2023屆河北省衡水中學(xué)高三下學(xué)期一調(diào)考試數(shù)學(xué)試題及答案

2022—2023衡水中學(xué)下學(xué)期高三年級一調(diào)考試數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。共4頁，總分150分，考試時間120分鐘。第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題540分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)集合A{x|2x，B{{lg(x2)ABA．0．．D．D52．已知復(fù)數(shù)z|z5|z1||zi||zA．．．3223．已知,3cos2sin2232A．)．)4253254C．sincosD．4．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式，他所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)之差成等差數(shù)列．現(xiàn)有一高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為12716列的第100A4923．4933．4941D49515C:y22x的焦點(diǎn)為FM在C在準(zhǔn)線Nl(O|||的面積為534332A．3．．D．236．碳達(dá)峰，是指在某一個時點(diǎn)，二氧化碳的排放不再增長，達(dá)到峰值之后開始下降；碳中和，是指企業(yè)、團(tuán)體或個人測算在一定時間內(nèi)直接或間接產(chǎn)生的溫室氣體排放總量，通1“放位：億噸）與時間基（單位：年）滿足函數(shù)關(guān)系式Sabt，已知經(jīng)過5年，該地區(qū)二4a氧化碳的排放量為億噸．若該地區(qū)通過植樹造林、節(jié)能減排等形式，能抵消自身產(chǎn)5a生的二氧化碳排放量為億噸，則該地區(qū)要實(shí)現(xiàn)“碳中和”至少需要經(jīng)過(lg2≈0.3)4A．28年．29年．30年D31年7．從23，456，，8，9中隨機(jī)取兩個數(shù)，這兩個數(shù)一個比m大，一個比m小的概5(m*).m為上述數(shù)據(jù)中的x%分位數(shù)，則x的取值可能為A．50．60．70D808．已知x是函數(shù)f(x)x1ln(x2)的零點(diǎn)，x是函數(shù)()gxx2a244的12零點(diǎn)，且滿足|xx1，則實(shí)數(shù)a的最小值是12A．1．2．222D．12二、選擇題：本題共4小題，每小題520分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．已知向量a，b23)A．|ab4B．(ab)a2C．向量ab與a的夾角為6D．向量ab在向量a上的投影向量為2a10．已知函數(shù)f(x)Acos(2x)A)，若函數(shù)y|f(x)|的部分圖象如圖所示，則關(guān)于函數(shù)g(x)A)，下列結(jié)論正確的是2A．g(x)的圖象關(guān)于直線x3．g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn),0212．g(x)在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間為D．g(x)的圖象可由yf(x)1的圖象向左平移個單位長度得到6，B分別為圓Cx:2y2xy0C2:x282y6x5021兩個動點(diǎn)，P為直線l:xy20上的一點(diǎn)，則A．||||的最小值為33．||||的最小值為3．||||的最大值為253D．||||的最小值為25312．已知正四面體的棱長為22，其所有頂點(diǎn)均在球O的球面上．已知點(diǎn)E滿足AB(0CD(0E作平面平行于和，平面分別與該正四面體的棱BC，CD，相交于點(diǎn)，，HA．四邊形的周長是變化的．四棱錐A體積的最大值為1時，平面O所得截面的周長為41D繞90°后與原四面體的公共部分的體243三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。xx2是假命題，則實(shí)數(shù)a的最大值為10.．若命題“．定義在R上的奇函數(shù)f(x)f(2x)f(x)f(x)在區(qū)間[上是增函數(shù)，給出下列三個命題：3①f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(20)f(x)在區(qū)間f2所有真命題的序號是15．為檢測出某病毒的感染者，醫(yī)學(xué)上可采用“二分檢測法”：假設(shè)待檢測的總?cè)藬?shù)是)2m個人的樣本混合在一起做第1．2（mm*2人的樣本混合在一起做第21次……依此待檢測的總?cè)藬?shù)為“二分檢測法”47次檢測后確定了所有感染者，則感染者人數(shù)的所有可能值為；若待檢測的總?cè)藬?shù)為2m(m，且假設(shè)其中有不超過2“二分檢測法”所需的檢測總次數(shù)記為nn的最大值為.x2y2．已知橢圓C:1的左、右焦點(diǎn)分別為F，F(xiàn)，P為C上任意一點(diǎn)（異于左、1243(,n)為F的內(nèi)心，則mn的最大值為.12四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。1044a3n1已知數(shù)列a}的首項(xiàng)a，且滿足1anba1.n1nn5an(1)證明：數(shù)列n}為等比數(shù)列；1111(2)若，求滿足條件的最小正整數(shù)n.1a23an12記的內(nèi)角,B,C的對邊分別為a,b,c，已知A，D是邊上的一點(diǎn)，6sinsin3且.bc2a41(1)證明：a；3(2)若2.．(12分)2022年全國羽毛球錦標(biāo)賽于12月16日在廈門舉辦，受此鼓舞，由一名羽毛球?qū)I(yè)運(yùn)3相互獨(dú)立，每場比賽都分出勝負(fù)，且甲與乙比賽，甲贏的概率為；甲與丙比賽，甲贏的4134概率為p，其中p.2(1)若第一場比賽，業(yè)余隊(duì)可以安排乙與甲進(jìn)行比賽，也可以安排丙與甲進(jìn)行比賽．請?jiān)摪才乓疫€是丙與甲進(jìn)行比賽？(2)13獲獎金3萬元；若平局，兩隊(duì)各獲獎金4萬元，在比賽前，已知業(yè)余隊(duì)采用了(1)中的最優(yōu)決策與甲進(jìn)行比賽，設(shè)賽事組織預(yù)備支付的獎金金額共計(jì)X萬元，求X的數(shù)學(xué)期望E(X)的取值范圍．．(12分)2O的半徑為RC得R，分別過點(diǎn),C作底面圓O的切線，兩切線相交于點(diǎn)E,D是切線O的切點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為A到平面的距離．5．(12分)已知雙曲線E:xa22yb22ab0)的左焦點(diǎn)為F(M2)是E(1)求E的方程；(2)已知過坐標(biāo)原點(diǎn)且斜率為k(k0)的直線l交E于,B兩點(diǎn)，連接交E于另一點(diǎn)C，連接交E于另一點(diǎn)D.若直線經(jīng)過點(diǎn)N(0,，求直線l的斜率k.．(12分)已知函數(shù)f(x)exxxx2(aR).(1)若a2，求曲線yf(x)(0,f(0))處的切線方程；(2)若f(x)0對任意x[0,)恒成立，求a的取值范圍.6數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題1，B【解析】由題意得AB{x|0x2{2x，所以AB.2zabi(a,bR)(ab22(a2b2a2b2，a3，b3，所以|z2(3)232.113．B【解析】由題意得2sin)2a，解得sin或sin．又22321223sincos24,cos12tan，322324)cos，)tan，222321sincos，cossin錯誤、B正確．34【解析】設(shè)該高階等差數(shù)列為a}a}7項(xiàng)分別為14722.nn令bnan1a，則數(shù)列b}為1，2，3，4，5，6，…，所以數(shù)列b}是首項(xiàng)為1，nnn公差為1nnan1ann(a)(aa)99(aa)(aa)a97.112112.1,015C的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為的方程為lx22線l與x軸的交點(diǎn)為E如圖，由題知l.由拋物線的定義知|||．又|||以以160，所以|2|2p2，所以的面積為||2sin603.274a4545a145b5btbt65544514451110lg213lg20.13(5)ttlglg得t(3lg22lg2t.5457【解析】由題意得從23456，89中隨機(jī)取兩個數(shù)有C2828種不同的結(jié)果，其中一個數(shù)比m大，一個數(shù)比m小的不同結(jié)果有(mm)種，所以(mm)5，整理得mm0m4或m7m42數(shù)據(jù)中的x%分位數(shù)是第3個數(shù)，則2x%83，解得x37.5，故所有選項(xiàng)都不滿足；當(dāng)m7時，數(shù)據(jù)中的x%分位數(shù)是第6個數(shù)，則5x%86，解得62.5x不滿足、C滿足．1x18【解析】f(x)的定義域?yàn)?2,)，f(x)12x11時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)f(0，所以x1為方程f(x)0的唯一實(shí)根，即11，故|xx1|1x1，解得2x0.x是g(x)x24a4x2x2f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x212222x2a40在區(qū)間[(2x4)ax2424x24x24在區(qū)間[上有實(shí)根，即2a在區(qū)間[上有實(shí)根．令g(x)，x2x2x24(x828x28x2x[，則g(x)x2(x2)4.設(shè)x2x28tx2(4tht)t4ht)在區(qū)間(22)上單調(diào)遞增，t在區(qū)間(22,2)上單調(diào)遞減．又h(4)2，h(2)2，所以ht)2，8ht)442以22a4421a222a的最小值是-1．二、選擇題9ABDab123)(2,2|ab22(2）2=4A正確；.(aba)212302B正確；因?yàn)閍,aba(ab)|a||ab|14212，且0a,ab，所以a,ab，故C錯誤；向量3a(ab)aab在向量a上的投影向量為2aD正確．|a||a|A110．ABC【解析】因?yàn)樗訟2，所以f(x)2cos(2x)1，又A131|f(0)|2cos1|2，所以cos（舍去）或cos，因?yàn)?，223所以g(x)2sin2xxg2g(x)3g的圖象關(guān)于直線xAx0g(x)的圖象333,0對稱，故B正確；當(dāng)22x2，kz，即關(guān)于點(diǎn)23x，kZ，時，g(x)單調(diào)遞減，則當(dāng)k0時，g(x)在區(qū)g(x)在區(qū)間間,上的單調(diào)遞減區(qū)間為1221262cos2xg(x)D錯誤．3C正確；因?yàn)閒x12cos2x3Cx:2y2xy0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x282(y4)1，2AC1所以其圓心為Cr1C:xy6x5022的標(biāo)準(zhǔn)方程為112(x2y24，所以其圓心為C，半徑為r2，設(shè)點(diǎn)C關(guān)于直線l對稱的2229ba3ab點(diǎn)為C(a,b)，則解得即C(.如圖，連接1交直a3b222線lP接C,P,C三點(diǎn)共線，||||||||2121最小，所以|||)||||rr||rr33，2112112故A正確、B|||||||取到最大值且點(diǎn)P,,B共線時，||||取到最大值．由圖可知，||||CC|rr1212253，所以||||的最大值為253C正確，D錯誤。12．BCD【解析】在棱長為2的正方體AD中，知正四面體的棱長1111為22，故球心O即為該正方體的中心，連接BD，設(shè)BDN，因?yàn)?111//，，所以四邊形DD為平行四邊形，所以BD//BD.又11111111平面BD平面，所以BD//平面.因?yàn)?/平面，1111BDN，，BD//A，11111111如圖①，因?yàn)槠矫?/平面，平面平面，平面平1111面，所以//，則1，即)22(1)同理可得//，22(1)，////，22，所以四邊形的周長L42AA22，且////，22(1)1110BDA到平面的距離d2，1111故四棱錐A的體積V與之間的關(guān)系式為V()22322(1)(323)，則V()(23).因?yàn)?1，所以當(dāng)3220時，V()0，V()單調(diào)遞增；當(dāng)1時，V()0，V()單調(diào)332V()取到最大值A(chǔ)體積的最大值為3B的外接球即為正方體AD的111114R3O所得截面的圓心為1r122時，OO1.OO12r2R2rR221O所得截面的周長為rCD繞旋轉(zhuǎn)90°后得到正四面體ABCD，設(shè)ADP，ACK，11111111BCQ，BDN，連接KP,KE,,KQ,NP,NE,,，因?yàn)?1111以E,F,P,Q,K,N2體為兩個相同的正四棱錐組合而成，又2，正四棱錐K的1143AA11VV2122，四棱錐23故D正確．三、填空題313．【解析】由題知命題的否定“x10”是真命題，令2fa2f(x)x2x，則解得a，故實(shí)數(shù)a的最fa，33大值為.14．【解析】由題意知f(x)f(x)0，又f2f(x)，所以f(2x)f(x)0，所以f(2xf(x)0，即f(xf(x)，則f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期為4f(x4)f(x)，即f(x4)f(x)0f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2f(x)[f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，又f(2f(x)f(x)的圖象關(guān)于直線x1f(x)在區(qū)間上是減函數(shù)，故②正確，是真命題；而f(50)f(42)f(2)f(0)0，故③錯誤，是假命題．．1或24m1【解析】若待檢測的總?cè)藬?shù)為8，經(jīng)過4輪共7次檢測，則第1輪需12輪需檢測243輪需檢測2的是有感染者的424輪需檢測2染者的2人組分成的兩組，每組1人，則感染者人數(shù)為1或2．當(dāng)待檢測的總?cè)藬?shù)為m2(m21次檢測即可：112m(2m22221名感染者，此時每組需12(m(2m次檢測，則兩組共需2(2m(4m2)次檢測，故有2名感染者，且檢測次數(shù)最多，共需4m21(4m次檢測．因?yàn)閙3，所以4m12m1，所以n的最大值為4m1.233x2y2．【解析】對橢圓ab0)，設(shè)P(acos，bsin)，F(xiàn)的內(nèi)12a2b211切圓半徑為r，則S12cb|sin|sin(2c2a)r，故22|sin|acr|n|F(c,0)，F(xiàn)(c,0)，12則|PF1(acosc)2bsin)2a22acos(ccos)2accos12理可得|accos.又由內(nèi)切圓的性質(zhì)得(cm)(mc)|||221(accos)(accos)，所以mccos.由221，得mc2n2mc2n21，即1.當(dāng)a2，c1時，m2nn0).2acac2bc)(ac)22c22112333設(shè)mcos，nsin0mncossinsin，3323mn的最大值為.3四、解答題1an34an11n1nan11an)3(1)證明：由題意得1a3n1a)411nanan11且1141413所以數(shù)列n}是首項(xiàng)為，公比為5443n114411111(2)解：由(1)得11131a23an14n3n43411111n1，1a23an3n1.（81111n1a23an43nn11111.1a23an4n3又fnn()1nn4n為.(10分)13BsinBsin；sinsinCsinsinC在4BsinCsin所以bcabc1212(CD)aa135ADaa22a1a.63211(2)解：由2，得a，a.又a，所以在和333中，由余弦定理得2212223312aab2aac233.12112aa2aa33331222331212aac33aab22由00,12112aa2aa3333整理得a2b22c2.9又，所以在中，由余弦定理得a2b2c2bcb2662c.2cb,7b,得a2b2c2a122aab332259b2b2故.(12)1242aab2339．解：(1)第一場比賽，業(yè)余隊(duì)安排乙與甲進(jìn)行比賽，則業(yè)余隊(duì)獲勝的概率為3434377P1p)p)1p；（21414第一場比賽，業(yè)余隊(duì)安排丙與甲進(jìn)行比賽，則業(yè)余隊(duì)獲勝的概率為34341414Pp)1p1p)p2.（421234147311p時，P1P2p2p(4p27p(p當(dāng)(4p0，5即PP，所以第一場業(yè)余隊(duì)?wèi)?yīng)該安排乙與甲進(jìn)行比賽．612(2)由題意知X的可能取值為8或．(1)177p33434專業(yè)隊(duì)獲勝的概率Pp1pp，3471所以非平局的概率P(X16)PPp913129平局的概率P(X1P(X16)p，271E(X)161294p.p8p分)22132p，所以E(X)，24222即X的數(shù)學(xué)期望E(X)的取值范圍是,.(12分)．(1)證明：由題意得.D是切線O的切點(diǎn)，.2又O，PO,，.又，所以平面4(2)//Ox,OC,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，Ox,OC,x,y,z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．15由題意知2，2R，R，3R，又∽，所以3R，321P，DR,R,0，E(3R,R,0)，B(0,R,0)，2321則R,R,2，(0,R,2)，(3R,R,2).62設(shè)平面的法向量為m(x,y,z)，321m2z則2m2z0.332令x3y3，zR，得平面的一個法向量為mR.2又直線與平面所成角的正弦值為|m|，3R|,，|m|||9R244R24233R或R2.93由題意知，C為直線與平面的交點(diǎn)，所以點(diǎn)A到平面的23距離為點(diǎn)O到平面的距離的2又平面平面，平面平面，所以點(diǎn)O到平面的距離即為點(diǎn)O到直線的距離．在Rt2，R，2R3R所以點(diǎn)O到直線的距離為A到平面的距離為，則點(diǎn)A到平面的距離為，4R24R232322或.(12)16(1)由題知c22a2)2(20)22(2223，2a3，所以bc2a1.2x2故E的方程為y21.4321(2)(x,y)B(x,y)的方程為x其中m,1111121x其中n.的方程為1設(shè)C(x,y),D(x,y),CCDDx21(m2yx2106分）4x2y21311143y21則0yy，y.1Cm232Cx4x22311111741x21y3213.，所以C，又則1127x741xC21.74x11174x7x741同理可得yD，xD1.（91因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)N(0,，C,D,N三點(diǎn)共線，即//，17則x(yx(y，DCCD7xy7xy111111，74174x7417411化簡得(7x)(y74x)(7