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文檔簡介
2023~2024學(xué)年度第一學(xué)期高二年級(12月)階段性訓(xùn)練試題數(shù)學(xué)試卷本試題卷共4頁,22題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項:1.答題前,先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上,并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答:用黑色簽宇筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并上交.一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題所給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.拋物線的焦點坐標(biāo)為A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程,可求得p,進(jìn)而求得焦點坐標(biāo).【詳解】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為,可知所以焦點坐標(biāo)為所以選D【點睛】本題考查了拋物線的基本性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.2.若為實數(shù),則“”是“直線與直線平行”的()A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線平行條件和充分必要條件的概念可判斷結(jié)果.【詳解】因為直線與直線平行的充要條件是且,即且,解得.所以由充分必要條件的概念判斷可知:“”是“直線與直線平行”的充要條件.故選:A3.設(shè)等比數(shù)列的各項均為正數(shù),前n項和,若,,則()A. B. C.15 D.40【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于的方程,計算出,即可求出.【詳解】由題知,即,即,即.由題知,所以.所以.故選:C.4.由雙曲線的兩漸近線所成的角可求其離心率的大小,初中學(xué)習(xí)的反比例函數(shù)的圖象也是雙曲線,據(jù)此可求得曲線的離心率為()A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】由雙曲線的漸近線垂直得其為等軸雙曲線,從而可得離心率.【詳解】,故該曲線是由反比例函數(shù)的圖象向左平移1個單位,再向上平移1個單位得到的,所以雙曲線的兩漸近線為和,因為兩漸近線互相垂直,故該曲線為等軸雙曲線,所以離心率為.故選:D.5.已知數(shù)列各項為正數(shù),滿足,,則()A.是等差數(shù)列 B.是等比數(shù)列C.是等差數(shù)列 D.是等比數(shù)列【答案】C【解析】【分析】分析可知數(shù)列每一項都是正數(shù),由已知條件可得出,結(jié)合等差中項法判斷可得出結(jié)論.【詳解】因為數(shù)列各項為正數(shù),滿足,,故對任意的,,則,所以,數(shù)列的每一項都是正數(shù),所以,,可得,由等差中項法可知,數(shù)列是等差數(shù)列,故選:C.6.將一個頂角為120°的等腰三角形(含邊界和內(nèi)部)的底邊三等分,挖去由兩個等分點和上頂點構(gòu)成的等邊三角形,得到與原三角形相似的兩個全等三角形,再對余下的所有三角形重復(fù)這一操作.如果這個操作過程無限繼續(xù)下去…,最后挖剩下的就是一條“雪花”狀的Koch曲線,如圖所示已知最初等腰三角形的面積為1,則經(jīng)過4次操作之后所得圖形的面積是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可知,每一次操作之后面積是上一次面積的,按照等比數(shù)列即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知,每次挖去的三角形面積是被挖三角形面積的,所以每一次操作之后所得圖形的面積是上一次三角形面積的,由此可得,第次操作之后所得圖形的面積是,即經(jīng)過4次操作之后所得圖形的面積是.故選:A7.已知橢圓的左?右焦點分別為、,過作直線與橢圓相交于、兩點,,且,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè),則,利用橢圓的定義及勾股定理解得,表示出,,再利用銳角三角函數(shù)表示出,由余弦定理表示出,即可得到方程,解得,即可求出離心率.【詳解】如圖所示,設(shè),,設(shè),則,在中,,由橢圓定義可知,,,解得,所以,,在中,可得,在中,由余弦定理可得,,,即0,解得,所以橢圓離心率.故選:D.8.已知數(shù)列中的前項和為,,且對任意恒成立,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】已知與的關(guān)系,通常利用,分類討論n為奇偶時,求,數(shù)列不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的最值問題,即可求出結(jié)果.【詳解】,,時,若為偶數(shù),,(為奇數(shù)),若為奇數(shù)且,則,所以(為偶數(shù)),為奇數(shù)時,,此時,,所以,為偶數(shù)時,,此時,所以,對任意恒成立,故選:B【點睛】本題考查了求數(shù)列的通項公式問題和數(shù)列不等式恒成立求參數(shù)取值,考查了計算能力和邏輯推理能力,屬于中檔題目.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題所給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.直線與圓交于、兩點,則可能為()A B.3 C. D.8【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)題意,利用圓的弦長公式,求得圓心到直線的距離為,結(jié)合垂徑定理求出表達(dá)式,利用基本不等式求出范圍,結(jié)合選項即可判斷.【詳解】由圓,可得圓心為,半徑為,設(shè)圓心到直線的距離為,則,因為直線被圓截得的弦長為,所以,又直線恒過定點在圓內(nèi),所以,當(dāng)即時,;當(dāng)即時,,當(dāng)即時,,當(dāng)且僅當(dāng)即,等號成立,此時;當(dāng)即時,,當(dāng)且僅當(dāng)即,等號成立,此時;綜上所述,.結(jié)合選項知,,.故選:CD.10.已知等差數(shù)列的前項和為,若,,則下列選項正確的有()A. B.C.中絕對值最小的項為 D.數(shù)列的前項和最大項為【答案】BCD【解析】【分析】由題設(shè)可得,結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)判斷A、B、C;再由的正負(fù)分界點,判斷最大項判斷D.【詳解】由題意,可得,顯然,,即為遞減數(shù)列,且,,即,故A錯,B、C對;由題意,的前8項為正,第9項開始均為負(fù),故最大項為,D對.故選:BCD11.設(shè)拋物線C:的焦點為F,過拋物線C上不同的兩點A,B分別作C的切線,兩條切線的交點為P,AB的中點為Q,則()A.軸 B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】設(shè)切線求交點根據(jù)兩根之和判斷A選項;特殊值法判斷B,C選項;根據(jù)定義數(shù)形結(jié)合判斷D選項.【詳解】對于A選項:設(shè),,,過點A切線為:①,過點B切線為:②,①②得化簡可得軸,A選項正確.設(shè)過A點的切線為,過B點的切線為,交點為AB的中點為,所以不垂直,B選項錯誤;,所以,D選項錯誤;作拋物線準(zhǔn)線垂線,連接則顯然,所以
又因為由拋物線定義,得,故知是線段的中垂線,得到則同理可證:,,所以,即,所以,即.故選:AC.12.如圖,在棱長為2的正方體中,已知M,N,P分別是棱,,的中點,Q為平面上的動點,且直線與直線的夾角為,則()A.平面B.平面截正方體所得的截面面積為C.點Q的軌跡長度為D.能放入由平面PMN分割該正方體所成的兩個空間幾何體內(nèi)部(厚度忽略不計)的球的半徑的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】A選項,建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面的法向量,得到線面垂直;B選項,作出輔助線,找到平面截正方體所得的截面,求出面積;C選項,作出輔助線,得到點Q的軌跡,并求出軌跡長度;D選項,由對稱性得到平面分割該正方體所成的兩個空間幾何體對稱,由對稱性可知,球心在上,設(shè)球心為,由得到方程,求出半徑的最大值.【詳解】A選項,以為坐標(biāo)原點,所在直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,,故.設(shè)平面的法向量為,則,令得,,故,因為,故平面,A正確;B選項,取的中點,連接,因為M,N,P分別是棱,,的中點,所以,又,所以,所以平面截正方體所得的截面為正六邊形,其中邊長為,故面積為,B正確;C選項,Q為平面上的動點,直線與直線的夾角為,又平面,設(shè)垂足為,以為圓心,為半徑作圓,即為點Q的軌跡,其中,由對稱性可知,,故半徑,故點Q的軌跡長度為,C錯誤;D選項,因為M,N,P分別是棱,,的中點,所以平面分割該正方體所成的兩個空間幾何體對稱,不妨求能放入含有頂點的空間幾何體的球的半徑最大值,該球與平面切與點,與平面,平面,平面相切,由對稱性可知,球心在上,設(shè)球心為,則半徑為,,故,即,解得,故球的半徑的最大值為,D正確.故選:ABD【點睛】立體幾何中截面的處理思路:(1)直接連接法:有兩點在幾何體的同一個平面上,連接該兩點即為幾何體與截面的交線,找截面就是找交線的過程;(2)作平行線法:過直線與直線外一點作截面,若直線所在的平面與點所在的平面平行,可以通過過點找直線的平行線找到幾何體與截面的交線;(3)作延長線找交點法:若直線相交但在立體幾何中未體現(xiàn),可通過作延長線的方法先找到交點,然后借助交點找到截面形成的交線;(4)輔助平面法:若三個點兩兩都不在一個側(cè)面或者底面中,則在作截面時需要作一個輔助平面.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.若兩條直線與圓的四個交點能構(gòu)成矩形,則____________.【答案】8【解析】【分析】由題意知圓心到兩直線的距離相等,得到等量關(guān)系求解即可.【詳解】由題意直線平行,且與圓的四個交點構(gòu)成矩形,則可知圓心到兩直線的距離相等,由圓的圓心為:,圓心到的距離為:,圓心到的距離為:,所以,由題意,所以,故答案為:8.14.已知數(shù)列滿足,則的通項公式為______.【答案】【解析】【分析】對取倒數(shù),然后結(jié)合等比數(shù)列求和公式利用累加法求解即可.【詳解】對兩邊取倒數(shù)得,即,當(dāng)時,,,,,,將以上各式累加得,又,所以,所以,當(dāng)時,也滿足,所以.故答案為:15.設(shè)為數(shù)列的前項積,若,且,則當(dāng)取得最小值時,的值為______.【答案】9【解析】【分析】先得到為等比數(shù)列,公比為,求出通項公式,并得到時,取得最小值.【詳解】由得,,故為等比數(shù)列,公比為,由得,解得,所以,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,又,故時,取得最小值.故答案為:916.雙曲線的左焦點為,過作軸垂線交于點,過作與的一條漸近線平行的直線交于點,且、在軸同側(cè),若,則的離心率為_______.【答案】【解析】【分析】設(shè)點,求出點,分析可知直線的斜率為,利用斜率公式可得出關(guān)于、、的齊次等式,由此可解得雙曲線的離心率.【詳解】易知點,將代入雙曲線的方程,可得,解得,設(shè)點,過點作與直線平行的直線為,聯(lián)立,解得,即點,因為,則直線的傾斜角為,則,即有,即,即,所以,,所以,.故答案為:.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知圓C的圓心在直線上,且該圓與x軸相切.(1)若圓C經(jīng)過點,求該圓的方程;(2)若圓C被直線截得的弦長為,求該圓的方程.【答案】(1)或;(2)或.【解析】【分析】(1)由題意可設(shè)圓心坐標(biāo),進(jìn)而設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,將圓過的點的坐標(biāo)代入,求得參數(shù),即得答案.(2)求出圓心到直線的距離的表達(dá)式,利用圓心距、弦長、半徑之間的關(guān)系列式計算,求得參數(shù),即可得答案.【小問1詳解】由圓C的圓心在直線上可設(shè)圓心為,由于該圓與x軸相切.,故圓的半徑,故可設(shè)圓的方程為,又圓C經(jīng)過點,故,即,解得或,所以圓的方程為或;【小問2詳解】由(1)知圓的方程為,圓心到直線的距離為,圓C被直線截得的弦長為,故,即,解得,故圓的方程為或.18.已知等差數(shù)列的前項和為,且滿足.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)已知數(shù)列滿足,記數(shù)列的前項和為,證明:.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)已知條件利用等差數(shù)列的通項公式和求和公式得到關(guān)于首項和公差的方程組,求得首項和公差,然后利用通項公式求出結(jié)論;(2)利用等差數(shù)列前項和公式,求得,進(jìn)而得到,然后利用裂項相消求和法求得,最后利用不等式的基本性質(zhì)證明結(jié)論.【小問1詳解】設(shè)已知數(shù)列的公差為d,依題意有,解得,,.【小問2詳解】由(1)可得,,∴,,,,,累加相消得.故.19.如圖,在四棱錐中,底面四邊形ABCD滿足,,,棱PD上的點E滿足.(1)證明:直線平面PAB;(2)若,,且,求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析;(2)【解析】【分析】(1)連接,過C做,交BD于T點,先利用三角形全等證得,再根據(jù)三角形的余弦定理求得BD,再由,證明平面平面即可得證.(2)根據(jù)三角形的余弦定理及邊長關(guān)系證明平面,以O(shè)為原點,OC,OD,OP所在的直線為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求出平面的法向量,后根據(jù)線面角的坐標(biāo)求法代入即可求解.【小問1詳解】解:由題意得:連接,過C做,交BD于T點,如圖所示:,,又在中,解得:平面,平面,平面,平面,平面,平面又相交于點平面平面平面直線平面PAB【小問2詳解】連接AC交BD于O點在和中,由可得,即解得:,滿足,所以又又有AC交BD于O點,所以平面,滿足PO,CO,DO兩兩垂直故以O(shè)為原點,OC,OD,OP所在的直線為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則,,,于是有,設(shè)平面的法向量為,由取又故所求角的正弦值為所以直線CE與平面PBC所成角的正弦值為.20.設(shè)數(shù)列的首項,前項和滿足:.(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;(2)設(shè)數(shù)列的公比為,數(shù)列滿足:,.求.【答案】20.證明見解析21.【解析】【分析】(1)根據(jù)等比數(shù)列定義證明等比數(shù)列即可;(2)分項數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù),分別應(yīng)用裂項相消求和即可.【小問1詳解】由;令,得,故,;因為,其中,,.所以當(dāng)時,,兩式相減得:,整理得:,.綜上,數(shù)列是首項為1,公比為的等比數(shù)列.【小問2詳解】由題意得:,,,,故.當(dāng)為偶數(shù)時,當(dāng)為奇數(shù)時,綜上:21.已知拋物線的焦點為,點為上一點,且以為圓心,為半徑的圓恰好與的準(zhǔn)線相切(為坐標(biāo)原點),過點的且斜率的直線與交于,兩點.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若點,直線與的另一個交點分別為,設(shè)的傾斜角角分別為,當(dāng)取最大值時,求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由題意,化簡得,又點在拋物線上即,解方程即可求解;(2)設(shè)點的坐標(biāo)及直線,由韋達(dá)定理及斜率公式可得,再由差角的正切公式及基本不等式可得,即可求解.【小問1詳解】由題意,所以,即,又,所以,所以,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為;【小問2詳解】設(shè),直線,由可得,,由斜率公式可得,,直線,代入拋物線方程可得,,所以,同
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