江西省宜春市上高二中高三上學期第一次月考試題數(shù)學

2024屆高三年級第一次月考數(shù)學試卷命題人：葉民安一、單選題（每小題5分，共40分）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．命題“”的否定是（

）A． B．C． D．3．已知命題p：“”，命題q：“直線與直線垂直”，則命題p是命題q的（

）A．充分不必要條B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要4．已知函數(shù)的定義域是R，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．在上定義運算：，若不等式對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的最小值為（

）A． B． C． D．6．在中，若，則為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形7．已知橢圓E：的左、右焦點分別為，，O為坐標原點，若以為直徑的圓與橢圓E在第一象限交于點P，且是等邊三角形，則橢圓E的離心率為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，，對任意的，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題（每小題5分，共20分）9．（多選）已知a，b，，且，則下列不等關系成立的是（

）A． B．C． D．10．不等式的解集可能為（

）A．R B．C． D．11．下面命題正確的是（

）A．不等式的解集為B．不等式的解集為C．不等式在時恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為D．函數(shù)在區(qū)間內僅有一個零點，則實數(shù)m的取值范圍為12．如圖，在正方體中，點為線段上一動點，則下列說法正確的是（

）

A．直線平面B．存在點，使得直線與所成角為30°C．三棱錐的體積為定值D．平面與底面的交線平行于直線三、填空題（每小題5分，共20分）13．不等式的解集為．14．已知不等式的解集為，若函數(shù)（且），則．15．已知隨機變量，，且，，則．16．雙曲線：其左、右焦點分別為、，傾斜角為的直線與雙曲線在第一象限交于點，設雙曲線右頂點為，若，則雙曲線的離心率的取值范圍為．四、解答題（共70分）17．在銳角中，角，，的對邊分別為，，，且．(1)求角A的大??；(2)若，，求的面積．18．正項等比數(shù)列的前項和為，，且，，成等差數(shù)列，.(1)求的通項公式；(2)若，求的前項和.19．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，點是的中點.

(1)證明：；(2)設的中點為，點在棱上（異于點，，且，求直線與平面所成角的正弦值.20．人工智能（AI）是一門極富挑戰(zhàn)性的科學，自誕生以來，理論和技術日益成熟.某校成立了兩個研究性小組，分別設計和開發(fā)不同的AI軟件用于識別音樂的類別.記兩個研究性小組的軟件每次能正確識別音樂類別的概率分別為.為測試軟件的識別能力，計劃采取兩種測試方案.方案一：將100首音樂隨機分配給兩個小組識別，每首音樂只被一個軟件識別一次，并記錄結果；方案二：對同一首歌，兩組分別識別兩次，如果識別的正確次數(shù)之和不少于三次，則稱該次測試通過.(1)若方案一的測試結果如下：正確識別的音樂數(shù)之和占總數(shù)的；在正確識別的音樂數(shù)中，組占；在錯誤識別的音樂數(shù)中，組占.（i）請根據(jù)以上數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表，并通過獨立性檢驗分析，是否有的把握認為識別音樂是否正確與兩種軟件類型有關？正確識別錯誤識別合計A組軟件B組軟件合計100（ii）利用（i）中的數(shù)據(jù)，視頻率為概率，求方案二在一次測試中獲得通過的概率；(2)研究性小組為了驗證軟件的有效性，需多次執(zhí)行方案二，假設，問該測試至少要進行多少次，才能使通過次數(shù)的期望值為16？并求此時的值.附：，其中.0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82821．對于橢圓：，我們稱雙曲線：為其伴隨雙曲線．已知橢圓（），它的離心率是其伴隨雙曲線離心率的倍．

(1)求橢圓伴隨雙曲線的方程；(2)如圖，點，分別為的下頂點和上焦點，過的直線與上支交于，兩點，設的面積為，（其中為坐標原點）．若的面積為，求．22．已知函數(shù).(1)若曲線在點處的切線方程為，求m，n；(2)若在上恰有兩個不同的零點，求實數(shù)m的取值范圍.2024屆高三年級第一次月考數(shù)學試卷答案BBACA CDA9．CD 10．ACD 11．ACD 12．ACD13． 14．6 15．0.2/ 16．17．(1) (2)【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，即可求出，從而得解；（2）利用余弦定理求出，再利用面積公式計算可得.【詳解】（1）因為，由正弦定理得，因為，所以，所以，即，因為，所以；（2）因為，，，由余弦定理，即，解得或，當時，則為鈍角，不符合題意，當時，所以為銳角，符合題意，所以面積為.18．(1) (2)【分析】（1）設等比數(shù)列的公比為，然后根據(jù)已知條件列方程組可求出，從而可求出數(shù)列的通項公式，（2）由（1）得，再利用錯位相減法可求得結果.【詳解】（1）設等比數(shù)列的公比為，因為，，成等差數(shù)列，所以，因為，所以， 相減得，所以，代入，得，解得或，因為，所以 所以.（2）由已知得，，，所以，兩個等式相減得，所以.19．(1)證明見解析 (2)【分析】（1）由等腰三角形的性質可得，由面面垂直的性質可得平面，則，所以由線面垂直的判定可得平面，從而可得結論；（2）以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，利用空間向量求解即可.【詳解】（1）證明：因為，點是的中點，所以.因為平面平面，所以平面平面，因為四邊形為矩形，所以，因為平面平面，平面，所以平面，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以.（2）解：由題意可得兩兩垂直，設，如圖，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，

因為點是的中點，所以，所以，設平面的法向量為，則，令可得，所以平面的一個法向量.，設，即，所以.又，所以，化簡得，解得或（舍去）.所以，設直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.20．(1)（i）表格見解析，沒有；（ii）(2)測試至少27次，.【分析】（1）根據(jù)條件填寫列聯(lián)表并做卡方計算，根據(jù)列聯(lián)表求出，對“一次測試通過”作分類討論求出其概率；（2）根據(jù)對“一次測試通過”的分類討論，求出其概率的最大值，再按照二項分布求解.【詳解】（1）（i）依題意得列聯(lián)表如下：正確識別錯誤識別合計組軟件402060組軟件202040合計6040100因為，且，所以沒有的把握認為軟件類型和是否正確識別有關；（ii）由（i）得，故方案二在一次測試中通過的概率為；（2）方案二每次測試通過的概率為，所以當時，取到到最大值，又，此時，因為每次測試都是獨立事件，故次實驗測試通過的次數(shù)，期望值，因為，所以所以測試至少27次，此時.21．(1) (2)【分析】（1）設橢圓與其伴隨雙曲線的離心率分別為，，依題意可得，，根據(jù)離心率公式得到方程，求出，即可得解；（2）設直線的斜率為，，，直線的方程，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、列出韋達定理，求出，由求出，再由可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示，代入韋達定理，即可得解.【詳解】（1）設橢圓與其伴隨雙曲線的離心率分別為，，依題意可得，，即，即，解得，所以橢圓，則橢圓伴隨雙曲線的方程為.（2）由（1）可知，，設直線的斜率為，，，則直線的方程，與雙曲線聯(lián)立并消去得，則，所以，，則，又，又，所以，解得或（舍去），又，所以，因為，所以.22．(1) (2)【分析】（1）求出，，與切線方程為比較可得答案；（2）求出，分、、、討論，利用導數(shù)判斷單調性結合零點個數(shù)可得答案.【詳解】（1）因為，所以，因為，所以，由，得．（2）因為，，所以，（1）若，則，在上為增函數(shù)，所以在上只有一個零點，不合題意；（2）當，設，，當時，，即在上單調遞增，，①若，因為，所以，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，，所以在上有且只有一個零點，不合題意；②若，則，易知，，，且在上單調遞減，在上單調遞增，所以，又，所以根據(jù)零點存在性定理，在上有且只有一個零點，又在上有且只有一個零點0，所以，當時，在上有兩個零點；③當時，，，，，且在上單調遞減，在上單調遞增，因為在上有且只有一個零點0，所以，若