人教A版高中數(shù)學(xué)必修2學(xué)案2-2-1直線與平面平行的判定2-2-2平面與平面平行的判定

2.2直線、平面平行的判定及其性質(zhì)直線與平面平行的判定平面與平面平行的判定學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解直線與平面平行，平面與平面平行的判定定理．(重點(diǎn))2．會用圖形語言、文字語言、符號語言準(zhǔn)確描述這兩個判定定理，并知道其地位和作用．(易混點(diǎn))3．能夠應(yīng)用兩個判定定理證明直線與平面平行和平面與平面平行．(難點(diǎn))1.通過學(xué)習(xí)直線與平面平行的判定，提升直觀想象、邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；2．通過學(xué)習(xí)平面與平面平行的判定，培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．直線與平面平行、平面與平面平行的判定定理定理直線與平面平行的判定定理平面與平面平行的判定定理文字語言平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行符號語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥a,a?α,l?α))?l∥αeq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥β,b∥β,a∩b＝P,a?α，b?α))?α∥β圖形語言思考：(1)若一條直線平行于一個平面內(nèi)的一條直線，則這條直線和這個平面平行，對嗎？(2)平面平行有傳遞性嗎？[提示](1)根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知該結(jié)論錯誤．(2)有．若α、β、γ為三個不重合的平面，則α∥β，β∥γ?α∥γ.1．能保證直線a與平面α平行的條件是()A．b?α，a∥bB．b?α，c∥α，a∥b，a∥cC．b?α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BDD．a(chǎn)?α，b?α，a∥bD[A錯誤，若b?α，a∥b，則a∥α或a?α；B錯誤，若b?α，c∥α，a∥b，a∥c，則a∥α或a?α；C錯誤，若滿足此條件，則a∥α或a?α或a與α相交；D正確，a?α，b?α，a∥b恰好是判定定理所具備的不可缺少的三個條件．]2．已知平面α內(nèi)的兩條直線a，b，a∥β，b∥β，若要得出平面α∥平面β，則直線a，b的位置關(guān)系是()A.相交 B．平行C．異面 D．垂直A[根據(jù)面面平行的判定定理可知a，b相交．]3．已知平面α∥平面β，直線a?α，則直線a與平面β的位置關(guān)系為________．a(chǎn)∥β[因?yàn)棣痢桅?，所以α與β無公共點(diǎn)，因?yàn)閍?α，所以a與β無公共點(diǎn)，所以a∥β.]直線與平面平行的判定【例1】如圖所示，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)D，D1分別為AC，A1C(1)AD1∥平面BDC1；(2)BD∥平面AB1D1.[證明](1)∵D1，D分別為A1C1，AC的中點(diǎn)，四邊形ACC1A∴C1D1綊DA，∴四邊形ADC1D1為平行四邊形，∴AD1∥C1D.又AD1?平面BDC1，C1D?平面BDC1，∴AD1∥平面BDC1.(2)連接DD1，∵BB1∥平面ACC1A1，BB1?平面BB1D1D，平面ACC1A1∩平面BB1D1D＝DD1，∴BB1∥DD1，又∵D1，D分別為A1C1，AC的中點(diǎn)，∴BB1＝故四邊形BDD1B1為平行四邊形，∴BD∥B1D1，又BD?平面AB1D1，B1D1?平面AB1D1，∴BD∥平面AB1D1.1．判斷或證明線面平行的常用方法有：(1)定義法：證明直線與平面無公共點(diǎn)(不易操作)；(2)判定定理法(a?α，b?α，a∥b?a∥α)；(3)排除法：證明直線與平面不相交，直線也不在平面內(nèi)．2．證明線線平行的常用方法：(1)利用三角形、梯形中位線的性質(zhì)；(2)利用平行四邊形的性質(zhì)；(3)利用平行線分線段成比例定理．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，P是平面ABCD外一點(diǎn)，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)．求證：MN∥平面PAD.[證明]如圖，取PD的中點(diǎn)G，連接GA，GN.∵G，N分別是△PDC的邊PD，PC的中點(diǎn)，∴GN∥DC，GN＝eq\f(1,2)DC.∵M(jìn)為平行四邊形ABCD的邊AB的中點(diǎn)，∴AM＝eq\f(1,2)DC，AM∥DC，∴AM∥GN，AM＝GN，∴四邊形AMNG為平行四邊形，∴MN∥AG.又∵M(jìn)N?平面PAD，AG?平面PAD，∴MN∥平面PAD.平面與平面平行的判定【例2】如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，G為DD1上一點(diǎn)，且D1G∶GD＝1∶2，AC∩BD＝求證：平面AGO∥平面D1EF.[證明]設(shè)EF∩BD＝H，連接D1H，在△DD1H中，因?yàn)閑q\f(DO,DH)＝eq\f(2,3)＝eq\f(DG,DD1)，所以GO∥D1H，又GO?平面D1EF，D1H?平面D1EF，所以GO∥平面D1EF.在△BAO中，因?yàn)锽E＝EA，BH＝HO，所以EH∥AO，又AO?平面D1EF，EH?平面D1EF，所以AO∥平面D1EF，又GO∩AO＝O，所以平面AGO∥平面D1EF.平面與平面平行的判定方法：(1)定義法：兩個平面沒有公共點(diǎn)．(2)判定定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面．(3)轉(zhuǎn)化為線線平行：平面α內(nèi)的兩條相交直線與平面β內(nèi)的兩條相交直線分別平行，則α∥β.(4)利用平行平面的傳遞性：若α∥β，β∥γ，則α∥γ.eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．如圖所示，在三棱錐S-ABC中，D、E、F分別是棱AC、BC、SC的中點(diǎn)．求證：平面DEF∥平面SAB.[證明]因?yàn)镈、E分別是棱AC、BC的中點(diǎn)，所以DE是△ABC的中位線，DE∥AB.因?yàn)镈E?平面SAB，AB?平面SAB，所以DE∥平面SAB，同理可證：DF∥平面SAB，又因?yàn)镈E∩DF＝D，DE?平面DEF，DF?平面DEF，所以平面DEF∥平面SAB.線面、面面平行的綜合問題[探究問題]觀察下面兩個圖形：1．怎樣證明平面β中的直線與平面α平行？[提示]利用線面平行的判定定理，只需在平面β中找到一條與平面α中的直線平行的直線即可．2．怎樣證明兩個平面平行？[提示]利用面面平行的判定定理，只需平面β中的兩條相交直線分別與平面α平行即可．【例3】已知底面是平行四邊形的四棱錐P-ABCD，點(diǎn)E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使BF∥平面AEC？證明你的結(jié)論，并說出點(diǎn)F的位置．思路探究：解答本題應(yīng)抓住BF∥平面AEC.先找BF所在的平面平行于平面AEC，再確定F的位置．[解]如圖，連接BD交AC于O點(diǎn)，連接OE，過B點(diǎn)作OE的平行線交PD于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GF∥CE，交PC于點(diǎn)F，連接BF.∵BG∥OE，BG?平面AEC，OE?平面AEC，∴BG∥平面AEC.同理，GF∥平面AEC，又BG∩GF＝G.∴平面BGF∥平面AEC.∴BF∥平面AEC.∵BG∥OE，O是BD中點(diǎn)，∴E是GD中點(diǎn)．又∵PE∶ED＝2∶1，∴G是PE中點(diǎn)．而GF∥CE，∴F為PC中點(diǎn)．綜上，當(dāng)點(diǎn)F是PC中點(diǎn)時，BF∥平面AEC.本例若改為“已知底面是平行四邊形的四棱錐P-ABCD，在棱PD上是否存在一點(diǎn)E，使PB∥平面ACE？若存在，請找出E點(diǎn)位置；若不存在，請說明理由”，該如何解決？[解]如圖，連接AC、BD交于點(diǎn)O，取PD中點(diǎn)為E，連接OE、AE、CE，則在△PBD中，OE∥PB，又OE?平面ACE，PB?平面ACE，所以PB∥平面ACE.此時E為PD中點(diǎn)，故當(dāng)E為PD中點(diǎn)時，能使PB∥平面ACE.,解決線線平行與面面平行的綜合問題的策略：(1)立體幾何中常見的平行關(guān)系是線線平行、線面平行和面面平行，這三種平行關(guān)系不是孤立的，而是相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的．(2)eq\x(線線平行)eq\o(→,\s\up9(判定))eq\x(線面平行)eq\o(→,\s\up9(判定))eq\x(面面平行)所以平行關(guān)系的綜合問題的解決必須靈活運(yùn)用三種平行關(guān)系的判定定理．1．直線與平面平行的關(guān)鍵是在已知平面內(nèi)找一條直線和已知直線平行，即要證直線和平面平行，先證直線和直線平行，即由立體向平面轉(zhuǎn)化，由高維向低維轉(zhuǎn)化．2．證明面面平行的一般思路：線線平行?線面平行?面面平行．3．準(zhǔn)確把握線面平行及面面平行兩個判定定理的使用前提條件，是對線面關(guān)系及面面關(guān)系作出正確推斷的關(guān)鍵．1．平面α與平面β平行的條件可以是()A．α內(nèi)有無數(shù)多條直線與β平行B．直線a∥α，a∥βC．直線a?α，直線b?β，且a∥β，b∥αD．α內(nèi)的任何直線都與β平行D[由面面平行的定義知，選D.]2．在三棱臺ABC-A1B1C1中，直線AB與平面A1B1CA．相交B．平行C．在平面