高中數(shù)學選擇性課時評價5-2-2-5-2-3函數(shù)的和差積商的導數(shù)簡單復合函數(shù)的導數(shù)

三十五函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)簡單復合函數(shù)的導數(shù)(15分鐘30分)1．若f(x)＝exln2x，則f′(x)＝()A．exln2x＋eq\f(ex,2x)B．exln2x－eq\f(ex,x)C．exln2x＋eq\f(ex,x)D．2ex·eq\f(1,x)【解析】選C.f′(x)＝exln2x＋ex×eq\f(2,2x)＝exln2x＋eq\f(ex,x).2．已知f(x)＝sinx＋cosx＋eq\f(π,2)，則f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))等于()A．－1＋eq\f(π,2)B．1＋eq\f(π,2)C．1D．－1【解析】選D.f′(x)＝cosx－sinx，故f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝coseq\f(π,2)－sineq\f(π,2)＝－1.3．函數(shù)y＝x2cos2x的導數(shù)為()A．y′＝2xcos2x－x2sin2xB．y′＝2xcos2x－2x2sin2xC．y′＝x2cos2x－2xsin2xD．y′＝2xcos2x＋2x2sin2x【解析】選B.y′＝(x2)′cos2x＋x2(cos2x)′＝2xcos2x＋x2(－sin2x)·(2x)′＝2xcos2x－2x2sin2x.4．(2020·全國Ⅰ卷)曲線y＝lnx＋x＋1的一條切線的斜率為2，則該切線的方程為________．【解題指南】設(shè)切線的切點坐標為(x0，y0)，對函數(shù)求導，利用y′|x＝x0＝2，求出x0，代入曲線方程求出y0，得到切線的點斜式方程，化簡即可．【解析】設(shè)切線的切點坐標為(x0，y0)，y＝lnx＋x＋1，y′＝eq\f(1,x)＋1，y′|x＝x0＝eq\f(1,x0)＋1＝2，x0＝1，y0＝2，所以切點坐標為(1，2)，所求的切線方程為y－2＝2(x－1)，即y＝2x.答案：y＝2x5．設(shè)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的導數(shù)f′(x)滿足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常數(shù)a，b∈R.求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程．【解析】因為f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，又f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－eq\f(3,2).則f(x)＝x3－eq\f(3,2)x2－3x＋1，從而f(1)＝－eq\f(5,2).又f′(1)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝－3，所以曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分，共20分)1．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2＋sinx,x)，則該函數(shù)的導函數(shù)f′(x)＝()A．eq\f(2x＋cosx,x2)B．eq\f(x2＋xcosx－sinx,x2)C．eq\f(2x＋xcosx－sinx,x2)D．2x－cosx【解析】選B.由題意可得f′(x)＝eq\f(（2x＋cosx）x－（x2＋sinx）,x2)＝eq\f(x2＋xcosx－sinx,x2).【補償訓練】函數(shù)y＝xln(2x＋5)的導數(shù)為()A．ln(2x＋5)－eq\f(x,2x＋5)B．ln(2x＋5)＋eq\f(2x,2x＋5)C．2xln(2x＋5)D．eq\f(x,2x＋5)【解析】選B.因為y＝xln(2x＋5)，所以y′＝ln(2x＋5)＋eq\f(2x,2x＋5).2．已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，當x＞0時，f(x)＝xlnx＋1，則曲線y＝f(x)在x＝－1處的切線方程為()A．y＝－xB．y＝－x＋2C．y＝xD．y＝x－2【解析】選A.因為當x＜0時，f(x)＝f(－x)＝－xln(－x)＋1，所以f(－1)＝1，f′(x)＝－ln(－x)－1，f′(－1)＝－1，所以曲線y＝f(x)在x＝－1處的切線方程為y－1＝－(x＋1)，即y＝－x.3．當函數(shù)y＝eq\f(x2＋a2,x)(a＞0)在x＝x0處的導數(shù)為0時，那么x0等于()A．a(chǎn)B．±aC．－aD．a(chǎn)2【解析】選B.y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2＋a2,x)))′＝eq\f(2x·x－（x2＋a2）,x2)＝eq\f(x2－a2,x2)，由xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－a2＝0得x0＝±a.【補償訓練】函數(shù)y＝eq\f(1,2)(ex＋e－x)的導數(shù)是()A．eq\f(1,2)(ex－e－x)B．eq\f(1,2)(ex＋e－x)C．ex－e－xD．ex＋e－x【解析】選A.y′＝eq\f(1,2)(ex＋e－x)′＝eq\f(1,2)(ex－e－x).4．已知直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)相切，則a的值為()A．1B．2C．－1D．－2【解析】選B.設(shè)切點坐標是(x0，x0＋1)，依題意有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,x0＋a)＝1，,x0＋1＝ln（x0＋a），))由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2.二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)5．若存在過點O(0，0)的直線l與曲線f(x)＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，則a的值可以是()A．1B．eq\f(1,64)C．eq\f(1,32)D．－eq\f(1,64)【解析】選AB.因為(0，0)在直線l上，當O(0，0)為f(x)的切點時，因為f′(0)＝2，所以直線l的方程為y＝2x，又直線l與y＝x2＋a相切，所以x2＋a－2x＝0滿足Δ＝4－4a＝0，得a＝1；當O(0，0)不是f(x)的切點時，設(shè)切點為(x0，xeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(0))－3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋2x0)(x0≠0)，則f′(x0)＝3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－6x0＋2，所以eq\f(xeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(0))－3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋2x0,x0)＝3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－6x0＋2，得x0＝eq\f(3,2)，所以f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－eq\f(1,4)，所以直線l的方程為y＝－eq\f(1,4)x.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,4)x，,y＝x2＋a，))得x2＋eq\f(1,4)x＋a＝0，由題意得Δ＝eq\f(1,16)－4a＝0，所以a＝eq\f(1,64).綜上得a＝1或a＝eq\f(1,64).6．以下四個式子分別是函數(shù)在其定義域內(nèi)求導，其中正確的是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝eq\f(1,x2)B．(cos2x)′＝－2sin2xC．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,ln3)))′＝3xD．(lgx)′＝eq\f(－1,xln10)【解析】選BC.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－eq\f(1,x2)，(cos2x)′＝－2sin2x，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,ln3)))′＝3x，(lgx)′＝eq\f(1,xln10).三、填空題(每小題5分，共10分)7．若f(x)＝x2－2x－4lnx，則f′(x)＝________，f′(x)>0的解集為________．【解析】由f(x)＝x2－2x－4lnx，得函數(shù)定義域為(0，＋∞)，且f′(x)＝2x－2－eq\f(4,x)＝eq\f(2x2－2x－4,x)＝eq\f(2（x＋1）（x－2）,x)>0，解得x>2，故f′(x)>0的解集為{x|x>2}．答案：2x－2－eq\f(4,x){x|x>2}【補償訓練】f(x)＝eq\r(ax2－1)且f′(1)＝2，則a的值為________．【解析】因為f(x)＝(ax2－1)eq\f(1,2)，所以f′(x)＝eq\f(1,2)(ax2－1)－eq\f(1,2)(ax2－1)′＝eq\f(ax,\r(ax2－1)).又f′(1)＝2，所以eq\f(a,\r(a－1))＝2，所以a＝2.答案：28．(2021·徐州高二檢測)已知函數(shù)f(x)＝eq\r(x)，g(x)＝alnx(a∈R)，若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)相交，且在交點處有相同的切線，則a＝________，切線的方程為________(直線的方程寫成一般式).【解析】設(shè)曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)的交點為P(x0，y0)，則eq\r(x0)＝alnx0，因為f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))，g′(x)＝eq\f(a,x)，所以eq\f(1,2\r(x0))＝eq\f(a,x0)，所以a＝eq\f(\r(x0),2)，將其代入eq\r(x0)＝alnx0，得eq\r(x0)＝eq\f(\r(x0),2)lnx0，因為x0>0，所以lnx0＝2，所以x0＝e2，所以a＝eq\f(e,2)，所以y0＝eq\r(x0)＝e，切線的斜率為eq\f(1,2\r(e2))＝eq\f(1,2e)，所以所求切線的方程為：y－e＝eq\f(1,2e)(x－e2)，即x－2ey＋e2＝0.答案：eq\f(e,2)x－2ey＋e2＝0四、解答題(每小題10分，共20分)9．已知曲線y＝e2x·cos3x在點(0，1)處的切線與直線l的距離為eq\r(5)，求直線l的方程．【解析】因為y′＝(e2x)′·cos3x＋e2x·(cos3x)′＝2e2x·cos3x－3e2x·sin3x，所以y′|x＝0＝2，所以經(jīng)過點(0，1)的切線方程為y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1.設(shè)符合題意的直線方程為y＝2x＋b，根據(jù)題意，得eq\r(5)＝eq\f(|b－1|,\r(5))，解得b＝6或－4.所以符合題意的直線方程為y＝2x＋6或y＝2x－4.10．曲線y＝esinx在(0，1)處的切線與直線l平行，且與l的距離為eq\r(2)，求直線l的方程．【解析】因為y＝esinx，所以y′＝esinxcosx，所以y′|x＝0＝1.所以曲線y＝esinx在(0，1)處的切線方程為y－1＝x，即x－y＋1＝0.又直線l與x－y＋1＝0平行，故可設(shè)直線l為x－y＋m＝0.由eq\f(|m－1|,\r(1＋（－1）2))＝eq\r(2)，得m＝－1或3.所以直線l的方程為：x－y－1＝0或x－y＋3＝0.1．設(shè)函數(shù)f(x)＝cos(eq\r(3)x＋φ)(0＜φ＜π)，若f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)π))＝eq\f(\r(3),2)，則φ＝________；若f(x)＋f′(x)是奇函數(shù)，則φ＝________．【解析】f′(x)＝－eq\r(3)sin(eq\r(3)x＋φ).由條件知f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)π))＝－eq\r(3)sin(π＋φ)＝eq\r(3)sinφ＝eq\f(\r(3),2)，所以sinφ＝eq\f(1,2)，因為0＜φ＜π，所以φ＝eq\f(π,6)或eq\f(5π,6).又f(x)＋f′(x)＝cos(eq\r(3)x＋φ)－eq\r(3)sin(eq\r(3)x＋φ)＝2sin(eq\r(3)x＋φ＋eq\f(5π,6)).若f(x)＋f′(x)為奇函數(shù)，則f(0)＋f′(0)＝0，即0＝2sin(φ＋eq\f(5π,6))，所以φ＋eq