數(shù)學(xué)-專題02 整式乘除法的五種求值題型全攻略（帶答案）

專題02整式乘除法的五種求值題型全攻略【知識(shí)點(diǎn)梳理】整式乘法1、單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式:單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。2、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式:根據(jù)乘法分配律，用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。3、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式:先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。整式除法1、單項(xiàng)式除單項(xiàng)式：（1）將它們的系數(shù)相除作為上的系數(shù)；（2）對(duì)于被除式和除式中都含有的字母，按同底冪的除法分別相除，作為商的因式；（3）被除式中獨(dú)有的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的因式。2、多項(xiàng)式除單項(xiàng)式：多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式，然后再把所得的商相加。類型一、“不含某一項(xiàng)”求參例、已知將（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）乘開的結(jié)果不含x2項(xiàng)，并且x3的系數(shù)為2．則m+n＝_____．【答案】-8【詳解】（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）＝x5﹣3x4+4x3+mx3﹣3mx2+4mx+nx2﹣3nx+4n＝x5﹣3x4+（4+m）x3+（﹣3m+n）x2+(4m﹣3n)x+4n，∵結(jié)果不含x2項(xiàng)，并且x3的系數(shù)為2，∴﹣3m+n＝0，4+m＝2，∴m＝﹣2，n＝﹣6，∴m+n＝﹣2﹣6＝﹣8，

故答案為：﹣8【變式訓(xùn)練1】若多項(xiàng)式x2＋2mx﹣1與x2﹣2x＋n的乘積中不含x2和x3項(xiàng)，則m2﹣mn＋n2＝_____．【答案】【詳解】解：（x2＋2mx﹣1）（x2﹣2x＋n）＝x4﹣2x3＋nx2＋2mx3﹣4mx2＋2mnx﹣x2＋2x﹣n＝x4＋（﹣2＋2m）x3＋（n﹣4m﹣1）x2＋（2mn＋2）x﹣n，∵多項(xiàng)式x2＋2mx﹣1與x2﹣2x＋n的乘積中不含x2和x3項(xiàng)，∴﹣2＋2m＝0，n﹣4m﹣1＝0，解得：m＝1，n＝5，∴m2﹣mn＋n2＝12﹣1×5＋×52＝，故答案為：．【變式訓(xùn)練2】若的積中不含項(xiàng)與項(xiàng)．(1)求、的值；(2)求代數(shù)式的值．【答案】(1)，；(2)【詳解】（1）解：的積中不含項(xiàng)與項(xiàng)，解得，；（2）解：，，，

．【變式訓(xùn)練3】若（x2＋3mx﹣）（x2﹣3x＋n）的積中不含x和x3項(xiàng)，（1）求m2﹣mn＋n2的值；（2）求代數(shù)式（﹣18m2n）2＋（9mn）﹣2＋（3m）2014n2016的值．【答案】（1）；（2）36【詳解】（x2＋3mx﹣）（x2﹣3x＋n）＝x4＋nx2＋（3m﹣3）x3﹣9mx2＋（3mn＋1）x﹣x2﹣n，由積中不含x和x3項(xiàng)，得到3m﹣3＝0，3mn＋1＝0，解得：m＝1，n＝﹣，（1）原式＝（m﹣n）2＝（）2＝；（2）原式＝324m4n2＋＋（3mn）2014?n2＝324×14×（-）2++[3×1×（-）]2014?（-）2=36＋＋＝36．【變式訓(xùn)練4】已知將展開的結(jié)果不含和項(xiàng)，（m、n為常數(shù)）（1）求m、n的值；（2）在（1）的條件下，求的值．（先化簡，再求值）【答案】（1）；（2），-1792

【詳解】解：（1），，由題意得：，解得：；（2），當(dāng)，時(shí)，原式類型二、特殊值法求值例1、已知，則（）A．1 B．－1 C．2 D．0【答案】B【解析】將代入得：，∴．故選：B．【變式訓(xùn)練1】（1）已知：則的值是_____（2）如果記那么_____（3）若則x=_____（4）若則_____【答案】（1）2001（2）（3）（4）﹣120【解析】（1）由題意得：；∴======2001設(shè)，

則；∴，即∴原式=（3）=?==192∴∴∴（4）當(dāng)x=1時(shí)，1=……①當(dāng)x=﹣1時(shí)，=……②當(dāng)x=0時(shí)，1=①＋②==即=∴=＋1=﹣120【變式訓(xùn)練2】小東在學(xué)習(xí)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式時(shí)發(fā)現(xiàn)：的結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式，并且最高次項(xiàng)為：，常數(shù)項(xiàng)為：，那么一次項(xiàng)是多少呢？要解決這個(gè)問題，就是要確定該一次項(xiàng)的系數(shù)．根據(jù)嘗試和總結(jié)，他發(fā)現(xiàn)：一次項(xiàng)系數(shù)就是：，即一次項(xiàng)為．請(qǐng)你認(rèn)真領(lǐng)會(huì)小東解決問題的思路、方法，仔細(xì)分析上面等式的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合自己對(duì)多項(xiàng)式乘法法則的理解，解決以下問題，(1)計(jì)算所得多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)為___________；(2)若計(jì)算所得多項(xiàng)式不含一次項(xiàng)，求a的值；(3)若，則___________．【答案】(1)；(2)；(3)2023【詳解】（1）解：，∴所得多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)為，故答案為：（2）解：由題意得，的一次項(xiàng)系數(shù)為：，

∵計(jì)算所得多項(xiàng)式不含一次項(xiàng)，∴，∴；（3）解：∵表示2023個(gè)相乘，幾個(gè)多項(xiàng)式乘積的一次項(xiàng)系數(shù)為多項(xiàng)式中的一次項(xiàng)系數(shù)與其他多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)的積的和，∴的結(jié)果的一次項(xiàng)系數(shù)為2023個(gè)（一共2023個(gè)1），∴的結(jié)果的一次項(xiàng)系數(shù)為2023，∴，故答案為：2023．【變式訓(xùn)練3】我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖），此圖揭示了（為非負(fù)整數(shù)）展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的相關(guān)規(guī)律．例如：，它只有一項(xiàng)，系數(shù)為；，它有兩項(xiàng)，系數(shù)分別為，，系數(shù)和為；，它有三項(xiàng)，系數(shù)分別為，，，系數(shù)和為；根據(jù)以上規(guī)律，解答下列問題：(1)展開式共有______項(xiàng)，系數(shù)和為______．(2)求的展開式；(3)利用表中規(guī)律計(jì)算：（不用表中規(guī)律計(jì)算不給分）；(4)設(shè)，則的值為______．【答案】(1)，(2)(3)(4)【詳解】（1）解：根據(jù)圖表中的規(guī)律，可得：展開式共有項(xiàng)，系數(shù)和為，故答案為：，；

（2）；（3）根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)的規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)：，；（4），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，的值為．故答案為：．類型三、整體代入法求值例1、若a+b＝﹣3，ab＝1，則（a+1）（b+1）（a﹣1）（b﹣1）＝_____．【答案】-5【詳解】解：∵a+b=-3，ab=1，∴（a+1）（b+1）（a-1）（b-1）=[（a+1）（b+1）][（a-1）（b-1）]=（ab+a+b+1）（ab-a-b+1）=（1-3+1）×（1+3+1）=-1×5=-5．故答案為：-5．【變式訓(xùn)練1】計(jì)算的結(jié)果是（

）

A．2023 B．2022 C．2021 D．2020【答案】A【詳解】解：設(shè)，，則，，．故選：A．【變式訓(xùn)練2】（1）已知2x2＋6x＝3，求代數(shù)式x（x＋1）（x＋2）（x＋3）的值；（2）如果多項(xiàng)式4x2＋kx－7被4x＋3除后余2，求k的值．【答案】（1）；（2）-9【詳解】（1）由2x2＋6x＝3，得∴x（x＋1）（x＋2）（x＋3）=；（2）∵多項(xiàng)式4x2＋kx－7是二次多項(xiàng)式，除式4x+3是一次多項(xiàng)式∴多項(xiàng)式4x2＋kx－7被4x＋3除，則商應(yīng)為一次多項(xiàng)式∵多項(xiàng)式4x2＋kx－7的二次項(xiàng)系數(shù)為4∴商的一次項(xiàng)系數(shù)為1∵多項(xiàng)式4x2＋kx－7的常數(shù)項(xiàng)為-7，余數(shù)為2

∴商的常數(shù)項(xiàng)為-3∴商為∴4x2＋kx－7=，∴k=-9【變式訓(xùn)練3】已知2a2+a-6=0，求代數(shù)式(3a+2)(3a-2)-(5a3-2a2)÷a的值．【答案】8【詳解】解：，，；∵，∴，∴．類型四、規(guī)律性問題例1、我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝用三角形解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律，稱之為“楊輝三角”．這個(gè)三角形給出了（n＝1，2，3，4，…）的展開式的系數(shù)規(guī)律（按a的次數(shù)由大到小的順序）：11＝a+b121＝1331＝14641＝請(qǐng)根據(jù)上述規(guī)律，寫出的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是（

）A．2021 B．4042 C．2043231 D．2019【答案】B【詳解】解：展開式中含項(xiàng)的系數(shù)，由：＝…，可知，展開式中第二項(xiàng)為，∴的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是4042．故選：B．【變式訓(xùn)練1】大家一定熟知楊輝三角（Ⅰ）,它可以解釋二項(xiàng)式和的乘方規(guī)律，觀察下列等式（Ⅱ）

根據(jù)前面各式規(guī)律，則的展開式是_________．【答案】【詳解】解：，故答案為：．【變式訓(xùn)練2】請(qǐng)同學(xué)觀察、計(jì)算、思考完成下列問題：計(jì)算：（1）______；（2）______；（3）______；猜想并驗(yàn)證：（4）______；思考：（5）求的值．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【詳解】解：（1），故答案為：；（2）

，故答案為：；（3），故答案為：；（4），故答案為：；（5）．【變式訓(xùn)練3】觀察下列各式：(1)根據(jù)以上規(guī)律，則___________．(2)你能否由此歸納出一般規(guī)律___________．(3)根據(jù)以上規(guī)律求的值．【答案】(1)；(2)；(3)【詳解】（1）∵，，，

∴；故答案是：．（2）根據(jù)題意得：；故答案是：；（3）∵，∴．類型五、整式乘除與幾何綜合問題例、閱讀下列文字：我們知道，對(duì)于一個(gè)圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．例如由圖1可以得到．請(qǐng)解答下列問題：(1)用兩種不同的方法列代數(shù)式表示圖2中的大正方形面積：方法一：____________；方法二：____________．(2)寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式：____________．(3)利用（2）中所得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知求的值．【答案】(1)；(2)=(3)【詳解】（1）方法一：

故答案為：方法二：

故答案為：（2）因?yàn)榉椒ㄒ缓头椒ǘ硎就粋€(gè)長方形的面積，因此可=故答案為：=（3）根據(jù)（2）中所的結(jié)論=得=把代入得

解得【變式訓(xùn)練1】閱讀下列文字：我們知道，對(duì)于一個(gè)圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)等式．例如，由圖1可以得到．請(qǐng)解答下列問題：(1)寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式；(2)利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知，，求的值；(3)圖3中給出了若干個(gè)邊長為和邊長為的小正方形紙片及若干個(gè)邊長分別為，的長方形紙片．請(qǐng)利用所給的紙片拼出一個(gè)幾何圖形，使得用兩種不同的方法計(jì)算它的面積時(shí)，能夠得到關(guān)于的數(shù)學(xué)等式.【答案】(1)(2)(3)見解析

【詳解】（1）根據(jù)題意，大矩形的面積為：，各小矩形部分的面積之和，∴等式為，故答案為：．（2）∵∵，∴．（3）∵如圖所示：【變式訓(xùn)練2】在數(shù)學(xué)中，根據(jù)幾何圖形的面積關(guān)系可以形象直觀地表示多項(xiàng)式的乘法．例如：可以用圖（1）表示．(1)根據(jù)圖（2），寫出一個(gè)與多項(xiàng)式乘法有關(guān)的等式_________________________________；

(2)有足夠多的兩種正方形卡片（①號(hào)、②號(hào)）和一種長方形卡片（③號(hào)），如圖（3），現(xiàn)選?、偬?hào)、②號(hào)、③號(hào)卡片分別為1張、2張、3張，拼成一個(gè)長方形（不重疊無縫隙），請(qǐng)畫出這個(gè)圖形的草圖，并寫出計(jì)算它的面積能得到的數(shù)學(xué)等式．【答案】(1)(2)圖見解析，【詳解】（1）根據(jù)圖（1）的面積可以表示為或，∴，故答案為：（2）解：依題意，如圖，現(xiàn)選取①號(hào)、②號(hào)、③號(hào)卡片分別為1張、2張、3張，拼成一個(gè)長方形∴．【變式訓(xùn)練3】數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，利用圖中邊長分別為、的兩個(gè)正方形紙片和長為、寬為的長方形紙片，可以拼出一些圖形來解釋某些等式，如，由圖可得．則：(1)由圖可以解釋的等式是____________；(2)用張邊長為的正方形紙片，張長為、寬為的長方形紙片，張邊長為

的正方形紙片拼成一個(gè)大正方形，求這個(gè)大正方形的邊長；(3)用張長為，寬為的長方形紙片按照?qǐng)D方式不重疊地放在大長方形內(nèi)，大長方形中未被覆蓋的兩個(gè)部分的面積設(shè)為、，的長設(shè)為．①請(qǐng)用含的代數(shù)式表示：；②若無論取任何實(shí)數(shù)時(shí)，①的結(jié)果始終保持不變，請(qǐng)直接寫出與滿足的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)(3)①；②【詳解】（1）解：大長方形的面積為：，兩個(gè)小正方形（邊長為），一個(gè)大正方形（邊長為），三個(gè)長方形（長為、寬為）的面積和為：，∵面積相等，∴，故答案為：．（2）解：張邊長為的正方形紙片的面積為：，張長為、寬為的長方形紙片的面積為，張邊長為的正方形紙片的面積為：，∴拼成一個(gè)大正方形的面積為：，∴大正方形的邊長為：，∵，，∴，∴，∴大正方形的邊長為．（3）解：①根據(jù)題意得，的長設(shè)為，∴，，∴，∴；②無論取任何實(shí)數(shù)時(shí)，①的結(jié)果始終保持不變，∴中含項(xiàng)的系數(shù)為零，∴，即，∴．

【變式訓(xùn)練4】七年級(jí)學(xué)習(xí)代數(shù)式求值時(shí)，遇到這樣一類題“代數(shù)式的值與x的取值無關(guān)，求a的值”，通常的解題方法是：把x、y看作字母，a看作系數(shù)合并同類項(xiàng)，因?yàn)榇鷶?shù)式的值與x的取值無關(guān)，所以含x項(xiàng)的系數(shù)為0，即原式