6.2.1向量的加法運(yùn)算3題型分類（原卷版）

6.2.1向量的加法運(yùn)算3題型分類一、向量加法的定義及其運(yùn)算法則1．向量加法的定義：求兩個向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法．2．向量求和的法則①三角形法則：已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))．這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則．對于零向量與任意向量a，規(guī)定a＋0＝0＋a＝a．②平行四邊形法則：以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個已知向量a，b為鄰邊作?OACB，則以O(shè)為起點(diǎn)的對角線eq\o(OC,\s\up6(→))就是a與b的和.把這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則．③位移的合成可以看作向量加法的三角形法則的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四邊形法則的物理模型.二、向量加法的運(yùn)算律交換律：a＋b＝b＋a．結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．（一）向量加法法則1．向量加法的定義：求兩個向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法．2．向量求和的法則：三角形法則，平行四邊形法則．3.向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別和聯(lián)系：向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別和聯(lián)系：區(qū)別聯(lián)系三角形法則(1)首尾相接(2)適用于任何向量求和三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出圖形的一半平行四邊形法則(1)共起點(diǎn)(2)僅適用于不共線的兩個向量求和題型1：向量的加法11．（2023上·廣東佛山·高二佛山市南海區(qū)南海執(zhí)信中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，已知，求作.(1)；(2)12．（2023·高一課時練習(xí)）如圖，已知向量，求作和向量.13．（2023高一練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)、、分別是三邊、、的中點(diǎn)，求證：.14．（2023下·寧夏銀川·高一賀蘭縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）正方形的邊長為1，則為（

）A．1 B． C．3 D．15．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）為非零向量，且，則（

）A．，且與方向相同 B．是共線向量且方向相反C． D．無論什么關(guān)系均可（二）向量加法運(yùn)算律的應(yīng)用向量加法的運(yùn)算律：交換律：a＋b＝b＋a．結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．向量加法運(yùn)算律的意義和應(yīng)用原則(1)意義：向量加法的運(yùn)算律為向量加法提供了變形的依據(jù)，實現(xiàn)恰當(dāng)利用向量加法法則運(yùn)算的目的.實際上，由于向量的加法滿足交換律和結(jié)合律，故多個向量的加法運(yùn)算可以按照任意的次序、任意的組合來進(jìn)行.(2)應(yīng)用原則：通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序.題型2：向量加法運(yùn)算律的應(yīng)用21．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）化簡：①＋；②＋＋；③＋＋＋＋.40．（2023·高一課時練習(xí)）22．（2023下·高一課時練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，O是和的交點(diǎn).（1）；（2）；（3）；（4）.23．（2023·上?！じ咭黄谀┳魑暹呅?，求作下列各題中的和向量：（1）；（2）.24．（2023下·高一課時練習(xí)）已知正方形ABCD的邊長為1，則．（三）向量加法的實際應(yīng)用應(yīng)用向量解決實際問題的基本步驟(1)表示：用向量表示有關(guān)量，將所要解答的問題轉(zhuǎn)化為向量問題.(2)運(yùn)算：應(yīng)用向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，將有關(guān)向量進(jìn)行運(yùn)算，解答向量問題.(3)還原：根據(jù)向量的運(yùn)算結(jié)果，結(jié)合向量共線、相等等概念回答原問題.題型3：向量加法的實際應(yīng)用31．（2023·高一課前預(yù)習(xí)）一架救援直升飛機(jī)從地沿北偏東60°方向飛行了40km到達(dá)地，再由地沿正北方向飛行40km到達(dá)地，求此時直升飛機(jī)與地的相對位置.32．（2023·高一課時練習(xí)）在靜水中船的速度是，水流的速度是.如果船從岸邊出發(fā)，沿垂直于水流的航線到達(dá)對岸，那么船行進(jìn)方向應(yīng)指向何處？實際航速為多少？33．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）一艘船在水中航行，水流速度與船在靜水中航行的速度均為.如果此船實際向南偏西方向行駛，然后又向西行駛，你知道此船在整個過程中的位移嗎?一、單選題1．（2023·高一課時練習(xí)）某人先向東走3km，位移記為，接著再向北走3km，位移記為，則表示（

）A．向東南走 B．向東北走C．向東南走 D．向東北走2．（2023下·甘肅張掖·高一統(tǒng)考期末）向量（

）A． B． C． D．3．（2023下·江蘇徐州·高一?？茧A段練習(xí)）化簡（

）A． B． C． D．4．（2023下·吉林白城·高一?？茧A段練習(xí)）化簡等于（

）A． B． C． D．5．（2023下·山東臨沂·高一統(tǒng)考期末）已知在邊長為2的等邊中，向量，滿足，，則（

）A．2 B． C． D．36．（2023下·浙江·高一階段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，則（

）A． B．0 C． D．7．（2023上·重慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，D，E，F(xiàn)分別為的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．8．（2023下·高一課時練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．如果非零向量與的方向相同或相反，那么的方向必與，之一的方向相同B．在中，必有C．若，則A，B，C為一個三角形的三個頂點(diǎn)D．若，均為非零向量，則與一定相等9．（2023下·四川·高一四川省科學(xué)城第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，正六邊形ABCDEF中，則（

）A． B． C． D．10．（2023下·上海徐匯·高一上海中學(xué)?？计谀┤舴橇悴还簿€的向量滿足，則（

）．A． B． C． D．11．（2023上·廣東佛山·高二佛山市南海區(qū)南海執(zhí)信中學(xué)校考開學(xué)考試）已知是正三角形，則下列等式中不成立的是（

）A． B．C． D．12．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）若非零向量滿足，則(

)A． B．C． D．13．（2023上·上海浦東新·高二統(tǒng)考期末）如圖,A,B,C,D是平面上的任意四點(diǎn),下列式子中正確的是A． B．C． D．14．（2023上·高二課時練習(xí)）已知非零向量、、，則“”是“、、可構(gòu)成三角形”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件二、多選題15．（2023下·廣東汕尾·高一華中師范大學(xué)海豐附屬學(xué)校?？茧A段練習(xí)）（多選）設(shè)，是任一非零向量，則在下列結(jié)論中，正確的是（

）A． B．C． D．16．（山東省濟(jì)寧市實驗中學(xué)20222023學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）如圖，在平行四邊形中，下列計算正確的是（

）．A． B．C． D．17．（2023上·山東聊城·高二聊城二中?？奸_學(xué)考試）下列說法中，正確的是（）A．若向量，滿足，與同向，則B．若兩個非零向量，滿足，則，是互為相反向量C．的充要條件是與重合，與重合D．模為是一個向量方向不確定的充要條件18．（2023下·高一課時練習(xí)）在中，設(shè)，，，，則下列等式中成立的是（

）A． B． C． D．19．（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）設(shè)是內(nèi)部（不含邊界）的一點(diǎn)，以下可能成立的是（

）A． B．C． D．20．（2023下·福建廈門·高一廈門市松柏中學(xué)校考階段練習(xí)）下列關(guān)于向量的敘述正確的是（

）A．向量的相反向量是B．模為1的向量是單位向量，其方向是任意的C．若A，B，C，D四點(diǎn)在同一條直線上，且，則D．若向量與滿足關(guān)系，則與共線21．（2023上·山東聊城·高二聊城二中校考開學(xué)考試）下列說法中，正確的是（）A．若向量，滿足，與同向，則B．若兩個非零向量，滿足，則，是互為相反向量C．的充要條件是與重合，與重合D．模為是一個向量方向不確定的充要條件三、填空題22．（2023下·高一課時練習(xí)）在平行四邊形中，．23．（2023上·陜西咸陽·高二咸陽市實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在一次抗洪搶險中，某救生艇發(fā)動機(jī)突然發(fā)生故障停止轉(zhuǎn)動，失去動力的救生艇在洪水中漂行，此時，風(fēng)向是北偏東，風(fēng)速是；水的流向是正東方向，流速是，若不考慮其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向是北偏東，大小是．24．（2023上·湖北·高二校聯(lián)考期中）在中，是邊上的點(diǎn)且，若則．25．（2023上·江西九江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，點(diǎn)滿足，則與的面積比為．26．（2023·上海·高一專題練習(xí)）是正三角形，給出下列等式：①；②；③；④．其中正確的有．(寫出所有正確等式的序號)四、解答題27．（2023·高一課時練習(xí)）如圖，已知下列各組向量，，求作．28．（2023上·高一課時練習(xí)）化簡．（1）．（2）．29．（2023·高一課時練習(xí)）化簡下列各式:(1);(2).30．（2023下·高一課時練習(xí)）如圖所示，試分別作出向量．31．（2023下·高一課時練習(xí)）在靜水中船的速度為，水流的速度為，如