2022-2023學年七年級數(shù)學知識點串講（北師大版）：全等三角形證明方法 一線三等角模型（解析版）

專題08全等三角形證明方法線三等角模型

基本模型:

(1)條件：如圖，CD是經(jīng)過ZBe4頂點C的一條直線，CA=CB,E、尸分別是直線CO上的兩點，且

NBEC=NCFA=Ct,0°<ZBAC<180o,NBC4=180°-α,

結論：_BCE公JCAF.

(2)條件：如圖，直線CD經(jīng)過NBC4的外部，CA^CB,E、F分別是直線CD上的兩點，且

/BEC=/CFA=a,ZBCA=a,

結論：①JBCEg_C4F；②BE+AF=EF.

(3)條件：如圖，ZδC4=9()°,CA=CB,NBDC=/CEA=90°,

結論：①一BDCaCEA；②BD+AE=DE.

DCE

(4)條件：如圖，ZBC4=90°,C4=CB,NBJDC=NCEA=90°,

結論：①一BDe-CEA；②BD-AE=DE.

(5)條件：如圖，NBC4=90°,CA=CB,BD±CE,CAVEA,

結論：BDCV-CEA.

例題精講:

例1.【一線三等角模型】如圖1：點A、B、C在一條直線上，ZA=ZDBE=/C,當BD=BE時,有

AB哈CEB.理由：

?.?ZA=ZDBE,ZD+ZDBA=180°-ZA,ZDBA+/CBE=180°-ZDBE,：.ZD=ZCBE-

-------------請將全等證明過程補充完整.

【模型運用】如圖2：NABC=NC4。=90°,AB=4,AC=AD,求「84。的面積；

【能力提升】如圖3：在等邊所中，A,C分別為邊上的動點，AE=2CD,連接AC,以

AC為邊在DEF`內(nèi)作等邊.ABC,連接BF,當點A從點E向點。運動（不與點。重合）時，ZCFB

的度數(shù)變化嗎？如不變請求出它的度數(shù)，如變化，請說明它是怎樣變化的？

【答案】【一線三等角模型】見解析；【模型運用】8；【能力提升】NCR5=30°不變，理由見解析

【詳解】【一線三等角模型】證明：如圖1：?.?NA=NOBE,

.?.N。+/084=180?！狽A,ΛDBA+ZCBE=180°-ADBE,

.?.ZD=NCBE,

在，ASD和一C￡8中，

Z=NC

<ND=NCBE,

BE=BE

/.<ABERCEB(AAS);

【模型運用】解：如圖2：過點。作DTJ_84交BA的延長線于點T.

圖2

同法可證乙477注-CBA(AAS),

/.DT=AB=4,

二SXABXOT=L4x4=8；

ahd22

【能力提升】解：NCFB=30°不變.

理由：如圖3中，在CF上取一點M使得FN=DC.

V.ABC,都是等邊三角形，

；.ND=ZACB=60°,DE=DF,CA^CB,

VAE=2CD,CD=FN,

：.DA=CN,

ZAGV=ZACB+ZBCN=ZD+ZCAD,

.?./BCN=/DAC,

在「A。C和-OVB中，

AD=CN

<ZCAD=NBCN,

AC=CB

：..Ar)C空GVB(SAS)；

ΛBN=CD,No=ZBNC=60°,

,：NF=CD,

：.BN=NF,

：./NBF=ZNFB,

?.?NBNC=ZNBF+ZNFB=60°,

.?./NBF=NNFB=30。,

：.NCFB=30。.

【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關

鍵是學會添加常用輔助線，構造一線三等角模型，利用全等三角形解決問題.

例2.在一ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過點C,且4D?LMN于。，BEA.MN于?E.

(1)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖(1)的位置時，

求證：①,ADCg-CEB；

②DE=AD+BE；

(2)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖(2)的位置時，求證：DE=AD-BE-,

【詳解】解：（1）①?.?ADJ_M7V,BElMN,

.?.ZADC=ZACB=90o=NCEB,

.?.ZCAD+ZACD=90o，NBCE+ZACD=90o,

：./CAD=NBCE,

在，AQC和「CEB中，

NCAD=NBCE

<ZADC=ZCEB,

AC=CB

：..Ar)&-CEB(AAS)；

②：_ADC，CEB,

：.CE=AD,CD—BE,

.?.DE—CE+CD=AD+BE；

(2)證明：?.?A￡>，肱V,BELMN,

：.ZADC=ZACB=90o=ZCEB,

.?.ZCAD=ZBCE,

在二Ar)C和,CEB中，

NCAD=ZBCE

<ZADC=NCEB,

AC=CB

.?.ADC^,CEB(AAS);

CE-AD,CD-BE,

：.DE=CE-CD=AD-BE;

(3)當MN旋轉(zhuǎn)到題圖(3)的位置時，AD,DE,BE所滿足的等量關系是：DE=BE-AD.

理由如下：VADLMN,BELMN,

：.ZADC=ZACB=90o=ZCEB,

.?.NCAD=/BCE,

在.Ar)C和一CEB中，

NCAD=NBCE

<ZADC=ZCEB,

AC=CB

：.A￡>8-CEB(AAS)；

：.CE^AD,CD=BE,

：.DE=CD-CE=BE-AD.

【點睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應用，解題時注意：全等三

角形的對應邊相等，同角的余角相等，解決問題的關鍵是根據(jù)線段的和差關系進行推導，得出結論.

例3.如圖，在,ABC中，AB=AC=4,N84C=120°,點。在線段BC上運動(點。不與點B和點

C重合)，連接AO,作NADE=30°,OE交線段AC于點￡.

(1)在點。的運動過程中，.4)E的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出NAr)B的度數(shù)；若不可

以，請說明理由；

(2)若DC=4,求證：_ABgdDCE.

【答案】(I)AoE的形狀可以是等腰三角形，NAOB的度數(shù)為1()5°或60。；(2)見解析

【詳解】(1)解：在點。的運動過程中，ADE的形狀可以是等腰三角形，

?.?AB=AC=4,NBAC=I20°,

ZB=ZC=-(180o-ZBAC)=30°

.?.ZEDC+ZDEC=180o-ZC=150°,

??ZADE30°,

：.ZEDC+ZADB=180。-ZAZ)E=150°,

ZADB=NDEC,

分三種情況：

當AO=AE時，

?.?點。在線段BC上運動(點D不與點B和點C重合),

二AD≠AE；

當AC)=Z)E時,

.*.ZDAE=ZDEA=^(180o-ZADE)=75°,

.?.NDEC=ZADE+ZDAE=105°,

；.NADB=/DEC=Io5。；

當A￡=￡>￡時，

：.ZEAD^ZADE=30°,

：.ZDEC=ZADE+ADAE=60°,

：.ZADB=/DEC=3；

綜上所述：在點。的運動過程中，,A0￡的形狀可以是等腰三角形，NAoB的度數(shù)為105?；?0°；

(2)證明：：AB=A,DC=A,

AB-DC-4,

在，ABD和一DCE中,

NB=NC

<NADB=ZDEC,

AB=DC

：.ABC^OCE(AAS).

【點睛】本題考查了全等三角形的判定，等腰三角形的判定與性質(zhì)，分三種情況討論是解題的關鍵.

例4.已知RjABC和H.ADE,AB=AC,AD=AE.連接B。、CE,過點4作A”J.CE于點

反向延長線段AH交8。于點F.

(1)如圖1,當Ab=AD時

①請直接寫出8/與。尸的數(shù)量關系：BFDF(填

②求證：CE=2AF

(2)如圖2,當ABHAD時，上述①②結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

圖1圖2

【答案】(1)①=;②見解析；(2)成立，理由見解析

【詳解】解：(1)VAB=AC,AD^AE,AB=AD,

.*.AC=AE,

?：AHLCE,

：.ZCAH=ZEAH,

?：NBAC=NDAE=90。,

ΛZCAH+ZBAF90°,ZEAH+ZDAF90°,

：.ZBAF=ZDAF,

在，84尸和，,ZM尸中，

AB=AD

<ZBAF=ZDAF,

AF=AF

.?.BAFmDAF(SAS),

：.BF=DF,

故答案為：=；

②YAC=A￡,AHlCE,

：.CH=EH=LCE,

2

.?.CE=2CH,

?.?ZR4C=ZAHC=90。，

：.ZBAF+ZCAH=90°,ZACH+ZCAH=90°,

：.ZBAFZACH,

V.BAF^,.DAF,

：.ZAFB=ZAFD=9Qo,

：.ZAFB^ZCHA,

在.AFB和，C∕Z4中，

NAFB=乙CHA

<NBAF=ZACH,

AB=AC

：.】AEB空CHA(AAS),

.?.AF=CH,

：.CE=2AF；

(2)成立，證明如下:

作BΛ∕，A尸于點M,作DN人AF交AF的延長線于點N,

圖2

.?.ZβM4=Z2V=90o,

.?.ABAM+ZABM^o,ZDAN+ZADN-90°,

?：NBAC=NZME=90°,

：.ΛBAM+ZCAH^90°,ZZM/V+ZEAH=90°,

：.AABM=ACAH,ZADN=ZEAH,

?：AHlCE,

：.ZAMB=ZCHA=NN=ZEHA90°,

在，AMB和，C?4中，

NAMB=NeHA

<ZABM=ZCAH,

AB=AC

：.AMB@OM(AAS),

：.MB=AH,

同理可證,√WDW.EH4(AAS),

：.DN=AH,

：.BM=DN,

在，BW/和」ONE中,

/BMF=NN

NBFM=ZDFN,

BM=DN

：.BMF^DNF(AAS),

：.BF=DF,MF=NF,

：.AM=AF—MF,AN=AF+NF=AF+MF,

：.AM+AN^AF-MF+AF+MF^2AF,

?：-AMB"CHA,-AND^EHA,

：.AM=CH,AN=EH,

.?.CH+EH=AM+AN=2AF,

?'CE=CH+EH,

.?.CE^2AF,

即5E=Z)F,CE=ZAF.

【點睛】本題主要考查三角形的綜合題，熟練掌握權等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵.

例5.直線/經(jīng)過點A,上ABC在直線/上方，ABAC.

(I)如圖1,ZBAC=90°,過點8,C作直線/的垂線，垂足分別為。、E.求證：ABz注Ce4E；

(2)如圖2,D,A,E三點在直線/上，若NBAC=NBZM=NAEC=α(α為任意銳角或鈍角)，猜想

線段?！?、BD、CE有何數(shù)量關系？并給出證明；

(3)如圖3,ZBAC=90°過點B作直線1上的垂線,垂足為凡點。是BF延長線上的一個動點,連結AD,

G.求證：G是CE的中點.

【詳解】(1)證明：?.?8O_L/,CEl/,

.?.ZBZM=ZAfC=90°,

.?.ZABD+ZDAB=90°,

?.?NBAC=90。，

.?.ZC4E+ZZMB=90o,

.?.ZABD^ZCAE,

在，ABD和，C4E中，

ZBDA=ZAEC

<ZABD=NCAE,

AB=CA

：..AE(AAS)，

(2)解：猜想：DE=BD+CE,

'：/BDA=/BAC=a,

：.ZABD+ZDAB=180°-ABDA=180°-a,NC4E+NZMB=180°—ZfiAC=180°—α,

.?.ZABD=ZCAE,

在，ABZ)和_。4￡中，

ZBDA=ZAEC

<NABD=NCAE,

AB=CA

：.ABD^,C4E(AAS),

ΛBD=AE,DA=EC,

.?.DE=AE+DA=BD+CE；

由(1)可知」ABRg-C4M,二ADFMEAN,

：.AFCM,AF=EN,

：.CM=EN,

?：CMiI,ENVl,

.?./CMG=/ENG=90°,

在二CMG和一￡7VG中,

NCMG=ZENG

<NCGM=ZEGN,

CM=EN

：.CMGaENGgS),

?,?CG-EG,

.?.G為CE的中點.

【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)

等知識，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵.

專練過關：

1.如圖所示，工人趙師傅用10塊高度都是1.5m的相同長方體新型建筑材料，壘了兩堵與地面垂直的墻

ABCz)和EEGH,點P在3七上，已知AP=PF,NAP尸=90°.

(1)求證：ABP^PEF；

【解答】(1)證明：：NΛBP=NFEP=90°,ZAPF=90°,

ZAPB=ZPFE(同角的余角相等).

在.ABP和二PE戶中，

ZBP=/PEF

<NAPB=NPFE,

AP=PF

二AB』.PEF；

(2)由題意知，AB=I.5χ3=4.5(m),砂=1.5χ7=10.5(m).

由(1)知，,ABP^.PEF,

BP—EF—10.5m,AB-PE=4.5m,

：.BE=BP+PE=15m.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的應用，用全等尋找下一個全等三角形的條件，全等的性質(zhì)和判定往

往是綜合在一起應用的，這需要認真分析題目的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段

或角之間的聯(lián)系.

2.如圖，在二ABC中，AB^AC,D、A、E三點都在直線機上，并且有NBD4=NAEC=N84。=α,

若?！?10,BD=3,求CE的長.

【詳解】解：：ZAEC=N84C=α,

.?.ZECA+ZCAE=180o-a,

ZBAD+NC4E=180。一α,

.?.ZECA^ZBAD,

在，84D和?ACE中，

NBDA=ZAEC

<NBAD=NACE,

AB^AC

：..BAr)^ACE(AAS),

CE-AD,AE-BD—3,

?.?OE=AD+AE=10,

.?.AD=DE-AE=DE—BD=\b—3=1.

：.CE=7.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明.BM)g-ACE是解題的關鍵.

3.如圖，=ABC為等邊三角形，點。為BC邊上一點，先將三角板60°角的頂點與。點重合，平放三角

板，再繞點。轉(zhuǎn)動三角板，三角板60°角的兩邊分別與邊A3、AC交于點E、點凡當JDE=Z)/時，如

圖(2)所示.求證：_BDE&CFD.

圖⑴

圖(2)

【答案】見解析

【解答】證明：：_4BC為等邊三角形，

.?.NB=NC=60°,

.?.ZBDE+ZBED=180。-NB=120°,

由旋轉(zhuǎn)變換得NED尸=60。，

.?.ZBDE+ZCDF=180。一NEDF=120°,

.?./BED=ZCDF,

在，BDE和二CFD中,

NB=NC

<ZBED=ZCDF,

DE=DF

：..BDE^CFD(AAS).

【點睛】本題考查了等邊三角形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等，熟練掌握全等三角

形的基本模型：一線三等角是解題的關鍵.

4.如圖,把一塊直角三角尺ABC的直角頂點C放置在水平直線MN匕在^ABC中，NC=90°,AC=BC

,試回答下列問題：

(1)若把三角尺ABC繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當AB〃MN時，Z2=度；

(2)在三角尺ABC繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，分別作AMLMN于BNtMN于N,若

AM=6,BN=2,求MN.

(3)三角尺4BC繞著點C按順時針方向繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，其他條件不變，則AM、BN與MN之

間有什么關系？請說明理由.

圖1圖2圖3

【答案】(1)45；(2)8；(3)MN=BN-AM,理由見解析

【詳解】解：⑴在八ABC中，ACBC,ZAe6=90°,

.?.Zδ=ZA=45°,

?.?AB//MN,

.?.N2=NB=45。，

故答案為45；

(2)YAM于M,BNLMN于N,

：.ZAMC=90°,NBNC=90。.

：.Nl+NC4M=90°,

又?.?Nl+N2=90°,

.?.Z,2=ZCAM,

同理：/T=NCBN,

在.AMC和.CTVB中，

NI=NCBN

<AC=BC,

ZCAM=Z2

.?.AMC區(qū)CNB(ASA),

：.AM=CN，CM=BN，

：.MN=Me+CN=AM卡BN=2+6=8；

(3)MN=BN-AM,理由：

同(2)的方法得，4W(W-CTVB(ASA),

：.AM=CN,CM=BN,

：.MN=MC—CN=BN—AM.

【點睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，同角的

余角相等，判斷出AAWC也一CNS是解本題的關鍵.

5.己知：在..ABC中，AB^AC,直線/過點A.

(1)如圖1,NB4C=90°,分別過點B,C作直線/的垂線段80,CE,垂足分別為。，E.

①依題意補全圖1；

②用等式表示線段OE,BD,CE之間的數(shù)量關系，并證明.

(2)如圖2,當N84CH90°時，設NB4C=α(O°<αVl80°),作NCE4=∕BD4=α,點O,E在

直線/上，直接用等式表示線段DE,BD,CE之間的數(shù)量關系為.

圖1圖2

【答案】(1)①見解析：②DE=BD+CE,理由見解析；(2)DE=BD+CE,理由見解析

【詳解】解：(1)①依題意補全圖形如圖1所示.

圖I

②用等式表示DE,BD,CE之間的數(shù)量關系為OE=80+CE.

證明：；CEL/,BDVl,

：.NCEA=ZADB=90。.

：.ZECA+ZCAE=90°.

VZBAC90°,直線/過點A,

.?.ZCAE+ZBAD=180°-ZBAC=90°.

.?.ZECA=ZBAD.

又?；AC=AB,

.?.一CEgAo3(AAS),

.?CE=AD,AE=BD.

DE-AE+AD=BD+CE.

(2)用等式表示。E,BD,CE之間的數(shù)量關系為DE=BD+CE,

理由如下：石是,.ABD的一個外角，

.?.ZBAE=ZADB+ZABD，

,：NBDA=NBAC,

.?.ZABD^ZCAE,

在，ABD和一C4￡中，

NABD=NCAE

<ZADB=NCEA,

BA=AC

.?..ABD^CXE(AAS)，

：.AD=CE,BD=AE,

DE=AD+AE=BD+CE.

故答案為：DE=BD+CE.

【點睛】本題是三角形綜合題，考查了三角形全等的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的

判定定理和性質(zhì)定理是解題的關鍵.

6.已知，在ABC中，AB=AC,￡>,A,E三點都在直線機上，且DE=9cm,ZBDA=ZAEC=NBAC

(1)如圖①，若A6LAC,則B。與AE的數(shù)量關系為,CE與AD的數(shù)量關系

為；

(2)如圖②，判斷并說明線段80,CE與OE的數(shù)量關系；

(3)如圖③，若只保持N8D4=NAEC,Bo=M=7cm,點A在線段DE上以2cm∕s的速度由點。

向點E運動，同時，點C在線段上/上以XCmzS的速度由點E向點尸運動，它們運動的時間為f(s).是否

存在X,使得.ABD與―E4C全等？若存在，求出相應的，的值；若不存在，請說明理由.

4

【詳解】解：（1）,/ZBDA=ZAEC=ABAC,

：.ZBAD+ZCAE=ZBAD+ZABD,

：.ZCAE=ZABD,

VZBDA^ZAEC,BA^CA,

：.ABD^..CAE(AAS),

：.BD^AE,CE=AD,

故答案為：BD=AE,CE=AD;

(2)DE=BD+CE,

由(1)同理可得4ABZ注.CAE(AAS),

：.BD-AE>CE=AD，

.,.DE-BD+CE；

(3)存在，當ZM的一EC4時，

：.BD=AE-7cm,AD=CE,

?.?DE-9cm,

/.AD=CE=2cm,

f=1,此時x=2；

當.ZMg,E4C時，

.?.AD=AE=4.5cm,BD-CE-7cm,

至

四99

X7÷

=2-4--4--9

928

綜上：t=l,尤=2或，==,??-.

49

【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握一線三等角基本模型是解

題的關鍵，同時滲透了分類討論的數(shù)學思想.

7.在直線m上依次取互不重合的三個點D,A,E,在直線m上方有AB=AC,且滿足

ZBDA^ZAECABAC^a.

(1)如圖1,當。=90。時，猜想線段OE,BD,CE之間的數(shù)量關系是；

(2)如圖2,當0°Vα<180°時，問題(1)中結論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，

請說明理由；

(3)拓展與應用：如圖3,當α=120°時，點尸為NB4C平分線上的一點，且AB=AE,分別連接ES,

FD,FE,RS,試判斷DEE的形狀，并說明理由.

【答案】（1）DE=BD+CE,理由見解析；（2）成立，理由見解析；（3）DEF是等邊三角形,理由見

解析

【詳解】解：（1）DE=BD+CE,理由如下，

?.?ZBDA=ZAEC=ABAC=90°,

.?.ZBAD+ZEAC=ZBAD+ZDBA=90°,

：.NEAC=NDBA,

?：AB=AC,

.?.DBA^EAC(AAS),

：.AD=CE,BD=AE,

DE-AD+AE—BD+CE,

故答案為：DE=BD+CE.

(2)DE=Bo+CE仍然成立，理由如下，

,：ZBDA=ZAEC=ZBAC=α,

.?.ZBAD+ZEAC?ZBAD+ZDBA?180o-a,

.?.ZEAC=ZDBA,

,：AB=AC,

：.DBAgE4C(AAS),

.,.BD—AE,AD=CE,

：.DE=AD+AE=BD+CE;

(3)。所是等邊三角形，理由如下，

Vσ=120o,Ab平分N84C,

.?.NBA尸=Nc4尸=60°,

*：AB^AF^AC,

：.A6b和.AC尸是等邊三角形,

ΛAFFC,NFG4=NMB=ZAFC=60°,

同(2)可得，BZMgAAEC,

：.ZBAD=ZACE,AD=CE,

：.ZFAD=ZFCE,

ΛFAD^FCE(SAS),

ΛDF=EF,NDFA=ZEFC,

：.ZDFE=ZDFA+ZAFE=ZEFC+ZAFE=ZAFC=60o,

.?.DEF是等邊三角形.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是熟練應用一線三

等角模型證明三角形全等.

8.如圖所示，在RJABC中，NC=9