必修二：第二章：2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

明軒教育個(gè)性化輔導(dǎo)授課案教師：學(xué)生：時(shí)間：_2015_年__月日段第__次課教學(xué)目的：掌握判定直線和平面垂直的方法，會(huì)求直線與平面的夾角和二面角教學(xué)重點(diǎn)：

掌握判定直線和平面垂直的方法教學(xué)難點(diǎn)：

會(huì)求直線與平面的夾角和二面角2.2.3學(xué)習(xí)內(nèi)容：直線、平面垂直的判定與性質(zhì)重要知識(shí)點(diǎn)講解知識(shí)點(diǎn)一：直線與平面垂直的定義定義：如果直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線與平面互相垂直。記作，直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面，直線與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足符號(hào)語(yǔ)言：任意，其中“任意直線”等同于“所有直線”規(guī)律與方法直線與平面垂直是直線與平面相交的特殊情形。由定義可知，假設(shè)直線與平面垂直，那么直線與平面內(nèi)的任意一條直線垂直，這是證線線垂直的重要方法重要結(jié)論：過(guò)一點(diǎn)和平面垂直的直線只有一條題型一：直線與平面垂直的判定定義例題1以下命題中，正確的序號(hào)是假設(shè)直線與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，那么；假設(shè)直線與平面內(nèi)的一條直線垂直，那么假設(shè)直線不垂直于平面，那么內(nèi)沒(méi)有與垂直的直線假設(shè)直線不垂直于平面，那么內(nèi)也可以有無(wú)數(shù)條直線與垂直過(guò)一點(diǎn)和平面垂直的直線有且只有一條變式訓(xùn)練1：直線a與b垂直，b⊥平面，那么a與平面的位置關(guān)系是()A．a(chǎn)∥B．a(chǎn)⊥C．a(chǎn)D．a(chǎn)或a∥變式訓(xùn)練2：，為兩條不同的直線，，QUOTE為兩個(gè)不同的平面，那么以下命題中正確的選項(xiàng)是〔〕A．QUOTEB．QUOTEC．QUOTED．變式訓(xùn)練3：兩條直線，兩個(gè)平面，給出下面四個(gè)命題：〔〕①②③④其中正確命題的序號(hào)是〔〕A．①③B．②④C．①④D．②③知識(shí)點(diǎn)二：直線與平面垂直的判定定理定理：一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直圖形語(yǔ)言:符號(hào)語(yǔ)言:推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面直線和平面垂直的性質(zhì)

①直線垂直于平面，那么垂直于平面內(nèi)任意直線．

②垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行．

③垂直于同一直線的兩平面平行．線面角定義：斜線和平面所成的角

斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫斜線和平面所成的角題型二直線與平面垂直的判定定理的運(yùn)用例題1：如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。求證：PC⊥BC變式訓(xùn)練1：正方體，是底對(duì)角線的交點(diǎn).求證：面．題型三：線線、線面垂直的相互轉(zhuǎn)換圖5例題1：正四棱柱與它的側(cè)視圖〔或稱(chēng)左視圖〕，是上一點(diǎn)，．求證；圖5知識(shí)點(diǎn)二：面與面垂直二面角角二面角圖形A邊頂點(diǎn)O邊BA棱lβBα定義從平面內(nèi)一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線〔半直線〕所組成的圖形從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形構(gòu)成射線—點(diǎn)〔頂點(diǎn)〕一射線半平面一線〔棱〕一半平面表示∠AOB二面角α-l-β或α-AB-β定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直。平面與平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面相互垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面。平面與平面垂直的性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直〔面面垂直，那么線面垂直〕平面角BCB1BCB1C1ADDADD1A1B.二面角是指角的兩邊分別在兩個(gè)平面內(nèi)的角C.角的兩邊分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi),那么這個(gè)角就是二面角的平面角D.二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱.例2如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中:(1)求二面角D1-AB-D的大小;(2)求二面角A1-AB-D的大小變式訓(xùn)練1：如圖，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱長(zhǎng)都相等，D、E分別為AC1，BB1的中點(diǎn)?！?〕求證：DE∥平面A1B1C1；〔2〕求二面角A1—DE—B1的大小。兩個(gè)平面垂直例1：在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求證:平面A1C1CA⊥面B1D1DB.ABCDD1A1B1C1ABCDD1A1B1C1變式訓(xùn)練1：如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形，∠ＤＡＢ＝60°,PD⊥平面ABCD，PD=AD,點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，點(diǎn)F為PD中點(diǎn)，求證：(1)平面PED⊥平面PAB;(2)求二面角F-AB-D的正切值．PFCBAEDPFCBAED變式訓(xùn)練2.：判斷以下命題是否正確，并說(shuō)明理由：α⊥γ,β⊥γ,那么α//β；②假設(shè)α⊥β,β⊥γ,那么α⊥γ；③假設(shè)α//α1,β//β1,α⊥β,那么α1⊥β1，變式訓(xùn)練3：直線PA垂直于O所在的平面，A為垂足，AB為O的直徑，C是圓周上異于A、B的一點(diǎn)。求證：平面PAC平面PBC；隨堂練習(xí)1．假設(shè)是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，那么以下命題中的真命題是〔〕A．假設(shè)，那么 B．假設(shè),，，那么C．假設(shè)，，那么 D．假設(shè)，，那么2．以下命題中，不正確的選項(xiàng)是〔〕A.一條直線垂直于平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線，那么這條直線垂直于這個(gè)平面B.平面的垂線一定與平面相交C.過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與平面垂直D.過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線垂直⊥平面，，點(diǎn)P∈，那么給出下面四個(gè)結(jié)論：①過(guò)P和垂直的直線在平面內(nèi)；②過(guò)P和平面垂直的直線在平面內(nèi)；③過(guò)P和垂直的直線必與垂直；④過(guò)P和平面垂直的平面必與垂直。其中真命題是：〔〕A.②B.③C.①、④D.②、③4、關(guān)于直線、與平面、，有以下四個(gè)命題：①且，那么；②且，那么；③且，那么；④且，那么.其中真命題的序號(hào)是〔〕A.①、②B.③、④C.①、④D.②、③、是兩條不同的直線，、是兩個(gè)不同的平面.考查以下命題，其中正確的命題是〔〕A． B．C．D．6.四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點(diǎn)?！并瘛匙C明：面PAD⊥面PCD；〔Ⅱ〕求AC與PB所成的角；〔Ⅲ〕求面AMC與面BMC所成二面角的大小。垂直問(wèn)題的轉(zhuǎn)化關(guān)系判定判定線線垂直線面垂直面面垂直性質(zhì)性質(zhì)小結(jié)：兩個(gè)平面互相垂直的判定方法有：(1)定義法，即說(shuō)明這兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理，即一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直；(3)兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直于第三個(gè)平面，那么另一個(gè)也垂直于第三個(gè)平面.〔一〕二面角的計(jì)算方法：eq\o\ac(○,1)用定義作二面角的平面角eq\o\ac(○,2)用垂面法作二面角的平面角——作垂直于二面角的棱或二面角的兩個(gè)半平面的垂面，那么該垂面與二面角的兩個(gè)半平面交線所成的角就是二面角的平面角.eq\o\ac(○,3)面積法：如果一個(gè)多邊形在一個(gè)平面內(nèi)的射影是一個(gè)多邊形，且這兩個(gè)多邊形所在平面所成的二面角為θ，那么cosθ=.〔二〕求作二面角的平面角求作二面的平面角是解決二面角問(wèn)題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，通過(guò)前面教學(xué)及習(xí)題涉及到的作法有下面三種：

1.定義法：利用二面角的平面角定義，在二面角棱上取一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于棱的射線、兩射線所成角就是二面角的平面角.

2.三垂線法：利用三垂線定理及逆定理通過(guò)證明線線垂直，找到二面角的平面角，關(guān)鍵在找面的垂線.

3.垂面法：作一與棱垂直的平面，該垂面與二面角兩半平面相交，得到交線，交線所成的角為二面角的平面角.

4．面積法：如果一個(gè)多邊形在一個(gè)平面內(nèi)的射影是一個(gè)多邊形，且這兩個(gè)多邊形所在平面所成的二面角為θ，那么cosθ=5．等體積法：利用多面體〔一般是三棱錐〕體積相等，先求得多面體體積，再求三垂線法中垂線的大小注意：求二面角的大小的根本方法為先證后算,即先由有關(guān)立幾結(jié)論找出二面角的平面角(大多數(shù)題是用三垂線法去找),然后借助于解三角形求出平面角三類(lèi)證法

(1)證明線線垂直的方法

定義：兩條直線所成的角為90°；

平面幾何中證明線線垂直的方法；線面垂直的性質(zhì)：a⊥α，b?α?a⊥b；線面垂直的性質(zhì)：a⊥α，b∥α?a⊥b(2)證明線面垂直的方法

線面垂直的定義：a與α內(nèi)任何直線都垂直?a⊥α；eq\o\ac(○,3)判定定理2：a∥b，a⊥α?b⊥α；

eq\o\ac(○,4)面面平行的性質(zhì)：α∥β，a⊥α?a⊥β；

eq\o\ac(○,5)面面垂直的性質(zhì)：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.(3)證明面面垂直的方法

eq\o\ac(○,1)利用定義：兩個(gè)平面相交，所成的二面角是直二面角；

eq\o\ac(○,2)判定定理：a?α，a⊥β?α⊥β課后練習(xí)考向一

直線與平面垂直的判定與性質(zhì)【例1】在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O為AC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABCD.

證明：AD⊥平面PAC.方法總結(jié)：(1)證明直線和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a∥b，a⊥α?b⊥α；α∥β，a⊥α?a⊥β；④面面垂直的性質(zhì)．

(2)線面垂直的性質(zhì)，常用來(lái)證明線線垂直訓(xùn)練一：如下圖，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中點(diǎn)〔Ⅰ〕求證：CM⊥EM；〔Ⅱ〕求CM與平面CDE所成的角考向二

平面與平面垂直的判定與性質(zhì)【例2】如下圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝.M是PC上的一點(diǎn)，證明：平面MBD⊥平面PAD方法總結(jié)：面面垂直的關(guān)鍵是線面垂直，線面垂直的證明方法主要有：判定定理法、平行線法(假設(shè)兩條平行線中一條垂直于這個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面)、面面垂直性質(zhì)定理法，此題就是用的面面垂直性質(zhì)定理法，這種方法是證明線面垂直、作線面角、二面角的一種核心方法【訓(xùn)練2】

如下圖，

在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中點(diǎn)．

證明：平面ABM⊥平面A1B1M考向三

平行與垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

【例3】?如圖，

在四面體ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，點(diǎn)E、F分別是AB、BD的中點(diǎn)．求證：

(1)直線EF∥平面ACD；

(2)平面EFC⊥平面BCD.方法總結(jié)：解答立體幾何綜合題時(shí)，要學(xué)會(huì)識(shí)圖、用圖與作圖．圖在解題中起著非常重要的作用，空間平行、垂直關(guān)系的證明，都與幾何體的結(jié)構(gòu)特征相結(jié)合，準(zhǔn)確識(shí)圖，靈活利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征找出平面圖形中的線線的平行與垂直關(guān)系是證明的關(guān)鍵【訓(xùn)練3】

如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.

求證：AF∥平面BDE；

(2)求證：CF⊥平面BDE.考向四

線面角【例4】如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB上．

(1)求證：平面AEC⊥平面PDB；

(2)當(dāng)PD＝AB，且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AE與平面PDB所成的角的大小方法總結(jié)：求直線與平面所成的角，一般分為兩大步：

(1)找直線與平面所成的角，即通過(guò)找直線在平面上的射影來(lái)完成；

(2)計(jì)算，要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解【訓(xùn)練4】如圖，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分別為AE，AB的中點(diǎn)．

(1)證明：PQ∥平面ACD；

(2)求AD與平面ABE所成角的正弦值【例題5】如圖，在圓錐PO中，PO＝，⊙O的直徑AB＝2，點(diǎn)C在上，且∠CAB＝30°，D為AC的中點(diǎn)．

(1)證明：AC⊥平面POD；

(2)求直線OC和平面PAC所成角的正弦值方法總結(jié)：此題考查垂直關(guān)系的證明，線面角的求解及邏輯推理能力、空間想象能力和運(yùn)算求解能力．試題的難點(diǎn)是第二問(wèn)的線面角，其中作出線面角是解題的關(guān)鍵，作線面角就是找直線上的點(diǎn)在平面內(nèi)的射影，一個(gè)根本的方法就是通過(guò)兩個(gè)平面互相垂直的性質(zhì)定理得出點(diǎn)在平面上的射影專(zhuān)項(xiàng)突破——證明過(guò)程推理不嚴(yán)密而丟分

【問(wèn)題診斷】

高考對(duì)空間線面關(guān)系的考查每年必有一道解答題，難度為中低檔題，大多數(shù)考生會(huì)做而得不到全分，往往因?yàn)橥评聿粐?yán)密，跳步作答所致.

【防范措施】

【典型例題】如圖，

在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F(xiàn)分別是AP，AD的中點(diǎn)．求證：

(1)直線EF∥平面PCD；

(2)平面BEF⊥平面PAD【試一試】

如下圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，E、F分別為PC、BD的中點(diǎn)，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD