2022年新高考全國II卷數(shù)學試卷真題（解析版）

2022年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（新高考全國Ⅱ卷）數(shù)學注意事項：．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2．答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的..已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出集合后可求.【詳解】，故，故選：B.2.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用復數(shù)的乘法可求.【詳解】，故選：D..圖是中國古代建筑中的舉架結構，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（）A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9【答案】D【解析】【分析】設，則可得關于的方程，求出其解后可得正確的選項.【詳解】設，則，依題意，有，且，所以，故，故選：D4.已知向量，若，則（）A. B. C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】利用向量的運算和向量的夾角的余弦公式的坐標形式化簡即可求得【詳解】解：,,即,解得,故選：C5.有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（）A.2種 B.24種 C.6種 D.48種【答案】B【解析】【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計數(shù)原理即可得解【詳解】因為丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學共有：種不同的排列方式，故選：B6.若，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡，結合同角三角函數(shù)的商數(shù)關系即可得解.【詳解】由已知得：,即：，即：,所以,故選：C7.已知正三棱臺的高為，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積．【詳解】設正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．故選：A．8.已知函數(shù)的定義域為R，且，則（）A. B. C.0 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)的一個周期為，求出函數(shù)一個周期中的的值，即可解出．【詳解】因為，令可得，，所以，令可得，，即，所以函數(shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個周期為．因為，，，，，所以一個周期內的．由于22除以6余4，所以．故選：A．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)的圖像關于點中心對稱，則（）A.在區(qū)間單調遞減B.在區(qū)間有兩個極值點C.直線是曲線的對稱軸D.直線是曲線的切線【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質逐個判斷各選項，即可解出．【詳解】由題意得：，所以，，即，又，所以時，，故．對A，當時，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調遞減；對B，當時，，由正弦函數(shù)圖象知只有個極值點，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點；對C，當時，，，直線不是對稱軸；對D，由得：，解得或,從而得：或,所以函數(shù)在點處的切線斜率為，切線方程為：即．故選：AD．0.已知O為坐標原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（）A.直線的斜率為 B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由及拋物線方程求得，再由斜率公式即可判斷A選項；表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得，即可求出判斷B選項；由拋物線的定義求出即可判斷C選項；由，求得，為鈍角即可判斷D選項.【詳解】

對于A，易得，由可得點在的垂直平分線上，則點橫坐標為，代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；對于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，設，則，則，代入拋物線得，解得，則，則，B錯誤；對于C，由拋物線定義知：，C正確；對于D，，則為鈍角，又，則為鈍角，又，則，D正確.故選：ACD.

.如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】直接由體積公式計算，連接交于點，連接，由計算出，依次判斷選項即可.【詳解】設，因為平面，，則，，連接交于點，連接，易得，又平面，平面，則，又，平面，則平面，又，過作于，易得四邊形為矩形，則，則，，，則，，，則，則，，，故A、B錯誤；C、D正確.故選：CD.2.若x，y滿足，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項的真假．【詳解】因為（R），由可變形為，，解得，當且僅當時，，當且僅當時，，所以A錯誤，B正確；由可變形為，解得，當且僅當時取等號，所以C正確；因為變形可得，設，所以，因此，所以當時滿足等式，但是不成立，所以D錯誤．故選：BC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分..已知隨機變量X服從正態(tài)分布，且，則____________．【答案】##．【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質即可解出．【詳解】因為，所以，因此．故答案為：．4.曲線過坐標原點的兩條切線的方程為____________，____________．【答案】①.②.【解析】【分析】分和兩種情況，當時設切點為，求出函數(shù)的導函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標原點求出，即可求出切線方程，當時同理可得；【詳解】解：因為，當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；5.設點，若直線關于對稱的直線與圓有公共點，則a的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】首先求出點關于對稱點的坐標，即可得到直線的方程，根據(jù)圓心到直線的距離小于等于半徑得到不等式，解得即可；【詳解】解：關于對稱的點的坐標為，在直線上，所以所在直線即為直線，所以直線為，即；圓，圓心，半徑，依題意圓心到直線的距離，即，解得，即；故答案為：6.已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點，且，則l的方程為___________．【答案】【解析】【分析】令中點為，設，，利用點差法得到，設直線，，，求出、的坐標，再根據(jù)求出、，即可得解；【詳解】解：令的中點為，因為，所以，設，，則，，所以，即所以，即，設直線，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直線，即；故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．7.已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．（）證明：；（2）求集合中元素個數(shù)．【答案】（）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（）設數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程組即可證出；（2）根據(jù)題意化簡可得，即可解出．【小問詳解】設數(shù)列的公差為，所以，，即可解得，，所以原命題得證．小問2詳解】由（）知，，所以，即，亦即，解得，所以滿足等式的解，故集合中的元素個數(shù)為．8.記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．（）求的面積；（2）若，求b．【答案】（）（2）【解析】【分析】（）先表示出，再由求得，結合余弦定理及平方關系求得，再由面積公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.【小問詳解】由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；【小問2詳解】由正弦定理得：，則，則，.9.在某地區(qū)進行流行病學調查，隨機調查了00位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：（）估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（2）估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；（）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總人口的.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.000）.【答案】（）歲；（2）；（）．【解析】【分析】（）根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對應區(qū)間的中點值的和即可求出；（2）設{一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，根據(jù)對立事件的概率公式即可解出；（）根據(jù)條件概率公式即可求出．【小問詳解】平均年齡（歲）．【小問2詳解】設{一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，所以．【小問詳解】設“任選一人年齡位于區(qū)間[40,50)”，“從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”，則由已知得：,則由條件概率公式可得從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，此人患這種疾病的概率為．20.如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點．（）證明：平面；（2）若，，，求二面角的正弦值．【答案】（）證明見解析（2）【解析】【分析】（）連接并延長交于點，連接、，根據(jù)三角形全等得到，再根據(jù)直角三角形的性質得到，即可得到為的中點從而得到，即可得證；（2）建立適當?shù)目臻g直角坐標系，利用空間向量法求出二面角的余弦的絕對值，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系計算可得.【小問詳解】證明：連接并延長交于點，連接、，因為是三棱錐的高，所以平面，平面，所以、，又，所以，即，所以，又，即，所以，，所以所以，即，所以為的中點，又為的中點，所以，又平面，平面，所以平面【小問2詳解】解：過點作，如圖建立平面直角坐標系，因為，，所以，又，所以，則，，所以，所以，，，，所以，則，，，設平面的法向量為，則，令，則，，所以；設平面的法向量為，則，令，則，，所以；所以.設二面角的大小為，則，所以，即二面角的正弦值為.2.已知雙曲線的右焦點為，漸近線方程為．（）求C的方程；（2）過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，點在C上，且．過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點M.從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立：①M在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.【答案】（）（2）見解析【解析】【分析】（）利用焦點坐標求得的值，利用漸近線方程求得的關系，進而利用的平方關系求得的值，得到雙曲線的方程；（2）先分析得到直線的斜率存在且不為零，設直線AB的斜率為k,M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等價分析得到；由直線和的斜率得到直線方程，結合雙曲線的方程，兩點間距離公式得到直線PQ的斜率，由②等價轉化為，由①在直線上等價于，然后選擇兩個作為已知條件一個作為結論，進行證明即可.【小問詳解】右焦點為，∴,∵漸近線方程為，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程為：；【小問2詳解】由已知得直線的斜率存在且不為零，直線的斜率不為零，若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線的斜率存在且不為零；若選①③推②，則為線段的中點，假若直線的斜率不存在，則由雙曲線的對稱性可知在軸上，即為焦點,此時由對稱性可知、關于軸對稱，與從而，已知不符；總之，直線的斜率存在且不為零.設直線的斜率為,直線方程為,則條件①在上，等價于；兩漸近線的方程合并為,聯(lián)立消去y并化簡整理得：設,線段中點為,則,設,則條件③等價于,移項并利用平方差公式整理得：，,即,即；由題意知直線的斜率為,直線的斜率為,∴由,∴,所以直線的斜率,直線,即,代入雙曲線的方程,即中，得：,解得的橫坐標：,同理：，∴∴,∴條件②等價于，綜上所述：條件①在上，等價于；條件②等價于；條件③等價于；選①②推③:由①②解得：,∴③成立；選①③推②：由①③解得：，，∴，∴②成立；選②③推①：由②③解得：，，∴，∴，∴①成立.22.已知函數(shù)．（）當時，討論的單調性；（2）當時，，求a的取值范圍；（）設，證明：．【答案】（）的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）（）見解析【解析】【分析】（）求出，討論其符號后可得的單調性.（2）設，求出，先討論時題設中的不等式不成立，再就結合放縮法討論符號，最后就結合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.（）由（2）可得對任意恒成立，從而可得對任意的恒成立，結合裂項相消法可證題設中的不等式.【小問詳解】當時，，則，當時，，當時，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.【小問2詳解】