2022下半年教師資格考試《數(shù)學(xué)》高頻考點

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基礎(chǔ)（精講）+沖刺（仿真）+督學(xué)（測評）+口訣（速記）+經(jīng)典（資料）

高頻考點數(shù)學(xué)

目錄

第一模塊數(shù)與代數(shù)........................................................................1

第一章方程............................................................................1

第二章函數(shù)...........................................................................4

第三章不等式.........................................................................5

第二模塊圖形與幾何......................................................................6

第一章解析幾何.......................................................................6

第三模塊統(tǒng)計與概率......................................................................9

第一章統(tǒng)計...........................................................................9

第二章概率...........................................................................11

第四模塊高等數(shù)學(xué).......................................................................16

第一章極限...........................................................................16

第二章導(dǎo)數(shù)與微分....................................................................20

第三章積分..........................................................................23

第四章空間解析幾何與向量代數(shù).......................................................27

第五章多元函數(shù)微分..................................................................33

第六章級數(shù)..........................................................................35

第五模塊線性代數(shù).......................................................................37

第一章行列式........................................................................37

第二章矩陣..........................................................................38

第三章線性空間與線性變換............................................................41

第四章向量組的線性相關(guān)性............................................................42

第五章線性方程組....................................................................44

第六章正交矩陣......................................................................46

第六模塊概率論與數(shù)理統(tǒng)計..............................................................47

第七模塊數(shù)學(xué)史.........................................................................50

第八模塊課程與教學(xué)論...................................................................53

第一章義務(wù)教育課標..................................................................53

第二章高中課標......................................................................56

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第三章數(shù)學(xué)教學(xué)論....................................................................59

第四章案例分析......................................................................62

第五章教學(xué)設(shè)計......................................................................64

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第一模塊數(shù)與代數(shù)

第一章方程

【高頻考點1］二元一次方程組的解法

解二元一次方程組的基本思想是“消元”，即減少未知數(shù)的個數(shù)，使多元方程最終轉(zhuǎn)化為一元方程，

再解出未知數(shù)。

（1）代入消元法

將方程組中的一個方程的未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示，并代入到另一個方程中去，這就

消去了一個未知數(shù)，得到一個解。

（2）加減消元法

利用等式的性質(zhì)，使方程組中兩個方程中的某一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等，然后把兩個方程相加

（減），以消去這個未知數(shù)，使方程只含有一個未知數(shù)而得以求解。

【經(jīng)典例題】

1,簡述二元一次方程組有哪些解法，并對其步驟進行簡單說明。

【參考答案】

①代入消元法：

用代入消元法解二元一次方程組的一般步驟：

（1）在方程組中選一個系數(shù)比較簡單的方程，將這個方程變形，用含一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另個

未知數(shù)：（2）將這個關(guān)系式代入另一個方程，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；（3）解這個一

元一次方程，求得一個未知數(shù)的值：（4）將這個求得的未知數(shù)的值再代入關(guān)系式，求出另一個未知數(shù)的值；

（5）寫出方程組的解。

②加減消元法

用加減法解二元一一次方程組的一般步驟：

（1）確定消元對象，并把它的系數(shù)化成相等或互為相反數(shù)的數(shù)：（2）把兩個方程的兩邊分別相加或

相減，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；（3）解這個一元一次方程，求得一個未知數(shù)的值；（4）

將這個求得的未知數(shù)的值代入原方程組中的任意一個方程，求出另一個未知數(shù)的值；（5）寫出方程組的解。

【高頻考點2】高次方程的解法

1.±1判根法

在一個一元高次方程中，如果各項系數(shù)之和等于0,則1是方程的根；如果偶次項系數(shù)之和等于奇次

項系數(shù)之和，則T是方程的根。求出方程的±1的根后，將原高次方程用因式分解法分別除以（X-I）或（x+l）,

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降低方程次數(shù)后依次求根。

注：常數(shù)項算在偶次項系數(shù)當(dāng)中。

2.常數(shù)項約數(shù)求根法

根據(jù)定理：“如果整系數(shù)多項式凡父+%一/1+…+qx+“。可分解出因式尸x-。，即方程

*+α"T+…+4x+g=0有有理數(shù)根?（尸、。是互質(zhì)整數(shù)），那么，P一定是首項系數(shù)可的約數(shù),

。一定是常數(shù)項4的約數(shù)”。常數(shù)項約數(shù)求根法有兩種類型：第一種類型：首項系數(shù)為1。對首項（最高

次數(shù)項）系數(shù)為1的高次方程，直接列出常數(shù)項所有約數(shù)，代入原方程逐一驗算，使方程值為零的約數(shù)，

就是方程的根。依次用原方程除以帶根的因式，逐次降次，直至將高次方程降為二次或一次方程求解：第

二種類型：首項系數(shù)不為10對首項系數(shù)不為1的高次方程，首先以首項系數(shù)為“公因數(shù)”提取到小括號

外，然后對小括號內(nèi)的方程的常數(shù)項列出公約數(shù)。特別注意此時代入方程驗算的值一定是l而不是Q,因

為此時原方程的因式是尸X-。，其余的解法步驟同首項系數(shù)為I的解法步驟相同。

3.倒數(shù)方程求根法

定義：系數(shù)成首尾等距離的對稱形式的方程,叫做倒數(shù)方程。如：αr4+fe√+c√+dx+e=O,其中，α=e,

b=d或者a=-e,b=-d。

性質(zhì)1：倒數(shù)方程沒有零根；

性質(zhì)2：如果。是方程的根，則?!■也是方程的根；

a

性質(zhì)3：奇數(shù)次倒數(shù)方程必有一個根是-1或者1,分解出因式（X-I）或（x+l）,降低一個次數(shù)后的方程

仍是倒數(shù)方程。

【經(jīng)典例題】

1.求解方程12x4-56χ3+89/-56X+12=O的實數(shù)根。

321

【答案】??=一，Xj=一，X3=2,x4=~

12*-3342

【解析】原方程化為1214+ι）-56（χ3+χ）+89χ2=0,顯然，上述方程中xxθ,兩邊除以/Wo得

12（x2+3）_56（x+：）+89=0。令x+g=y,則x?+二=（》+：）一2=ι√—2,代入上面方程得

12（√-2）-56y+89=0,KP12/-56?+65=O,即（6y-13）（2y-5）=0,.?.?1=—,y2=-c由M=U得

6~26

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X+-=—,即(2x-3)(3x-2)=0,.?.x∣=3,x1=-.由刈=工得x+1=?，即2χ2-5x+2=0,即

X6'八'l22322X2

1321

=r

(x-2)(2x-l)=0,.?.X3=2?X4?θ故原方程的根為Xl=：，?2=/=2,々=5。

2.解方程4X4-18X3+28/78?Y+4=0的實數(shù)根。

【答案】1:22

2

【解析】由題意可知XK0,原方程化為"-I**28χ--18x+4=0,可得以2一^χ+28-竺+之=0,

XXX

貝18(x+，)+28=0,令χ+1=z,X2+-V=∕2-2,則4(/一2)—18/+28=0,化簡得

4∕^—18/+20=0,解得乙=2,Z2=—o當(dāng)Z=2時，.Y+?=2?則/一2x+l=0,解得芭=與=1：當(dāng)，=*

2X2

時，X+?=—?>2x2-5x+2=0?解得X3=2,、4=1。故原方程的解為1:2」。

X222

【高頻考點3】絕對值方程

1.定義：絕對值符號中含有未知數(shù)的方程叫做絕對值方程。

2.解題步驟：去掉絕對值符號，把絕對值方程轉(zhuǎn)化為一般的方程來解。

3.不同類型絕對值方程的解法：

(1)形如IaX+耳=c(αHO)的絕對值方程的解法：

①當(dāng)c<0時，根據(jù)絕對值的非負性，可知此時方程無解：

②當(dāng)C=O時，原方程變?yōu)镮ax+“=0,即αx+b=O,解得X=-2;

③當(dāng)c>0時，原方程變?yōu)椤皒+∕>=c或ox+6=-c,解得X=^~■或x=’~~-<>

aa

(2)形如IaX+4=cx+d(αc≠0)的絕對值方程的解法：

①根據(jù)絕對值的非負性可知cx+d≥O,求出X的取值范圍；

②根據(jù)絕對值的定義將原方程化為兩個方程ax+6=ex+d和αx+b=-(cx+d)；

③分別解方程OX+6=ex+d和Or+6=—(ex+d)：

④招求得的解代入cr+"≥O檢驗，舍去不符合條件的解。

(3)形如IaX+N=kx+4(αc≠0)的絕對值方程的解法：

①根據(jù)絕對值的定義將原方程化為兩個方程ox+b=cx+d或αx+6=-(cx+d)；

②分別解方程Ox+6=ex+d和αx+b=-(cx+d)。

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(4)形如∣x-α∣+∣x-b∣=c(α<b)的絕對值方程的解法:

①根據(jù)絕對值的幾何意義可知：∣x-α∣+∣x-6∣≥∣α-6∣;

②當(dāng)c<∣α-.時，方程無解：當(dāng)C=Ia-M時，方程的解為α≤x≤b;當(dāng)c>∣α-b∣時，分兩種情況：當(dāng)

x<α?xí)r，原方程的解為x="+'-c；當(dāng)x>b時，原方程的解為x=?+"+c。

22

【經(jīng)典例題】

1.方程∣x+5卜∣3x-7∣=l的解有()個。

A.lB.2

C.3D.無數(shù)

【答案】B

【解析】當(dāng)x≥7,時，原方程可化簡為x+5-3x+7=l,解得X=1I1符合題意；當(dāng)-5<x<7,時，原方

323

程可化簡為x+5+3x-7=l,解得x=±符合題意；當(dāng)x≤-5時，原方程可化簡為-x—5+3x-7=l,解得

4

X=-,不符合題意；所以X的值為U或U。即方程的解有2個。故本題選瓦

222

2.解絕對值方程∣x-2∣+∣x+7∣=ll。

【答案】X=-8或X=3

【解析】當(dāng)x≤-7時，x-2<0,x+740,原方程化為：(2-x)+(-x-7)=11,解得：x=-8；當(dāng)-7<x≤2

時，x-2≤0,x+7>0,原方程化為(2-x)+(x+7)=ll,該方程無解：當(dāng)x>2時，x-2>0,x+7>0,

原方程化為(x-2)+(x+7)=ll,解得：x=3。即原方程的解為x=-8或x=3。

第二章函數(shù)

【高頻考點】函數(shù)的單調(diào)性

在公共定義域內(nèi)：

增函數(shù)/(x)+增函數(shù)g(x)是增函數(shù)；

減函數(shù)/(x)+減函數(shù)g(x)是減函數(shù)；

增函數(shù)/(X)-減函數(shù)g(x)是增函數(shù)：

減函數(shù)/(X)-增函數(shù)g(x)是減函數(shù)。

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【經(jīng)典例題】

L設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R，且/(x)是增函數(shù),g(x)是減函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()。

AJ(X)?g(x)是增函數(shù)B.∕(x)?g(x)是減函數(shù)

C?∕(x)-g(x)是增函數(shù)DJ(X)+g(x)是減函數(shù)

【答案】C

【解析】根據(jù)單調(diào)性法則：①增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)；②減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)；③增函數(shù)-減函數(shù)

=增函數(shù)；④減函數(shù)-增函數(shù)=減函數(shù)。故本題選C。

2.設(shè)函數(shù)/(x)是定義在R上的增函數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的是()。

A.∕(x)+/(r)是偶函數(shù)且是增函數(shù)Bj(X)+/(-x)是偶函數(shù)且是減函數(shù)

Cj(X)-/(-x)是奇函數(shù)且是增函數(shù)DJ(X)-f(-x)是奇函數(shù)且是減函數(shù)

【答案】C

【解析】設(shè)/(x)=∕(x)-∕(r),?.?∕(x)是定義在R上的增函數(shù)，.?.∕(-x)是定義在R上的減函數(shù)，

從而-〃-*)是定義在口上的增函數(shù)，；./(》)=/(*)-〃-力是在(70,+8)上的增函數(shù)，；尸(力=/(χ)-

f(-x),.?.F(-Λ)=∕(-X)-∕(X),則F(X)=-尸(-X),，函數(shù)尸(X)為奇函數(shù)，且在(一8,+8)上的增函數(shù)。

故本題選C。

第三章不等式

【高頻考點】重要不等式

(1)設(shè)。、6是兩個正數(shù)，則色也稱為正數(shù)。、分的算術(shù)平均數(shù)，而稱為正數(shù)“、6的幾何平均數(shù)。

2

(2)均值不等式：若α>O,h>O,則4+622而，即竺而，當(dāng)且僅當(dāng)α=b時，"=”成立。

2

(3)常用的基本不等式：a2+b2≥lah,/4(誓J,誓:

【經(jīng)典例題】

1.(1)已知x>0,y>0,z>0,證明：4+=+221+1+1°

x'y'z'Xyz

(2)已知a>l,b>l,c>?9且αbc=8,?∣ogz,a?Iog2a+Iogcb?Iog2b+logαc?Iog2c≥ktlMcjZ,

求實數(shù)攵的最大值。

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【答案】（1）證明見解析；（2）3

【解析】(1)證明：由χ>o,y>o,得與+L≥2,H'=2,即4+L≥2,同理彳+1*2,

Xy?XyXXyXyZyz.xz

以上三式相加，得與+=+=+?L+?L+L≥a+4+m(當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時取等號)，故4+W+口

XyzyzXyzXJryZ

111??

≥一+--F-O成一'∕.O

xyz

；。log；b,log；c_Iog2log..2,Iog2

IIIL.1Ll1bg----------十---------------------l-)---十-----------十-------u----

(2)IOgAa?Iog2a+IogcA?log.?÷logαc?log2c=--+，根據(jù)

Iog2?Iog2C?og,ɑlog-2log?2log；2

=IOg2。+Iog/+log/=log2加=Iog8=3,所以，A≤3,

⑴‘得器l+i?+i?-+i?+i?2

故實數(shù)攵的最大值為3。

444

2.證明不等式：a9b,c∈R,ɑ+?÷c≥abc(α+6+c)o

【答案】見解析

e：a4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+α4≥2t?2,Λ2(a4+?4÷c4)≥2(α?2÷b2c2+c2a2),

4442222222222222222

BRα+A+c≥ab+bc+caβ又+/d≥2R/c,bc+ca≥2abc9ab+ca≥2abc.：.

2^a2h2+?2c2+c2a2)≥2(cιb1c÷abc'+a1bc),即a2b2+b2c2^c2a2≥abc(α+∕>+c),/.a4+64÷c4≥

abc(a+b+c)。

第二模塊圖形與幾何

第一章解析幾何

【高頻考點1】圓的方程

1.標準方程：（x-α）2+（y-b）2=/,其中，（α,b）——圓心，r——半徑。

2.一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0,(θ2+E2-4F>0)

’,§一圓心，一切+E一尸一半徑。

V22)2

3?參數(shù)方程：??一圓心，「一半徑。

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【經(jīng)典例題】

若8兩點分別在圓χ2+y2-6χ+16y-48=0和χ2+y2+4χ-8y-44=0上運動，則/,B兩點距

離的最大值是()。

A.13B.32

C.36D.38

【答案】B

【解析】本題考查圓上的動點問題。將圓/+/-6x+16y-48=0化為標準方程，得

(X-3)2+(?+8)2=121,所以該圓是以Λ∕(3,-8)為圓心,半徑｛=11的圓。同理可得/+/+4x-8y-44=0

的圓心為N(-2,4),半徑4=8,所以兩圓的圓心距為IMNI=J(3+2)?+(-8-4『=13,因為/、8兩點分

別在圓M、圓?上運動，所以當(dāng)/、8在宜線上，且A/、N兩點在4、8之間時取最大值。此

時，|/九=八+〃+網(wǎng)=1\+8+13=32。故本題選B。

【高頻考點2】圓錐曲線

1.橢圓

χ2V2

(1)標準方程：—+:-y=l(a>6>0)

Q~b~

(2)定義域：｛x∣-α≤x≤α｝;值域：｛?∣-?≤y≤ft｝：

(3)長軸長2α,短軸長26,焦距2c,a~=b2+c2；

(4)準線方程：x=±-o

C

2.雙曲線

22

(1)標準方程：三-親?=l(α>O,?>0);

(2)范圍：｛x∣x≥α典≤-α｝;｛M?GR｝；

122

(3)實軸長2α,虛軸長2b,焦距2c,c=a+bi

(4)準線方程：x=±《。

c

3.拋物線

(1)標準方程：y2=2px(p>O),P為焦參數(shù)：

(2)焦點：(§0)，通徑∣∕8∣=2p;

(3)準線：x=-R;

2

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7

（4）焦半徑：∣4∕∣=XI+§,過焦點弦長∣∕8∣=x∣+x?+P。

【經(jīng)典例題】

已知拋物線y=:χ2,如圖，拋物線在點P（Xi）,外）卜0XO）處的切線Pr與y軸交于點M,點光源放在

拋物線焦點F（0,1）處，入射光線。經(jīng)拋物線反射后的光線為P0,即NFPM=NQP7,求證：光線P。與

y軸平行。

【答案】（見解析

2

【解析】證明：如圖，因為y'=，代入與可得k=，根據(jù)點斜式方程可得切線方程為y=￡?X-,

即當(dāng)X=O時，了=-Lq=-M）,所以FΛ∕=%+L過P點做準線的垂線交于點E,設(shè)尸點切線方程交y軸

4

于即PE〃y軸，連接A/E,因為PF=PE=見+1,即可得尸尸=QE=FAY=%+1，所以在AFA"5中，

NFMP=NFPM,又因為尸E〃y,所以N尸MP=NMPE,由已知可知N尸尸M=NQP7,綜上可得

NMPE=NQPT,因此E、P、0三點共線，故P。平行于y軸。

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第三模塊統(tǒng)計與概率

第一章統(tǒng)計

【高頻考點】統(tǒng)計學(xué)中的幾個基本概念

（-）平均數(shù)

一般地，如果有〃個數(shù)占，七，…斗，那么，T=La+x,+...+xj叫做這〃個數(shù)的平均數(shù)，〒讀作“X拔”。

n

（二）中位數(shù)

1.定義：將一組數(shù)據(jù)按大小順序依次排列，處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）

叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。

2.中位數(shù)的算法：設(shè)樣本有〃個數(shù)據(jù)，按大小順序依次排列后，

（I）〃為奇數(shù)，第四個數(shù)據(jù)為中位數(shù)；

2

（2）〃為偶數(shù)，第2與2+1個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為中位數(shù)。

22

3.特點：

（1）中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)，不受某些數(shù)據(jù)變動的影響：

（2）當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個別數(shù)據(jù)變動較大時，中位數(shù)能較好的反映數(shù)據(jù)的集中趨勢。

（三）樣本方差

樣本中所有個體芭，X2,…，毛與樣本平均數(shù)亍的差的平方的平均數(shù)叫做樣本方差，用/表示。方差反

映了一組數(shù)據(jù)的波動情況。方差越大，數(shù)據(jù)的波動越大，越不穩(wěn)定；方差越小，數(shù)據(jù)的波動越小，越穩(wěn)定。

s=?［（??-?）2+^-^）2+???+（乙-亍丹

常用結(jié)論：

若x∣,x2,,X”的平均數(shù)為無，則（Orl+6）,（α,v2+b）.........+6）的平均數(shù)為而+b。

【經(jīng)典例題】

1.在一次高三年級統(tǒng)一考試中，數(shù)學(xué)試卷有一道滿分為10分的選做題，學(xué)生可以從48兩道題目中任

選一題作答。某校有900名高三學(xué)生參加了本次考試，為了了解該校學(xué)生解答該選做題的得分情況，計劃

從900名學(xué)生的選做題成績中隨機抽取一個容量為IO的樣本，為此將900名學(xué)生的選做題的成績隨機編號

為001,002.........900,

（1）若采用隨機數(shù)法抽樣，并按照以下隨機數(shù)表，以方框內(nèi)的數(shù)字5為起點，從左向右依次讀數(shù)，每

次讀取三位隨機數(shù)，一行數(shù)讀完之后接下-行左端寫出樣本編號的中位數(shù)。

^^9讓每一個孩子都能遇到好老師

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2022下半年教師資格考試《數(shù)學(xué)》高頻考點

基礎(chǔ)（精講）+沖刺（仿真）+督學(xué)（測評）+口訣（速記）+經(jīng)典（資料）

高頻考點數(shù)學(xué)

052693706022358515139203515977

595678068352910570740797108823

099842996461716299150651291693

580577095151268785855487664754

733208111244959263162956242948

269961655358377880704210506742

321755857494446716941465526875

875936224126786306551308270150

1529393943

（2）若采用分層隨機抽樣，按照學(xué)生選擇/題目或8題目，將成績分為兩層，且樣本中選擇/題目的

成績有8個，平均數(shù)為7,方差為4：樣本中選擇8題目的成績有2個，平均數(shù)為8,方差為1。試用樣本

估計該校900名學(xué)生的選做題得分的平均數(shù)與方差。

【答案】（1）667；（2）平均數(shù)為7.2；方差為3.56

【解析】（1）由題意知：讀取的編號依次是512,916（超界），935（超界），805,770,951（超

界），512（重復(fù)），687,858,554,876,647,547,332。將有效的編號由小到大排序，得332,

512,547,554,647,687,770,805,858,876,.,.樣本編號的中位數(shù)為竺上竺?=667。（2）

2

設(shè)樣本中選擇/題目的成績的平均數(shù)為7,方差為S?：樣本中選擇8題目的成績的平均數(shù)為歹，方差為

則亍=7,s2=4,歹=8,∕2=1..?.樣本的平均數(shù)為-?-jf+二一歹=3x7+1χ8=7,2,方差為

8+28+2-55

^^×[S2+（X-7.2）2J+^^×[∕2+（V-7.2）2]=→[4+（7-7.2）2]+→[1+（8-7.2]Γ]=3.56。.?.該校900

名學(xué)生的選做題得分的平均數(shù)約為7.2,方差約為3.56。

2.甲、乙兩班參加了同一學(xué)科的考試，其中甲班50人，乙班40人，甲班的平均成績?yōu)?0.5分，方差

為500：乙班的平均成績?yōu)?5分，方差為360。那么甲、乙兩班全部90名學(xué)生的平均成績和方差分別是多

少？

【答案】平均分是82.5分，方差為442.78

【解析】設(shè)甲班50名學(xué)生的成績分別是q,ɑ50,那么甲班的平均成績、權(quán)重和方差分別為

中山—35㈤…嗡，iTj+y'??-=5*設(shè)乙班

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2022下半年教師資格考試《數(shù)學(xué)》高頻考點

基礎(chǔ)（精講）+沖刺（仿真）+督學(xué)（測評）+口訣（速記）+經(jīng)典（資料）

________________________________________________________高頻考點數(shù)學(xué)

40名學(xué)生的成績分別是自，如…，％,,那么乙班的平均成績、權(quán)重和方差分別為.=…+4°=85

,iw乙40

（分），W乙=竺，丸=3士）二他一XJ+???+（4。-XJ=360。如果不知道q,a,,???,050和

z?90401-50

hl,b2,?;b4u,只知道甲、乙兩班的平均成績、權(quán)重及方差，全部90名學(xué)生的平均成績應(yīng)為

亍=W伍+w乙互=親80.5+薩x85=82.5（分）。而全部90名學(xué)生的方差為Y=w邛R+禺-刀）1+

wk[-?+（?.-^）^]°因此，S2=W,|,[S；,+（/,_F）〔+W/S：+（&_;F）[=I^X[5OO+（8O.5-82.5）2]+

親[36。+（85-82.5））50,5。。+50*4+茅360+40、6.25%42.78。

第二章概率

【高頻考點1】古典概型

1.特點

（1）所有可能出現(xiàn)的基本事件為有限個:

（2）每個基本事件發(fā)生的可能性相等。

2.概率公式

事件力包含的基本事件的個數(shù)=m

所有基本事件的個數(shù)^7

【經(jīng)典例題】

1.甲、乙、丙、丁4個足球隊參加比賽，假設(shè)每場比賽各隊取勝的概率相等，現(xiàn)任意將這4個隊分成

兩個組（每組兩個隊）進行比賽，勝者再賽，則甲、乙相遇的概率為（）。

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，分兩種情況討論：①甲、乙在同一組：②甲乙不在同一組，但相遇的概

率：R=2χLχL=L0則甲、乙相遇的概率為尸=J?+?L=?L°故本題選D。

23226362

2.盒子中裝有編號為1~7的七個球，從中任意取出兩個，則這兩個球的標號之積為偶數(shù)的概率為（）。

【答案】C

11讓每一個孩子都能遇到好老師

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2022下半年教師資格考試《數(shù)學(xué)》高頻考點

基礎(chǔ)(精講)+沖刺(仿真)+督學(xué)(測評)+口訣(速記)+經(jīng)典(資料)

高頻考點數(shù)學(xué)

【解析】7個球選出編號之積為偶數(shù)，則有兩種情況，一種是從3個偶數(shù)中選擇兩個，概率為4=1,

C；7

另一種是從3個偶數(shù)中選擇一個，4個奇數(shù)中選擇一個，概率為駕I=*,則所求概率為_1+±=3。故本

C；7777

題選C。

【高頻考點2】條件概率

1.概念：對事件/和8,在已知事件8發(fā)生的條件下，事件力發(fā)生的概率，稱為8發(fā)生時4發(fā)生的條

件概率，記為尸(H8)。

2.概率公式:P(∕忸)=；：］,其中P(8)>0°

【經(jīng)典例題】

L根據(jù)歷年氣象統(tǒng)計資料，某地四月份吹東風(fēng)的概率就，下雨的概率就，既吹東風(fēng)又下雨的概率

為:。則在吹東風(fēng)的條件下下雨的概率為()。

98

A.B.

IIIl

28