2023-2024屆高考數(shù)學(xué)-第17講 直線的斜率問題（解析版）

第17講直線的斜率問題

參考答案與試題解析

一.解答題(共18小題)

1.已知橢圓C:f+3y2=3,過點(diǎn)O(1,0)且不過點(diǎn)E(2,l)的直線與橢圓C交于A,3兩點(diǎn)，直線ΛE與直線

x=3交于點(diǎn)

(I)求橢圓C的離心率；

(II)若AB垂直于X軸，求直線的斜率；

(In)試判斷直線與直線Z)E的位置關(guān)系，并說明理由.

【解答】解：(I)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為q→y2=ι.

所以α=??∕5,b=},c=y/2.

所以橢圓C的離心率e=￡=1&.

a3

(H)因?yàn)樗^點(diǎn)。(1,0)且垂直于X軸，所以可設(shè)A(l,y),B(l,-y1).

直線AE的方程為y-l=(l-y)(x-2).

令x=3,得M(3,2-χ).

2V|+＞，1

所以直線BM的斜率&(M=--=1.

BM3-1

(III)直線與直線DE平行.證明如卜.：

當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，由(∏)可知km=1.

又因?yàn)橹本€DE的斜率A?=FJ=I，所以8W∕ΛDE.

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=Mx-D(AHI).

設(shè)Aa,y∣),B(x,,%),則直線AE的方程為y-l=)~-(x-2).

-X1-2

令X=3,得點(diǎn)M(3,y+'-3).

%一2

由卜-+3y-=3,得(]+3左2)*2_6心+3/_3=0

Iy=Z(X-I)

y∣+x∣-3?

所以芯+/=衛(wèi)\,XM2=生二I?直線的斜率為：怎M=—二，因?yàn)?/p>

^1+3公-1+3公BM3-xl

+2

_Λ(x1-1)+x1-3-Λ(x1-I)(x1-2)-(3-X2)(X∣-2)_(Ar-l)[-x1x2+2(x∣+x2)-3]'""1+3&??+3k??_n

(3-X2)?-2)(3-Λ2)(X1-2)(3-X2)(X1-2)

所以kBM=1=kpE,

:.BMIIDE.

綜上，直線與宜線OE平行.

22

2.設(shè)橢圓C：rr+2=l(α>b>0)的焦距為2√L且經(jīng)過點(diǎn)((M).

a~b

(1)求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)0(1,0)且不過點(diǎn)石(2,1)的直線與橢圓C交于A,8兩點(diǎn)，直線AE與直線x=3交于點(diǎn)M,試判斷

直線與直線OE的位置關(guān)系，并說明理由.

92

【解答】解：(1)?橢圓C：W+】=l(a>b>0)的焦距為2應(yīng),且經(jīng)過點(diǎn)(0,1),

ab

「?根據(jù)題意得：C=JΣ,即/=α2—"=2①，

把((U)代入橢圓方程得：?2=1,

把匕2=1代入①得：6f2=3>

■?

則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為5+y2=?-.

(2)直線&W與直線上平行.

證明如下：

AB過點(diǎn)。(1,0)且垂直于X軸，

.?.可設(shè)A(l,y∣),B(l,-y1),

E(2,l),.?.直線AE的方程為：y-l=(I-X)(X-2),

令x=3,得M(3,2f),

直線的斜率且=

BMAzflw=VL；1.

當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，kRM=\.

又.■直線￡)E的斜率L=FJ=I,.?.8M∕∕r>E?;

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=Mx-1)(%Nl),

設(shè)4(x∣,y∣),B(X2,y2),

則直線AE的方程為y-l=α二%-2),

X.-2,

令x=3,則點(diǎn)M(3,*+'T),

X1—2

X+X一3

_一M

X|J9

直線BM的斜率kKM=-~-----

3-X2

x*l2+34=3,得(]+3左2帚一6七+3〃_3=0,

聯(lián)立

y=fc(x-l)

6公3k2-3

由反達(dá)定理，得A+K=Z^，Xi無？=T

l+3?21+3/

__-1)+X]-3-k(x2—D(X-2)—(3-毛)()—2)

AL=(3-X2)(X1-2)

(k,—1)[—x∣^2+2(X+Xj)—?]

(3-X2)(XI-2)

(3—x2)(x1—2)

=O>

.?.kBM=?=km,即BMHDE-.

綜上所述，直線BM與直線DE平行.

22

3.如圖，A,3分別是橢圓C:=+4=l(α>b>0)的左右頂點(diǎn)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，2是IA用與IFBl的等差

a~h~

中項(xiàng)，√J是|4用與∣F8∣的等比中項(xiàng).

(1)求橢圓C的方程;

(2)已知點(diǎn)P是橢圓C上異于A,3的動(dòng)點(diǎn)，直線/過點(diǎn)A且垂直于X軸，若過尸作直線FQ垂直于AP,

P,3三點(diǎn)共線.

a+c,?BF?=a-c.由2是IA可與IFBl的等差中項(xiàng)，G是IA可與IFBl

的等比中項(xiàng).

I(。-C)+(α+C)=4

.,?\「2，解得々=2，c=l,

(α-c)(α+c)=(6)2

h2=cr-c2=3.

22

橢圓。的方程為三+匕=1.

43

(2)證明：直線/的方程為：x=-2,直線AP的方程為：y=A(x+2)(0),

y=k(x+2)

聯(lián)立〈V>->，化為(3+4^)/+16尸χ+16公-12=0,

jJ

43

16公

X+X=------，

Ap3+4公

6-Sk2,,、、?2k

"=訴'F="(4+2)=i^

QF±AP,:.k=--

PFk

直線QF的方程為：y=-J(x-1),

k

把x=-2代入上述方程可得為=3,

3

??.β(-2,-)?

k

12k33..

,_IZZE??k?

7,β^6-8?2~~4k,IiBQ-Hi-K

--------r+2

3+4?2

kpQ-kBQ

:BP,。三點(diǎn)共線.

22

4.已知橢圓E:土+二=1的焦點(diǎn)在X軸上，A是E的左頂點(diǎn)，斜率為&伏＞0)的直線交E于A,用兩點(diǎn),

f3

點(diǎn)N在E1上，MALNA.

(I)當(dāng)f=4,∣40R4V∣時(shí)，求ΔAΛW的面積；

(II)當(dāng)2∣AMHANl時(shí)，求％的取值范圍.

【解答】解：(I)方法一、f=4時(shí)，橢圓E的方程為?+(=l,A(-2,0),

直線ΛM的方程為y=A(x+2),代入橢圓方程，整理可得(3+4/)/+16/^+16/-12=0,

解得?或一沒則IAMI=√I+F-12-認(rèn)I=√l+?2?—J

3+4公3+4k2

12

由AN1.AM,可得IANl=標(biāo)?

J=4-

23|幻+工

3+4?(-)

IZl

,1D/

212

由IAMl=j4V∣,k>0,可得√1+F---------7=√1+A-，

3+4K3八±

k

整理可得(無-1)(4〃+/+4)=0,由4%2+昔+4=0無實(shí)根,UJ得Z=1,

II____i?144

即有ΔAΛ√7V的面積為jAM∣2=-!-(^+T.——)2=——；

223+449

方法二、由IAMRA7V∣,可得M，N關(guān)于X軸對(duì)稱，

由M4_LN4.可得直線AM的斜率為1,直線AM的方程為y=x+2,

22

代入橢圓方程三十二二1,可得7X2+16X+4=0,

43

??ioO19

解得x=-2或，M(--,—).N(--,--).

77777

則ΔAM∕V的面枳為L(zhǎng)X學(xué)x(-2+2)=出；

27749

(H)直線AM的方程為y=Z(x+√7),代入橢圓方程，

可得(3+tk1)x2+2t?4tk2x+12k2-3/=O,

r血2_3?

解得x=-√?

-3+必~

（補(bǔ)充求M,N的縱坐標(biāo)的方法:

設(shè)則直線AM的方程為X=%—a,與橢圓的方程聯(lián)立，可得（黑?+3y2-網(wǎng)y=0,

-6a

因此M的縱坐標(biāo)為?6*,N的縱坐標(biāo)為2加一=一6零，）

3m~+a-?,23+m~cr

工十〃

IYT

即有IAMl=衍.|叱『一Sl=標(biāo).黑,

IANI==2.正

3k+-

k

由2∣AMl=I4V∣,可得2>/1+產(chǎn)T=JI+。

3+a3k+L

k

整理得f=6f-3%

ki-2

6k?-3k>3,即有1+Dd)

由橢圓的焦點(diǎn)在X軸上，則f＞3,即有<0,

k3-2k-2

可得蚯＜左＜2,即A的取值范圍是（√∑,2）.

5.已知橢圓EJ+2=l(4>3>0)的右焦點(diǎn)為尸(1,0),左頂點(diǎn)為A(-2,0).

ab^

(1)求橢圓E的方程；

(2)過點(diǎn)A作兩條相互垂直的直線分別與橢圓E交于(不同于點(diǎn)A的)M,N兩點(diǎn).試判斷直線MN與X

軸的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.

χ22

【解答】解：⑴根據(jù)題意，橢圓E:0+4v=l(α>"0)的右焦點(diǎn)為F(1,0),

ab~

左頂點(diǎn)為4-2,0)，則c=l,a=2,

則b2=a2-C2=3.

O2

所以橢圓E的方程為'+二=1.

43

(2)根據(jù)題意，

①當(dāng)直線MN與X軸垂直時(shí),直線AM的方程為y=x+2,

聯(lián)立2得7χ2+i6x+4=0,解得x=-2或X=-2(舍去).

[3Λ2+4/=127''

此時(shí)直線MN的方程為X=--.直線MV與X軸的交點(diǎn)為(-士,0).

77

②當(dāng)直線MN不垂直于1軸時(shí)，設(shè)直線MN的方程為y^kx+m.

聯(lián)立C：得(4左2+3)/+8切1￥+4療-12=0.

[3X+4y=12

設(shè)Ma,γ1),N(X2，％)，

8km4∕√-123nr-Mk1

則％

+x2=-+^i,x'x--4公+3-3+4—2

且/\=(Skm)2-4(4?2+3)(4m2-12)>0,即1<4/+3.

而A"=(Xl+2,y),AN=(/+2,%)，

由題意知，AMIAN,

即AM?AN=XIΛ2+2(x÷x)÷γy÷4=7"小"-0，

1212

?

解得加=—攵或加=2攵(舍去).

7

當(dāng)相=W欠時(shí)，滿足帆2〈4公+3.

7

??

直線MV的方程為y=k(x+?,此時(shí)與X軸的交點(diǎn)為(-余0).

故直線MN與X軸的交點(diǎn)是定點(diǎn)，坐標(biāo)為(--,0).

7

22

6.己知橢圓。:r七+v==1(〃＞。＞1)過點(diǎn)2(-1,-1),C為橢圓的半焦距，且c=J%.

a^h^

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)過點(diǎn)尸作兩條相互垂直的直線乙，4與橢圓C分別交于另兩點(diǎn)M，N,若線段MN的中點(diǎn)在X軸上,

求此時(shí)直線MN的方程.

22

【解答】解：(I)由C=四，可得∕=3ZΛ橢圓C0+A=l(α＞方＞1)過點(diǎn)尸(-1,-1),

ab

可得，-+4=1,解得/=4,b2=—1

a2b23

22

所以橢圓的方程為：—+?=l.........(4分)

44

3

(II)設(shè)“(芭，yl),N(X2,y2)?

則卜產(chǎn)=4,

x^+3員=4

兩式相減得(西+x2)(x∣-々)+3(乂+%)(凹一切)=。'

因?yàn)榫€段MN的中點(diǎn)在X軸上，

所以y∣+%=0,從而可得(XI+X2)(χ∣-jt?)=0.…(7分)

若xl+X2=0,則N(-x∣,-y∣)?

因?yàn)檫^點(diǎn)產(chǎn)作兩條相互垂直的直線//4,所以P∕0"LPN,

所以PM.PN=0,得x；+y；=2.

又因?yàn)閤；+3y；=4,所以解得占=±1,

所以Λ∕(-U),N(L-I)或M(l,-1),/V(-l,l).

所以直線Λ∕N的方程為y=τ.…(10分)

若XI-W=0,則N(x∣,-y∣),

因?yàn)樗訮M.PN=O,得y2=(x∣+iy+l.

又因?yàn)閤；+3y；=4,所以解得XI=J■或—1,

經(jīng)檢驗(yàn)：X=-?滿足條件，x=-l不滿足條件.

2

綜上，直線MN的方程為x+y=O或X=…(13分).

22

7.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知雙曲線E:0-5=l(a>0,%>0)的右焦點(diǎn)F到雙曲線E的

a^b-

一條漸近線y=幣X的距離為√3.

(1)求雙曲線E的方程;

(2)如圖，過圓0:》2+>2=1上一點(diǎn)M作圓O的切線/與雙曲線E的左、右兩支分別交于P,。兩點(diǎn)，以

PQ為直徑的圓經(jīng)過雙曲線E的右頂點(diǎn)A,求直線/的方程.

二雙曲線E的方程為/-it=1；

3

(2)由己知直線/的斜率存在，設(shè)/:y=fcv+m,則=1,即川=1+〃，

聯(lián)立FX)-3,得(3-∕)χ2-2成X-/-3=0.

[y=kx+m

設(shè)P(XI，y∣),Q(X2,y2),

3-k2≠0

.?.■=4?2W2+4(W2+3)(3-?2)>0,解得Q,公<3.

Imkm2+3

%+X2=------7'XιX->=y，

'-3-k2-3-k2

又A(l,0)，P(xt,χ),Q(X2,y2),

以PQ為直徑的圓經(jīng)過雙曲線E的右頂點(diǎn)A,

.?.AP?AQ=O,即(Xl-I)(X2—1)+?,y2=(-v∣—l)(x2一D+(京∣+m)(g+m)

12

=(1+k)xλx2+(mk-I)(Xl+x2)÷∕n÷l=0.

(1+k2)(m2+3)2mk(mk-1)?

..--------------；--------H---------；——+m2+1=0,

3-公3-公

則m2—mk—2k2=0(得，〃=2A:或WI=—A.

①當(dāng)帆=-左時(shí)，點(diǎn)/與右頂點(diǎn)A重合，不合題意舍去；

②當(dāng)w=2Z時(shí)，代入>=1+*解得Z=±且，滿足條件.

3

直線/的方程為y=@X+氈或y=_立］—迎.

3333

222

8.已知雙曲線、■-二=1(〃>0,/?>0)的右頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為夕，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/:X=幺與X軸

abic

交于點(diǎn)、B,且與一條漸近線交于點(diǎn)C,又Q4=2O8,Q4?OC=2,過點(diǎn)F的直線M與雙曲線右支交于點(diǎn)M,

N,點(diǎn)P為點(diǎn)M關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn).

(1)求雙曲線的方程；

(2)判斷5,P,N三點(diǎn)是否共線，并說明理由；

(3)求三角形BVW面積的最小值.

【解答】解：(I)OA=2OB,OA.OC=2f

a2

a=2×—

a2=4,c=4

a1C

a×—=2

/.b2=c2-A2=12

雙曲線的方程為W-E=I;

412

(2)由(1)可知3(1,0),/(4,0),

22

由題意直線機(jī)的斜率不為0,所以設(shè)直線m的方程為x=O+4,代入工-L=I整理得

412

(3r2-l)∕+24ty+36=0,

設(shè)M(X1,yl),N(X2，％)，則P(X1，一切).

由韋達(dá)定理知M+%=-黃彳，=可言，

所以8尸=(占一1,一乂),8代=。2—1,%).

因?yàn)?Xl-I)%一(七一l)(-y)=占%+9X-X-%=結(jié)跖+3(乂+%)=2t^∑{+=O

，向量BP,BN共線，所以5,P,N三.點(diǎn)共線.

(3)因?yàn)橹本€機(jī)與雙曲線右支交于點(diǎn)M,N.所以XlW=(Zyl+4)(以+4)>0,得f2<g.

2

SijSMN=gIBFIl必一μI=；X3XJ(y∣+%)-4%%=61_靠。，

令"=1一3產(chǎn)，則〃€(0,1],SMMN=66fΞ=6聞★—=6聞4(：-,

又'e[l,+8),所以1=1,即r=O時(shí)，三角形BMN面積的最小值18.

UU

2

9.設(shè)橢圓C:5+V=l的右焦點(diǎn)為尸，過f的直線/與C交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)〃的坐標(biāo)為(2,0).

(1)當(dāng)/與X軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：ZOMA=ZOMB.

【解答】解：(1)C=>/2-1=1,

.?.F(l,0),

,/與/軸垂直，

??X—\?

x=lx=lx=l

由4Y,解得.

&或，√2?

-+y2=l

2y=T

"(I當(dāng)，或

二.直線AW的方程為卜=_哼*+拒，y=^-x-'Jl

證明：(2)當(dāng)/與冗軸重合時(shí)，ZOMA=ZOMB=OQ,

當(dāng)/與X軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，??.NOΛ14=NOMβ,

當(dāng)/與X軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)/的方程為y=左(X-I),%≠0,

4(X[,j1),BeX2，%)，則再<虛，x2<?∣2,

直線M4,MB的斜率之和為&M，之和為％?+《》="一+》一，

x1-2X2-Z

由,"T'%=乜/得當(dāng)管聚等”

丫2

將y=4(工一1)代入]+y2=1可得.(25+1)/-4k2^+2/-2=0,

4&22k2-2

…=藥，砧=兩’

31

√.2kxtx2-3%(Xl+Λ?)+4Λ=~?(4?-4?-12k'+8Λ+4k)=O

從而kMA+kMB=。，

故M4,Λ仍的傾斜角互補(bǔ)，

.-.ZOMA=ZOMB,

綜上NOM4=NOMB.

10.在直角坐標(biāo)系XOy中，曲線C:y=—與直線hy=fcr+α(α>0)交于M,N兩點(diǎn).

4

(I)當(dāng)A=O時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程.

(II)y軸上是否存在點(diǎn)尸，使得當(dāng)A變動(dòng)時(shí)，總有NoPM=NOPN?(說明理由)

y=a

【解答】解：(/)聯(lián)立Iχ2,不妨取M(2G,α),N(-2j^,α),

r=T

由曲線Uy=工可得：/=-,

42

???曲線C在M點(diǎn)處的切線斜率為地=而，其切線方程為：)，-a=G(x-2&),化為疝-y-α=().

2

同理可得曲線C在點(diǎn)N處的切線方程為：√^x+y+α=O.

(//)存在符合條件的點(diǎn)(0,-a),下面給出證明：

設(shè)P(O向滿足NOPΛ/=NOPN.Λ∕(x,,yl),N(X2,y2),直線PM,PN的斜率分別為：kt,k2.

y=kx-??a

聯(lián)立，X2,化為f一4AX-4α=0,

y=-

[?4

,

..Λ1+x2=4Λτxlx2=-4a.

,,_y\-hy2_2AXIX+(<7-?)(X+X)_k(a+b)

??Ak∣+/C2=+=212.

~x1x2X1Λ2a

當(dāng)匕=一α?xí)r，kl+k2=O,直線PM,PN的傾斜角互補(bǔ)，

:.NOPM=NOPN.

.?.點(diǎn)P(O,-α)符合條件.

11.在直角坐標(biāo)系XOy中，曲線C:d=4y與直線y=Ax+α(a>O)交于Λ/,N兩點(diǎn).

(1)當(dāng)Z=O時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；

(2)y軸上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)Z變動(dòng)時(shí)，總有NOPM=NOPN?說明理由.

y-a

【解答】解：(1)聯(lián)立，χ2,可得M(2G,α),N(-2后,α),或M(-2&,a),N(2√^,4).

P，=T

y=gx,故y=?在χ=2夜α處的導(dǎo)數(shù)值為

C在(20a,a)處的切線方程為y-a=8(x-2?Jii),即-Jax-y-a=O.

故y=工在X=-2√2Λ處的導(dǎo)數(shù)值為,

4

C在(-2應(yīng)a,a)處的切線方程為y-a=(X+26),即＞∕ax+y+a=O.

故所求切線方程為y[cix一y-。=O或?fax+y+a=O.

(2)存在符合題意的點(diǎn)，證明如下：

設(shè)P(0∕)為符合題意的點(diǎn)，M(x1,y1),N(∕,必)，直線PM，尸N的斜率分別為％,k1.

將y=kx+a代入C得方程整理得f-4區(qū)-4.=0.

,

..xl+x2=4?,xlx2=-4a.

_y}-by2-?_2AX1X2÷(α-?)(x1+x2)_k(a+b)

.*.K]+k、-I——.

x1X2xix2a

當(dāng)。=一口時(shí)，有匕+&=0,則直線PM的傾斜角與直線尸N的傾斜角互補(bǔ)，

故ZOPM=ZOPN,所以尸(0,-“)符合題意.

22

12.已知橢圓C:5+4=l(α＞人＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為匕、F,,且鳥也是拋物線E:y2=4x的焦點(diǎn)，P

ab

為橢圓C與拋物線E在第一象限的交點(diǎn)，且IPEbg.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線y=&(x-1)與橢圓C交于R,S兩點(diǎn)，問是否在X軸上存在一點(diǎn)T,使得當(dāng)火變動(dòng)時(shí)，總有

ZOTS=ZOTR?說明理由.

【解答】解：(1)鳥也是拋物線E：y2=4x的焦點(diǎn)，

，瑪(1,0)，

.?.c=l,且拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-l,

設(shè)點(diǎn)P(X0,y0)

?.ι^ι=∣-

2

E=屐

2√22√6

訪=T'

.?,4÷Λ=H

9α23?2

α2-?2=c2=1,

解得02=4>?2=3,

22

橢圓方程為三+二=1,

43

(2)假設(shè)存在T(f,O)滿足NOTS=NO77?.設(shè)R(X∣,乂)，5(x2,y2)

聯(lián)立PlMX=D得(3+4公)/_8rχ+4公-12=0,

[3廠+4y~=12

由韋達(dá)定理有不+&=$^，X①=圣青①，其中△>?恒成立，

由NOT5=NO77?(顯然75,77?的斜率存在)，故A?+?re=0即一^-+上一=0②，

x∣—tX2—t

由R,S兩點(diǎn)在直線y=攵(X-I)上，故y∣=Z(X]-l),y2=k(x2-1),

代入②整理有2與々一Q+I)(X+七)+2,=。③，

將①代入③即有：@二4=0④，要使得④與出的取值無關(guān)，當(dāng)且僅當(dāng)“r=4”時(shí)成立，

3+4公

綜上所述存在7(4,0),使得當(dāng)Z變化時(shí)，總有NOT5=NOTT?.

13.一個(gè)圓經(jīng)過點(diǎn)尸(2,0),且和直線x+2=0相切.

(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；

(2)已知點(diǎn)8(-1,0),設(shè)不垂直于X軸的直線/與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P、Q,若X軸是NPBQ的角平分

線，證明直線/過定點(diǎn).

【解答】解：(1)設(shè)動(dòng)圓圓心尸(x,y),則由拋物線定義易得：點(diǎn)尸是以尸(2,0)為焦點(diǎn)，以x=-2為準(zhǔn)

線的拋物線，

動(dòng)圓圓心的軌跡方程為：∕≈8x

(2)設(shè)兩點(diǎn)P(XI,y∣),Q(X2,y2),設(shè)不垂直于X軸的直線：I:X=ty+m(t≠0).

則['；R+'"有：V-8(y-8"i=0,所以：yl+y2=8/,yxy2=Sm

y=8%

因?yàn)閄軸是NPBQ的角平分線,

所以：?+?=0,B∣J：』-+』一=O>即:2tyy+(m+l)(γ+y)=0

Xj+1X,+1l2l2

則：-16r∕n÷(1+∕n)8r=O,

所以：m=?,Γ.x=ty+l,

所以直線/過定點(diǎn)(1,0)

14.設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,直線/與拋物線交于M,N兩點(diǎn).

(1)若/過點(diǎn)F,且IMNI=3p,求/的斜率;

⑵若P與p),且/的斜率為T,當(dāng)尸定/時(shí)，求/在y軸上的截距的取值范圍(用P表示)，并證明NMPN

的平分線始終與y軸平行.

【解答】解：(1)當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線I的方程為X=,代入拋物線方程可得V=「2,即丫=±p,

所以IMNI=20,

但I(xiàn)MVl=3〃，故直線/的斜率存在，設(shè)其方程為y=左(工-9(ZW0).

由卜=MX-夕得公人(公p+2p)x+紐=0,

.V=2px,4

設(shè)Ma,jl),N(X2，y2)?則x∣+/=ZP；2P，，

K

kp

所以IMNbIMFl+1NFI=XI+^+x2+^=xl+x2+p=-^^-+p=3p,

解得4=±忘，所以直線/的斜率為士√Σ.

(2)設(shè)直線/的方程為y=—x+相，M(X1,χ),N(X2,y2).

得X2-(2tn+2p)x÷/Ti2=O?

2

則xl+x2=2∕n+2p,x1x2=m.

由△=(2"z+2p)?-4加>0,得m>-譽(yù).又-g+m≠p,所以加力學(xué)，

從而/在y軸上的截距的取值范圍為

?k°M+%

x'"f%2"f^-f)(?a-f)

-

(-XI+m-P)(X2^~)÷(-%2+〃LP)(Xl_~)

(X1，)(/2_g

-2X1X2+O--y)(x1÷x2)-P(Jn-P)

(X_9(*2_g

-2m2+(∕n-y)(2∕π+2")一p(tn-P)

(Xl-g(x?一9

所以宜線PM.PN的斜率互補(bǔ)，

從而NMPN的平分線始終與y軸平行.

15.如圖，若“是拋物線V=X上的一定點(diǎn)(〃不是頂點(diǎn))，動(dòng)弦ME、MF分別交X軸于A、3兩點(diǎn)，且

MA=MB.證明：直線Eb的斜率為定值.

【解答】證明：設(shè)M(y：,%),直線ME的斜率為Wk>0),

方程為y-%=&(x-y：).

則直線MF的斜率為-k,方程為y-%=-k(x-$.

消去X得62-y+yO(I-AyO)=O,

?-?()=-加一貨)

由

2解得%=L譽(yù),所以XE=(W

y=X

KK

點(diǎn)E的坐標(biāo)為((1一，。)二匕區(qū)).…(5分)

k-k

同理可得，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0+τ>.,ι?).

k^-k

1-?)?1+ky02

%-力_k--kE1

所以∕?

724

XEf(I-Qb)2(i+?y0)~6?2%

Fkr~k2

所以直線所的斜率為定值.…(10分)

16.已知傾斜角為生的直線經(jīng)過拋物線「：丁=2°式。>())的焦點(diǎn)尸，與拋物線「相交于A、B兩點(diǎn),且

4

IAB1=8.

(I)求拋物線「的方程；

(II)過點(diǎn)P(12,8)的兩條直線∕∣、4分別交拋物線「于點(diǎn)C、。和E、F,線段CO和EF的中點(diǎn)分別為M、

N.如果直線4與4的傾斜角互余，求證：直線MN經(jīng)過一定點(diǎn).

【解答】解：(I)由題意可設(shè)直線4?的方程為y=x-?∣,令A(yù)(X1,yj,B(x2,y2).

y—jy__2P_2

聯(lián)??<2?`f-X~—3pxH------=Oτ.*.X,+x2=3〃，

2?4

y=2PX

根據(jù)拋物線的定義得，又IABl=Al+w+P=4p,又IABl=8,.?.4p=8,.?.p=2?

則此拋物線的方程為V=

(II)設(shè)直線4、4的傾斜角分別為。、β,直線4的斜率為4，則％=ta∏a.

sin(?-ɑ)

由于直線/］、4的傾斜角互余，則tan尸=tan(5-α)=CoSa1

…冗.Sinataner

cos(--a)

則直線4的斜率為工.

于是直線CD的方程為j-8=?(x-12)，即y=?(x-12)÷8，

y=?(x-12)÷814

聯(lián)立J=?得Wf+32-就=。，.…+%=%

則xc+XD=24÷p--^

同理將上換成!得：N(12+2∕-8k,2k),

則直線MN的方程為y-2%='一[x-(12+2k2-8k)],

-+k-4

k

即(J?+%-4)y=χ-10,顯然當(dāng)χ=10,y=0.

所以直線MN經(jīng)過定點(diǎn)(10,0).

17.已知橢圓/+2y2=l,過原點(diǎn)的兩條直線1和4分別于橢圓交于A、B和C、D,記得到的平行四邊

形ACBf)的面積為S.

(1)設(shè)A(X1,yl),C(x2,%),用A、C的坐標(biāo)表示點(diǎn)C到直線4的距離，并證明S=2∣x∣%^^WX∣；

(2)設(shè)4與4的斜