2011年-2019年天津市歷年高考理科數(shù)學試卷真題及答案（共9套）

高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家（山東、北京、天津、云南、貴州）五地區(qū)試卷投稿QQ858529021高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家（山東、北京、天津、云南、貴州）五地區(qū)試卷投稿QQ8585290212011年高考理科數(shù)學試題（天津卷）本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼答卷時，考生務必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷注意事項：

1．每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.

2．本卷共8小題，每小題5分，共40分.

參考公式：如果事件A，B互斥，那么 如果事件A，B相互獨立，那么 棱柱的體積公式 圓錐的體積公式其中S表示棱柱的底面面積 其中S表示圓錐的底面面積h表示棱柱的高 h表示圓錐的高一、選擇題：在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的．1．是虛數(shù)單位，復數(shù)= A． B． C． D．2．設(shè)則“且”是“”的 A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．即不充分也不必要條件3．閱讀右邊的程序框圖，運行相應的程序，則輸出的值為 A．3 B．4 C．5 D．64．已知為等差數(shù)列，其公差為-2，且是與的等比中項，為的前項和，，則的值為 A．-110 B．-90 C．90 D．1105．在的二項展開式中，的系數(shù)為 A． B． C． D．6．如圖，在△中，是邊上的點，且，則的值為 A． B． C． D．7．已知則 A． B． C． D．8．對實數(shù)和，定義運算“”：設(shè)函數(shù)若函數(shù)的圖像與軸恰有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍是 A． B． C． D．第II卷二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．9．一支田徑隊有男運動員48人，女運動員36人，若用分層抽樣的方法從該隊的全體運動員中抽取一個容量為21的樣本，則抽取男運動員的人數(shù)為___________10．一個幾何體的三視圖如右圖所示（單位：），則該幾何體的體積為__________11．已知拋物線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）若斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與圓相切，則=________.12．如圖，已知圓中兩條弦與相交于點，是延長線上一點，且若與圓相切，則線段的長為__________.13．已知集合，則集合=________.14．已知直角梯形中，//,,,是腰上的動點，則的最小值為____________.三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）已知函數(shù)（Ⅰ）求的定義域與最小正周期；（II）設(shè)，若求的大小．16．（本小題滿分13分）學校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎．（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱）（Ⅰ）求在1次游戲中，（i）摸出3個白球的概率；（ii）獲獎的概率；（Ⅱ）求在2次游戲中獲獎次數(shù)的分布列及數(shù)學期望.17．（本小題滿分13分）如圖，在三棱柱中，是正方形的中心，，平面，且（Ⅰ）求異面直線AC與A1B1所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）設(shè)為棱的中點，點在平面內(nèi)，且平面，求線段的長．18．（本小題滿分13分）在平面直角坐標系中，點為動點，分別為橢圓的左右焦點．已知△為等腰三角形．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓相交于兩點，是直線上的點，滿足，求點的軌跡方程．19．（本小題滿分14分）已知，函數(shù)（的圖像連續(xù)不斷）（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當時，證明：存在，使；（Ⅲ）若存在均屬于區(qū)間的，且，使，證明．20．（本小題滿分14分）已知數(shù)列與滿足：，，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設(shè)，證明：是等比數(shù)列；（III）設(shè)證明：．2011參考答案一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算，每小題5分，滿分40分.BABDCDCB二、填空題：本題考查基本知識和基本運算，每小題5分，滿分30分.9．1210．11．12．13．14．5三、解答題15．本小題主要考查兩角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角的正弦、余弦公式，正切函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查基本運算能力.滿分13分.（I）解：由，得.所以的定義域為的最小正周期為（II）解：由得整理得因為，所以因此由，得.所以16．本小題主要考查古典概型及其概率計算公式、離散型隨機變量的分布列、互斥事件和相互獨立事件等基礎(chǔ)知識，考查運用概率知識解決簡單的實際問題的能力.滿分13分.（I）（i）解：設(shè)“在1次游戲中摸出i個白球”為事件則（ii）解：設(shè)“在1次游戲中獲獎”為事件B，則，又且A2，A3互斥，所以（II）解：由題意可知X的所有可能取值為0，1，2.所以X的分布列是X012PX的數(shù)學期望17．本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力.滿分13分.方法一：如圖所示，建立空間直角坐標系，點B為坐標原點.依題意得（I）解：易得，于是所以異面直線AC與A1B1所成角的余弦值為（II）解：易知設(shè)平面AA1C1的法向量，則即不妨令可得，同樣地，設(shè)平面A1B1C1的法向量，則即不妨令，可得于是從而所以二面角A—A1C1—B的正弦值為（III）解：由N為棱B1C1的中點，得設(shè)M（a，b，0），則由平面A1B1C1，得即解得故因此，所以線段BM的長為方法二：（I）解：由于AC//A1C1，故是異面直線AC與A1B1所成的角.因為平面AA1B1B，又H為正方形AA1B1B的中心，可得因此所以異面直線AC與A1B1所成角的余弦值為（II）解：連接AC1，易知AC1=B1C1，又由于AA1=B1A1，A1C1=A1=C1，所以≌，過點A作于點R，連接B1R，于是，故為二面角A—A1C1—B1的平面角.在中，連接AB1，在中，，從而所以二面角A—A1C1—B1的正弦值為（III）解：因為平面A1B1C1，所以取HB1中點D，連接ND，由于N是棱B1C1中點，所以ND//C1H且.又平面AA1B1B，所以平面AA1B1B，故又所以平面MND，連接MD并延長交A1B1于點E，則由得，延長EM交AB于點F，可得連接NE.在中，所以可得連接BM，在中，18．本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面向量等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，考查解決問題能力與運算能力.滿分13分.（I）解：設(shè)由題意，可得即整理得（舍），或所以（II）解：由（I）知可得橢圓方程為直線PF2方程為A，B兩點的坐標滿足方程組消去y并整理，得解得得方程組的解不妨設(shè)設(shè)點M的坐標為，由于是由即，化簡得將所以因此，點M的軌跡方程是19．本小題主要考查導數(shù)的運算、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、解不等式、函數(shù)的零點等基礎(chǔ)知識，考查運算能力和運用函數(shù)思想分析解決問題的能力及分類討論的思想方法.滿分14分.（I）解：，令當x變化時，的變化情況如下表：+0-極大值所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是（II）證明：當由（I）知在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減.令由于在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞增，故取所以存在即存在（說明：的取法不唯一，只要滿足即可）（III）證明：由及（I）的結(jié)論知，從而上的最小值為又由，知故從而20．本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法.滿分14分.（I）解：由可得又（II）證明：對任意 ① ② ③②—③，得 ④將④代入①，可得即又因此是等比數(shù)列.（III）證明：由（II）可得，于是，對任意，有將以上各式相加，得即，此式當k=1時也成立.由④式得從而所以，對任意，對于n=1，不等式顯然成立.所以，對任意選擇填空解析2011年天津市高考數(shù)學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）1．（5分）（2011?天津）i是虛數(shù)單位，復數(shù)=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【專題】數(shù)系的擴充和復數(shù)．【分析】要求兩個復數(shù)的除法運算，分子和分母同乘以分母的共軛復數(shù)，分子和分母上進行復數(shù)的乘法運算，最后結(jié)果要化簡成最簡形式．【解答】解：復數(shù)===2﹣i故選B．【點評】本題考查復數(shù)的代數(shù)形式的乘除運算，是一個基礎(chǔ)題，這種題目運算量不大，解題應用的原理也比較簡單，是一個送分題目．2．（5分）（2011?天津）設(shè)x，y∈R，則“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】簡易邏輯．【分析】由“x≥2且y≥2”推出“x2+y2≥4”可證明充分性；由滿足“x2+y2≥4”可舉出反例推翻“x≥2且y≥2”，則證明不必要性，綜合可得答案．【解答】解：若x≥2且y≥2，則x2≥4，y2≥4，所以x2+y2≥8，即x2+y2≥4；若x2+y2≥4，則如（﹣2，﹣2）滿足條件，但不滿足x≥2且y≥2．所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分而不必要條件．故選A．【點評】本題主要考查充分條件與必要條件的含義．3．（5分）（2011?天津）閱讀程序框圖，運行相應的程序，則輸出i的值為（）A．3 B．4 C．5 D．6【考點】程序框圖．【專題】算法和程序框圖．【分析】通過程序框圖的要求，寫出前四次循環(huán)的結(jié)果得到輸出的值．【解答】解：該程序框圖是循環(huán)結(jié)構(gòu)經(jīng)第一次循環(huán)得到i=1，a=2；經(jīng)第二次循環(huán)得到i=2，a=5；經(jīng)第三次循環(huán)得到i=3，a=16；經(jīng)第四次循環(huán)得到i=4，a=65滿足判斷框的條件，執(zhí)行是，輸出4故選B【點評】本題考查解決程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)時，常采用寫出前幾次循環(huán)結(jié)果，找規(guī)律．4．（5分）（2011?天津）已知{an}為等差數(shù)列，其公差為﹣2，且a7是a3與a9的等比中項，Sn為{an}的前n項和，n∈N*，則S10的值為（）A．﹣110 B．﹣90 C．90 D．110【考點】等差數(shù)列的前n項和；等比數(shù)列的性質(zhì)．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】通過a7是a3與a9的等比中項，公差為﹣2，求出【解答】解：a7是a3與a9的等比中項，公差為﹣2，所以a72=a3?a9，∵{an}公差為﹣2，∴a3=a7﹣4d=a7+8，a9=a7+2d=a7﹣4，所以a72=（a7+8）（a7﹣4），所以a7=8，所以a1=20，所以S10==110故選D【點評】本題是基礎(chǔ)題，考查等差數(shù)列的前n項和，等比數(shù)列的應用，考查計算能力，?？碱}型．5．（5分）（2011?天津）在的二項展開式中，x2的系數(shù)為（）A． B． C． D．【考點】二項式定理．【專題】二項式定理．【分析】利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，令x的指數(shù)為2，求出展開式中，x2的系數(shù)，即得答案．【解答】解：展開式的通項為Tr+1=（﹣1）r22r﹣6C6rx3﹣r令3﹣r=2得r=1所以項展開式中，x2的系數(shù)為﹣故選C【點評】本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題．6．（5分）（2011?天津）如圖，在△ABC中，D是邊AC上的點，且AB=AD，2AB=BD，BC=2BD，則sinC的值為（）A． B． C． D．【考點】三角形中的幾何計算．【專題】解三角形．【分析】根據(jù)題中條件，在△ABD中先由余弦定理求出cosA，利用同角關(guān)系可求sinA，利用正弦定理可求sin∠BDC，然后在△BDC中利用正弦定理求解sinC即可【解答】解：設(shè)AB=x，由題意可得AD=x，BD=△ABD中，由余弦定理可得∴sinA=△ABD中，由正弦定理可得?sin∠ADB=∴△BDC中，由正弦定理可得故選：D．【點評】本題主要考查了在三角形中，綜合運用正弦定理、余弦定理、同角基本關(guān)系式等知識解三角形的問題，反復運用正弦定理、余弦定理，要求考生熟練掌握基本知識，并能靈活選擇基本工具解決問題．7．（5分）（2011?天津）已知，則（）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．a(chǎn)＞c＞b D．c＞a＞b【考點】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】比較大小的方法：找1或者0做中介判斷大小，log43.6＜1，log23.4＞1，利用分數(shù)指數(shù)冪的運算法則和對數(shù)的運算法則對c進行化簡，得到＞1＞b，再借助于中間值log2進行比較大小，從而得到結(jié)果．，【解答】解：∵log23.4＞1，log43.6＜1，又y=5x是增函數(shù)，∴a＞b，＞==b而log23.4＞log2＞log3，∴a＞c故a＞c＞b．故選C．【點評】此題是個中檔題．本題考查對數(shù)函數(shù)單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及比較大小，以及中介值法，考查學生靈活應用知識分析解決問題的能力．8．（5分）（2011?天津）對實數(shù)a與b，定義新運算“?”：．設(shè)函數(shù)f（x）=（x2﹣2）?（x﹣x2），x∈R．若函數(shù)y=f（x）﹣c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則實數(shù)c的取值范圍是（）A． B． C． D．【考點】函數(shù)與方程的綜合運用．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】根據(jù)定義的運算法則化簡函數(shù)f（x）=（x2﹣2）?（x﹣x2）的解析式，并求出f（x）的取值范圍，函數(shù)y=f（x）﹣c的圖象與x軸恰有兩個公共點轉(zhuǎn)化為y=f（x），y=c圖象的交點問題，結(jié)合圖象求得實數(shù)c的取值范圍．【解答】解：∵，∴函數(shù)f（x）=（x2﹣2）?（x﹣x2）=，由圖可知，當c∈函數(shù)f（x）與y=c的圖象有兩個公共點，∴c的取值范圍是，故選B．【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象特征、函數(shù)與方程的綜合運用，及數(shù)形結(jié)合的思想．屬于基礎(chǔ)題．二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）9．（5分）（2011?天津）一支田徑隊有男運動員48人，女運動員36人，若用分層抽樣的方法從該隊的全體運動員中抽取一個容量為21的樣本，則抽取男運動員的人數(shù)為12．【考點】分層抽樣方法．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】根據(jù)田徑隊的男女運動員數(shù)目和用分層抽樣要抽取的數(shù)目，得到每個個體被抽到的概率，利用每個個體被抽到的概率乘以男運動員的數(shù)目，得到結(jié)果．【解答】解：∵田徑隊有男運動員48人，女運動員36人，∴這支田徑隊共有48+36=84人，用分層抽樣的方法從該隊的全體運動員中抽取一個容量為21的樣本，∴每個個體被抽到的概率是，∵田徑隊有男運動員48人，∴男運動員要抽取48×=12人，故答案為：12．【點評】本題考查分層抽樣，在抽樣過程中每個個體被抽到的概率相等，這是解決這種問題的依據(jù)，本題是一個基礎(chǔ)題．10．（5分）（2011?天津）一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則這個幾何體的體積為6+πm3．【考點】由三視圖求面積、體積．【專題】立體幾何．【分析】由已知中的三視圖，我們易判斷已知中幾何體的形狀，然后根據(jù)已知的三視圖分析出幾何體的相關(guān)幾何量，代入體積公式，即可求出該幾何體的體積．【解答】解：由已知可得已知的幾何體是一個圓錐和長方體的組合體其中上部的圓錐的底面直徑為2，高為3，下部的長方體長、寬高分別為：2，3，1則V圓錐=?π?3=πV長方體=1×2×3=6則V=6+π故答案為：6+π【點評】本題考查的知識是由三視圖求體積，其中根據(jù)已知中的三視圖分析幾何體的形狀是解答本題的關(guān)鍵．11．（5分）（2011?天津）已知拋物線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），若斜率為1的直線經(jīng)過拋物線C的焦點，且與圓（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相切，則r=．【考點】直線與圓的位置關(guān)系；拋物線的簡單性質(zhì)；直線的參數(shù)方程．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；坐標系和參數(shù)方程．【分析】由拋物線C的參數(shù)方程為我們易求出拋物線的標準方程，進而根據(jù)斜率為1的直線經(jīng)過拋物線C的焦點，且與圓（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相切，我們根據(jù)直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑，求出直線方程后，代入點到直線距離公式，構(gòu)造關(guān)于r的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：∵拋物線C的參數(shù)方程為則拋物線的標準方程為：y2=8x則拋物線C的焦點的坐標為（2，0）又∵斜率為1的直線經(jīng)過拋物線C的焦點則直線的方程為y=x﹣2，即經(jīng)x﹣y﹣2=0由直線與圓（x﹣4）2+y2=r2，則r==故答案為：【點評】本題考查的知識點是直線與的圓位置關(guān)系，拋物線的簡單性質(zhì)及拋物線的參數(shù)方程，其中根據(jù)直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑，求出直線方程后，代入點到直線距離公式，構(gòu)造關(guān)于r的方程，是解答本題的關(guān)鍵．12．（5分）（2011?天津）如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F，E是AB延長線上一點，且DF=CF=，AF：FB：BE=4：2：1．若CE與圓相切，則CE的長為．【考點】圓的切線方程．【專題】直線與圓．【分析】設(shè)出AF=4k，BF=2k，BE=k，由DF?FC=AF?BF求出k的值，利用切割定理求出CE．【解答】解：設(shè)AF=4k，BF=2k，BE=k，由DF?FC=AF?BF，得2=8k2，即k=，∴AF=2，BF=1，BE=，AE=，由切割定理得CE2=BE?EA==，∴CE=．【點評】本題是基礎(chǔ)題，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查計算能力，基本知識掌握的情況，?？碱}型．13．（5分）（2011?天津）已知集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B=，則集合A∩B={x|﹣2≤x≤5}．【考點】交集及其運算．【專題】集合．【分析】求出集合A，求出集合B，然后利用集合的運算法則求出A∩B．【解答】解：集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，所以A={x|﹣4≤x≤5}；集合，，當且僅當t=時取等號，所以B={x|x≥﹣2}，所以A∩B={x|﹣4≤x≤5}∩{x|x≥﹣2}={x|﹣2≤x≤5}，故答案為：{x|﹣2≤x≤5}．【點評】本題是基礎(chǔ)題，考查集合的基本運算，注意求出絕對值不等式的解集，基本不等式求出函數(shù)的值域，是本題解題是關(guān)鍵，考查計算能力．14．（5分）（2011?天津）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的動點，則的最小值為5．【考點】向量的模．【專題】平面向量及應用．【分析】根據(jù)題意，利用解析法求解，以直線DA，DC分別為x，y軸建立平面直角坐標系，則A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0），設(shè)P（0，b）（0≤b≤a），求出，根據(jù)向量模的計算公式，即可求得，利用完全平方式非負，即可求得其最小值．【解答】解：如圖，以直線DA，DC分別為x，y軸建立平面直角坐標系，則A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）設(shè)P（0，b）（0≤b≤a）則=（2，﹣b），=（1，a﹣b），∴=（5，3a﹣4b）∴=≥5．故答案為5．【點評】此題是個基礎(chǔ)題．考查向量在幾何中的應用，以及向量模的求法，同時考查學生靈活應用知識分析解決問題的能力．

2012年普通高等學校招生統(tǒng)一考試數(shù)學天津（理科）一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.（1）i是虛數(shù)單位，復數(shù)=（A）2+i（B）2–i（C）-2+i（D）-2–i（2）設(shè)則“”是“為偶函數(shù)”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分與不必要條件（3）閱讀右邊的程序框圖，運行相應的程序，當輸入x的值為-25時，輸出x的值為（A）-1（B）1（C）3（D）9（4）函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點個數(shù)是（A）0（B）1（C）2（D）3（5）在的二項展開式中，的系數(shù)為（A）10（B）-10（C）40（D）-40（6）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是，已知8b=5c，C=2B，則cosC=（A）（B）（C）（D）（7）已知為等邊三角形，AB=2，設(shè)點P，Q滿足，，，若，則=（A）（B）（C）（D）（8）設(shè)，若直線與圓相切，則m+n的取值范圍是（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.（9）某地區(qū)有小學150所，中學75所，大學25所.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學校中抽取30所學校對學生進行視力調(diào)查，應從小學中抽取_________所學校，中學中抽取________所學校.（10）一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積為_________m3.（11）已知集合，集合且則m=__________，n=__________.（12）已知拋物線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）,其中p>0，焦點為F，準線為.過拋物線上一點M作的垂線，垂足為E.若|EF|=|MF|，點M的橫坐標是3，則p=_________.（13）如圖，已知AB和AC是圓的兩條弦，過點B作圓的切線與AC的延長線相交于點D.過點C作BD的平行線與圓相交于點E，與AB相交于點F，AF=3，F(xiàn)B=1，EF=，則線段CD的長為____________.（14）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是_________.三．解答題：本大題共6小題,共80分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.（15）（本小題滿分13分）已知函數(shù)（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.（16）（本小題滿分13分）現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇.為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點數(shù)大于2的人去參加乙游戲.（Ⅰ）求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率；（Ⅱ）求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；（Ⅲ）用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記，求隨機變量的分布列與數(shù)學期望.（17）（本小題滿分13分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.（Ⅰ）證明PC⊥AD；（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；（Ⅲ）設(shè)E為棱PA上的點，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長.（18）（本小題滿分13分）已知是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，是等比數(shù)列，且，.（Ⅰ）求數(shù)列與的通項公式；（Ⅱ）記，，證明（）.（19）（本小題滿分14分）設(shè)橢圓的左、右頂點分別為，點在橢圓上且異于兩點，為坐標原點.（Ⅰ）若直線與的斜率之積為，求橢圓的離心率；（Ⅱ）若，證明直線的斜率滿足（20）（本小題滿分14分）已知函數(shù)的最小值為0，其中（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若對任意的有≤成立，求實數(shù)的最小值；（Ⅲ）證明（）.

試卷解析【試卷總評】今年天津市高考理科數(shù)學試卷所涉及的考點較去年變化不大，試題難度較去年有一定的下滑，著重考查學生的基礎(chǔ)知識的掌握以及推導、運算和數(shù)形結(jié)合的能力。有如下特點：1.2012年的數(shù)學試題考點與去年幾乎相同，而僅有的幾處不同的考點在2007-2010年也相繼考過，明細如下：零點存在定理（小題）——2009年、2010年線線垂直——2007年錯位相減法——2007年，解析幾何之斜率問題（大題）。2.2012年削弱了對數(shù)列的考察，小題不再涉及數(shù)列。而解答題18題是數(shù)列中極為傳統(tǒng)的考法——求等差等比數(shù)列的通項公式與錯位相減法;而在第20題的第三問繼續(xù)考查數(shù)列不等式的內(nèi)容。3.三角函數(shù)解答題在2011年考查了正切函數(shù)的性質(zhì)和運算，而今年則回歸了以往的考查方式，考查了正余弦函數(shù)的性質(zhì)。4.加大了解析幾何的難度，在考查題數(shù)不變的情況下，將直線和圓放在了選擇壓軸題的位置，橢圓大題放在第數(shù)第二題(第19題)的位置。5.函數(shù)大題難度與去年基本持平。一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.（1）i是虛數(shù)單位，復數(shù)=（A）2+i（B）2–i（C）-2+i（D）-2–i（2）設(shè)則“”是“為偶函數(shù)”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分與不必要條件（3）閱讀右邊的程序框圖，運行相應的程序，當輸入x的值為-25時，輸出x的值為（A）-1（B）1（C）3（D）9（4）函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點個數(shù)是（A）0（B）1（C）2（D）3（5）在的二項展開式中，的系數(shù)為（A）10（B）-10（C）40（D）-40（6）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是，已知8b=5c，C=2B，則cosC=（A）（B）（C）（D）（7）已知為等邊三角形，AB=2，設(shè)點P，Q滿足，，，若，則=（A）（B）（C）（D）（8）設(shè)，若直線與圓相切，則m+n的取值范圍是（A）（B）（C）（D）應用.第Ⅱ卷二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.（9）某地區(qū)有小學150所，中學75所，大學25所.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學校中抽取30所學校對學生進行視力調(diào)查，應從小學中抽取_________所學校，中學中抽取________所學校.（10）一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積為_________m3.（11）已知集合，集合且則m=__________，n=__________.（12）已知拋物線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）,其中p>0，焦點為F，準線為.過拋物線上一點M作的垂線，垂足為E.若|EF|=|MF|，點M的橫坐標是3，則p=_________.【答案】2【解析】由拋物線的參數(shù)方程可知其普通方程為為等邊三角形，E的橫坐標為的橫坐標為3，【考點定位】本題考查拋物線的方程、定義和其幾何性質(zhì)，考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算能力.（13）如圖，已知AB和AC是圓的兩條弦，過點B作圓的切線與AC的延長線相交于點D.過點C作BD的平行線與圓相交于點E，與AB相交于點F，AF=3，F(xiàn)B=1，EF=，則線段CD的長為____________.（14）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是_________.三．解答題：本大題共6小題,共80分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.（15）（本小題滿分13分）已知函數(shù)（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.（16）（本小題滿分13分）現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇.為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點數(shù)大于2的人去參加乙游戲.（Ⅰ）求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率；（Ⅱ）求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；（Ⅲ）用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記，求隨機變量的分布列與數(shù)學期望.【解析】依題意，這4個人中，每個人去參加甲游戲的概率為，去參加乙游戲的概率為.設(shè)“這4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件則.（17）（本小題滿分13分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.（Ⅰ）證明PC⊥AD；（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；（Ⅲ）設(shè)E為棱PA上的點，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長.【考點定位】本小題主要考查空間兩條直線的位置關(guān)系、二面角、異面直線所成德角、直線與平面垂直等基礎(chǔ)知識.考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力.試題從命題的角度來看，整體上題目與我們平時練習的試題相似，但底面是非特殊的四邊形，一直線垂直于底面的四棱錐問題，那么創(chuàng)新的地方就是第三問中點E的位置是不確定的，需要學生根據(jù)已知條件進行確定，如此說來就有難度，因此最好使用空間直角坐標系解決該問題為好.（18）（本小題滿分13分）已知是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，是等比數(shù)列，且，.（Ⅰ）求數(shù)列與的通項公式；（Ⅱ）記，，證明（）.（19）（本小題滿分14分）設(shè)橢圓的左、右頂點分別為，點在橢圓上且異于兩點，為坐標原點.（Ⅰ）若直線與的斜率之積為，求橢圓的離心率；（Ⅱ）若，證明直線的斜率滿足（20）（本小題滿分14分）已知函數(shù)的最小值為0，其中（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若對任意的有≤成立，求實數(shù)的最小值；（Ⅲ）證明（）.

2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(天津卷)理科數(shù)學本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,共150分.考試用時120分鐘.第Ⅰ卷1至2頁,第Ⅱ卷3至5頁.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上,并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼.答卷時,考生務必將答案凃?qū)懺诖痤}卡上,答在試卷上的無效.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.祝各位考生考試順利!第Ⅰ卷注意事項：每小題選出答案后,用鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動,用橡皮擦干凈后,再選凃其他答案標號.本卷共8小題,每小題5分,共40分.參考公式:·如果事件A,B互斥,那么·棱柱的體積公式V=Sh，其中S表示棱柱的底面面積,h表示棱柱的高.·如果事件A,B相互獨立,那么·球的體積公式其中R表示球的半徑.一．選擇題:在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.(1)已知集合A={x∈R||x|≤2},A={x∈R|x≤1},則 (A) (B)[1,2] (C)[－2,2] (D)[－2,1](2)設(shè)變量x,y滿足約束條件則目標函數(shù)z=y－2x的最小值為 (A)－7 (B)－4 (C)1 (D)2(3)閱讀右邊的程序框圖,運行相應的程序,若輸入x的值為1,則輸出S的值為 (A)64 (B)73 (C)512 (D)585(4)已知下列三個命題:①若一個球的半徑縮小到原來的,則其體積縮小到原來的;②若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等,則它們的標準差也相等;③直線x+y+1=0與圓相切.其中真命題的序號是: (A)①②③ (B)①② (C)①③ (D)②③(5)已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準線分別交于A,B兩點,O為坐標原點.若雙曲線的離心率為2,△AOB的面積為,則p= (A)1 (B) (C)2 (D)3(6)在△ABC中,則= (A) (B) (C) (D)(7)函數(shù)的零點個數(shù)為 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4(8)已知函數(shù).設(shè)關(guān)于x的不等式的解集為A,若,則實數(shù)a的取值范圍是 (A) (B) (C) (D)2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(天津卷)理科數(shù)學第Ⅱ卷注意事項：1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.2.本卷共12小題,共110分.二．填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.(9)已知a,b∈R,i是虛數(shù)單位.若(a+i)(1+i)=bi,則a+bi=.(10)的二項展開式中的常數(shù)項為.(11)已知圓的極坐標方程為,圓心為C,點P的極坐標為,則|CP|=.(12)在平行四邊形ABCD中,AD=1,,E為CD的中點.若·＝1,則AB的長為.(13)如圖,△ABC為圓的內(nèi)接三角形,BD為圓的弦,且BD//AC.過點A做圓的切線與DB的延長線交于點E,AD與BC交于點F.若AB=AC,AE=6,BD=5,則線段CF的長為.(14)設(shè)a+b=2,b>0,則當a=時,取得最小值.三．解答題:本大題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.(15)(本小題滿分13分)已知函數(shù).(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.(16)(本小題滿分13分)一個盒子里裝有7張卡片,其中有紅色卡片4張,編號分別為1,2,3,4;白色卡片3張,編號分別為2,3,4.從盒子中任取4張卡片(假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同).(Ⅰ)求取出的4張卡片中,含有編號為3的卡片的概率.(Ⅱ)再取出的4張卡片中,紅色卡片編號的最大值設(shè)為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.(17)(本小題滿分13分)如圖,四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,側(cè)棱A1A⊥底面ABCD,AB//DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E為棱AA1的中點.(Ⅰ)證明B1C1⊥CE;(Ⅱ)求二面角B1－CE－C1的正弦值.(Ⅲ)設(shè)點M在線段C1E上,且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為,求線段AM的長.(18)(本小題滿分13分)設(shè)橢圓的左焦點為F,離心率為,過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)設(shè)A,B分別為橢圓的左右頂點,過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點.若,求k的值.(19)(本小題滿分14分)已知首項為的等比數(shù)列不是遞減數(shù)列,其前n項和為,且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差數(shù)列.(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)設(shè),求數(shù)列的最大項的值與最小項的值.(20)(本小題滿分14分)已知函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)證明:對任意的t>0,存在唯一的s,使.(Ⅲ)設(shè)(Ⅱ)中所確定的s關(guān)于t的函數(shù)為,證明:當時,有. 2013年普通高等學校夏季招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學理工農(nóng)醫(yī)類(天津卷)第Ⅰ卷一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．答案：D解析：解不等式|x|≤2，得－2≤x≤2，所以A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤1}．故選D.2．答案：A解析：作約束條件所表示的可行區(qū)域，如圖所示，z＝y(tǒng)－2x可化為y＝2x＋z，z表示直線在y軸上的截距，截距越大z越大，作直線l0：y＝2x，平移l0過點A(5,3)，此時z最小為－7，故選A.3．答案：B解析：由程序框圖，得x＝1時，S＝1；x＝2時，S＝9；x＝4時，S＝9＋64＝73，結(jié)束循環(huán)輸出S的值為73，故選B.4．答案：C解析：設(shè)球半徑為R，縮小后半徑為r，則r＝，而V＝，V′＝，所以該球體積縮小到原來的，故①為真命題；兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，它們的方差可能不相等，故②為假命題；圓x2＋y2＝的圓心到直線x＋y＋1＝0的距離d＝，因為該距離等于圓的半徑，所以直線與圓相切，故③為真命題．故選C.5．答案：C解析：設(shè)A點坐標為(x0，y0)，則由題意，得S△AOB＝|x0|·|y0|＝.拋物線y2＝2px的準線為，所以，代入雙曲線的漸近線的方程，得|y0|＝.由得b＝，所以|y0|＝.所以S△AOB＝，解得p＝2或p＝－2(舍去)．6．答案：C解析：在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝＝5，即得AC＝.由正弦定理，即，所以sin∠BAC＝.7．答案：B解析：函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點也就是方程2x|log0.5x|－1＝0的根，即2x|log0.5x|＝1，整理得|log0.5x|＝.令g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝，作g(x)，h(x)的圖象如圖所示．因為兩個函數(shù)圖象有兩個交點，所以f(x)有兩個零點．8．答案：A解析：f(x)＝x(1＋a|x|)＝若不等式f(x＋a)＜f(x)的解集為A，且，則在區(qū)間上，函數(shù)y＝f(x＋a)的圖象應在函數(shù)y＝f(x)的圖象的下邊．(1)當a＝0時，顯然不符合條件．(2)當a＞0時，畫出函數(shù)y＝f(x)和y＝f(x＋a)的圖象大致如圖．由圖可知，當a＞0時，y＝f(x＋a)的圖象在y＝f(x)圖象的上邊，故a＞0不符合條件．(3)當a＜0時，畫出函數(shù)y＝f(x)和y＝f(x＋a)的圖象大致如圖．由圖可知，若f(x＋a)＜f(x)的解集為A，且，只需即可，則有(a＜0)，整理，得a2－a－1＜0，解得.∵a＜0，∴a∈.綜上，可得a的取值范圍是.第Ⅱ卷注意事項：1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上．2．本卷共12小題，共110分．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．9．答案：1＋2i解析：由(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，得解方程組，得a＝1，b＝2，則a＋bi＝1＋2i.10．答案：15解析：二項展開式的通項為，得r＝4，所以二項展開式的常數(shù)項為T5＝(－1)4＝15.11．答案：解析：由圓的極坐標方程為ρ＝4cosθ，得圓心C的直角坐標為(2,0)，點P的直角坐標為(2,)，所以|CP|＝.12．答案：解析：如圖所示，在平行四邊形ABCD中，＝＋，＝＋＝＋.所以·＝(＋)·＝||2＋||2＋·＝||2＋||＋1＝1，解方程得||＝(舍去||＝0)，所以線段AB的長為.13．答案：解析：∵AE為圓的切線，∴由切割線定理，得AE2＝EB·ED.又AE＝6，BD＝5，可解得EB＝4.∵∠EAB為弦切角，且AB＝AC，∴∠EAB＝∠ACB＝∠ABC.∴EA∥BC.又BD∥AC，∴四邊形EBCA為平行四邊形．∴BC＝AE＝6，AC＝EB＝4.由BD∥AC，得△ACF∽△DBF，∴.又CF＋BF＝BC＝6，∴CF＝.14．答案：－2解析：因為a＋b＝2，所以1＝＝≥，當a＞0時，，；當a＜0時，，，當且僅當b＝2|a|時等號成立．因為b＞0，所以原式取最小值時b＝－2a.又a＋b＝2，所以a＝－2時，原式取得最小值．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．解：(1)f(x)＝sin2x·＋3sin2x－cos2x＝2sin2x－2cos2x＝.所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)因為f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)．又f(0)＝－2，，，故函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值為，最小值為－2.16．解：(1)設(shè)“取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片”為事件A，則P(A)＝.所以，取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片的概率為.(2)隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,4.P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝.所以隨機變量X的分布列是X1234P隨機變量X的數(shù)學期望EX＝1×＋2×＋3×＋4×＝.17．解：(方法一)(1)證明：如圖，以點A為原點建立空間直角坐標系，依題意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)．易得＝(1,0，－1)，＝(－1,1，－1)，于是·＝0，所以B1C1⊥CE.(2)＝(1，－2，－1)．設(shè)平面B1CE的法向量m＝(x，y，z)，則即消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一個法向量為m＝(－3，－2,1)．由(1)，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故＝(1,0，－1)為平面CEC1的一個法向量．于是cos〈m，〉＝，從而sin〈m，〉＝.所以二面角B1－CE－C1的正弦值為.(3)＝(0,1,0)，＝(1,1,1)．設(shè)＝λ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有＝＋＝(λ，λ＋1，λ)．可?。?0,0,2)為平面ADD1A1的一個法向量．設(shè)θ為直線AM與平面ADD1A1所成的角，則sinθ＝|cos〈，〉|＝＝.于是，解得，所以AM＝.(方法二)(1)證明：因為側(cè)棱CC1⊥底面A1B1C1D1，B1C1平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1C1.經(jīng)計算可得B1E＝，B1C1＝，EC1＝，從而B1E2＝，所以在△B1EC1中，B1C1⊥C1E，又CC1，C1E平面CC1E，CC1∩C1E＝C1，所以B1C1⊥平面CC1E，又CE平面CC1E，故B1C1⊥CE.(2)過B1作B1G⊥CE于點G，連接C1G.由(1)，B1C1⊥CE，故CE⊥平面B1C1G，得CE⊥C1G，所以∠B1GC1為二面角B1－CE－C1的平面角．在△CC1E中，由CE＝C1E＝，CC1＝2，可得C1G＝.在Rt△B1C1G中，B1G＝，所以sin∠B1GC1＝，即二面角B1－CE－C1的正弦值為.(3)連接D1E，過點M作MH⊥ED1于點H，可得MH⊥平面ADD1A1，連接AH，AM，則∠MAH為直線AM與平面ADD1A1所成的角．設(shè)AM＝x，從而在Rt△AHM中，有MH＝，AH＝.在Rt△C1D1E中，C1D1＝1，ED1＝，得EH＝.在△AEH中，∠AEH＝135°，AE＝1，由AH2＝AE2＋EH2－2AE·EHcos135°，得，整理得5x2－－6＝0，解得x＝.所以線段AM的長為.18．解：(1)設(shè)F(－c,0)，由，知.過點F且與x軸垂直的直線為x＝－c，代入橢圓方程有，解得，于是，解得，又a2－c2＝b2，從而a＝，c＝1，所以橢圓的方程為.(2)設(shè)點C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直線CD的方程為y＝k(x＋1)，由方程組消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.求解可得x1＋x2＝，x1x2＝.因為A(，0)，B(，0)，所以·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝.由已知得＝8，解得k＝.19．解：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是.又{an}不是遞減數(shù)列且，所以.故等比數(shù)列{an}的通項公式為.(2)由(1)得當n為奇數(shù)時，Sn隨n的增大而減小，所以1＜Sn≤S1＝，故.當n為偶數(shù)時，Sn隨n的增大而增大，所以＝S2≤Sn＜1，故.綜上，對于n∈N*，總有.所以數(shù)列{Tn}最大項的值為，最小項的值為.20．解：(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)．f′(x)＝2xlnx＋x＝x(2lnx＋1)，令f′(x)＝0，得.當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：xf′(x)－0＋f(x)極小值所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.(2)證明：當0＜x≤1時，f(x)≤0.設(shè)t＞0，令h(x)＝f(x)－t，x∈[1，＋∞)．由(1)知，h(x)在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增．h(1)＝－t＜0，h(et)＝e2tlnet－t＝t(e2t－1)＞0.故存在唯一的s∈(1，＋∞)，使得t＝f(s)成立．(3)證明：因為s＝g(t)，由(2)知，t＝f(s)，且s＞1，從而，其中u＝lns.要使成立，只需.當t＞e2時，若s＝g(t)≤e，則由f(s)的單調(diào)性，有t＝f(s)≤f(e)＝e2，矛盾．所以s＞e，即u＞1，從而lnu＞0成立．另一方面，令F(u)＝，u＞1.F′(u)＝，令F′(u)＝0，得u＝2.當1＜u＜2時，F(xiàn)′(u)＞0；當u＞2時，F(xiàn)′(u)＜0.故對u＞1，F(xiàn)(u)≤F(2)＜0.因此成立．綜上，當t＞e2時，有.

2014年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(天津卷)理科數(shù)學本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘。第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至5頁。第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.是虛數(shù)單位，復數(shù)A.B.C.D.2.設(shè)變量、滿足約束條件，則目標函數(shù)的最小值為A.B.C.D.3.閱讀下邊的程序框圖，運行相應的程序，輸出的值為A.15B.105C.245D.9454.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為A.，B.，C.，D.，5.已知雙曲線，的一條漸近線平行于直線：，雙曲線的一個焦點在直線上，則雙曲線的方程為A.B.C.D.6.如圖，是圓的內(nèi)接三角形，的平分線交圓于點，交于點，過點的圓的切線與的延長線交于點，在上述條件下，給出下列四個結(jié)論：①平分；②；③；④.則所有正確結(jié)論的序號是A.①②B.③④C.①②③D.①②④7.設(shè)、，則“”是“”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件8.已知菱形的邊長為，，點、分別在邊、上，，.若，，則A.B.C.D.第Ⅱ卷二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.9.某大學為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法，從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進行調(diào)查.已知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為，則應從一年級本科生中抽取名學生.10.一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積為.11.設(shè)是首項為，公差為的等差數(shù)列，為其前項和，若、、成等比數(shù)列，則的值為.12.在中，內(nèi)角、、所對的邊分別是、、.已知，，則的值為.13.在以為極點的極坐標系中，圓和直線相交于、兩點.若是等邊三角形，則的值為.14.已知函數(shù)，.若方程恰有4個互異的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為.三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）已知函數(shù)，.=1\*GB2⑴求的最小正周期；=2\*GB2⑵求在閉區(qū)間，上的最大值和最小值.16.（本小題滿分13分）某大學志愿者協(xié)會有6名男同學，4名女同學.在這10名同學中，3名同學來自數(shù)學學院，其余7名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院.現(xiàn)從這10名同學中隨機選取3名同學，到希望小學進行支教活動（每位同學被選到的可能性相同）.=1\*GB2⑴求選出的3名同學是來自互不相同學院的概率；=2\*GB2⑵設(shè)為選出的3名同學中女同學的人數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.17.（本小題滿分13分）如圖，在四棱錐中，底面，，，，，點為棱的中點.=1\*GB2⑴證明：；=2\*GB2⑵求直線與平面所成角的正弦值；=3\*GB2⑶若為棱上一點，滿足，求二面角的余弦值.18.（本小題滿分13分）設(shè)橢圓的左、右焦點分別為、，右頂點為，上頂點為.已知.=1\*GB2⑴求橢圓的離心率；=2\*GB2⑵設(shè)為橢圓上異于其頂點的一點，以線段為直徑的圓經(jīng)過點，經(jīng)過原點的直線與該圓相切，求直線的斜率.19.（本小題滿分14分）已知和均為給定的大于1的自然數(shù)，設(shè)集合，，，...，，集合...，，，，...，.=1\*GB2⑴當，時，用列舉法表示集合；=2\*GB2⑵設(shè)、，...，...，其中、，，，...，.證明：若，則.20.（本小題滿分14分）設(shè)，.已知函數(shù)有兩個零點，，且.=1\*GB2⑴求的取值范圍；=2\*GB2⑵證明隨著的減小而增大；=3\*GB2⑶證明隨著的減小而增大.

2015年高考天津市理科數(shù)學真題一、選擇題1．已知全集，集合，集合，則集合（）A． B． C． D．2．設(shè)變量滿足約束條件則目標函數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．3．閱讀下邊的程序框圖，運行相應的程序，則輸出的值為（）A． B． C． D．4．設(shè)，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．如圖，在圓中，是弦的三等分點，弦，分別經(jīng)過點，若，，，則線段的長為（）A． B．3 C． D．6．已知雙曲線（）的一條漸近線過點（），且雙曲線的一個焦點在拋物線的準線上，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．7．已知定義在上的函數(shù)（為實數(shù)）為偶函數(shù)，記，，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)函數(shù)，其中，若函數(shù)恰有個零點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題9．是虛數(shù)單位，若復數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為．10．一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積為．11．曲線與直線所圍成的封閉圖形的面積為．12．在的展開式中，的系數(shù)為．13．在中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知的面積為，，則的值為．14．在等腰梯形中，已知。動點和分別在線段和上，且，則的最小值為．三、解答題15．已知函數(shù)，．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在區(qū)間內(nèi)的最大值和最小值．16．為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加?，F(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員名，其中種子選手名；乙協(xié)會的運動員名，其中種子選手名。從這名運動員中隨機選擇人參加比賽。（Ⅰ）設(shè)為事件“選出的人中恰有名種子選手，且這名種子選手來自同一個協(xié)會”，求事件發(fā)生的概率；（Ⅱ）設(shè)為選出的人中種子選手的人數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．17．如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，，且點和分別為和的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）設(shè)為棱上的點。若直線和平面所成角的正弦值為，求線段的長。18．已知數(shù)列滿足（為實數(shù)，且），，，，且，，成等差數(shù)列。（Ⅰ）求的值和的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，，求數(shù)列的前項和．19．已知橢圓的左焦點為，離心率為，點在橢圓上且位于第一象限，直線被圓截得的線段的長為，．（Ⅰ）求直線的斜率；（Ⅱ）求橢圓的方程；（Ⅲ）設(shè)動點在橢圓上，若直線的斜率大于，求直線（為原點）的斜率的取值范圍。20．已知函數(shù)其中，且.（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)曲線與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線方程為，求證：對于任意的正實數(shù)，都有；（Ⅲ）若關(guān)于的方程（為實數(shù)）有兩個正實數(shù)根，求證：．2015年高考天津市理科數(shù)學真題答案一、選擇題1．答案：A解析過程：,所以，選A2．答案：C解析過程：不等式所表示的平面區(qū)域如下圖所示，當所表示直線經(jīng)過點時，有最大值，選C3．答案：B解析過程：輸入；不成立；不成立成立輸出,選B4．答案：A解析過程：，所以“”是“”的充分不必要條件，選A5．答案：A解析過程：由相交弦定理可知，，又因為是弦的三等分點，所以，所以，選A6．答案：D解析過程：雙曲線（）的漸近線方程為，由點在漸近線上，所以，雙曲線的一個焦點在拋物線準線方程上，所以，由此可解得，所以雙曲線方程為，選D7．答案：C解析過程：因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即，所以所以，選C8．答案：D解析過程：由得，所以，即,所以恰有4個零點等價于方程有4個不同的解，即函數(shù)與函數(shù)的圖象的4個公共點，由圖象可知.選D二、填空題9．答案：-2解析過程：是純虛數(shù)，所以，即10．答案：解析過程：由三視圖可知，該幾何體是中間為一個底面半徑為，高為的圓柱，兩端是底面半徑為，高為的圓錐，所以該幾何體的體積.11．答案：解析過程：兩曲線的交點坐標為，所以它們所圍成的封閉圖形的面積.12．答案：解析過程：展開式的通項為，由得r=2，所以，所以該項系數(shù)為13．答案：解析過程：因為，所以，又，解方程組得，由余弦定理得，所以.14．答案：解析過程：因為，，，，三、解答題15．答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）最大值，最小值解析過程：（Ⅰ）解：由題意得=所以，的最小正周期（Ⅱ）解：因為在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，，，.所以，在區(qū)間上的最大值為，最小值為.2116．答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析解析過程：（Ⅰ）解：由題意得所以，事件發(fā)生的概率為.（Ⅱ）解：隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,4.所以，隨見變量的分布列為隨機變量的數(shù)學期望17．答案：見解析解析過程：如圖，以為原點建立空間直角坐標系，依題意可得,,,,.又因為M,N分別為和的中點，得,.（Ⅰ）證明：依題意，可得為平面的一個法向量.=.由此可得，又因為直線平面，所以平面．（Ⅱ）解：，．設(shè)為平面的法向量，則即不妨設(shè)，可得.．設(shè)為平面的法向量，則又，得不妨設(shè)，可得．因此有，于是．所以，二面角的正弦值為。（Ⅲ）解：依題意，可設(shè)，其中，則，從而．又為平面的一個法向量，由已知，得=，整理得，又因為，解得．所以，線段的長為．18．答案：見解析解析過程：（Ⅰ）解：由已知，有，即，所以．又因為，故，由，得．當時，；當時，．所以，的通項公式為（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得.設(shè)的前n項和為，則，，上述兩式相減，得整理得，.所以，數(shù)列的前n項和為，．19．答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）解析過程：（Ⅰ）解：由已知有，又由，可得.設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為．由已知，有+，解得．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得橢圓方程為，直線的方程為，兩個方程聯(lián)立，消去y，整理得，解得，或.因為點M在第一象限，可得M的坐標為.有，解得，所以橢圓的方程為.（Ⅲ）解：設(shè)點P的坐標為，直線FP的斜率為，得，即，與橢圓方程聯(lián)立消去，整理得．又由已知，得，解得，或．設(shè)直線的斜率為，得，即，與橢圓方程聯(lián)立，整理可得.①當時，有，因此，于是，得.②當時，有，因此，于是，得.綜上，直線的斜率的取值范圍是.20．答案：見解析解析過程：（Ⅰ）解：由=，可得==，其中，且.下面分兩種情況討論：（1）當為奇數(shù)時.令=0，解得，或.當變化時，，的變化情況如下表：↘↗↘所以，在，上單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增。（2）當為偶數(shù)時.當，即時，函數(shù)單調(diào)遞增；當，即時，函數(shù)單調(diào)遞減.所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（Ⅱ）證明：設(shè)點的坐標為，則，.曲線在點處的切線方程為，即，令，即，則．由于在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，又因為，所以當時，，當時，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以對于任意的正實數(shù)，都有，即對于任意的正實數(shù)，都有．（Ⅲ）證明：不妨設(shè)．由（Ⅱ）知，設(shè)方程的根為，可得，當時，在上單調(diào)遞減．又由（Ⅱ）知，可得．類似地，設(shè)曲線在原點處的切線方程為，可得，當，，即對于任意的，．設(shè)方程的根為，可得．因為在上單調(diào)遞增，且，因此．由此可得．因為，所以，故.所以，．

2016年天津市高考數(shù)學試卷（理科）一、選擇題1．（5分）（2016?天津）已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，則A∩B=（）A．{1} B．{4} C．{1，3} D．{1，4}2．（5分）（2016?天津）設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標函數(shù)z=2x+5y的最小值為（）A．﹣4 B．6 C．10 D．173．（5分）（2016?天津）在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，則AC=（）A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）（2016?天津）閱讀如圖的程序圖，運行相應的程序，則輸出S的值為（）A．2 B．4 C．6 D．85．（5分）（2016?天津）設(shè){an}是首項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，則“q＜0”是“對任意的正整數(shù)n，a2n﹣1+a2n＜0”的（）A．充要條件 B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件6．（5分）（2016?天津）已知雙曲線﹣=1（b＞0），以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=17．（5分）（2016?天津）已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點D、E分別是邊AB、BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE=2EF，則的值為（）A．﹣ B． C． D．8．（5分）（2016?天津）已知函數(shù)f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有兩個不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍是（）A．（0，] B．[，] C．[，]∪{} D．[，）∪{}二、填空題9．（5分）（2016?天津）已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位，若（1+i）（1﹣bi）=a，則的值為．10．（5分）（2016?天津）（x2﹣）8的展開式中x7的系數(shù)為（用數(shù)字作答）11．（5分）（2016?天津）已知一個四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示（單位：m），則該四棱錐的體積為m312．（5分）（2016?天津）如圖，AB是圓的直徑，弦CD與AB相交于點E，BE=2AE=2，BD=ED，則線段CE的長為．13．（5分）（2016?天津）已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，若實數(shù)a滿足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），則a的取值范圍是．14．（5分）（2016?天津）設(shè)拋物線（t為參數(shù)，p＞0）的焦點為F，準線為l，過拋物線上一點A作l的垂線，垂足為B，設(shè)C（p，0），AF與BC相交于點E．若|CF|=2|AF|，且△ACE的面積為3，則p的值為．三、計算題15．（13分）（2016?天津）已知函數(shù)f（x）=4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．（1）求f（x）的定義域與最小正周期；（2）討論f（x）在區(qū)間[﹣，]上的單調(diào)性．16．（13分）（2016?天津）某小組共10人，利用假期參加義工活動，已知參加義工活動次數(shù)為1，2，3的人數(shù)分別為3，3，4，現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會．（1）設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率；（2）設(shè)X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．17．（13分）（2016?天津）如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，點G為AB的中點，AB=BE=2．（1）求證：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）設(shè)H為線段AF上的點，且AH=HF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值．18．（13分）（2016?天津）已知{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d，對任意的n∈N+，bn是an和an+1的等比中項．（1）設(shè)cn=b﹣b，n∈N+，求證：數(shù)列{cn}是等差數(shù)列；（2）設(shè)a1=d，Tn=（﹣1）kbk2，n∈N*，求證：．19．（14分）（2016?天津）設(shè)橢圓+=1（a＞）的右焦點為F，右頂點為A．已知+=，其中O為原點，e為橢圓的離心率．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點A的直線l與橢圓交于點B（B不在x軸上），垂直于l的直線與l交于點M，與y軸于點H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直線l的斜率的取值范圍．20．（14分）（2016?天津）設(shè)函數(shù)f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（x）存在極值點x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求證：x1+2x0=3；（3）設(shè)a＞0，函數(shù)g（x）=|f（x）|，求證：g（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值不小于．

2016年天津市高考數(shù)學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題1．（5分）（2016?天津）已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，則A∩B=（）A．{1} B．{4} C．{1，3} D．{1，4}【分析】把A中元素代入y=3x﹣2中計算求出y的值，確定出B，找出A與B的交集即可．【解答】解：把x=1，2，3，4分別代入y=3x﹣2得：y=1，4，7，10，即B={1，4，7，10}，∵A={1，2，3，4}，∴A∩B={1，4}，故選：D．【點評】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．2．（5分）（2016?天津）設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標函數(shù)z=2x+5y的最小值為（）A．﹣4 B．6 C．10 D．17【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，作出直線l0：2x+5y=0，平移直線l0，可得經(jīng)過點（3，0）時，z=2x+5y取得最小值6．【解答】解：作出不等式組表示的可行域，如右圖中三角形的區(qū)域，作出直線l0：2x+5y=0，圖中的虛線，平移直線l0，可得經(jīng)過點（3，0）時，z=2x+5y取得最小值6．故選：B．【點評】本題考查簡單線性規(guī)劃的應用，涉及二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，關(guān)鍵是準確作出不等式組表示的平面區(qū)域．3．（5分）（2016?天津）在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，則AC=（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】直接利用余弦定理求解即可．【解答】解：在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，AB2=BC2+AC2﹣2AC?BCcosC，可得：13=9+AC2+3AC，解得AC=1或AC=﹣4（舍去）．故選：A．【點評】本題考查三角形的解法，余弦定理的應用，考查計算能力．4．（5分）（2016?天津）閱讀如圖的程序圖，運行相應的程序，則輸出S的值為（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根據(jù)程序進行順次模擬計算即可．【解答】解：第一次判斷后：不滿足條件，S=2×4=8，n=2，i＞4，第二次判斷不滿足條件n＞3：第三次判斷滿足條件：S＞6，此時計算S=8﹣6=2，n=3，第四次判斷n＞3不滿足條件，第五次判斷S＞6不滿足條件，S=4．n=4，第六次判斷滿足條件n＞3，故輸出S=4，故選：B．【點評】本題主要考查程序框圖的識別和運行，根據(jù)條件進行模擬計算