信號與系統(tǒng)課件：連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析

連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析3.1周期信號的描述3.2周期信號的傅里葉級數(shù)分析3.3周期信號的頻譜和功率譜3.4非周期信號的頻譜3.5典型信號的傅里葉變換3.6傅里葉變換的性質(zhì)3.7周期信號的傅里葉變換3.8能量譜密度與功率譜密度3.9連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析3.10信號的無失真?zhèn)鬏敽屠硐氲屯V波器3.11取樣定理習(xí)題3

第2章講述連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的時域分析時，是以沖激函數(shù)為基本信號，將任意輸入信號表示為沖激分量的連續(xù)和，并利用輸入信號與沖激響應(yīng)的卷積來求取系統(tǒng)的零狀態(tài)

響應(yīng)。本章將以正弦函數(shù)(余弦函數(shù)亦統(tǒng)稱為正弦函數(shù))或虛指函數(shù)ejωt為基本信號，將任意連續(xù)信號分成一系列不同頻率的正弦信號或虛指函數(shù)信號線性組合，并加分析。對周期

信號的分解工具是傅里葉級數(shù)，對非周期信號的分解工具是傅里葉變換。利用信號的正弦分解思想，系統(tǒng)的響應(yīng)可看做各不同頻率正弦信號產(chǎn)生響應(yīng)的疊加，這種思想將時域映射

到頻域，揭示了信號內(nèi)在的頻率特性以及信號時間特性與頻率特性之間的密切關(guān)系。在這種分析方式中，在連續(xù)信號與系統(tǒng)分析中所用的獨立變量是頻率，故稱為頻域分析。

本章首先介紹傅里葉級數(shù)和傅里葉變換，討論連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析法，然后研究連續(xù)系統(tǒng)頻率響應(yīng)特性，得到信號頻譜、系統(tǒng)帶寬、無失真?zhèn)鬏敽屠硐霝V波器的重要概念，最

后還介紹了在通信信息等領(lǐng)域占有十分重要地位的取樣定理。

3.1周期信號的描述

兩個周期信號相加得到的信號可能仍然是周期信號，也可能不是周期信號，這取決于兩個周期信號的周期T

1

和T2

相除是否為有理數(shù)。即

此時，相加后的周期信號周期T為這兩個周期T

1和T2之間的最小公倍數(shù)，即該最小數(shù)T

能同時被T

1

和T2整除。不滿足此條件，則相加后的信號不再是周期信號。

3.2周期信號的傅里葉級數(shù)分析

周期信號可用傅里葉級數(shù)表示，即周期信號可分解為無窮多個不同幅度和相位、基波整數(shù)倍頻率的正弦信號之和。也可由歐拉公式，將任意周期信號分解成一系列虛指數(shù)函數(shù)之和。這就是周期信號的傅里葉級數(shù)。

3.2.1三角函數(shù)型傅里葉級數(shù)

以T為周期的周期信號

f(t)，若滿足下列狄里赫勒條件(實際中遇到的所有周期信號都符合該條件):

(1)在一個周期內(nèi)只有有限個不連續(xù)點;

(2)在一個周期內(nèi)只有有限個極大值點和極小值點;

(3)f(t)在一個周期內(nèi)絕對可積，即

由級數(shù)理論可知，傅里葉系數(shù)分別為

由式(3.2－3)可知，

an是n的偶函數(shù)，即

bn

是n的奇函數(shù)，即

利用信號波形的對稱性，可以方便地求取傅里葉級數(shù)的系數(shù)。

(1)f(t)為偶函數(shù)，即f(t)=f

(-t)，則傅里葉級數(shù)展開式(3.2－2)中無正弦項，即

bn=0;

(2)f(t)為奇函數(shù)，即f(t)=-f

(-t)，則傅里葉級數(shù)展開式(3.2－2)中無常數(shù)項和余弦項，即a０=0，

an=0;

(3)f(t)為偶諧函數(shù)，即f(t

)

)的前半周期波形平移T/2后，與后半周期波形完全重疊，這種函數(shù)又稱為半波重疊函數(shù)。則傅里葉級數(shù)展開式(3.2－2)中無奇次諧波項，即a2k+1=0，

b2k+1=0;

(4)f(t)為奇諧函數(shù)，即f(t

)

)的前半周期波形平移T/2后，與后半周期波形對稱于橫軸，這種函數(shù)又稱為半波對稱函數(shù)。則傅里葉級數(shù)展開式(3.2－2)中無常數(shù)項和偶次諧波項，a0

=0，

a2k=0，

b2k=0。

如果將式(3.2－2)中同頻率項加以合并，可以寫成另一種簡潔形式:

兩種表達式中的系數(shù)的關(guān)系為

由式(3.2－5)可知，

An

是n

的偶函數(shù);φn是n的奇函數(shù)。

也可由式(3.2－4)得到式(3.2－2)，系數(shù)的關(guān)系為

式(3.2－4)表明，任意周期信號可以分解為直流和許多余弦分量之和。A0

為周期信號的平均值，它是周期信號中所包含的直流分量，即零頻率分量。當n=1時，式中的第二項A1cos(nω0t+φ1)稱為一次諧波分量或基波，它與原始周期信號的頻率相同，

A1

稱為基波振幅，φ1稱為基波初相;當n=2時，式中的第三項A2cos(nω0t+φ2)稱為二次諧波分量，以此類推，便有三次諧波分量，四次諧波分量等，各次諧波的頻率是基波的整數(shù)倍。

【例3.2－1】求如圖3.2－1所示周期方波信號f(t)的傅里葉級數(shù)。圖3.2－1周期矩形波

3.2.2指數(shù)型傅里葉級數(shù)

因為An是n

的偶函數(shù)，即An=A-n;φn

是n的奇函數(shù)，即φn=-φ-n，將上式第三項中的n用-n替換，得

式(3.2－7)就是指數(shù)型傅里葉級數(shù)，其中Fn

稱為指數(shù)型傅里葉級數(shù)的復(fù)系數(shù)，它可以表示為

即

從而可得

【例3.2－2】周期矩形脈沖信號f(t)如圖3.2－2所示，試將其展開為指數(shù)型傅里葉級數(shù)。設(shè)脈沖幅度為A，寬度為τ，重復(fù)周期為T。圖3.2－2周期矩形脈沖信號

解由圖3.2－2可寫出信號在一個周期內(nèi)的表達式為

由式(3.2－8)，可得

可將上式整理得

圖3.2－3取樣函數(shù)

3.3周期信號的頻譜和功率譜

由上節(jié)內(nèi)容可知，當周期信號分解成傅里葉級數(shù)后，得到的是直流分量和無窮多正弦分量的和，從而可在頻域內(nèi)方便地分析信號的特征。為了直觀地反映周期信號中各頻率分量的分布情形，可將其各頻率分量的振幅和相位隨頻率變化的關(guān)系用圖形表示出來，這就是信號的“頻譜圖”。頻譜圖包括振幅頻譜和相位頻譜，前者表示諧波分量的振幅隨頻率變化的關(guān)系;后者表示諧波分量的相位隨頻率變化的關(guān)系。習(xí)慣上常將振幅頻譜簡稱為頻譜。

若某周期信號傅里葉級數(shù)為圖3.3－1周期信號頻譜

【例3.3－1】試畫出圖3.2－1所示的周期方波信號的單邊頻譜和雙邊頻譜。

解

可將其信號的三角型傅里葉級數(shù)表示為

各次諧波的振幅和相位分別為

由此可以在各頻率點上畫出該信號的單邊振幅頻譜和相位頻譜，如圖3.3－2所示。

由單邊頻譜和雙邊頻譜的關(guān)系，可得f

(t

)的雙邊頻譜如圖3.3－3所示。圖3.3－3周期方波信號的單邊頻譜

【例3.3－2】已知信號f(t)=2-6cos(24πt)+8cos(40πt)+2sin(56πt)，試畫出f

(t)的單邊頻譜和雙邊頻譜。

解

由題意和傅里葉級數(shù)公式

因此，諧波角頻率ω0=12π，幅度A0=2，

A1=6，

A2=8，

A3=0，

A4=2，相位φ1

=-180°，

φ2

=0°，

φ3=0°，

φ4=90°。于是f(t)的單邊頻譜如圖3.34所示。圖3.3－4信號f(t)的單邊譜

由單邊頻譜和雙邊頻譜的關(guān)系，可得f(t

)的雙邊頻譜如圖3.3－5所示。圖3.3－5信號f(t)的雙邊譜圖3.3－6周期矩形脈沖的頻譜圖

接下來討論周期矩形脈沖信號的周期T和脈沖寬度τ與頻譜的關(guān)系。

由式(3.2－12)和式(3.3－1)可見，當信號的周期T不變，而將脈寬τ減小時，頻譜的幅度隨之減小，頻譜包絡(luò)線的過零點頻率增高，頻率分量增多，頻譜的收斂速度減慢。由于周期T不變，所以相鄰譜線的間隔不變。圖3.37中可以看到T不變，

τ分別等于T/2，T/4和T/8時，信號的頻譜，這里只畫出了正頻率的部分。圖3.3－7脈沖寬度變化的頻譜圖

當信號的脈寬τ不變，而將周期T增大時，頻譜的幅度隨之減小，相鄰譜線的間隔減小，譜線變密，周期越大，譜線越密。當周期T→∞時，相鄰譜線的間隔ω0

趨于無窮小，

離散譜變?yōu)檫B續(xù)譜。由于脈寬τ不變，所以頻譜包絡(luò)線的過零點頻率不變，當周期T變化時，信號頻譜的包絡(luò)線形狀始終不變。圖3.3－8中可以看到τ不變，

T分別等于2τ、4τ和8τ時信號的頻譜。圖3.3－8周期變化的頻譜圖

從頻譜圖上可以看到，信號的能量主要集中在0~2π/τ這個頻率范圍，所以把這個頻段定義為周期矩形脈沖信號的有效帶寬，或稱為“頻帶寬度”，簡稱“帶寬”，記作

式(3.3－2)表明，信號的帶寬與脈沖寬度成反比，信號持續(xù)的時間越長，其帶寬越窄；信號脈寬越窄，其帶寬越大。這個結(jié)論不僅對于周期矩形脈沖成立，對一般的信號也成立，是一個很重要的概念。

從上面的例子可以看出周期信號的頻譜有如下特點:

(1)離散性：頻譜圖由頻率離散的譜線組成，每根譜線代表一個諧波分量，這種頻譜稱為離散頻譜。

(2)諧波性：各譜線只會出現(xiàn)在nω0

處，即基波頻率的整數(shù)倍位置。

(3)收斂性：譜線的幅度隨著諧波次數(shù)的增高而逐漸減小。

3.3.2周期信號的平均功率和功率譜

周期信號屬于功率信號。周期信號f

(t

)在1Ω電阻上電壓或者電流，其消耗的平均功率稱為歸一化平均功率，定義為

式中，

T為周期信號的周期。

因周期信號的指數(shù)型傅里葉級數(shù)

可將式(3.3－3)可表示為

由于

利用傅里葉系數(shù)之間的關(guān)系，式(3.3－5a)也可以寫成

式(3.3－5a)稱為帕什瓦爾(Parseval)定理，也稱功率等式。它表明頻域功率只與幅度譜有關(guān)，而與相位譜無關(guān)?？梢钥吹?，周期信號的平均功率不僅可以在時域中求取，還可以在頻域中確定。

3.4非周期信號的頻譜

前面我們介紹了周期信號作為復(fù)指數(shù)信號線性組合的表示，討論了周期信號的頻譜。下面我們將把這些概念推廣應(yīng)用到非周期信號中，將會討論非周期信號能否分解為復(fù)指數(shù)信號的線性組合，以及如何進行分解。

3.4.1從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換

對于周期信號fT

(t)，有如下一對關(guān)系

Fn是離散值nω0

的函數(shù)，可以表示為

F(ω)是f(t)的頻譜密度函數(shù)，稱為頻譜函數(shù)，

f(t)是F(ω)的原函數(shù)。頻譜函數(shù)F(ω)一般為ω

的復(fù)函數(shù)，可寫成F(ω)=|F(ω)|ejφ(ω)。F

(ω)隨ω變化的規(guī)律即是非周期信號的頻譜，把|F(ω)

|~ω的關(guān)系稱為非周期信號的幅度頻譜，

φ(ω)~ω的關(guān)系稱為非周期信號的相位譜，它們都是頻率ω

的連續(xù)函數(shù)。

3.4.2頻譜函數(shù)F(ω)的物理意義及其特性

周期信號的指數(shù)型傅里葉級數(shù)表明，周期信號可以分解為無限多個頻率為nω0

、復(fù)振幅為Fn的指數(shù)分量ejnω0t的離散和；而非周期信號的傅里葉積分則表明非周期信號可以分解為無限多個頻率為ω

的指數(shù)分量ejωt

的連續(xù)和(積分)。這樣，周期信號的分解就推廣到非周期信號。

由式(3.4－3)可見F(ω)相當于單位頻率占有的幅度，具有密度的意義，所以常把F

(ω)稱為頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜函數(shù)。由周期信號的頻譜分析可知，信號在時域中是連

續(xù)周期的，其頻譜在頻域中是離散的，非周期的;從傅里葉變換定義可知，信號在時域中是連續(xù)非周期的，其頻譜在頻域中也是連續(xù)非周期的。

(5)非周期信號f(t)的頻譜函數(shù)F(ω)與對應(yīng)的周期信號fT

(t)的傅里葉復(fù)系數(shù)Fn的關(guān)系為式(3.4－3)，可以表示為

應(yīng)用此關(guān)系，可以方便地從非周期信號的F(ω)求得周期信號的Fn。

3.4.3傅里葉變換的存在性

雖然在導(dǎo)出傅里葉變換對時，假設(shè)f(t)是任意的，但將非周期信號的頻譜表示為傅里葉積分，要求式(3.4－5)的積分必須存在，因此f(t)應(yīng)滿足類似于傅里葉級數(shù)的狄里赫利

條件，不同的只是時間范圍不再是一個周期內(nèi)，即滿足

(1)在任何有限區(qū)間內(nèi)，f(t)只有有限個最大值和最小值;

(2)在任何有限區(qū)間內(nèi)，f(t)有有限個不連續(xù)點，并且在每個不連續(xù)點都必須是有限值;

(3)f(t)在無限區(qū)間(-∞，∞)內(nèi)絕對可積，即

由式(3.4－5)可得

若f(t)滿足無限內(nèi)絕對可積，則F(ω)必然有界。這組條件給出了一個信號存在傅里葉變換的充分條件，而不是必要條件。但是，如果在頻域內(nèi)引入廣義函數(shù)后，對于并不滿足絕對可積條件的功率信號，甚至某些非功非能信號，其F(ω)也存在，且有確定的表達式，這給信號的頻域分析與系統(tǒng)的頻域分析帶來很大的方便。但這種情況下不能用式

(3.4－5)求取傅里葉變換，只能采用別的方法求F(ω)，例如根據(jù)傅里葉變換的性質(zhì)求取等。

3.5典型信號的傅里葉變換

1.沖激信號由定義式(3.4－5)，并根據(jù)δ(t)的抽樣性質(zhì)，可以直接得即有

因此，沖激信號的頻譜是均勻譜，如圖3.5－1所示。圖3.5－1沖激信號δ(t)及其頻譜

2.單邊實指數(shù)信號

設(shè)單邊實指數(shù)信號為

其傅里葉變換為

即

其幅度頻譜為

相位頻譜為

其圖形如圖3.5－2所示。

3.門函數(shù)

幅度為A，寬度為τ的單個矩形脈沖常稱為門函數(shù)，記為Agτ(t)，它可表示為

其傅里葉變換為圖3.5－3門函數(shù)及其頻譜

4.符號函數(shù)

符號函數(shù)定義為

由于符號函數(shù)不滿足絕對可積條件，可把它視為雙邊指數(shù)函數(shù)當α→0時的極限，即

即圖3.5－4符號函數(shù)及其頻譜

5.直流信號

設(shè)f(t)=1，根據(jù)傅里葉變換定義，且δ(t)為t的偶函數(shù)，則δ(t)可表示為

將上式中ω換為t，t換為ω，有

上式表明單位直流信號的傅里葉變換為2πδ(ω)，即

從而可得

它們的圖形如圖3.5－5所示。它表明，直流僅由ω=0的分量組成。圖3.5－5直流信號及其頻譜

6.單位階躍信號

單位階躍函數(shù)可以用直流信號和符號函數(shù)表示為

由于

從而有

它們的圖形如圖3.5－6所示。

圖3.5－6單位階躍信號及其頻譜

7.三角脈沖

三角脈沖信號可表示為

根據(jù)定義式(3.45)，可得

即

其圖形如圖3.5－7所示。圖3.5－7單位階躍信號及其頻譜

8.雙邊實指數(shù)信號

雙邊實指數(shù)信號表示為

其傅里葉變換為

故圖3.5－8雙邊實指數(shù)信號及其頻譜

從上面的幾個非周期信號的傅里葉變換結(jié)果可知:

(1)某些信號雖不滿足絕對可積，不能用定義式求傅里葉變換，但可以采用取極限等方法等到F(ω);

(2)非周期信號的頻譜是連續(xù)的;

(3)若信號在時域中脈寬有限，則在頻域中的頻寬無限;

(4)信號脈寬越窄，頻寬越寬，反之，脈寬越寬，頻寬越窄;

(5)大部分信號主要能量集中在低頻。

表3－1給出了一些典型信號的傅里葉變換公式供參閱。

3.6傅里葉變換的性質(zhì)

傅里葉變換有許多重要的性質(zhì)，這些性質(zhì)使得傅里葉變換和反變換得到簡化，也給信號分析和工程應(yīng)用提供了重要依據(jù)并帶來了方便。這些性質(zhì)包含有豐富的物理內(nèi)涵，還揭示了信號時域與頻域的一種對應(yīng)關(guān)系與變化規(guī)律。下面將系統(tǒng)地討論傅里葉變換的性質(zhì)及其應(yīng)用。

1.線性

線性性質(zhì)包括齊次性和疊加性。

(1)齊次性:若f(t)?F(ω)，則af(t

)?aF(ω)。

(2)疊加性:若f

1(t

)?F

1

(ω)，f

2(t

)?F2(ω)，則

f

1(t)+

f2(t

)?F

1(ω)+F

2(ω)。

(3)線性性質(zhì):

式(3.6－1)說明信號時域線性組合的頻譜是它們各自頻譜作相同的線性組合。

2.對稱性

若f(t)?F(ω)，則

證明由傅里葉反變換式

則

可得

將上式中的變量t和ω互相換，得

即

【例3.6－1】試求直流信號A的傅里葉變換。

解由于圖3.6－1例3.6－2圖形

3.尺度壓擴性質(zhì)

尺度壓擴性質(zhì)也稱尺度變換或比例性。它揭示了信號在時域中的壓縮或擴展與頻譜函數(shù)在頻域中的擴展和壓縮的對應(yīng)關(guān)系。

若f(t)?F(ω)，則對于非零常實數(shù)a，有圖3.6－2矩形脈沖脈寬和頻寬的關(guān)系

圖3.6－2中可以看到，當矩形脈沖脈寬縮小為原來的1/2，頻寬擴大為原來的2倍，反之當矩形脈沖脈寬擴大為原來的2倍，頻寬縮小為原來的1/2。

在電子信息、通信技術(shù)中，為了壓縮通信的時間，以提高通信速度，就要提高每秒內(nèi)傳送的脈沖數(shù)，為此必須壓縮信號脈沖的寬度。這樣做必然會使信號頻帶加寬，通信設(shè)備的通頻帶也要相應(yīng)加寬，以便滿足信號傳輸?shù)馁|(zhì)量要求。要壓縮信號的持續(xù)時間，就不得不以展寬頻帶寬度為代價，所以在通信技術(shù)中，通信速度和所需頻帶寬度是一對矛盾。

4.時移性

若f(t)?F(ω)，且t0為常數(shù)，則

證明根據(jù)傅里葉變換定義，有

由可以看出，f(t)延時t0

后，其對應(yīng)的幅度頻譜保持不變，但相應(yīng)頻譜中所有頻率分量的相位均滯后ωt0。從信號頻譜的物理含義看，信號延時了，即所有頻率分量都延時了同一個時間，頻率高的分量相移比頻率低的分量要大，而所有頻率分量的幅度關(guān)系不會改變。

若f(t)?F(ω)，a和t0

為實常數(shù)，且a≠0，那么可以證明，當尺度變換和時移同時發(fā)生，有

【例3.6－3】信號f(t)由三個矩形脈沖組成，如圖3.63(a)所示，試求其頻譜F(ω)。圖3.6－3例3.6－3信號f(t)及其頻譜

解該信號為非周期信號，并且

由時移性可得

圖3.6－3(b)所示頻譜表明，有限個脈沖信號的頻譜具有梳齒形狀。

5.頻移性

1)頻移性質(zhì)

若f(t)?F(ω)，則

證明由傅里葉變換定義式得

頻移性質(zhì)表明，

f(t)在時域中乘以ejω0t

，對應(yīng)于F(ω)在頻域中右移ω0。圖3.6－4余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的頻譜

2)調(diào)制定理

在通信技術(shù)中，經(jīng)常需要把信號頻譜搬移到高頻ω0處，以實現(xiàn)頻分多路復(fù)用。頻譜搬移的過程如圖3.6－5所示，其原理是將調(diào)制信號f(t)乘以載波信號cos(ω0t)或sin(ω0t)，即圖3.6－5頻譜搬移的過程

即

同理可得

式(3.6－10)和式(3.6－11)說明，若信號f(t)乘以cos(

ω0t)或sin(

ω0t)，f(t)的頻譜會分別沿頻率軸向左和向右各平移

ω0

，由調(diào)制引起頻譜搬移的性質(zhì)也稱為調(diào)制定理。圖3.6－6例3.6－5信號及頻譜

可見，已調(diào)信號的頻譜是將門函數(shù)的頻譜分為兩部分，幅度縮小了一半，各向左、向右移動ω

0，在搬移中門函數(shù)頻譜的形狀并沒有改變。

利用調(diào)制原理，可分別將需要傳輸?shù)娜舾傻皖l信號的頻譜搬移到不同的載波頻率附近，并使它們的頻譜互不重疊。這樣，就可以在同一信道內(nèi)傳送許多路信號，實現(xiàn)頻分多路復(fù)用

6.卷積定理

1)時域卷積定理圖3.6－7三角脈沖信號及其頻譜

2)頻域卷積定理

若f1(t)?F1(ω)，f2(t)?F2

(ω)，則

7.時域微分和積分

1)時域微分性質(zhì)

2)時域積分性質(zhì)

若f(t)?F(ω)，則

證明

由卷積定理

式中

有時把時域微分性質(zhì)和積分性質(zhì)結(jié)合起來分析問題會更加方便。

先將信號f(t)微分n次直到得到?jīng)_激，利用沖激的取樣性質(zhì)可以得到Fn(ω)，即

再積分n次獲得

當n=1時

應(yīng)該注意:

①當f(t)為能量信號時，f(∞)=f(-∞)=0，則

②當f(t)為功率信號時，f(∞)≠0及f

(-∞)≠0(均為常數(shù)或者其中一個為零)，則利用式(3.6－19)求取F(ω);

③當f(t)為非功非能信號時，式(3.6－19)不能使用。

8.頻域微分和積分

1)頻域微分性質(zhì)

若f(t)?F(ω)，則

推廣:

證明傅里葉變換的定義式

兩邊對ω求導(dǎo)，得

所以

2)頻域積分性質(zhì)

若f(t)?F(ω)，則

證明因為

又由于

【例3.6－8】試證明下列傅里葉變換對成立。

(2)因為

由頻域卷積定理有

即

所以

傅里葉變換的重要性質(zhì)見表3－2，以便查閱。

3.7周期信號的傅里葉變換

利用傅里葉變換不僅可以確定非周期信號的頻譜函數(shù)，也可以把周期信號的頻譜表示為傅里葉變換的形式。因為周期信號可表示為傅里葉級數(shù)

則其傅里葉變換為

所以

由此可見，周期信號的頻譜密度是由(無窮或多個)沖激組成，這些沖激位于諧頻nω0處，每一沖激的強度為2πFn。

【例3.7－1】周期單位沖激序列如圖3.7－1(a)所示，試求其傅里葉級數(shù)和傅里葉變換。圖3.7－1周期單位沖激序列及頻譜

解由圖可知，周期單位沖激序列表示為

因為

所以，其傅里葉級數(shù)為

由于

于是

其頻譜如圖3.7－1(b)所示。

【例3.7－2】周期矩形脈沖序列如圖3.2－2所示，試求其傅里葉級數(shù)和傅里葉變換。

解因為

所以

其傅里葉級數(shù)為

其傅里葉變換為

3.8能量譜密度與功率譜密度

在頻域中，除了用信號的頻譜描述信號，還可以用能量譜密度或功率譜密度來描述信號。

3.8.1能量譜密度

我們知道，非周期能量信號f(t)的能量是有限的，而平均功率等于零，所以它只有能量頻譜而無功率頻譜。

第1章中已經(jīng)定義了實能量信號的能量為

它表示電壓或電流信號在1Ω電阻上所消耗的能量。設(shè)f(t)為實信號，根據(jù)能量的定義和傅里葉反變換的定義，其總能量為

所以能量也可以在頻域中求取，即

式(3.8－2)也稱為帕什瓦爾定理或非周期能量信號的能量等式。它說明信號的總能量E又是函數(shù)F(ω)2在頻率軸上的積分，在時域中求得的信號能量和頻域中求得的信號

能量相等。但是，有限的能量E在無限寬的頻率上分布不便表示，這里引出能量譜密度(EnergySpectralDensity)。

定義單位頻帶內(nèi)信號的能量為能量譜密度(簡稱能量譜)，單位:焦/赫(J/Hz)，用Ef(ω)表示。

能量譜Ef(ω)只與信號振幅頻譜的平方有關(guān)，而與相位頻譜無關(guān)。

因此，總能量E與能量密度Ef(ω)的關(guān)系為

【例3.8－1】門函數(shù)(矩形脈沖信號)f(t)=Agτ(t)如圖3.8－1(a)所示，試求其能量譜密度圖3.8－1矩形脈沖信號及頻譜密度和能量譜密度

解由于

該信號頻譜如圖3.8－1(b)所示。所以

其能量譜如圖3.8－1(c)所示。

由圖3.8－1(b)和3.8－1(c)可以看出，當矩形脈沖脈寬為τ時，其頻譜密度和能量譜密度的第一個零交點位置都在處，其主要能量也集中在0~的頻率范圍內(nèi)，也就是說，信號的有效頻帶寬度因此，前面分析頻譜密度時，得到的脈沖寬度和頻帶寬度成反比的結(jié)論在能量譜密度分析中也是成立的。

3.8.2功率譜密度

功率信號平均功率是有限的，但能量為無窮。若f(

t)是實功率信號，則其平均功率定義為

如果將功率信號在-T/2，T/2()區(qū)間截斷，可得到截斷的能量信號。令截斷函數(shù)為

則fT

(t)的能量ET為

其中，F(xiàn)T(ω)是fT(t)的傅里葉變換，由于

所以可得功率信號的平均功率為

定義式(3.8－6)中

Pf

(ω)為功率信號f(t)的功率譜密度(簡稱功率譜)(PowerSpectralDensity)，表示單位頻帶內(nèi)信號的平均功率，單位:瓦/赫(W/Hz)。

功率譜密度反映了信號平均功率在頻域中的分布情況，它只與信號的幅度頻譜有關(guān)，而與相位頻譜無關(guān)。因此，凡是具有同樣幅度頻譜而相位頻譜不同的能量信號都有相同的

功率譜密度。

如果功率信號f(t)是周期信號，其平均功率為

由沖激信號的取樣特性，上式可寫為

其中由式(3.8－6)和式(3.8－9)可得周期信號的功率譜密度函數(shù)為

可見，周期信號的功率譜由位于諧波頻率nω0處的沖激組成，沖激的強度為

【例3.8－2】周期矩形脈沖信號如圖3.8－2(a)所示，試求其功率譜密度圖3.8－2周期矩形脈沖及其功率譜密度

解例3.7－2中已經(jīng)得出周期矩形脈沖信號

所以

功率譜密度如圖3.8－2(b)所示。

3.9連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析

應(yīng)用頻率特性研究線性系統(tǒng)的經(jīng)典方法稱為頻域分析法。頻域分析法不必直接求解系統(tǒng)的微分方程，而是間接地揭示系統(tǒng)的時域性能，它能方便地顯示出系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響。頻域分析法通過傅里葉變換，以信號的頻譜分析為基礎(chǔ)，避開了微分方程的求解和卷積積分的計算，容易求得系統(tǒng)的響應(yīng)。頻域分析法通常用來求解系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)或零狀態(tài)響應(yīng)，也稱為傅里葉變換分析法。

3.9.1系統(tǒng)函數(shù)H(ω)的定義和傅里葉變換分析法

如果線性時不變系統(tǒng)的激勵信號(輸入信號)為x(t)，響應(yīng)信號(輸出信號)為y(t)，則該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以用一個n階常系數(shù)線性微分方程來描述，即

若x(t)?X(ω)，y(t)?Y(ω)，對上式兩邊做傅里葉變換，可得

于是得輸出響應(yīng)的傅里葉變換為

令

稱H(ω)為系統(tǒng)函數(shù)。

可見，系統(tǒng)函數(shù)H(ω)定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)下響應(yīng)與激勵的頻譜之比，也稱為頻率響應(yīng)特性。H(ω)是ω的復(fù)函數(shù)，表征了系統(tǒng)的頻率特性，是系統(tǒng)特性的頻域描述。

稱為幅頻特性(或幅頻響應(yīng));θ(ω)稱為相頻特性(或相頻響應(yīng))。

是ω的偶函數(shù)，θ(ω)是ω的奇函數(shù)。

系統(tǒng)函數(shù)描述了系統(tǒng)輸出與激勵的關(guān)系，僅與微分方程的系數(shù)有關(guān)，即僅與線性系統(tǒng)內(nèi)部的參數(shù)、連接方式、系統(tǒng)的接口有關(guān)，而與激勵無關(guān)，因此，它是頻域表征系統(tǒng)特性的一個重要參數(shù)。

由系統(tǒng)的H(ω)、X(ω)和Y(ω)三者關(guān)系可知，只要其中兩個已知，第三個便可確定。在頻域中求解零狀態(tài)響應(yīng)的方法，亦稱為頻域分析法。其分析步驟如下:

(1)求激勵x(t)的傅里葉變換X(ω);

(2)確定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(ω);

(3)求取響應(yīng)的傅里葉變換Y(ω)=X(ω)H(ω);

(4)將Y(ω)作傅里葉反變換，得零狀態(tài)響應(yīng)的時域函數(shù)y(t)。

我們把上述求取零狀態(tài)響應(yīng)的方法也稱為傅里葉變換分析法。從分析過程中可以看到，系統(tǒng)函數(shù)H(ω)起著重要的作用，下面我們就系統(tǒng)的函數(shù)的求取進行進一步的討論。

3.9.2系統(tǒng)函數(shù)H(ω)的求取

1.利用h(t)?H(ω)

第2章介紹過，當沖激信號δ(t)作用于零狀態(tài)系統(tǒng)時產(chǎn)生的響應(yīng)即為沖激響應(yīng)h(t)，即x(t)=δ(t)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)=h(t)。

由于Y(ω)=X(ω)H(ω)，x(t)=δ(t)?X(ω)=1，所以Y(ω)=H(ω)，則

系統(tǒng)函數(shù)H(ω)是系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)的傅里葉變換，這是一個十分重要的變換對。系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù)這一變換對分別從時域和頻域兩個方面表征了同一系統(tǒng)的特性。

2.利用

(1)由微分方程求H(ω)，對微分方程兩邊取傅里葉變換。

【例3.9－1】已知連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為

求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)。

解根據(jù)式(3.9－4)可得

對H(ω)做傅里葉反變換，可得

(2)在已知具體電路時，系統(tǒng)函數(shù)H(ω)可以由電路的零狀態(tài)頻域電路模型，按系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉變換比激勵的傅里葉變換求得。

【例3.9－2】如圖3.9－1(a)所示電路，試求該電路系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，其中電壓源的電壓uS(t)為系統(tǒng)的激勵，電阻兩端的電壓uR

(t)為系統(tǒng)的響應(yīng)。

解先做電路的相量模型，實質(zhì)就是對時域電路作傅里葉變換，如圖3.9－1(b)所示，根據(jù)分壓原理不難得出圖3.9－1例3.9－2時域電路和頻域模型

其幅頻特性為

相頻特性為

其頻率特性如圖3.9－2所示。

3.9.3傅里葉變換分析法舉例

【例3.93】若系統(tǒng)的微分方程為y″(t)+5y'(t)+6y(t)=x'(t)，已知x(t)=e-tε(t)，試求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)。

解先由微分方程直接寫出系統(tǒng)函數(shù)

再求激勵x(t)的頻譜X(ω):

則輸出信號

可得

所以系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為

【例3.9－4】如圖3.9－3(a)所示為RC低通濾波器，試畫出其頻率響應(yīng)特性，并用傅里葉分析法計算系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。

解(1)先做出電路的相量模型(頻域模型)如圖3.9－3(b)所示，可得系統(tǒng)函數(shù)

所以幅頻特性為

相頻特性為圖3.9－3RC低通電路及其頻域模型

分析發(fā)現(xiàn)，幅頻特性隨ω增大而單調(diào)地減小到零，當ω=ωc=1/τ時，等于其最大值的通常把ωc稱為半功率角頻率或截至頻率，把不小于最大值的的頻率范圍，即0~ωc，稱為低通濾波器的通頻帶。相頻特性的絕對值隨ω增大而單調(diào)增大，當ω=ωc=1/τ時，θ(ω)=-45°;當ω→∞時，θ(ω)=-90°。其頻率特性如圖3.9－4所示。圖3.9－4RC低通濾波器的頻率特性

(2)若激勵為沖激信號x(t)=ε(t)，則

系統(tǒng)響應(yīng)的傅里葉變換為

經(jīng)過傅里葉反變換可得

【例3.9－5】如圖3.9－5(a)所示系統(tǒng)，輸入信號f(t)通過如圖3.9－5(b)所示系統(tǒng)，試畫出系統(tǒng)中A、B兩點處的頻譜。輸入信號f(t)的頻譜F(ω)如圖3.9－5(c)所示。

解設(shè)A點處為

由調(diào)制定理則得圖3.9－５例3.9－5圖形

所以A點的頻譜如圖3.9－6(a)所示。

再由Y(ω)=X(ω)H(ω)，可得B點處f(t)的頻譜如圖3.9－6(b)所示。圖3.9－6信號頻譜

從此例可以看到，用改變頻譜的觀點來分析激勵通過系統(tǒng)對響應(yīng)的影響是非常直觀和方便的，傅里葉分析法在分析信號與系統(tǒng)的頻譜和帶寬等方面是必不可少的工具。不過有

時候傅里葉反變換較困難，且傅里葉分析法只能求取零狀態(tài)響應(yīng)，下一章要介紹的拉普拉斯變換分析法會更方便。

3.10信號的無失真?zhèn)鬏敽屠硐氲屯V波器

系統(tǒng)對于信號的作用大體可分為兩類:一是信號的傳輸，二是濾波。傳輸要求信號盡量不失真，而濾波則濾去或削弱不需要有的成分，必然伴隨著失真。

3.10.1無失真?zhèn)鬏敆l件

所謂不失真?zhèn)鬏?，是指信號通過線性系統(tǒng)后，輸出信號y(t)與輸入信號x(t)相比只有衰減、放大和時延，而沒有波形的失真，用數(shù)學(xué)式表示為

式中，A是一個與時間無關(guān)的常數(shù)，td

是信號通過系統(tǒng)后的延遲時間。如果不滿足式(3.10－1)就稱為有失真?zhèn)鬏敗?/p>

下面從頻域來對無失真?zhèn)鬏斶M行分析。對式(3.9－1)兩端做傅里葉變換，得

于是可得無失真?zhèn)鬏數(shù)南到y(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)為

無失真?zhèn)鬏斎鐖D3.10－1所示。圖3.10－1無失真?zhèn)鬏數(shù)臅r域描述

由頻域分析可得，無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的幅度頻譜和相位頻譜分別為

滿足信號不失真條件的系統(tǒng)統(tǒng)稱為理想系統(tǒng)。要使任意一個信號通過線性系統(tǒng)不產(chǎn)生波形失真，系統(tǒng)的傳輸特性應(yīng)該具備以下兩個條件:

(1)系統(tǒng)的幅頻特性H(ω)是一個不隨頻率變化的常數(shù)，即系統(tǒng)的通頻帶應(yīng)為無窮大;

(2)系統(tǒng)的相頻特性θ(ω)為一通過原點的直線，即θ(ω)與ω成正比。如圖3.10－2所示。圖3.10－2無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的頻率響應(yīng)特性

系統(tǒng)的相頻特性常用群時延頻率特性來表示。所謂群時延頻率特性是指相頻特性的導(dǎo)數(shù)，即

可見，對于理想的無失真信道，如果相頻特性是線性的，則群時延頻率特性是一條水平直線。

由于系統(tǒng)特性不理想引起的信號失真稱為線性失真。線性失真包括幅頻失真和相頻失真，圖3.10－3為線性失真示意圖。圖3.10－3線性失真的說明

(1)幅度失真:各頻率分量幅度產(chǎn)生不同程度的衰減。

(2)相位失真:各頻率分量產(chǎn)生的相移不與頻率成正比，使響應(yīng)的各頻率分量在時間軸上的相對位置產(chǎn)生變化。

實際的線性系統(tǒng)，其幅頻與相頻特性都不可能完全滿足不失真?zhèn)鬏敆l件。工程上，只在信號占有的頻率范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻與相頻特性基本上滿足不失真?zhèn)鬏敆l件時，就可以認為達到要求了。

在不同的應(yīng)用場合，對幅度失真和相位失真的要求不盡相同。由于人耳對相位失真的敏感度較差，因而在語言傳輸?shù)膱龊?，人們主要關(guān)注的是幅度失真。它會明顯影響語音傳

輸?shù)囊糍|(zhì)、音調(diào)和保真度，而相位失真在很大程度上不會影響語音的可懂性。當然，如果相位失真過大也是不允許的。例如將一句話表示為f(t)，則f(-t)為一句話倒過來講，兩

者的差別僅在于相位相差，但此時人們無法聽懂這句話了。而對于圖像傳輸?shù)那闆r，由于人眼的視覺特性對相位失真十分敏感，它會嚴重影響圖像的輪廓和對比度，因此人們主要

關(guān)注的是相位失真。

對于一個系統(tǒng)，如果輸出信號中出現(xiàn)了輸入信號所沒有的新的頻率分量，通常將系統(tǒng)這樣的失真稱為非線性失真。當然，在線性系統(tǒng)中不會出現(xiàn)非線性失真，上述幅度失真和

相位失真統(tǒng)稱為線性失真。

3.10.2理想低通濾波器

若系統(tǒng)能讓某些頻率的信號通過，而使其它頻率的信號受到抑制，這樣的系統(tǒng)稱為濾波器。若系統(tǒng)的幅頻特性在某一頻帶內(nèi)保持為常數(shù)，而在該頻帶外為零，相頻特性始終為過原點的一條直線，則這樣的系統(tǒng)就稱為理想濾波器。

具有如圖3.10－4所示幅頻、相頻特性的系統(tǒng)稱為理想低通濾波器，ωc稱為截止角頻率。圖3.10－4低通濾波器頻率特性

理想低通濾波器的頻率響應(yīng)可寫為

當ω在0~ωc的低頻段內(nèi)，傳輸信號無失真，0~ωc頻率范圍稱為通帶，ωc~∞頻率范圍稱為阻帶。理想低通濾波器的通頻帶與信號的帶寬的配合不相適應(yīng)時，就會產(chǎn)生失真，失真的大小取決于兩者不相適應(yīng)的程度。

類似可以定義理想高通、理想帶通和理想帶阻濾波器。它們的頻率響應(yīng)特性如圖3.10－5(a)(b)(c)所示。圖3.105理想高通、理想帶通和理想帶阻濾波器頻率響應(yīng)特性

下面以理想低通濾波器為例，討論系統(tǒng)的響應(yīng)特性。

1.理想低通濾波器的單位沖激響應(yīng)

為方便起見，令K=1，由傅里葉變換的對稱性得

h(t)的波形如圖3.10－6所示。圖3.10－6理想低通濾波器的單位沖激響應(yīng)

由h(t)的波形可以看出如下特點:

(1)在t=0時δ(t)作用于低通系統(tǒng)，而在t=td時刻系統(tǒng)響應(yīng)達到最大值，即h(td)這表明系統(tǒng)對信號有延時作用，延時量為td;

(2)輸入信號δ(t)與輸出信號h(t)相比，輸出信號h(t)展寬了許多，波形產(chǎn)生了很大的失真，這表明理想低通濾波器是一帶限系統(tǒng)，損失了激勵信號δ(t)的高頻分量;

(3)當t<0時，h(t)≠0，這表明理想低通濾波器是一個非因果系統(tǒng)，它在物理上是無法實現(xiàn)的。其實所有理想濾波器都是物理上無法實現(xiàn)的。實際濾波器的設(shè)計原則是研究如何選擇一個系統(tǒng)函數(shù)，使它既能夠逼近所要求的H(ω)，又能在物理上是可實現(xiàn)的。

2.理想低通濾波器的階躍響應(yīng)

當激勵信號f(t)為階躍信號ε(t)時，根據(jù)卷積定理有

由此，可得階躍響應(yīng)

式中x=ω(t-td)。

Si(x

c)在數(shù)學(xué)上被定義為正弦積分，即

圖3.10－7所示是取樣函數(shù)Sa(x)曲線和正弦積分函數(shù)Si(x

c)曲線。因此，可將階躍響應(yīng)s(t)表示為

波形如圖3.10－8所示。圖3.10－7Sa(x)和Si(xc)曲線圖3.10－8理想低通濾波器階躍響應(yīng)

由s(t)的波形可以看出如下特點:

(1)雖然ε(t)在t<0時為0，但s(t)在t<0時卻出現(xiàn)了響應(yīng)，這說明理想低通濾波器是一個非因果系統(tǒng);

(2)在s(t)=0和s(t)=1附近出現(xiàn)的幅度波動稱為吉布斯(Gibbs)現(xiàn)象，其波動角頻率為ωc

，此現(xiàn)象永遠不會消除;

(3)在t=td

處，它的沖激響應(yīng)h(t)=s'(t)將出現(xiàn)最大值是所有極值中最大的，此處s(t)上升速度最大，其上升時間的長短標志著s(t)失真的大小。定義上升時間(或建立時間)tr

為s(t)在t=td

處斜率的倒數(shù)，即

式中，ωc為理想低通濾波器的截止頻率，可見，濾波器的截止頻率ωc越高，即頻帶寬度越寬，其階躍響應(yīng)的上升時間tr越短，波形越陡直。但當s(t)出現(xiàn)吉布斯現(xiàn)象，即出現(xiàn)過沖振蕩時，過沖最大值為1.0895，與頻帶寬度無關(guān)。

3.11取樣定理

取樣定理論述了在一定條件下，一個連續(xù)信號完全可以用離散樣本值表示。這些樣本值包含了該連續(xù)信號的全部信息，利用這些樣本值可以恢復(fù)原信號。可以說，取樣定理在連續(xù)信號與離散信號之間架起了一座橋梁，為其互為轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)。

3.11.1時域取樣

所謂“取樣”就是利用取樣脈沖序列s

(t)從連續(xù)信號f(t)中“抽取”一系列離散樣本值的過程。這樣得到的離散信號稱為取樣信號fs(t)。

它是對信號進行數(shù)字處理的第一個環(huán)節(jié)。

取樣過程可描述為連續(xù)信號f(t)通過開關(guān)K，開關(guān)以周期Ts

交替地接到1和2，輸出信號即為取樣信號

fs(t)，其過程和波形如圖3.11－1(a)、(b)所示。圖3.11－1信號取樣過程

從數(shù)學(xué)上講，取樣過程就是取樣脈沖序列s(t)與連續(xù)信號f(t)相乘，如圖3.11－2所示，所以取樣信號fs(t)可表示為圖3.11－2信號取樣原理圖

s(t)也叫開關(guān)函數(shù)，如果s(t)是周期函數(shù)，便是均勻取樣。Ts為取樣周期，其倒數(shù)fs為取樣頻率，

為取樣角頻率。

下面，我們從頻域討論取樣信號的頻譜。

若f(t)?F(ω)，周期取樣脈沖s(t)的頻譜為

Fn

為s(t)指數(shù)型傅里葉級數(shù)的復(fù)系數(shù)，則由頻域卷積定理，得取樣信號fs(t)的頻譜為

于是

所以

顯然，取樣信號的頻譜Fs(ω)是原連續(xù)信號頻譜F(ω)以ωs為周期，幅度按Fn的規(guī)律變化所構(gòu)成的。若F(ω)如圖3.11－3(a)所示，則取樣信號頻譜Fs(ω)可能為圖3.11－3(b)所示。圖3.11－3連續(xù)信號和取樣信號頻譜

3.11.2時域取樣定理

通過前面的分析，我們已經(jīng)知道了什么是取樣以及取樣的實現(xiàn)過程。接下來我們需要思考一個問題:在什么樣的條件下，采用什么方法可以從取樣信號fs

(t)中恢復(fù)出原信號

f(t)?取樣定理從理論上明確地回答了這一問題。

要恢復(fù)原信號f(t)，可以通過從取樣信號頻譜Fs

(ω)中恢復(fù)原信號頻譜F(ω)來實現(xiàn)。從圖3.11－4中可以看到，選擇一個截止頻譜為ωc(ωm≤ωc≤ωs-ωm)的低通濾波器對Fs(ω)進行濾波，即可得到原信號頻譜F(ω)，如圖3.11－4(b)所示。圖3.11－4取樣信號頻譜恢復(fù)過程

但是，如果ωs<2ωm

，取樣信號的頻譜Fs

(ω)中相鄰頻譜就會出現(xiàn)互相混疊的現(xiàn)象，如圖3.11－5所示。這樣，就沒有辦法通過理想低通濾波器來恢復(fù)原信號頻譜F(ω)。圖3.11－5取樣信號頻譜混疊

可見，要實現(xiàn)無失真恢復(fù)原信號，必須滿足兩個條件:

(1)f(t)必須是帶限信號;

(2)取樣頻率不能太低，必須ωs≥2ωm，fs≥2fm，或者說，取樣間隔不能太大，必須否則將發(fā)生混疊。

通常把最低允許的取樣頻率fs=2fm

稱為奈奎斯特(Nyquist)頻率;把最大允許的取樣間隔稱為奈奎斯特間隔。

取樣定理表述如下:如果f(t)為帶寬有限、最高頻率為f

s的連續(xù)信號，則以取樣頻率

對信號f(t)進行等間隔取樣，從取樣信號fs(t)中無失真

恢復(fù)出原信號f(t)。

取樣定理又稱為抽樣定理，它在通信、信息傳輸、數(shù)字信號處理等領(lǐng)域占有十分重要的地位。該定理在連續(xù)信號與系統(tǒng)、離散信號與系統(tǒng)和數(shù)字信號與系統(tǒng)之間架起了一座橋

梁，從理論上回答了為什么可用數(shù)字信號處理手段來解決連續(xù)信號與系統(tǒng)在實際應(yīng)用中遇到的難題。

3.11.3自然取樣和理想取樣

1.自然取樣

自然取樣就是用脈寬很窄的矩形脈沖序列作為取樣脈沖序列s(t)，對連續(xù)信號f(t)進行取樣。

此時，s(t)為幅度為1、脈寬為τ(τ<Ts)的矩形脈沖，其傅里葉復(fù)系數(shù)為

由周期信號的傅里葉變換可得

若f(t)?F(ω)，由式(3.11－3)得

自然取樣的過程如圖3.116所示。圖3.11－6自然取樣過程

顯然，自然取樣后取樣信號的頻譜Fs(ω)以ωs為周期，幅度按的規(guī)律變化所構(gòu)成。

2.理想取樣

理想取樣就是用單位沖激序列δTs

(t)作為取樣脈沖序列s(t)，對連續(xù)信號f(t)進行取樣。此時，

取樣信號為

式(3.11－7)表明，理想取樣信號是一個沖激串，其中Ts為取樣周期。

對于單位沖激序列δTs(t)，其傅里葉復(fù)系數(shù)為

由周期信號的傅里葉變換可得

若f(t)?F(ω)，由式(3.11－3)得

理想取樣的過程如圖3.11－7所示。圖3.11－7理想取樣過程

顯然，理想取樣后取樣信號的頻譜Fs(ω)以ωs為周期，幅度總為的規(guī)律所構(gòu)成。

無論是理想取樣，還是自然取樣，都必須滿足取樣定理，即取樣頻譜ωs≥2ωm或fs≥2fm，取樣周期

則可用理想低通濾波器無失真地恢復(fù)原來的信號。

對于理想取樣信號，恢復(fù)信號時使用的理想低通濾波器為．

前面已經(jīng)得知理想取樣信號為

所以低通濾波器的零狀態(tài)響應(yīng)為．

可見，連續(xù)信號可以展開成抽樣函數(shù)的無窮級數(shù)，該級數(shù)等于取樣值。就是說，若在取樣信號的每個樣點處，插入一個峰值為f(nTs)的取樣函數(shù)Sa[ωm(t-nTs)]，那么其合成信號就是原連續(xù)信號。因此，只要已知各取樣值，就能唯一地確定出原信號。．

習(xí)題3

3．1試判定下列信號是周期信號還是非周期信號。若是周期信號，試求出其周期。．

3．2根據(jù)信號的對稱性，判斷題3－2圖所示各周期信號的傅里葉級數(shù)中所含的頻率分量