湖南省衡陽(yáng)市2023屆高三第二次聯(lián)考(二模)數(shù)學(xué)試題及參考答案

湖南省衡陽(yáng)市2023屆高三第二次聯(lián)考（二模）數(shù)學(xué)試題及參考答案一、選擇題1、已知集合Axx22x30，Bxx1，則AB(2)A.3，1B.1，2)1C.，121D.，322、若z12i，則1zz(A.24iB.24iC.62iD.62i3、在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E滿足CE2EB，則ACDE(A.3B.-3C.-4D.4)4、某一時(shí)段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個(gè)時(shí)段的降雨量（單位：mm）.24h降雨量的等級(jí)劃分如下表：等級(jí)……小雨中雨大雨暴雨……24h降雨量（精確到0.1）……0.1~9.910.0~24.925.0~49.950.0~99.9……在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組自制了一個(gè)底面直徑為200mm，高為300mm的圓錐形雨量器.若一次降雨過(guò)程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150mm，如圖所示，則這24h降雨量的等級(jí)是()A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨15、奧林匹克標(biāo)志由五個(gè)互扣的環(huán)圈組成，五環(huán)象征五大洲的團(tuán)結(jié)，五個(gè)奧林匹克環(huán)總共有8個(gè)交點(diǎn)，從中任取3個(gè)點(diǎn)，則這3個(gè)點(diǎn)恰好位于同一個(gè)奧林匹克環(huán)上的概率是()A.314B.514C.37D.176、在銳角△ABC中，C83A.0，3π，AC4，則BC的取值范圍是(683B.23，3)C.23，83D.4，37、正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P在三棱錐C1BCD的表面上運(yùn)動(dòng)，且A1P15，則點(diǎn)P軌跡的長(zhǎng)度是(3326π6)C.36π6A.B.236π6D.236π38、設(shè)定義在R上的函數(shù)fx滿足fxfxx2，且當(dāng)x0時(shí)，fxx，其中fx1為函數(shù)fx的導(dǎo)數(shù)，則不等式fxf1xx的解集是(2)A.，1B.1，1C.，21D.，29、已知函數(shù)fxsinxcosx3cos2xA.fxsin2xπ33，則下列說(shuō)法正確的是(2)B.函數(shù)fx的最小正周期為πC.函數(shù)fx的對(duì)稱軸方程為xkπ5πkZ12πD.函數(shù)fx的圖象可由ysin2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到62a1a6a71，610、設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，前n項(xiàng)積為T(mén)n，并且滿足條件a11，0，a71則下列結(jié)論正確的是(A.0q1C.Tn的最大值為T(mén)6)B.a6a81D.T13111、過(guò)拋物線C：y22pxp0焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B在C的準(zhǔn)線l上的射影分別為A1，B1，A1AB的平分線與l相交于點(diǎn)P，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則(A.AFPFC.原點(diǎn)O可能是△PAB的重心B.三點(diǎn)A、O、B1共線D.△OBF不可能是正三角形.)12、已知函數(shù)fxaxbxcx，其中a，b，c0,，f20，則下列結(jié)論正確的是()B.f30D.f1f1最大值為4221A.f02C.fx在R上單調(diào)遞減二、填空題n213、在3x2的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，則展開(kāi)式中x4項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_______.x14、已知某食品每袋的質(zhì)量X~N500,16，現(xiàn)隨機(jī)抽取10000袋這種食品，則質(zhì)量在區(qū)間492,504的食品約________袋（質(zhì)量單位：g）.附：X~N,2，則PX0.6827，P2X20.9545，P3X30.9973.x2y215、已知過(guò)原點(diǎn)的直線l與雙曲線C：221的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)ab是C的右焦點(diǎn)，且AFBF.若滿足FP2BF的點(diǎn)P也在雙曲線C上，則C的離心率為_(kāi)_______.16、已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若x0,，memxlnx成立，則實(shí)數(shù)m的最小值是________.3三、解答題217、已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足2Snanan.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn4，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n，證明：Tn3.anan218、作為一種益智游戲，中國(guó)象棋具有悠久的歷史，中國(guó)象棋的背后，體現(xiàn)的是博大精深的中華文化.為了推廣中國(guó)象棋，某地舉辦了一次地區(qū)性的中國(guó)象棋比賽，小明作為選手參加.除小明以外的其他參賽選手中，50%是一類棋手，25%是二類棋手，其余的是三類棋手.小明與一、二、三類棋手比賽獲勝的概率分別是0.3、0.4和0.5.（1）從參賽選手中隨機(jī)選取一位棋手與小明比賽，求小明獲勝的概率；（2）如果小明獲勝，求與小明比賽的棋手為一類棋手的概率.19、如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PAPD10，側(cè)面PAB的面積為10.（1）證明：平面PAD平面ABCD；（2）點(diǎn)M在棱PC上，當(dāng)三棱錐PADM的體積為的角的正弦值.4時(shí)，求直線AM與平面PAB所成3420、如圖，在平面四邊形ABCD中，AB2，BC6，ADCD4.（1）當(dāng)四邊形ABCD內(nèi)接于圓O時(shí)，求角C；（2）當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時(shí)，求對(duì)角線BD的長(zhǎng).x2y2221、已知橢圓E：221ab0的離心率為，A，B是它的左、右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)2abD1,0的動(dòng)直線l（不與x軸重合）與E相交于M，N兩點(diǎn)，△MAB的最大面積為22.（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)Pm，n是直線AM與直線BN的交點(diǎn).（i）證明m為定值；（ii）試探究：點(diǎn)B是否一定在以MN為直徑的圓內(nèi)？證明你的結(jié)論.22、已知函數(shù)fxxlnx2x1，gx12xe1e.2e（1）比較fx，gx的大小，并說(shuō)明理由；（2）已知函數(shù)fx的兩個(gè)零點(diǎn)為x1，x2，證明：2ex1x2e2.5參考答案1、答案：D1解析:Axx22x30x1x3，Bxx，211則ABx1x3xxxx3.故選D222、答案：C解析:1zz22i12i244i2i62i.故選C3、答案：A解析:以B為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，CE2EB，且邊長(zhǎng)為3，所以A0，3，DE2，3，3，E1，0，C3，0，D3，3，所以AC3，所以ACDE32333.故選A4、答案：B解析:因?yàn)閳A錐內(nèi)積水的高度是圓錐總高度的一半，11所以圓錐內(nèi)積水部分水面的半徑為20050mm，221故積水量V水π502150125000π，3所以此次降雨在平地上積水的原度h125000π12.5mm，1002π因?yàn)?0.012.524.9，所以這一天的雨水屬于中雨.故選B5、答案：A3解析:從8個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，共有C856種情況，這三個(gè)點(diǎn)恰好位于同一個(gè)奧林匹克環(huán)上有3C3則所求的概率P412種情況，故選A.6123.56146、答案：B解析:由正弦定理得BCAC4，sinAsinBsinB5π4sinB4sinA6413,πBπ，所以BC2tanB23sinBsinB283所以BC.故選B.23,37、答案：A解析:由題設(shè)知點(diǎn)P在以A1為球心，半徑R15的球面上，3所以點(diǎn)P的軌跡就是該球與三棱錐C1A1BCD的表面的交線.由正方體性質(zhì)易知點(diǎn)A1到平面C1BD的距離d所以球A1在平面C1BD上的截面圓的半徑r1AR2d23，323，3截面圓的圓心O1是正△C1BD中心，正△C1BD的邊長(zhǎng)為2，其內(nèi)切圓O1的半徑r06r1.6因此，點(diǎn)P在面C1BD內(nèi)的軌跡是圓O1在△C1BD內(nèi)的弧長(zhǎng)，如圖所示.cosMO1H從而MO1NO1Hr02π，所以MO1H，4O1Mr12π，故點(diǎn)P在此面內(nèi)的軌跡長(zhǎng)度為2π3πr12π3.26因?yàn)锳A1平面ABCD，所以球A1在平面ABCD上的截面圓心為A，其半徑r2R2AA12626，又1，所以點(diǎn)P在平面BCD內(nèi)的軌跡是一段弧3237EF，如圖所示，cosGAEAG3ππ6π，所以GAE，從而EAF，所以EF.9AE263由于對(duì)稱性，點(diǎn)P在平面C1BD和平面C1CD內(nèi)的軌跡長(zhǎng)度都是故點(diǎn)P在三棱錐C1BCD的表面上的軌跡的長(zhǎng)度是故選A8、答案：D解析:構(gòu)造函數(shù)Txfx所以TxTxfx12x，因?yàn)閒xfxx2，26π，93π6π3263π.6961212xfxxfxfxx20，22所以Tx為奇函數(shù).當(dāng)x0時(shí)，Txfxx0，Tx在,01上單調(diào)遞減，所以Tx在R上單調(diào)遞減.因?yàn)閒xf1xx，2所以fx1212xf1x1x，221.故選D2即TxT1x，所以x1x，即x9、答案：ABD解析:fxsinxcosx3cos2x311cos2x3sin2x3222213πsin2xcos2xsin2x，所以A正確；2232ππ，所以B正確；2對(duì)于B，函數(shù)fx的最小正周期為對(duì)于C，由2xππ5πkπ，kZ，kπ，kZ得x321228所以函數(shù)fx的對(duì)稱軸方程為x5πkπ，kZ，所以C錯(cuò)誤；122πππ，得ysin2xsin2x，663π個(gè)單位長(zhǎng)度得到，所以D正確.6對(duì)于D，ysin2x的圖象向右平移所以函數(shù)fx的圖象可由ysin2x的圖象向右平移故選ABD10、答案：AC解析:若q0，因?yàn)閍11，所以a60，a70，則a6a70與a6a71矛盾，若q1，因?yàn)閍11，所以a61，a71，則所以0q1，故A正確；因?yàn)閍6121，故B錯(cuò)誤；0，則a61a70，所以a6a8a7a71a61a10，與60矛盾，a71a7113由a61a70，故C正確；而T13a71，故D錯(cuò)誤.故選AC11、答案：ABD解析:由拋物線定義知AA1AF，又l平分A1AB，所以△AFP≌△AA1P，從而AFPAA1P90，即AFPF，所以A正確；設(shè)Ax1，y1，Bx2，y2，AB方程為xmy2p，代入C方程得y22pmyp20，2pp22p則y1y22pm，y1y2p，故B1的坐標(biāo)是，kOB，，從而kOAy1y12所以A、O、B1三點(diǎn)共線，即B正確；若原點(diǎn)O是△PAB的重心，則x1x2xP0，即x1x2p，2p，故C錯(cuò)誤；因2而x1x2my1y2p2m21，因?yàn)閜0，所以2m21p為BFBB1故選ABD12、答案：ABpOF，所以△OBF不可能是正三角形，故D正確.29解析:因?yàn)閒20，即a2b2c2，又a，b，c0，，所以0ab1，01.ccxxxxabab由fxaxbxcxcx1，令gx1，cccc1則gx在R上遞減，且g20，所以g0，g30，故A，B正確；取a3，2π1b4，c5，則f12f，所以C錯(cuò)誤；令accos，bcsin，0，，2211則f1f1sincos11sincossincos，sincos11，今sincost，t1，2sincost22t1t2則f1f1t124t1，t1t1t1121，所以D錯(cuò)誤.故選AB而t12，21，所以f1f1532，13、答案：1080解析：由題可知2n32，解得n5，2r3x2則3x2的通項(xiàng)為T(mén)r1C5x55r2x12rr235rC5x103r，r2令103r4，解得r2，則x4系數(shù)為233C5427101080.14、答案：8186解析：由題意得：P5004X50040.6827，P5008X50080.9545，則P492X4960.95450.68270.13592，故P492X5040.13590.68270.8186，則袋裝質(zhì)量在區(qū)間492，504的食品約有100000.81868186（袋）.15、答案：173解析：設(shè)左焦點(diǎn)為F，BFm，則PF2m，連接BF，PF，10則BF2am，PF2a2m.由AFBF易知四邊形AFBF為矩形.在Rt△BFP中，BFBPPF，即2am3m2a2m，化簡(jiǎn)得m2222222a.3在Rt△BFF中，BFBFFF，即2amm22c*，22222c217172a將m代入（*）式得2，即e.a93316、答案：1e解析：由memxlnx得mxemxxlnx，即mxemxelnxlnx.令fxxex，則fx在0，上單調(diào)遞增，且fmxflnx，所以mxlnx對(duì)x0，恒成立，即m令gxlnx對(duì)x0，恒成立.xlnx1lnx，則gx，所以當(dāng)x0，e時(shí)，gx0；2xx1當(dāng)xe，時(shí)，gx0，故gx在1，上的極大值是，e111即最大值是，所以m，即實(shí)數(shù)m的最小值是.eee17、答案：（1）ann（2）見(jiàn)解析解析：（1）依題意可得，當(dāng)n1時(shí)，2S12a1a12a1，an0，則a11；22當(dāng)n2時(shí)，2Snanan，2Sn1an1an1，兩式相減，整理可得anan1anan110，又an為正項(xiàng)數(shù)列，故可得anan11，所以數(shù)列an是以a11為首項(xiàng)，d1為公差的等差數(shù)列，所以ann.（2）證明：由（1）可知ann，所以bn422，nn2nn211Tn4444132435nn22222222222222213243546n2nn1n1nn2223，所以Tn3成立.n1n22118、答案：（1）0.375（2）0.42，3)類棋手相遇”解析：（1）設(shè)Ai“小明與第i(i1，，根據(jù)題意PA10.5，PA20.25，PA30.25.記B“明獲勝”，則有PBA10.3，PBA20.4，PBA30.5，由全概率公式，小明在比賽中獲勝的概率為PBPA1PBA1PA2PBA2PA3PBA30.50.30.250.40.250.50.375，所以小明獲勝的概率為0.375.（2）小明獲勝時(shí)，則與小明比賽的棋手為一類棋手的概率為PA1BPA1PBA10.50.3PA1B0.4，PBPB0.375即小明獲勝，對(duì)手為一類棋手的概率為0.4.19、答案：（1）見(jiàn)解析（2）65251解析：（1）由側(cè)面PAD的面積為10，得PAABsinPAB10，2又PA10，AB2，所以sinPAB1，從而PAB90，即ABPA，又ABAD，故AB平面PAD，而AB平面ABCD，所以平面PAD平面ABCD.（2）取AD的中點(diǎn)O，連接OP，因?yàn)镻APD，所以O(shè)PAD，由（1），平面PAD平面ABCD，而OP平面PAD，平面PAD平面ABCDAD，所以O(shè)P平面ABCD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則A1，0，0，B1，2，0，C1，2，0，121因?yàn)镺PPAOA3，所以P0，2，3，S△PADADOP30，3，PC1，22214設(shè)Mx0,y0,z0，則VPADMVMPADS△PADy0y0.33設(shè)PMPC，即x0，y0，z031，2，3，所以y022241，，從而x0，z01，故M，，23333540，3，AB0，2，0，于是AM，，1，又PA1，33設(shè)nx，y，z是平面PAB的一個(gè)法向量，nPA0,x3z0,則即取z1，得n3，0，1，2y0,nAB0,設(shè)直線AM與平面PAB所成的角為，AMn465則sincosAM，n，25AMn52103即直線AM與平面PAB所成的角的正弦值為20、答案：(1)Cπ365.25(2)BD27解析：（1）連接BD，由余弦定理可得：BD2AB2AD22ABADcosA2242224cosA，BD2BC2CD22BCCDcosC4262246cosC，所以2016cosA5248cosC.又四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，所以ACπ，所以2016cosπC5248cosC，化簡(jiǎn)可得cosC1π，又C0，π，所以C.2313（2）設(shè)四邊形ABCD的面積為S，則SS△ABDS△BCD11ABADsinABCCDsinC，22又BD2AB2AD22ABADcosABC2CD22BCCDcosC，11SS24sinA46sinC,sinA3sinC,所以即224222224224cosA46246cosC,23cosA,S2S2平方后相加得4106sinAsinC6cosAcosC，即66cosAC，1616S2又AC0，有最大值，即S有最大值.2π，所以ACπ時(shí)，16此時(shí)，AπC，代入23cosCcosA得cosC在△BCD中，1π.又C0，π，所以C.23π28，3可得：BD2BC2CD22BCCDcosC4262246cos即BD27.x2y2121、答案：(1)42(2)見(jiàn)解析（i）m4（ii）見(jiàn)解析c2，a2解析:（1）設(shè)橢圓E的焦距為2c，由題設(shè)知且當(dāng)點(diǎn)M在橢圓E的短軸端點(diǎn)處時(shí)△MAB的面積最大，1所以2ab22，即ab22.又a2b2c2，從而解得a2，bc2，2x2y21.故橢圓E的方程為42（2）由（1）知，A2,0，B2,0，由題意可設(shè)直線l的方程為xty1，x2y21,因?yàn)辄c(diǎn)D1,0在橢圓E內(nèi)，直線l與E總相交，由4得t22y22ty30，2xty1設(shè)Mx1,y1，Nx2,y2，則y1y2（i）由P，A，M共線，得2t3，，yy1222t2t2ny1，①m2x1214由P，B，N共線，得則由①÷②得ny2，②m2x22m2yx2，③12m2x12y2x12y12y2x11，所以1又，④42x122y1將④代入③，得x2x22ty11ty21m21m22y1y22y1y23t22t2212t2y