上經(jīng)過(guò)一次往返傳播后能“自再現(xiàn)”的穩(wěn)定場(chǎng)分布，相對(duì)分布不受衍射影響。鏡邊緣的衍射效應(yīng)：損失能量，引起能量分布的變化。2024/3/351第3章光學(xué)諧振腔與激光模式光學(xué)諧振腔的衍射理論基礎(chǔ)開(kāi)腔中自再現(xiàn)模的形成2024/3/352第3章光學(xué)諧振腔與激光模式光學(xué)諧振腔的衍射理論基礎(chǔ)3.5.2菲涅耳－基爾霍夫衍射積分P處的場(chǎng)可看作是S上各子波源所發(fā)出的非均勻球面子波在P點(diǎn)振動(dòng)的疊加，即2024/3/353第3章光學(xué)諧振腔與激光模式光學(xué)諧振腔的衍射理論基礎(chǔ)經(jīng)j次渡越后：2024/3/354第3章光學(xué)諧振腔與激光模式光學(xué)諧振腔的衍射理論基礎(chǔ)3.5.3自再現(xiàn)模積分方程自再現(xiàn)：相對(duì)穩(wěn)定（鏡面上各點(diǎn)場(chǎng)振幅按同樣比例衰減，相位發(fā)生同樣大小的滯后）2024/3/355第3章光學(xué)諧振腔與激光模式光學(xué)諧振腔的衍射理論基礎(chǔ)以表示穩(wěn)態(tài)場(chǎng)分布：開(kāi)腔自再現(xiàn)模應(yīng)滿足的積分方程2024/3/356第3章光學(xué)諧振腔與激光模式簡(jiǎn)化的積分方程（本征方程）：近似處理：光學(xué)諧振腔的衍射理論基礎(chǔ)2024/3/357第3章光學(xué)諧振腔與激光模式光學(xué)諧振腔的衍射理論基礎(chǔ)3.5.4自再現(xiàn)模積分方程解的物理意義對(duì)于線性不變系統(tǒng)，輸入某一函數(shù)，如果相應(yīng)的輸出函數(shù)僅等于輸入函數(shù)與一個(gè)復(fù)常數(shù)的乘積，此輸入函數(shù)就是此系統(tǒng)的本征函數(shù)。通過(guò)系統(tǒng)時(shí)不改變函數(shù)形式，僅被衰減或放大，或產(chǎn)生相移。2024/3/358第3章光學(xué)諧振腔與激光模式本征方程的解（不連續(xù)）本征函數(shù)本征值模：鏡面上光場(chǎng)振幅分布幅角：鏡面上光場(chǎng)相位分布模：?jiǎn)纬虛p耗幅角：?jiǎn)纬滔嘁乒鈱W(xué)諧振腔的衍射理論基礎(chǔ)2024/3/359第3章光學(xué)諧振腔與激光模式光學(xué)諧振腔的衍射理論基礎(chǔ)復(fù)常數(shù)的物理意義單程損耗：?jiǎn)未味稍较嘁疲核鶎?duì)應(yīng)的單程總相移為：諧振條件：2024/3/360第3章光學(xué)諧振腔與激光模式光學(xué)諧振腔的衍射理論基礎(chǔ)單程附加相移總結(jié)：

自再現(xiàn)模積分方程的本征函數(shù)決定了鏡面上不同橫模光場(chǎng)的振幅和相位分布。本征值決定了不同橫模的單程損耗、單程相移以及諧振頻率。2024/3/361第3章光學(xué)諧振腔與激光模式3.6平行平面腔的自再現(xiàn)模平行平面腔：迭代法求近似解對(duì)稱共焦腔：解析法求精確解以上：推出了對(duì)稱開(kāi)腔中自再現(xiàn)模的積分方程；討論了方程解的物理意義。下面：求解積分方程（第二類弗里德霍姆方程）一般方法：根據(jù)具體問(wèn)題引入適當(dāng)坐標(biāo)系，簡(jiǎn)化積分方程2024/3/362第3章光學(xué)諧振腔與激光模式平行平面腔的自再現(xiàn)模3.6.1平行平面鏡腔的自再現(xiàn)模積分方程例：矩形平面鏡腔將按,的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)：2024/3/363第3章光學(xué)諧振腔與激光模式平行平面腔的自再現(xiàn)模2024/3/364第3章光學(xué)諧振腔與激光模式平行平面腔的自再現(xiàn)模此方程對(duì)x，y兩個(gè)坐標(biāo)是對(duì)稱的，故可分離變量：2024/3/365第3章光學(xué)諧振腔與激光模式平行平面腔的自再現(xiàn)模3.6.2平行平面腔的數(shù)值迭代解法1.FOX－Li數(shù)值迭代法迭代公式：若已知:j足夠大時(shí):自再現(xiàn)模本征函數(shù)本征值2024/3/366第3章光學(xué)諧振腔與激光模式平行平面腔的自再現(xiàn)模2.自再現(xiàn)模形成過(guò)程實(shí)例:均勻平面波設(shè)條狀腔的具體尺寸：以一列均勻平面波作為第一個(gè)鏡面上的初始激發(fā)波：2024/3/367第3章光學(xué)諧振腔與激光模式平行平面腔的自再現(xiàn)模經(jīng)過(guò)1次和300次渡越后所得到的振幅的相對(duì)分布：特點(diǎn)：對(duì)于基模，在鏡面中心處振幅最大，從中心到邊緣振幅逐漸減小，整個(gè)鏡面上振幅分布具有偶對(duì)稱性2024/3/368第3章光學(xué)諧振腔與激光模式平行平面腔的自再現(xiàn)模經(jīng)過(guò)1次和300次渡越后所得到的相位的相對(duì)分布：特點(diǎn)：基模的相位分布曲線不是直線，而是有起伏的曲線，說(shuō)明鏡面不是等相面，在鏡面邊緣處相位產(chǎn)生滯后。因此，嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，基模已不僅不是均勻平面波，而且已經(jīng)不再是平面波了。2024/3/369第3章光學(xué)諧振腔與激光模式平行平面腔的自再現(xiàn)模單程衍射損耗無(wú)論是條形腔或圓形鏡平行平面腔，其單程功率損耗的大小都是菲涅耳數(shù)的函數(shù)。條形鏡平面腔的—N曲線（1）對(duì)于同一橫模，唯一地由N值決定，且隨N的增大而減??；（2）菲涅耳數(shù)相同時(shí)（對(duì)于同一N值），隨橫模階次的增大而增大，基模的最低。3.6.3單程衍射損耗、單程相移與諧振頻率2024/3/370第3章光學(xué)諧振腔與激光模式平行平面腔的自再現(xiàn)模單程相移單程總相移為:條形鏡平面腔模的—N曲線（1）對(duì)于同一橫模，唯一地由N值決定，且隨N的增大而減??；（2）菲涅耳數(shù)相同時(shí)（對(duì)于同一N值），隨模階次的增大而增大，基模的最低。2024/3/371第3章光學(xué)諧振腔與激光模式平行平面腔的自再現(xiàn)模單程相移條狀腔自再現(xiàn)模的諧振頻率：可以忽略不計(jì)。因此，對(duì)于條狀腔，自再現(xiàn)模的諧振頻率采用公式：2024/3/372第3章光學(xué)諧振腔與激光模式對(duì)稱共焦腔方形鏡共焦腔圓形鏡共焦腔解析解自再現(xiàn)模的特征行波場(chǎng)的特征§3.7對(duì)稱共焦腔的自再現(xiàn)模2024/3/373第3章光學(xué)諧振腔與激光模式1.方形鏡共焦腔的自再現(xiàn)模所滿足的積分方程式及其解析解3.7.1方形鏡對(duì)稱共焦腔簡(jiǎn)化的積分方程（本征方程）：2024/3/374第3章光學(xué)諧振腔與激光模式RRr

(x

,y

)(x,y)

2024/3/375第3章光學(xué)諧振腔與激光模式積分方程的核：方形鏡：積分方程：2024/3/376第3章光學(xué)諧振腔與激光模式無(wú)量綱變換令：分離變量后的積分方程：2024/3/377第3章光學(xué)諧振腔與激光模式m,n取一系列不連續(xù)的整數(shù)一系列本征函數(shù)一系列相應(yīng)本征值（自再現(xiàn)模）角向長(zhǎng)橢球函數(shù)精確解本征值2024/3/378第3章光學(xué)諧振腔與激光模式用厄米－高斯函數(shù)近似代替本征方程的精確解——常系數(shù);——m階多項(xiàng)式厄米－高斯近似2024/3/379第3章光學(xué)諧振腔與激光模式最初幾階厄米多項(xiàng)式將X，Y換成鏡面上直角坐標(biāo)x，y，本征函數(shù)為：厄米－高斯近似2024/3/380第3章光學(xué)諧振腔與激光模式高斯型分布：模的振幅從鏡中心（x=y=0）向鏡邊緣平滑減?。?）鏡面上光場(chǎng)分布特征2.方形鏡共焦腔自再現(xiàn)模的特征①振幅分布基模：2024/3/381第3章光學(xué)諧振腔與激光模式鏡面上場(chǎng)的振幅分布---基模基模光斑半徑：振幅降至最大值的2024/3/382第3章光學(xué)諧振腔與激光模式基模強(qiáng)度分布：鏡面上場(chǎng)的振幅分布---基模2024/3/383第3章光學(xué)諧振腔與激光模式鏡面上場(chǎng)的振幅分布---高階橫模2024/3/384第3章光學(xué)諧振腔與激光模式在x方向有m條節(jié)線，在y方向有n條節(jié)線高階模光斑半徑（沿不同坐標(biāo)分別計(jì)算）：基模光斑半徑高階模光斑半徑鏡面上場(chǎng)的振幅分布2024/3/385第3章光學(xué)諧振腔與激光模式由自再現(xiàn)模本征函數(shù)的輻角決定長(zhǎng)橢球函數(shù)為實(shí)函數(shù)為實(shí)函數(shù)鏡面上各點(diǎn)位相相同②相位分布共焦腔反射鏡本身構(gòu)成光場(chǎng)的一個(gè)等相位面。2024/3/386第3章光學(xué)諧振腔與激光模式1.均勻平面波損耗>平行平面腔損耗>

共焦腔損耗2.共焦腔損耗隨橫模階數(shù)m和n而增加3.通常尺寸的共焦腔激光器，基模衍射損耗小到可以忽略，當(dāng)菲涅耳數(shù)很?。∟<1）時(shí)，衍射損耗才起顯著作用（2）單程能量損耗2024/3/387第3章光學(xué)諧振腔與激光模式

單程相移——附加相移，隨橫模階次而變，與菲涅耳數(shù)無(wú)關(guān)（3）單程相移和諧振頻率2024/3/388第3章光學(xué)諧振腔與激光模式諧振頻率：屬于同一橫模的相鄰兩縱模頻率間隔：同一縱模的相鄰橫模之間頻率間隔：

諧振頻率2024/3/389第3章光學(xué)諧振腔與激光模式自再現(xiàn)模：共焦腔反射鏡面上的場(chǎng)分布行波場(chǎng)：共焦腔內(nèi)或腔外任一點(diǎn)的場(chǎng)分布自再現(xiàn)?；鶢柣舴蜓苌浞e分方程任一點(diǎn)的行波場(chǎng)Introduction3.方形鏡共焦腔行波場(chǎng)的特征2024/3/390第3章光學(xué)諧振腔與激光模式1.

衰減因子，反應(yīng)隨行波場(chǎng)傳播，振幅大小的衰減規(guī)律2.振幅分布因子3.相位因子共焦腔內(nèi)任一點(diǎn)的行波場(chǎng)2024/3/391第3章光學(xué)諧振腔與激光模式(1)振幅分布2024/3/392第3章光學(xué)諧振腔與激光模式基模光斑尺寸（振幅的處）：——鏡面上基模的光斑半徑——z=0處基模光斑半徑與的關(guān)系：雙曲線

基模振幅分布和光斑尺寸2024/3/393第3章光學(xué)諧振腔與激光模式

基模振幅分布和光斑尺寸2024/3/394第3章光學(xué)諧振腔與激光模式定義：某一模式在腔內(nèi)所能擴(kuò)展的空間范圍模體積大，則輸出功率大；模體積小，則輸出功率??；基模集中在腔軸線附近，模階次越高，模體積越大對(duì)稱共焦腔的基模模體積：對(duì)稱共焦腔的高階模模體積：(2)模體積2024/3/395第3章光學(xué)諧振腔與激光模式共焦場(chǎng)的等相位面是凹向腔中心的球面Z=0時(shí)，Z=時(shí)，共焦場(chǎng)在兩個(gè)鏡面處的等相位面與鏡面重合(3)等相位面分布等相位面方程：等相位面的曲率半徑：2024/3/396第3章光學(xué)諧振腔與激光模式雙曲線的兩條漸近線之間的夾角高階模發(fā)散角隨模階次的增大而增大，故多模振蕩方向性變差。4.遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角2024/3/397第3章光學(xué)諧振腔與激光模式由兩塊相同的圓形球面鏡組成；處理方法與方形鏡相似，采用極坐標(biāo)；精確解為超橢球函數(shù)。時(shí)：——可任選一個(gè)（m＝0時(shí)只能取cos項(xiàng)）1.拉蓋爾－高斯近似3.7.2圓形鏡共焦腔2024/3/398第3章光學(xué)諧振腔與激光模式最初幾階拉蓋爾多項(xiàng)式：本征值的近似解：——締合拉蓋爾多項(xiàng)式拉蓋爾－高斯近似2024/3/399第3章光學(xué)諧振腔與激光模式基模振幅分布（1）鏡面上的光場(chǎng)分布基模振幅鏡面上振幅分布為高斯型；無(wú)節(jié)線；r=0（中心處）振幅最大；基模光斑半徑與方形鏡共焦腔完全一樣2.圓形鏡共焦腔自再現(xiàn)模的特征2024/3/3100第3章光學(xué)諧振腔與激光模式光斑半徑隨m、n而增大；高階模m——角向節(jié)線數(shù)n——徑向節(jié)圓數(shù)出現(xiàn)節(jié)線或節(jié)圓無(wú)解析表達(dá)式高階模振幅分布2024/3/3101第3章光學(xué)諧振腔與激光模式為實(shí)函數(shù)圓形鏡共焦腔鏡面本身是等相位面——幾何相移——附加相移相位分布單程相移2024/3/3102第3章光學(xué)諧振腔與激光模式頻率上高度簡(jiǎn)并：如等模的諧振頻率相同諧振頻率2024/3/3103第3章光學(xué)諧振腔與激光模式拉蓋爾—高斯近似不能分析模的損耗3.圓形鏡共焦腔的損耗比平面腔低的多，但比同階方形鏡共焦腔大。1.所有模式的均隨的增大而急劇減小。2.基模的最小，模階次越高，越大；單程衍射損耗2024/3/3104第3章光學(xué)諧振腔與激光模式鏡面上場(chǎng)分布（自在現(xiàn)模）菲涅耳—基爾霍夫衍射積分行波場(chǎng)基模光束振幅分布光斑尺寸等相面的曲率半徑光束發(fā)散角與方形鏡共焦腔行波場(chǎng)相同3.圓形鏡共焦腔行波場(chǎng)的特征2024/3/3105第3章光學(xué)諧振腔與激光模式一般穩(wěn)定球面腔兩個(gè)曲率半徑不同的球面鏡按任意間距組成滿足分析方法：等價(jià)共焦腔方法優(yōu)：簡(jiǎn)明缺：不夠嚴(yán)格共焦腔模式理論1.定量說(shuō)明共焦腔振蕩摸的特征2.推廣應(yīng)用到一般穩(wěn)定球面腔系統(tǒng)Introduction§3.8一般穩(wěn)定球面腔的模式特征2024/3/3106第3章光學(xué)諧振腔與激光模式證明任何一個(gè)共焦腔等價(jià)無(wú)窮多個(gè)穩(wěn)定球面腔等價(jià)唯一的共焦腔任何一個(gè)穩(wěn)定球面腔等價(jià)——具有相同的行波場(chǎng)共焦腔等相位面的曲率半徑：等價(jià)共焦腔3.8.1一般穩(wěn)定球面腔與共焦腔的等價(jià)性2024/3/3107第3章光學(xué)諧振腔與激光模式1.任意一個(gè)共焦腔與無(wú)窮多個(gè)穩(wěn)定球面腔等價(jià)得到一個(gè)新的諧振腔，其行波場(chǎng)與原共焦腔完全一致同樣方法可構(gòu)造出無(wú)數(shù)個(gè)等價(jià)的球面腔任意一個(gè)共焦腔無(wú)窮多個(gè)球面腔（1）在共焦腔任意兩處放置兩個(gè)與該處等相位面曲率半徑相同的球面反射鏡（雙凹腔為例）2024/3/3108第3章光學(xué)諧振腔與激光模式該等價(jià)球面腔是穩(wěn)定的（2）共焦腔行波場(chǎng)內(nèi)任取兩點(diǎn)：——等相位面曲率半徑——反射鏡的曲率半徑2024/3/3109第3章光學(xué)諧振腔與激光模式:原點(diǎn)右側(cè)為正，原點(diǎn)左側(cè)為負(fù)符號(hào)規(guī)則：（反射鏡曲率半徑）（等相位面曲率半徑）凹面向著腔內(nèi)為正凸面向著腔內(nèi)為負(fù)2.任意一個(gè)穩(wěn)定球面腔等價(jià)于唯一一個(gè)共焦腔2024/3/3110第3章光學(xué)諧振腔與激光模式唯一一組解唯一確定一個(gè)等價(jià)共焦腔一般穩(wěn)定球面腔等價(jià)共焦腔2024/3/3111第3章光學(xué)諧振腔與激光模式等價(jià)——具有相同的行波場(chǎng)實(shí)用意義——將共焦腔理論推廣應(yīng)用到一般穩(wěn)定球面腔系統(tǒng)等價(jià)依據(jù)——一般穩(wěn)定球面腔兩鏡面為共焦腔的兩個(gè)等相位面總結(jié)：一般穩(wěn)定球面腔與共焦腔的等價(jià)性

2024/3/3112第3章光學(xué)諧振腔與激光模式等于其等價(jià)共焦腔在球面腔鏡面處的光斑半徑分析方法：求出其等價(jià)共焦腔，由等價(jià)共焦腔理論進(jìn)行分析

3.8.2一般穩(wěn)定球面腔的模式特征

1.鏡面上的光斑半徑2024/3/3113第3章光學(xué)諧振腔與激光模式基模：高階模：2.模體積3.等相位面的分布2024/3/3114第3章光學(xué)諧振腔與激光模式一般穩(wěn)定球面腔兩個(gè)反射鏡面頂點(diǎn)處的位相因子：諧振條件：諧振頻率：4.諧振頻率2024/3/3115第3章光學(xué)諧振腔與激光模式共焦腔菲涅耳數(shù)：共焦腔鏡面上基模光斑半徑：一般穩(wěn)定球面腔等效菲涅耳數(shù)：——鏡面基模光斑半徑——穩(wěn)定球面腔的反射鏡線度5.單程衍射損耗2024/3/3116第3章光學(xué)諧振腔與激光模式查曲線圖，或由經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算求得平均單程損耗：一般穩(wěn)定球面腔的損耗決定于菲涅耳數(shù)N幾何結(jié)構(gòu)g橫模階數(shù)m、n一般規(guī)律（1）衍射損耗隨橫模階數(shù)的增加而增大；（2）共焦腔衍射損耗最小，平面腔衍射損耗最大；（3）菲涅耳數(shù)增大時(shí)，各種腔的衍射損耗都減小單程衍射損耗2024/3/3117第3章光學(xué)諧振腔與激光模式共焦腔：一般穩(wěn)定球面腔：6.基模遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角2024/3/3118第3章光學(xué)諧振腔與激光模式例：有一球面腔，R1＝1.5m，R2＝－1m，L＝80cm。試證明該腔為穩(wěn)定腔；求出它的等價(jià)共焦腔的參數(shù)；在圖上畫(huà)出等價(jià)共焦腔的具體位置。解：該腔為穩(wěn)定腔等價(jià)共焦腔參數(shù)2024/3/3119第3章光學(xué)諧振腔與激光模式O等價(jià)共焦腔原穩(wěn)定球面腔2024/3/3120第3章光學(xué)諧振腔與激光模式非穩(wěn)定條件：或損耗大（也稱為高損耗腔）；模體積大（大致充滿激光工作物質(zhì)）;高功率;N>>1，衍射損耗不起重要作用，采用幾何光學(xué)分析方法;易獲得單橫模（基模）振蕩;非穩(wěn)腔特點(diǎn)§3.