2023-2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：圓的切線(xiàn)的證明 壓軸題匯編（含答案解析）

2024年中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)：圓的切線(xiàn)的證明高頻壓軸題匯編

1.如圖，RtZ?ABC中，NABC=90。，點(diǎn)。，O分別在A8,AC上，CD=CB,。經(jīng)

過(guò)點(diǎn)B,D,弦￡>P_LAB于點(diǎn)E,連接B尸.

⑴求證：AC為：。的切線(xiàn)；

⑵若NA=30。，AE=3,求。尸的長(zhǎng).

2.如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)C在A8的延長(zhǎng)線(xiàn)上，Ao平分一。正交,。于點(diǎn)力,

且AEJ_C￡),垂足為點(diǎn)E.

(1)判斷直線(xiàn)CE與。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)若BC=4,CD=8,求半徑的長(zhǎng).

3.如圖，AB是。。的直徑，射線(xiàn)BC交。。于點(diǎn)D,E是劣弧A￡>上一點(diǎn)，且用E=￡)E，

過(guò)點(diǎn)E作EFLBC于點(diǎn)F,延長(zhǎng)FE和BA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)G.

C

(1)證明：GF是。。的切線(xiàn)；

(2)若4G=3,GE=3√3,求。。的半徑和EF的長(zhǎng).

4.圖，AB是O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，AO平分/C4E交。于點(diǎn)。，過(guò)

點(diǎn)A作AELCD,垂足為點(diǎn)E.

(1)判斷直線(xiàn)CE與O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)若BC=3,CO=3萬(wàn)，求。的半徑以及線(xiàn)段￡￡＞的長(zhǎng).

5.如圖在RtZ?ABC中，NC=90。，以AC為直徑作。，交A8于。,過(guò)。作OE〃AB,

交BC于E.

(1)求證：DE是:。的切線(xiàn)；

(2)如果：。的半徑為3,DE=A,求A8的長(zhǎng).

6.如圖，在RtAABC中，ZAeS=90。，。是BC邊上一點(diǎn)，以。為圓心，OB為半徑

的圓與48相交于點(diǎn)O,連接C。，且CO=AC.

(1)求證：CD是：。的切線(xiàn)；

(2)若AC=4,CE=2,求半徑的長(zhǎng).

7.如圖，在.ABC中，Nc=90。，AD是254C的平分線(xiàn)，。是AB上一點(diǎn)，以O(shè)A為半

徑的。經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，交AB于點(diǎn)E.

第2頁(yè)共30頁(yè)

(1)求證：BC是：。的切線(xiàn)；

(2)若BE=2,BD=4,求。的半徑.

8.如圖：四邊形ABa)內(nèi)接于。，AB為。的直徑，點(diǎn)C平分OB，過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)

分別交AB、AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F、E,?ZABC+ZOCE-90°.

⑵若CE=4,DE=2,求A￡).

9.如圖，RtZ?ABC中N3C4=90。，AE2^AD×AC,點(diǎn)。在AC邊上，以Co為直徑

(2)若AD=￡>0=1,求SE的長(zhǎng)度.

10.如圖，A8是；。的直徑，點(diǎn)。是AB延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，OC與。相切于點(diǎn)C.連

⑴求證：ZA=ZBCD;

⑵若NO=45。，。的半徑為2,求線(xiàn)段AO的長(zhǎng).

11.如圖，AB為。的直徑，P在84的延長(zhǎng)線(xiàn)上，C為圓上一點(diǎn)，且NACP=/3.

⑵若∕?=4,PC=BC,求BC的長(zhǎng).

12.如圖，以AB為直徑作)。，在。上取一點(diǎn)C,延長(zhǎng)AB至點(diǎn)。，連接。C,

ZDCβ=ZDAC,過(guò)點(diǎn)A作AEJLA。交OC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E.

13.如圖，AB是。。的直徑，8。平分NABC,DELBC

(1)求證：Z)E是。。的切線(xiàn)：

(2)若CE=2,DE=4,求。。的半徑.

14.已知..ABC內(nèi)接于以43為直徑的O,過(guò)點(diǎn)C作。的切線(xiàn)交84的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)￡),

且D4:AB=I2

第4頁(yè)共30頁(yè)

(1)求證：ADCA=AOBC-.

(2)求NCOB的度數(shù)；

(3)在切線(xiàn)OC上截取CE=CE>,連接EB,判斷直線(xiàn)EB與40的位置關(guān)系，并證明.

15.如圖，在-ABC中，AB=AC.以AB為直徑的。與BC交于點(diǎn)E,與AC交于點(diǎn)

D,點(diǎn)F在邊AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且/CBF=JNSAC

⑴試說(shuō)明FB是:。的切線(xiàn)；

(2)過(guò)點(diǎn)C作CG_LAF,垂足為C.若C/=4,BG=3,求。的半徑；

S.1

(3)連接DE,設(shè)Aa>￡的面積為S∣,AABC的面積為S?,若"≠=小Ae=IO,求8C的

???

長(zhǎng).

16.如圖，AB為。的直徑，C為。上一點(diǎn)，CD_LA3于點(diǎn)。.P為AB延長(zhǎng)線(xiàn)上

一點(diǎn)，APCD=IABAC.

⑴求證：CP為。的切線(xiàn)；

(2)BP=l,CP=√5.

①求。的半徑；

②若M為AC上一動(dòng)點(diǎn)，求OΛ∕+ZW的最小值.

17.如圖，以RBCE的直角邊BC為直徑作。0,交斜邊EC于點(diǎn)A,Ar)IBC于點(diǎn)￡>,

點(diǎn)尸是8E的中點(diǎn)，連接CF與A/)相交于點(diǎn)G,延長(zhǎng)AF與CB的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)R

E

(1)求證：Λ4是。。的切線(xiàn)；

(2)求證：點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)；

(3)若2FG=EB,且O。的半徑長(zhǎng)為3,求B。的長(zhǎng)度.

18.如圖，AB是。O的直徑，點(diǎn)C是。O上一點(diǎn)，AD與過(guò)點(diǎn)C的切線(xiàn)垂直，垂足為

點(diǎn)D,直線(xiàn)De與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)P,弦CE平分/ACB,交AB于點(diǎn)F,連接

BE.

(1)求證：AC平分NDAB；

(2)求證：APCF是等腰三角形；

(3)若tan/ABC=^,BE=7√2,求線(xiàn)段PC的長(zhǎng).

D

第6頁(yè)共30頁(yè)

參考答案:

I.(1)見(jiàn)解析

(2)DF=2√3

【分析】(1)連接。。，OC,根據(jù)“SSS”可得A(MC三AOZJC,進(jìn)而可得結(jié)論;

(2)根據(jù)NA=30?？傻肙E,再由垂徑定理可得。尸.

【解析】(1)連接。。，OC,如圖：

CD=CB,OD=OB,OC=OC,

：.Δ<9BC≡Δ0DC(SSS)1

.?ZODC=ZOBC=90°,

；.AC1是：。的切線(xiàn).

(2)VZA=30o,AE=3,DFrAB

AD=2DE,AE2+DE2=AD2

：.+DE2=(2DE)2

解得：DE=不

,?,BELDF

.,.DF=2DE=2√3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線(xiàn)的判定，垂徑定理，勾股定理，正確的作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵.

2.(I)直線(xiàn)CE與。相切，證明見(jiàn)解析

(2)6

【分析】(1)連接0。，證NEW=NOZM,得至UOA￡,再由AEJ_CD,證得ODJ_CE,

結(jié)合已知點(diǎn)。在。上,最后證得直線(xiàn)CE與1O相切;(2)連接。。，設(shè)半徑為X,在RtXODC

中，運(yùn)用勾股定理建立關(guān)于X的方程，解方程即可求得半徑.

【解析】(1)解：直線(xiàn)CE與，0相切，證明如下：

如圖，連接。。，

；點(diǎn)。在：O上，

OA=OD,

第7頁(yè)共30頁(yè)

：.ZOAD=ZODA,

???AO平分∕C4E,

：?ZEAD=ZOADf

：?ZEAD=ZODAf

：.OD∕∕AE,

又YAElCD,

：.NE=90。，

/.NOpC=NE=90。，

：.ODYCE9

???點(diǎn)。在。上，

???C。是O的切線(xiàn)，

即直線(xiàn)CE與O相切.

(2)解：如圖,連接。。，

設(shè)半徑為M

則OD=O6=%,

?：BC=4,

：?OC=OB+BC=x+4f

?.,NQQC=90。，

在AfAODC中，

VOC=x+4fOD=χfCD=Sf

：?OC2=OD?+CD?,

即(X+4)2=X2+82,

解得，X=6,

即半徑為6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線(xiàn)的判定及性質(zhì)，掌握切線(xiàn)的判定方法，勾股定理是解題的關(guān)鍵.

3.⑴見(jiàn)解析；

(2)。。的半徑為3,EF=∣√3.

第8頁(yè)共30頁(yè)

【分析】（1）連接。E,先證明NASE=NCBE,再證明NOEB=N?BE,BF//OE,進(jìn)而

證明OE_LGE,即可證明GF是Θ0的切線(xiàn)；

（2）設(shè)。。的半徑為〃根據(jù)勾股定理得到.—+（36）2=（3+/）2,解方程即可得到。。的

半徑為3；根據(jù)8尸〃OE,得到Sl=空，即可求出=

EFOB2

【解析】（1）證明：如圖，連接OE,

?：AE=DE'

???ZABE=ZCBE9

?：OE=OB,

：.ZOBE=ZOEB1

：?NOEB=NFBE,

：?BF//OE,

?：EFlBCf

：.ZBFE=90°,

JNBFE=NoEG=90。,

：.OELGEy

???GF是。。的切線(xiàn)；

?.?在RtΔG(9E中，OE2+GE2=OG2，

Jr2+(3√3)2=(3+r)2,

解得廠=3,

即。。的半徑為3；

???。0的半徑為3,

,

..OG=AG+OA=6f

β.?BF//OE，

第9頁(yè)共30頁(yè)

.GE_GO

"~EF~'OBi

即施=9,

EF3

.*.EF=-y∕3.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題為圓的綜合題，考查了圓周角定理，切線(xiàn)的判定，勾股定理，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成

比例定理等知識(shí)，熟知相關(guān)定理并根據(jù)題意靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵.

4.(I)CE是O的切線(xiàn)，理由見(jiàn)解析

(2)3；也

2

【分析】(1)連接。。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出NoAO=NOZM,根據(jù)角平分線(xiàn)的定義

得出NE4O=N0AT>,即NE4D=NODA,根據(jù)平行線(xiàn)的判定方法得出ODyA￡,根據(jù)

AEYCD,得出ODLCO,根據(jù)即可得出結(jié)論：

(2)設(shè)8=x=O8,在RLCOD中，由勾股定理列出關(guān)于X的方程即可；先求出

CDOC

OC=O8+6C=3+3=6,然后再根據(jù)8〃A￡,得出W=EL,代入數(shù)據(jù)即可得出答案.

DEOA

【解析】(1)：CE是：O的切線(xiàn)，理由如下：

連接。。，如圖所示：

?：OA=OD,

：.NOAD=NOZM,

???AO平分/C4E,

：?ZEAD=ZOADf

：.ZEAD=ZODA9

：.OD//AE,

又YAElCDf

：.ODlCDf

第10頁(yè)共30頁(yè)

?.?。。是半徑，

CO是。的切線(xiàn)；

(2)解：設(shè)OD=x=O3,在RjCoD中，由勾股定理得，OZ>2+Q)2=OC2,

即X2+(3√3)2=(Λ+3)?

解得x=3,

即半徑為3；

,.?OD=OA=OB=3,

，OC=O8+3C=3+3=6,

根據(jù)解析(1)可知，OD//AE,

.CDOC

''~DE~~OA,

即1,

DE3

解得：DE二座.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線(xiàn)的判定，平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理,

解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出OaIkE.

5.(1)證明見(jiàn)解析；

(2)AB=10

【分析】(1)連接。。，證明.。?！昕誒CE,NoDE=NC=90。，由切線(xiàn)的判定得出.

(2)由條件得出A3=2OE,而。石是∕?Z?Of>E的斜邊，根據(jù)勾股定理求出.

【解析】(1)連接。。；

,:OE//AB,

：?NEOC=ZA,

?：OD=ON,

：.ZODA=ZA9

?：ZEOC+ZDOE=ZDOC=ZODA+ZA=2ZA,

,ZDOE=ZA,

：.ZEOC=ZDOE,

在和.。DE中，

OC=OD

,/EOC=NDOE,

OE=OE

：.ΛOCE^ΛODE(SAS),

第11頁(yè)共30頁(yè)

/.NC=NQDE=90。，

：?ED是O的切線(xiàn)；

(2)?：OE〃AB,CO=OAf

：.CE=EB;

???OE是的中位線(xiàn)；

：?AB=2OE↑

在RfZXODE中，

VZODE=90o,OD=3,DE=A,

:,OE=HObl+㈤=5；

JAB=2OE=10.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線(xiàn)的判定、全等三角形的性質(zhì)與判定、三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)及勾股定

理的等知識(shí).

6.(1)證明見(jiàn)解析

⑵3

【分析】(1)連接。Q,證明NOZ)C=90?？傻媒Y(jié)論;

(2)在RtC中用勾股定理列方程計(jì)算即可.

【解析】(1)連接。。.

OB=OD

.?.NB=NBDO,

AC=CD

:.ZA=ZADC

ZA+ZB=9()0

.?.NBOO+ZADC=90。

.?.ZODC=90°

JCO是。的切線(xiàn)；

(2)設(shè)半徑為小則OD=OE=r

?：ΛC=4,CE=2

ΛAC=CD=4fOC=OE+EC=r+2

在RI△/)DC中，OD2+DC2=OC2

第12頁(yè)共30頁(yè)

Λ√+42=(r+2)2

解得r=3

即半徑的長(zhǎng)為3.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是切線(xiàn)的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線(xiàn)是解決此題

的關(guān)鍵.

7.(1)見(jiàn)解析

(2)3

【分析】(1)由QA=OD及AO平分NBAC,則可得OD//AC,再由NC=90°即得到要證的

結(jié)論；

(2)連接。E,證明△比由相似三角形的性質(zhì)即可求得半徑.

【解析】(1)證明：A=OA。平分NfiAC,

ΛZODA=ZOAD,NDAC=NoAD,

：.NODA=ZDAC,

ODHAC,

,.?NC=90。，

ZODB=ZC=90°,

即BC是。的切線(xiàn)；

(2)連接。E,如圖，

,??AE是圓的直徑，

ZAz)E=NC=90°,

,.?ZDAC=ZOAD,

：.ZAED=ZADC,

"：ZB=ZB,

.*.ABDES公BAD,

.BDAB

BEBD

.“BD216Q

??AB=------=—=8,

BE2

：.AE=AB-BE=8-2=6f

則圓的半徑為：^ΛE=3.

第13頁(yè)共30頁(yè)

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線(xiàn)的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握這兩點(diǎn)知識(shí)是關(guān)鍵,

其它還涉及平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義，直徑所對(duì)的圓周角

是直角等知識(shí)，證明三角形相似是本題的關(guān)鍵.

8.⑴見(jiàn)解析

⑵6

【分析】（1）連接OCACf由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得/EDC=NABC,根據(jù)

NAβC+NE）CE=90?？傻肗E=90。；進(jìn)一步證明A￡〃OC即可得出結(jié)論；

（2）連接80,交。C于點(diǎn)可構(gòu)造矩形QECM和AABO的中位線(xiàn)。歷；然后根據(jù)勾股

定理求出OM,從而求出A。；

【解析】（1）解：如圖，連接OeAC；

Y點(diǎn)。平分08

：?ZEAC=ZCAO

t:OA=OC

：.ZCAO=ZACO

:.ZEAC=ZACO

：.AE//OC

：.NoCF=NE

???四邊形ABCQ內(nèi)接于（O

：.ZABC+ZADC=180°

YNEDC+NADC=180。

：?/EDC=ZABC

,.?ZABCZDCE=90°

：.ZEDC+ZDCE=90°

第14頁(yè)共30頁(yè)

.,.NE=90°

.,.NOC尸=90°

.?.OClEF

：.CE為。的切線(xiàn)；

(2)解：如圖，連接BO,交OC于點(diǎn)M；

E

為。的直徑

.*.ZADB=NBDE=90o=NE=NOCE

，四邊形OECM是矩形

ΛCM=DE=2,DM=CE=A

VAE/∕OC,OB=OA

：.OM是AABD的中位線(xiàn)；

BM=DM=4,AD=20M,NoMB=ZADB=90。

^OM=x,則OB=OC=x+2

在用一QW8中

OM2+BM2=OB2

即：X2+42=(x+2)2

解得：X=3

，OM=3

故：AD=IOM=6

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的切線(xiàn)的判定、圓周角、勾股定理、圓的內(nèi)接四邊形等知識(shí)點(diǎn)；根據(jù)

多個(gè)垂線(xiàn)構(gòu)造矩形轉(zhuǎn)化線(xiàn)段是解題的關(guān)鍵.

9.(1)見(jiàn)解析

⑵G

【分析】(1)根據(jù)4爐=AOXAC得出蕓=*，ZA=ZA,得出..AEDSAEC,可得

ADAE

ZAED=ZACE,由。C是直徑，可得ZDEC=90。，則NE>EO+NOEC=90。，又OD=OE,

得出NOEC=NOCE,等量代換可得NAED+NQED=90。，即可得證；

(2)在RtAAOE中，勾股定理求得AE,證明.AOEs41AgC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求

第15頁(yè)共30頁(yè)

得A8的長(zhǎng)，即可求解.

【解析】（1）解：如圖,

,.?AE2^AD×AC,

.AEAC

??~=~f

ADAE

又??Z=ZA,

ΛAED^AEC,

：.ZAED=ZACE,

即Z1=Z2,

???OC是直徑，

/.ZDEC=90°,

即Z3+Z4=90o,

又OD=OE,

JZ1=Z4,

???/2=/4,

Z2+Z3=90o,

即

???OE是半徑，

/.AB是:O的切線(xiàn)；

(2)?：AD=Do=EO=OC=1,

：.AO=2,OE=l,AC=A0+8=1+2=3,

在RtZkAOE中，AE=y∣A。=OE?=5

TAB是。的切線(xiàn)，

：.OE±ABf

JZAEO=ZACB,

XvZA=ZA,

J-AoES,ABC,

.AOAE

?------=------,

ABAC

第16頁(yè)共30頁(yè)

?'?AB=2百，

.,?BE=AB-AE=6

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，切線(xiàn)的判定，掌握相似三角形的

性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

10?(1)證明見(jiàn)解答過(guò)程；

⑵2+2√∑.

【分析】(1)連接OC,根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到NBCD+ZOCB=90°,根據(jù)AB是。的直徑,

得至IJZA+NOBC=90。，WZOCB=ZOBC,證明ZA=ZBCO；

(2)根據(jù)NO=45。，。的半徑為2,求出0。，進(jìn)而求出AD.

【解析】(1)證明：連接0C,

DC是。的切線(xiàn)，

.?.ZOCD=90°,即ZBCD+ZOCB=90°,

AB是：。的直徑，

.-.ZACB=90°,

二ZA+NOBC=90°,

QOC=OB,

:.NOCB=NOBC,

,ZA=NBCD;

(2)解：在RtAOCD中，ND=45。,OC=2,

:.OC=CD=I,

.?.OD=42OC=2>∕2,

.?.AD=OA+OD=2+2^2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是切線(xiàn)的性質(zhì)以及圓的基本性質(zhì)，掌握?qǐng)A的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的

半徑是解題的關(guān)鍵.

11.(1)見(jiàn)解析

(2)BC=4√3

第17頁(yè)共30頁(yè)

【分析】(1)連接OC,由題意易得NACB=90。，則有ZACo+NQBC=90°,然后可得

ZACP+ZACO=9()°f進(jìn)而問(wèn)題可求證；

(2)過(guò)點(diǎn)。作8C的垂線(xiàn)。。，垂足為。，則BD=CD,然后可得尸A=PC,則有AoC是

等邊三角形，進(jìn)而根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理可進(jìn)行求解.

【解析】(1)證明：連接OC,則OC是。的半徑，ZOBC=ZOCBf

AB是，:。的直徑

/.ZACS=9()0

.?.ZACO+ZOCB=90°

ZACO+ZOBC=90°

ZACP=40BC

???ZACP+ZACO=90°

二?AC是(。的切線(xiàn)；

(2)解：過(guò)點(diǎn)。作BC的垂線(xiàn)。。，垂足為￡>,則比>=8

PC=BC

."P=ZB

ZACP=ZB

..ZP=ZACP

.?PA=PCf

由(1)可知：ZP÷ZAOC=90o,?BIOAC90?

.'.ZAOC=ZOAC

.二AOC是等邊三角形

.?ZOΛC=60°,/3=30。

AP=4

..OB=OA=AP=4

.?.QD=2

由勾股定理得：BD=2道

:.BC=4√3.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查切線(xiàn)的判定、圓周角定理及垂徑定理，熟練掌握切線(xiàn)的判定、圓周角

定理及垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

12.(1)見(jiàn)解析

第18頁(yè)共30頁(yè)

(2)ΛE=6

【分析】（1）連接OC,根據(jù)圓周角定理的推論得到/ACB=90。，即/8CO+/ACO=90。，

求得/ACO=NOCB,得到Co=90。，根據(jù)切線(xiàn)的判定定理得到CO是。。的切線(xiàn)；

（2）根據(jù)勾股定理求出。8=3,可得AB=6,AD=S,根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理得到AE=CE,在

Rf△/1￡>E中，利用勾股定理即可得到結(jié)論.

【解析】（1）證明：連接0C,如圖，

「AB為直徑，

ΛZACβ=90o,即NBCO+NACO=90°,

,.?OC=OA,

：.ZACO=ZCAD,

又,：/DCB=NCAD,

：.ZACO=ZDCB,

ΛZDCB+ZBCO=90o,即NDCO=90°,

?.?OC是OO的半徑，

...C。是。。的切線(xiàn)；

(2)解：；/￡>CO=90。，OC=OB,

二OC2+CD2=OD2,

.?.082+42=(OB+2)2,

.?.08=3,

.,.AB=6,AD=S,

?'AE±AD,A8是。。的直徑，

，A￡是。。的切線(xiàn)，

；CO是。。的切線(xiàn)，

.-CE,

??在RtLADE中，AD2+AE2DE2,

Λ82+AE2=(4+AE)2,

第19頁(yè)共30頁(yè)

：.AE=6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線(xiàn)的判定與性質(zhì)：過(guò)半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)；也

考查了圓周角定理的推論、切線(xiàn)長(zhǎng)定理和勾股定理，正確的作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵.

13.(1)見(jiàn)解析

(2)5

【分析】(1)連接。。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線(xiàn)得出OC〃BE,再根據(jù)垂線(xiàn)和平

行線(xiàn)的性質(zhì)得出ODLDE,進(jìn)而得出OE是。。的切線(xiàn)；

(2)根據(jù)圓周角定理和垂徑定理得出4F=FC=OE=4,在Rf△04尸中，由勾股定理列方程

求解即可.

【解析】(1)解：如圖，連接0。，

平分/ABC,

.?.NABD=NDBC,

OB=OD,

.?.NABD=NoDB,

：.ZODB=ZDBC,

：.OD//BE,

DEVBE,

：.ODLDE,

,CE是。。的切線(xiàn)；

(2)如圖，連接4C,交。。于F,

YAB是。。的直徑，

ZACB=90o,

又,.?ZFDE=Wo,NDEC=90。,

四邊形FnEC是矩形，

：.DF=CE=2,FC=DE=A.

由垂徑定理可知AF=CF=4

設(shè)。。的半徑為r,

在心AOAF中，由勾股定理得，OF2+AF2=OA2

第20頁(yè)共30頁(yè)

即(r-2)2+42=r2,

解得/-5.

即半徑為5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線(xiàn)的判定和性質(zhì)，圓周角定理、垂徑定理以及勾股定理，掌握切線(xiàn)的判

定方法，掌握?qǐng)A周角定理、垂徑定理以及勾股定理是正確解答的關(guān)鍵.

14.(1)答案見(jiàn)解析

(2)30°

(3)直線(xiàn)￡?與O相切，證明見(jiàn)解析

【分析】(1)連接OC,由題意可得：OCA.CD,NAC8=90。，所以NOBC+NOAC=90。，

ZDCA+ZACO=90°,又因?yàn)镹oAC=NACO,所以NDC4=NOBC,即可得證；

(2)先根據(jù)ZM:A8=1:2,得出ZM=r,DO=2r,進(jìn)而得出AACO是等邊三角形，即可

得出結(jié)論；

(3)先證明出8=C3,進(jìn)而得出△(7麻是等邊三角形，即可得出結(jié)論.

【解析】(1)解：連接0C,

CD是。的切線(xiàn),

.?.NOCD=90。=ZDCA+ZACO,

AB是：。的直徑，

.?ZACB=90°=ZOBC+ZOAC,

OA=OC,

ZOAC=ZACO,

.?.ZDCA=NoBC

(2)解：連接0C,

CD是。的切線(xiàn),

.?.NOCO=90°,

第21頁(yè)共30頁(yè)

設(shè)：。的半徑為，則AB=2〃,

ZM:AB=1:2,

.?.ZM=r,DO=2rf

.?.A為。。的中點(diǎn)，

.?.AC=-DO=r

29

.?.AC=CO=AO=T9

???ZXACO是等邊三角形，

.?.NCW=60。，

.?.ZCDB=30°；

(3)解:直線(xiàn)EB與《。相切,

證明：連接OC,

由(2)可知NCDO=30°,

o

.?ZCOD=Mf

QOC=OBf

\?OCB?OBC30?,

??.ZCBD=/CDB,

..CB=CD,

CO是。的切線(xiàn)，

1.NOCE=90。,

ZECB=60°,

CE=CDf

CB=CE,

.二CBE為等邊三角形，

.?ZEBC=60°,

:.NEBA=NCBD+NEBC=90°,

EB是t。的切線(xiàn).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線(xiàn)的性質(zhì)和判定，圓周角定理,等邊三角形的判定，判斷出AACO

和△€1旗是等邊三角形是解本題的關(guān)鍵.

15.(1)見(jiàn)解析

第22頁(yè)共30頁(yè)

(2)3

(3)BC=4√5

【分析】(1)根據(jù)切線(xiàn)的判斷方法證明ΛB,M即可求解；

(2)根據(jù)tan/=受=組即可求出A8即可求解；

CFBF

S?

(3)連接求出E為BC中點(diǎn)，得到SABDE=SACDE，根據(jù)不二三，設(shè)S∣=。，S=5a,

?2?2

CD2

得到SMcD=2α,S”8D=3〃，求出W=:得到AD=6,CD=4,再根據(jù)勾股定理即可求

AD3

解.

【解析】(1)證明：連接AE.

YAB為直徑，

ZAEB=90。.

又???AB=AC,

.*.ZBAE=-ZBAC

29

?.?ΛCBF=-ΛBAC,

2

：.NCBF=NBAE.

β.?ZBAE+ZABE=90。,

：.NFBC+ZABE=90°,

即ABl.M?

又YAB是直徑，

；?FB與O相切.

(2)解：VAB=AC,

：?ZABC=ZACBt

又?.?AS_LM,CGlACf

：.ZABC+NGBC=ZACB+/BCG,

???/GBC=/BCG,

：,BG=CG=3.

第23頁(yè)共30頁(yè)

VCG=3,CF=4,

：.FG=5,

：.FB=8.

??.3"=迎

CFBF

：.AB=6,

.,.。的半徑是3.

(3)解：連接BD.

ΛZADB=90°.

VAB=AC,AELBC,

二E為BC中點(diǎn),

??SBDE=SCDE?

乂又,邑5,

設(shè)S]=4,S2=5a,

==

,?SBCD20，SABD3。

IJBCD_土

?一3

UABDJ

.CD_2

"AD^3

又：AB=AC=10,

ΛAD=6,CD=4.

在RtAABD中，BD=√AB2-AD2=8>

,在RtsBC。中，BC=JCD°+BD2=4方.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查圓的切線(xiàn)綜合，解題的關(guān)鍵是熟知三角函數(shù)的性質(zhì)、切線(xiàn)的判定、勾

股定理的應(yīng)用.

16.(1)見(jiàn)解析

⑵①半徑為2；②g√iW

第24頁(yè)共30頁(yè)

【分析】（1）連接OC,根據(jù)已知證得NPoC=NPeD,由NpoC+NOCO=90。.證得

ZPCD+ZOCD=90°,即NOCP=90。，即可得證；

（2）①設(shè)。的半徑為L(zhǎng)在RtoCP中，利用勾股定理即可求得；

②先證得ACoPS/Re,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求得CO的長(zhǎng)，作點(diǎn)。點(diǎn)關(guān)于AC的

對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E,連接ED,交AC于此時(shí)OM+DM=EZ）值最小，連接AE,EC,證得四邊

形AOCE是菱形，進(jìn)而證得EC=2,NECD=90。,然后根據(jù)勾股定理即可求得ED,即

OM+DM的最小值.

【解析】（1）解：連接0C,

?.?APCD=2ABAC,APOC=2ABAC,

NPoC=NPCD,

?/CDLAB于點(diǎn)。，

NODC=90。.

.?.ZPOC+ZOCD=90°.

：.NPCD+NOCD=90。.

：.ZOCP=90°.

半徑OC_LCP.

：.CP為。的切線(xiàn).

(2)解：①設(shè)。的半徑為『，

^.,在Rt0CP中，OC2+C尸=OP2,CP=下,BP=I,

：.r2+(√5)2=(r+l)2,

解得：r=2.

。的半徑為2.

②?.?ZOCP=NoDC=90o,ZCOD=ZPOC,

：.二COPS工DoC,

.?.2=必，即立=空

OPOC32

/.CD=-√5,

3

第25頁(yè)共30頁(yè)

如圖，作點(diǎn)。點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E,連接AE,EC9設(shè)&XAC交于點(diǎn)M,

：?OM=EM,

：.OM+MD=EM+MD≥ED,

當(dāng)E,M,。三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，OM+DM=ED,皮＞即為所求，

???4C垂直平分OE,

：?AE=AO,

：.ZOAC=ZEACf

?,OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA9

：.NE4C=NOC4,

：?AE//OC,

uCOA=AE=OC=I,

???四邊形AOCE是菱形，

ΛEC=2,NECD=900,

2

在RtAECD中，EC=2,CD=N,

._?

/.ED=√CE2+CD2=-√14,.

3

即OM+DM的最小值為-√14.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線(xiàn)的判定定理，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，菱形的判

定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

17.(1)證明見(jiàn)解析；

(2)證明見(jiàn)解析；

⑶80=2.

【分析X1)要證必是O。的切線(xiàn)，就要證明ΛPAO=90。，連接AQAB,根據(jù)NEBo=90°,

和直角三角形的等量代換，就可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)切線(xiàn)判定知道EBLBC,而AD工BC,從而可以確定ADHBE,那么。BFCS蜃DGC,

第26頁(yè)共30頁(yè)

又點(diǎn)尸是EB的中點(diǎn)，就可得出結(jié)論；

（3）過(guò)點(diǎn)F作FHlAD于點(diǎn)4,根據(jù)前兩問(wèn)的結(jié)論，利用三角形的相似性和勾股定理，可

以求出3。的長(zhǎng)度.

【解析】（1）證明：如圖，連接AQAB,

：./BAC=90°,

在RjBAE中，尸是斜邊8E的中點(diǎn)，

.,.AF=FB=EF,

：.ZFBA=ΛFAB,

又YOA=QB,

ZABO=ZBAO,

?/NEBO=90。,

,：ZEBO=AFBA+ZABO=ZFAB+NBAo=ZFAO=90°,

.?.是。。的切線(xiàn)；

（2）證明：；BC是。。的直徑，NEBo=90。,

：.EBlBC,8E是。O的切線(xiàn)

又；ADlBC,

：.ADBE,

.BFCS_DGC,∕?FECSΔGAC,,

.BFCFEFCF

"~DG~^CG'~?G~~CG,

.BFEF

,,OG^AG,

：尸是斜邊BE的中點(diǎn)，

/.BF=EF,

DG=AG,

???點(diǎn)