熱機(jī)效應(yīng)（上）（2月7日上線）

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁/共頁高二物理高二物理比賽第4講循環(huán)效率及絕熱近似本講本講導(dǎo)學(xué)循環(huán)過程是熱力學(xué)中的一個(gè)主要的問題，本講主要通過例題推薦各種循環(huán)過程。同時(shí)，在本講的最后，也會(huì)將一些難題推薦給大家。知識(shí)點(diǎn)睛知識(shí)點(diǎn)睛一、循環(huán)過程系統(tǒng)由某一狀態(tài)出發(fā)，經(jīng)歷一系列過程又回到本來狀態(tài)的過程，稱為循環(huán)過程。熱機(jī)循環(huán)過程在P-V圖上是一根順時(shí)針繞向的閉合曲線(如圖2-2-1)。系統(tǒng)經(jīng)過循環(huán)過程回到本來狀態(tài)，因此△E=0。ABCDPVABCDPVOMN圖2-2-1(P-V圖中循環(huán)曲線所包圍的面積)而且由熱力學(xué)第一定律可知：在囫圇循環(huán)中系統(tǒng)繞從外界吸收的熱量總和，必然大于放出的熱量總和，而且熱機(jī)效率表示吸收來的熱量有多少轉(zhuǎn)化為實(shí)用的功，是熱機(jī)性能的重要標(biāo)志之一，效率的定義為＜1卡諾循環(huán)物質(zhì)系統(tǒng)經(jīng)歷一系列的變化過程又回到初始狀態(tài)，這樣的周而復(fù)始的變化過程為循環(huán)過程，簡(jiǎn)稱循環(huán)。在P-V圖上，物質(zhì)系統(tǒng)的循環(huán)過程用一個(gè)閉合的曲線表示。經(jīng)歷一個(gè)循環(huán)，回到初始狀態(tài)時(shí)，內(nèi)能不變。利用物質(zhì)系統(tǒng)(稱為工作物)持續(xù)不斷地把熱轉(zhuǎn)換為功的裝置叫做熱機(jī)。在循環(huán)過程中，使工作物從膨脹作功以后的狀態(tài)，再回到初始狀態(tài)，周而復(fù)始舉行下去，并且必而使工作物在返回初始狀態(tài)的過程中，外界壓縮工作物所作的功少于工作物在膨脹時(shí)對(duì)外所做的功，這樣才干使工作物對(duì)外做功。獲得低溫裝置的致冷機(jī)也是利用工作物的循環(huán)過程來工作的，不過它的運(yùn)行方向與熱機(jī)中工作物的循環(huán)過程相反?？ㄖZ循環(huán)是在兩個(gè)溫度恒定的熱源之間工作的循環(huán)過程。我們來研究由平衡過程組成的卡諾循環(huán)，工作物與溫度為的高溫?zé)嵩唇佑|是等溫膨脹過程。同樣，與溫度為的低溫?zé)嵩唇佑|而放熱是等溫壓縮過程。因?yàn)楣ぷ魑镏慌c兩個(gè)熱源交換能量，所以當(dāng)工作物脫離兩熱源時(shí)所舉行的過程，必然是絕熱的平衡過程。如圖2-3-1所示，在理想氣體卡諾循環(huán)的P-V圖上，曲線ab和cd表示溫度為和的兩條等溫線，曲線bc和da是兩條絕熱線。我們先研究以狀態(tài)a為始點(diǎn)，沿閉合曲線abcda所作的循環(huán)過程。在abc的膨脹過程中，氣體對(duì)外做功是曲線abc下面的面積，在cda的壓縮過程中，外界對(duì)氣體做功是曲線cda下面的面積。氣體對(duì)外所做的凈功就是閉合曲線abcda所圍面積，氣體在等溫膨脹過程ab中，從高溫?zé)嵩次鼰幔瑲怏w在等溫壓縮過程cd中，向低溫?zé)嵩捶艧?。?yīng)用絕熱方程和得，所以，卡諾熱機(jī)的效率我們?cè)傺芯坷硐霘怏w以狀態(tài)a為始點(diǎn)，沿閉合曲線adc0V1V4V2V3VT1T2圖2-3-1ba所分的循環(huán)過程。顯然，氣體將從低溫?zé)嵩醇橙崃?，又采納外界對(duì)氣體所作的功0V1V4V2V3VT1T2圖2-3-1二、熱力學(xué)第二定律表述1：不可能制成一種循環(huán)動(dòng)作的熱機(jī)，只從一個(gè)熱源汲取熱量，使之所有變?yōu)閷?shí)用的功，而其他物體不發(fā)生任何變化。表述2：熱量不可能自動(dòng)地從低溫物體轉(zhuǎn)向高溫物體。在表述1中，我們要異常注重“循環(huán)動(dòng)作”幾個(gè)字，倘若工作物舉行的不是循環(huán)過程，如氣體作等溫膨脹，那么氣體只使一個(gè)熱源冷卻作功而不放出熱量便是可能的。該講述反映了熱功轉(zhuǎn)換的一種異常邏輯，并且表述1與表述2具有等價(jià)性。我們用反證法來證實(shí)兩者的等價(jià)性。ⅠⅡⅢpV假設(shè)表述1不成立，亦即允許有一循環(huán)E可以從高溫?zé)嵩慈〉脽崃?，并所有轉(zhuǎn)化為功W。這樣我們?cè)倮靡粋€(gè)逆卡諾循環(huán)口采納E所作功W(=)，使它從低溫?zé)嵩慈〉脽崃?，輸出熱量給高溫?zé)嵩础，F(xiàn)在把這兩個(gè)循環(huán)總的看成一部復(fù)合致冷機(jī)，其總的結(jié)果是，外界沒有對(duì)他做功而它卻把熱量從低溫?zé)嵩磦鹘o了高溫?zé)嵩?。這就說明，倘若表述1不成立，則表述2也不成立。反之，也可以證實(shí)倘若表述2不成立，則表述1也必然不成立。ⅠⅡⅢpV試證實(shí)在P-V圖上兩條絕熱線不能相交。假定兩條絕熱線Ⅰ與Ⅱ在P-V圖上相交于一點(diǎn)A，如圖所示?，F(xiàn)在，在圖上再畫一等溫線Ⅲ，使它與兩條絕熱線組成一個(gè)循環(huán)。這個(gè)循環(huán)惟獨(dú)一個(gè)單熱源，它把吸收的熱量所有改變?yōu)楣?，即?1，并使周圍沒有變化。顯然，這是違抗熱力學(xué)第二定律的，因此兩條絕熱線不能相交。例題精講例題精講1mol理想氣體緩慢地經(jīng)歷了一個(gè)循環(huán)過程,在p-V圖中這一過程是一個(gè)橢圓,如圖所示.已知次氣體若處在與橢圓中央O′點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)時(shí),其溫度為T0=300K.求在囫圇循環(huán)過程中氣體的最高溫度T1,和最低溫度T2各是多少.單原子氣體，經(jīng)歷的循環(huán)過程由圖上的直線過程與絕熱壓縮過程組成。已知，，,求該循環(huán)的效率。理想氣體經(jīng)歷一循環(huán)過程在圖中的過程分式如圖所示。其中狀態(tài)的過程方程為其中為狀態(tài)1的溫度，為已知常數(shù)，狀態(tài)2的溫度；狀態(tài)2到狀態(tài)3的過程線為過原點(diǎn)O的直線；狀態(tài)3到狀態(tài)1的過程為與P軸垂直的直線。已知該理想氣體定容摩爾熱容量為。求（1）各狀態(tài)的狀態(tài)參量，并在圖上作出該循環(huán)的圖線。（2）求該循環(huán)的效率。1摩爾的理想氣體經(jīng)歷了一個(gè)在T-v圖上標(biāo)為1—2—3—1的循環(huán)過程，如圖所示．其中，過程1—2的方程式為T＝2T1(1-βV/2)βV，，過程2—3為經(jīng)過原點(diǎn)的直線上的一段，過程3—1的方程式為T=T1β2V2，式中β是常量．狀態(tài)1和2的熱力學(xué)溫度已知為T1和3T1/4，和求該氣體在此循環(huán)過程中對(duì)外所做的功．如圖所示，ν摩爾的理想氣體沿p-V坐標(biāo)面上的直線由狀態(tài)a到達(dá)狀態(tài)b（直線ab的延伸線通過原點(diǎn)O），設(shè)該氣體的摩爾質(zhì)量為μ，定容比熱為常量CV，其他圖中標(biāo)明的參量p1，V1，V2亦已知。（1）試求經(jīng)ab過程，系統(tǒng)內(nèi)能的增量ΔU，對(duì)外作功W，以及系統(tǒng)從外界吸收的熱量Q；（2）試證實(shí)在ab過程中，比熱為常量。已知mol理想氣體所經(jīng)歷的某準(zhǔn)靜態(tài)過程中，摩爾熱容量C可表為式中Cp為定壓摩爾熱容量，為絕熱指數(shù)，Cp和均為常量。設(shè)氣體體積為v0時(shí)，其溫度為T0。試求，氣體在該過程中體積從v0增為2v0的膨脹階段對(duì)外所作的功W。

已知(mol)的某理想氣體在＜時(shí)的定容熱容，在＞時(shí)的定容熱容，其中、均為大于1的常量，該氣體經(jīng)歷的循環(huán)過程是如圖所示的矩形．(1)試求狀態(tài)的溫度，并畫出循環(huán)過程中系統(tǒng)內(nèi)能隨溫度變化的圖線，(2)試計(jì)算循環(huán)過程的效率.（選講）如圖所示，一絕熱密封容器中間有一絕熱活塞，質(zhì)量為m。當(dāng)活塞處于正中間時(shí)，兩邊空氣的壓強(qiáng)均為p0，設(shè)兩邊長(zhǎng)度均為l，活塞面積為S，若不計(jì)摩擦，求活塞做微振動(dòng)的周期。（把空氣看作雙原子分子理想氣體）（選講）一個(gè)吊在墻上單擺，擺長(zhǎng)，重力加速度，質(zhì)量，振幅。慢慢從頂部把繩子抽短到，求當(dāng)前振幅【答案】由此得，可見振幅變?yōu)?/p>

（選講）一個(gè)帶點(diǎn)粒子在磁場(chǎng)中做勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為，磁場(chǎng)緩慢增強(qiáng)為本來的兩倍，則半徑應(yīng)該變?yōu)楸緛淼亩嗌俦?？（選講）目前，因?yàn)榫芎附拥燃夹g(shù)的需求，人們對(duì)納米尺度的縫隙或細(xì)管中的液體的性質(zhì)（例如，凝結(jié)、蒸發(fā)、等）極為擔(dān)心。假設(shè)碳納米管中水與管壁間的接觸角為，納米管的半徑為，水的表面張力系數(shù)為，表面平直的水的凝結(jié)溫度為，冰的熔解熱為，密度為.1.試證實(shí)：上述碳納米管中的水的凝結(jié)溫度相對(duì)于表面平直的水的凝結(jié)溫度的改變量為；提醒：最大熱機(jī)效率為2.實(shí)驗(yàn)測(cè)得當(dāng)接觸角（即）時(shí)，納米管中水的凝結(jié)溫度的改變量與納米管內(nèi)（直）徑間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表所示，(nm)1.351.701.873.216.578.178.86(K)-21.0-15.0-14.2-10.5-7.5-6.5-4.5試