數(shù)學(xué)-專項(xiàng)11 相似三角形中的“K”字型相似模型（原版）

專題11相似三角形中的“K”字型相似模型【模型展示】特點(diǎn)如圖，直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.結(jié)論CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.【模型證明】解決方案“三垂直”模型如圖，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，則△ABC∽△CDE.“一線三等角”模型如圖，∠B＝∠ACE＝∠D，則△ABC∽△CDE.特別地，連接AE，若C為BD的中點(diǎn)，則△ACE∽△ABC∽△CDE.【題型演練】一、單選題1．如圖，矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8，E是邊CD上一點(diǎn)，連接AE．折疊該紙片，使點(diǎn)A落在AE上的G點(diǎn)，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BF，點(diǎn)F在AD上．若DE=4，則AF的長(zhǎng)為（

）

A．

B．4

C．3

D．22．如圖，邊長(zhǎng)為10的等邊中，點(diǎn)在邊上，且，將含30°角的直角三角板（）繞直角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，、分別交邊、于、．連接，當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)為（

）A．6 B． C．10 D．3．如圖，在矩形ABCD中，CD＝4，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，tan∠AEB，P是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，沿過點(diǎn)P的直線將矩形折疊，使點(diǎn)D落在AE上的點(diǎn)處，當(dāng)是直角三角形時(shí)，PD的值為（）A．或 B．或 C．或 D．或4．如圖，在矩形中，，，、、、分別為矩形邊上的點(diǎn)，過矩形的中心，且．為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則四邊形的周長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．5．如圖，E、F、G、H分別為矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，連接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝，則下列結(jié)論：①∠DGA=∠CGF；②△DAG∽△CGF；③AB=2；④BE=CF．正確的個(gè)數(shù)是（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)6．如圖，在中，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿著射線的方向以每秒1cm的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿著射線的方向以每秒2cm的速度移動(dòng)．已知點(diǎn)和點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．連接．下列結(jié)論正確的有（）個(gè)①；②當(dāng)時(shí)，；③以點(diǎn)為圓心、為半徑畫，當(dāng)時(shí)，與相切；④當(dāng)時(shí)，．A． B． C． D．

二、填空題7．如圖，正方形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，為上一點(diǎn)，，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)是______．8．如圖，在矩形中，，，是邊上一點(diǎn)，連接，將沿折疊使點(diǎn)落在點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．若是以為腰的等腰三角形，則的長(zhǎng)為________．9．如圖，為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，，將沿直線DE翻折得到，當(dāng)點(diǎn)F落在邊BC上，且時(shí)，的值為______．三、解答題10．如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，EF⊥EC交AB于F，延長(zhǎng)FE與直線CD相交于點(diǎn)G，連接FC（AB＞AE）．

(1)求證：△AEF∽△DCE；(2)△AEF與△ECF是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請(qǐng)說明理由；(3)設(shè)，是否存在這樣的k值，使得△AEF與△BFC相似？若存在，證明你的結(jié)論并求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．11．（1）問題如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求證：．（2）探究若將90°角改為銳角或鈍角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說明理由．（3）應(yīng)用如圖3，在中，，，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰．點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上，且，若，求CD的長(zhǎng)．12．【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．易證．（不需要證明）【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．若，，，求AP的長(zhǎng)．

【拓展】如圖③，在中，，，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)CP，作，PE與邊BC交于點(diǎn)E，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直接寫出AP的長(zhǎng)．13．如圖，在矩形中，是上一點(diǎn)，于點(diǎn)，設(shè)．（1）若，求證：；（2）若，且在同一直線上時(shí)，求的值．14．如圖，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，點(diǎn)E是邊BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），AE的垂線AF交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，點(diǎn)G在線段EF上，滿足FG∶GE＝1∶2，設(shè)BE＝x．（1）求證：；（2）當(dāng)點(diǎn)G在△ADF的內(nèi)部時(shí)，用x的代數(shù)式表示∠ADG的余切；（3）當(dāng)∠FGD＝∠AFE時(shí)，求線段BE的長(zhǎng)．15．如圖，已知四邊形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC邊上的一點(diǎn)，∠APD＝90°．

（1）求證：；（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的長(zhǎng)．16．如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是矩形，C，F(xiàn)，G三點(diǎn)在一直線上，連接AF并延長(zhǎng)交邊CD于點(diǎn)M，若∠AFG＝∠ACD．（1）求證：①△MFC∽△MCA；②若AB＝5，AC＝8，求的值．（2）若DM＝CM＝2，AD＝3，請(qǐng)直接寫出EF長(zhǎng)．17．如圖，在正方形中，點(diǎn)在上，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）連結(jié)，若，試確定點(diǎn)的位置并說明理由．18．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)等于，P是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，∠APB、∠APC的角平分線PE、PF分別交AB、CD于E、F兩點(diǎn)，連接EF．（1）求證：△BEP∽△CPF；（2）當(dāng)∠PAB＝30°時(shí)，求△PEF的面積．

19．如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），連接PB，過點(diǎn)P作，交射線DC于點(diǎn)E，已知，．設(shè)AP的長(zhǎng)為x．(1)___________；當(dāng)時(shí)，_________；(2)試探究：否是定值?若是，請(qǐng)求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說明理由；(3)當(dāng)是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)求出的值．20．【推理】如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD上一動(dòng)點(diǎn)，將正方形沿著BE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，連結(jié)BE，CF，延長(zhǎng)CF交AD于點(diǎn)G．（1）求證：．【運(yùn)用】（2）如圖2，在【推理】條件下，延長(zhǎng)BF交AD于點(diǎn)H．若，，求線段DE的長(zhǎng)．【拓展】（3）將正方形改成矩形，同樣沿著BE折疊，連結(jié)CF，延長(zhǎng)CF，BF交直線AD于G，兩點(diǎn)，若，，求的值（用含k的代數(shù)式表示）．

21．在矩形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，將沿折疊，使點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處．（1）如圖1，若，求的值；（2）如圖2，在線段上取一點(diǎn)，使平分，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，若，求的值．22．問題提出（1）如圖1，在矩形中，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F在上，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)G．若，則的面積為_________．問題探究（2）如圖2，在矩形中，，點(diǎn)P是邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是的中點(diǎn)將．沿著折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是，將沿著折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是．請(qǐng)問是否存在這樣的點(diǎn)P，使得點(diǎn)P、、在同一條直線上？若存在，求出此時(shí)的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由．

問題解決（3）某精密儀器廠接到生產(chǎn)一種特殊四邊形金屬部件的任務(wù)，部件要求：如圖3，在四邊形中，，點(diǎn)D到的距離