2023-2024屆新高考一輪復習湘教版 8-3 圓的方程 學案

第三節(jié)圓的方程

【課標標準】1.回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準

方程與一般方程.2.能根據(jù)圓的方程解決一些簡單的數(shù)學問題.

必備知識夯實雙基

知識梳理

1.圓的定義和圓的方程

定義平面上到的距離等于的點的集合(軌跡)叫做圓

標準圓心

(χ-α)2+(y-?)2—r2(r>O)—

方程半徑

一般圓心

x1+y2+Dx+Ey+F=O(Z)2+E2-4F>0)—

方程半徑

2.點與圓的位置關(guān)系

圓的標準方程(x—a)?+。，一〃)2=r2(r>O),點Af(X0，yo),

(l)(xo-a)2+(γo-?)2戶。點M在圓上；

⑵(xo—aA+Uo一萬yr2o點M在圓外；

(3)(xo-α)2+(yo—?)2r2Q點M在圓內(nèi).

［常用結(jié)論］

1.確定圓的方程時，常用到的圓的三個性質(zhì)：

(1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上.

(2)圓心在任一弦的中垂線上.

(3)兩圓內(nèi)切或外切時，切點與兩圓圓心共線.

2.以A(xι,??),B(X2,")為直徑端點的圓的方程為(尤一χι)(χ-x2)+(y—y∣)(y-”)=0.

夯實雙基

1.思考辨析(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)確定圓的幾何要素是圓心和半徑.()

(2)方程(x+α)2+(y+匕)2=∕2(∕∈R)表示圓心為(α,b),半徑為，的圓.()

(3)方程/+72+4，〃匠一2曠+5〃2=0表示圓.()

(4)若點MQo,泗)在圓％2+)?+Dr+Ey+F=0外，則詔+M+Dro+Eyo+QO.()

2.(教材改編)圓心為(1,一1)且過原點的圓的方程是()

A.(x+l)2+(γ-l)2=l

B.(X+I)?+。+1)2=1

C.(χ-l)2+(γ+l)2=2

D.(X—l>+(y—1)2=2

3.(教材改編)若坐標平面上的原點。在圓(χ-m)2+(y+,w)2=4的內(nèi)部，則實數(shù)m的取

值范圍為.

4.(易錯)若方程Λ2+)?2+“U-2y+3=0表示圓，則，”的取值范圍是()

A.(一8,-√2)U(√2,+∞)

B.(-∞,-2√2)U(2√2,+∞)

C.(-∞,-√3)U(√3,+∞)

D.(-∞,-2√3)U(2√3,+∞)

5.(易錯)半徑為3,圓心的縱、橫坐標相等且與兩條坐標軸都相切的圓的方程為

關(guān)鍵能力?題型突破

題型一圓的方程

例1(l)［2023?哈爾濱三中模擬］己知圓C經(jīng)過點4(-1,-4),8(6,3),且圓心在直線X

一)一4=0上，則圓C的標準方程為()

A.(χ-3)2+(y+l)2=25

B.(χ-3)2+(y-l)2=25

C.(χ-3)2+(y+l)2≈5

D.(x+3)2+(γ+l)2=25

(2)已知圓C經(jīng)過尸(一2,4),Q(3,-1)兩點，且在X軸上截得的弦長等于6,則圓C

的方程為.

［聽課記錄］

題后師說

求圓的方程的兩種方法

鞏固訓練1

(l)［2022?河南安陽模擬］過點(0,2)且與直線y=x-2相切，圓心在X軸上的圓的方程為

)

A.(x+l)2+y2=3B.(X+1)2+∕=5

C.(Λ+2)2+Γ=4D.(x+2)2+y2≈8

(2)已知aABC的三個頂點分別為A(0,4),8(—2,0),C(-2,2),則AABC的外接圓

的方程為.

題型二與圓有關(guān)的軌跡問題

例2已知直角三角形ABC的斜邊為A8,且點A(-l,0),8(3,0).

(1)求直角頂點C的軌跡方程；

(2)求直角邊BC的中點M的軌跡方程.

［聽課記錄］

題后師說

求與圓有關(guān)的軌跡問題的常用方法

鞏固訓練2

設定點M(—3,4),動點N在圓X2+/=4上運動，以。M，ON為鄰邊作平行四邊形

MONP,求點尸的軌跡方程.

題型三與圓有關(guān)的最值問題

角度一利用幾何意義求最值

例3已知實數(shù)X,y滿足方程x2+y2-4χ-5=0,

(1)求3χ-j的最大值和最小值；

(2)求(χ-3)2+(y-1)2的最大值和最小值；

(3)求與I的最大值和最小值.

［聽課記錄］

題后師說

與圓有關(guān)的最值問題的三種幾何轉(zhuǎn)化法

形如“=巖影式的最值問題

形如“=如+外形式的最值問題

形如“=(x-α)2+(?f)2形式的最

值問題

鞏固訓練3

已知實數(shù)X、y滿足方程f+y2—4x+l=0.求:

(IE的取值范圍；

(2)y-x的取值范圍；

(3)x2+y2的取值范圍.

角度二利用函數(shù)求最值

2

例4［2023?河北唐山模擬］已知4—2,0)、BQ,0),P(H),yo)是圓C-(χ-l)+∕=3

上的動點，當∣∕?∣?∣PB∣最大時，XO=；∣∕?∣十∣P劇的最大值為.

［聽■｛果?i≡,錄］........................................................................

題后師說

利用函數(shù)關(guān)系求最值時，首先列出所求目標式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征

選用配方法、基本不等式法、三角函數(shù)法等求最值.

鞏固訓練4

設點P(x,y)是圓(X—3/+y2=4上的動點，定點A(0,2),B(O,一2),則|正+麗|的最

大值為.

第三節(jié)圓的方程

必備知識?夯實雙基

知識梳理

1.定點定長(a，b)r(-p-∣)V"+；JF

2.(1)=(2)>(3)<

夯實雙基

1.答案：⑴，(2)×(3)×(4)√

2.解析：圓心為(1,一1)且過原點的圓的半徑為

√(l-0)2+(-l-0)2=√2,

故圓心為(1,一1)且過原點的圓的方程為

(jc-l)2+(y+l)2=2.

答案：C

3.解析：：原點。在圓(X-∕n)2+(y+m)2=4的內(nèi)部，

(0—∕n)2+(0÷nt)2<4,得2療<4,解之得一?√Σ<7M<√Σ,即實數(shù)Zn的取值范圍為(一企，

√2).

答案：(一√Σ,V2)

4.解析：將x2+y2+"jχ-2y+3=0化為圓的標準方程得(x+∕)2+(y-1)2=:一2.由其

表示圓可得上^—2>0,解得WlV—2四或"i>2>∕∑.

4

故選B.

答案：B

5.解析：由題意可設圓心坐標為(a,a),

則圓的方程為(x—a)?+。一")2=9,

.?.∣ɑ∣=r=3,

.'.a—±3,

???所求圓的方程為：

(χ-3)2+(y-3)2=9或(x+3)2+(γ+3)2=9.

答案：(》-3)2+。-3)2=9或(X+3)2+°>+3)2=9

關(guān)鍵能力?題型突破

例1解析：(1)設圓C的標準方程為(X-a)2+(j—人)2=∕(r>0),

因為圓C經(jīng)過點4一1,-4),8(6,3),且圓心在直線x—y—4=0上,

((—1—α)2+(—4—b)2=r2(a=3

所以有,(6—a)2+(3—b)2=r2='b=?~l,

α—￡>—4=0(r=5

因此圓C的標準方程為(χ-3)2+(y+l)2=25,

故選A.

2

(2)設圓的方程為x+V+Z)X+Ey+F=o(02+E2-4f>0),

將P,Q兩點的坐標分別代入，

得∣2D-4E-F=20,①

(3D-E+F=-10.②

又令y=0,得X2+CX+F=0.③

設Xl,X2是方程③的兩根，則X∣+X2=-X?X1=F,

Δ=D2-4F>0,

由∣X∣-X2∣=6,得。2-4F=36,④

聯(lián)立①②④，解得。=-2,E=-4,F=S9或。=-6,E=-8,F=O.

故所求圓的方程為x2+y2-2χ-4γ-8=0或x2÷y2-6χ-8γ=0.

答案：(I)A(2)f+y2-2元-4y—8=0或x2+y2-6x—8y=0

鞏固訓練1解析：(1)設圓心為(訪0),由題意得：^=√(a-0)2+(0-2)2,

解得：a——2,

故圓的半徑r-(—2—O)2+(0-2)2=2Λ∕Σ,

所以圓的方程為：(X+2)2+√≈8.

故選D.

(2)設AABC外接圓的一般方程為：Λ2+y2+θχ+Ey+F=0(D2+E2-4Q0),把人⑴，4),

B(—2,0),C(-2,2)三點坐標代入圓的一般方程得：

16+4E+F=0p=-2

4-2D+F=0,解得E=-2,

.8-2D+2E+F=0(F=-8

所求圓的一般方程為：x2÷γ2-2χ-2?—8=0,化為標準方程為：(x—1尸+()'—1產(chǎn)=

10.

答案：(I)D(2)1+)2—2X—2y-8=0(或。-1)2+。-1)2=]0)

例2解析：(1)設點C(X,y),因為A,B,C三點不共線，所以y#0.

XAClBC,所以心CMBC=-L

又心C=W'^βc=?'

所以擊?￡=-1，化簡得/+V—級―3=0.故直角頂點C的軌跡方程為x2+y2-2x

-3^0(y≠0).

(2)設點M(x,y),C(x0,yo),因為點8(3,0),M是線段BC的中點，所以X=芋，y

=*蛆，所以xo=2r?-3,y0=2y.

由(1)知，點C的軌跡方程為r+y2-2Λ?—3=0°,W0),即(X-I)2+y2=4(jN0),

將Λ?≈2X-3,yo=2y代入得(2χ-4)2+(2y)2=4(yW0),

即(χ-2)2+y2=i(yW0).故點M的軌跡方程為。-2)2+產(chǎn)=1。A0).

鞏固訓練2

解析：如圖，設P(x,y),MX0,為)，則線段OP的中點坐標為(；，今，線段MN的中點

坐標為(然，竽).因為平行四邊形的對角線互相平分，所以;=寫，I=等，整理得

x=X+3,

0又點N(X°,yo)在圓x2+y2=4上,

Yo=y-4,

所以(X+3)2+G-4)2=4.

所以點P的軌跡是以(一3,4)為圓心，2為半徑的圓，直線。例與軌跡相交于兩點(一9

￡)和(一g，γ),不符合題意，舍去，所以點P的軌跡為(x+3)2+(y-4)2=4,除去兩點(一

I-(和(一去τ)?

例3解析：(1)因為f+y2—4χ-5=0,即(x—2y+γ2=9,所以圓心為C(2,0),半徑

r=3,

令3χ-y=z,即標一)，一z=0,則圓心到直線的距離d=溫等W3,

所以6—3√TUWzW6+3√Tδ,即3χ-y的最大值為6+3√IU,最小值為6—3同.

(2)(》-3)2+。-1)2表示圓上的點A(x,y)與點仇3,1)的距離的平方，

因為IBCl=J(3-2)2+12=夜,

所以(r-∣Bq)2W∣AB∣2W(r+∣BC∣)2,即11-6√2≤∣AB∣2≤11+6√2,

所以(X—3)2+。-1)2的最小值為ll-6√2,最大值為ll+6√2.

(3)號表示圓上的點A(x,y)與點。(-3,2)連線的斜率，

設過點。(一3,2)的直線方程為y-2=k(x+3),即履一y+3A+2=0,

所以4=”包;W3,即16?2+20k-5W0,解得三越WkWq正，

√k2+(-l)288

所以N的最大值為三學，最小值為心手.

X+388

鞏固訓練3解析：⑴如圖:

方程f+y2—4χ+ι=o表示以點(2,0)為圓心，以次為半徑的圓.

設;=鼠即y=fcv,當圓心(2,0)到直線y=fcr的距離為半徑時直線與圓相切，斜率取得

最大、最小值.

由寂=低解得-3.

所以氏n≡=λ∕5,Amin=-W,

所以(的最大值為遮，最小值為一百，取值范圍為[一百，√3].

(2)設y—x=Z),則y=x+∕>,當直線y=x+∕>與圓相切于第一象限時，縱軸截距6取最

大值，相切于第四象限時，縱軸截距b取最小值，

由點到直線的距離公式，得巴普=遮，即6=-2±√S,

√2

故y-x的取值范圍為[-2—√δ,-2+√6].

(3)Λ2+J2是圓上點與原點距離的平方，連接OC與圓交于B點，并延長交圓于。，如

圖：

可知點8到原點的距離最小，點C到原點的距離最大，

此時有。8=2一百，OC,=2+√3,

2222

則(f+y2)min=∣O8∣2=(2-6)2=7—4百，(Λ+y)maχ=∣OC∣-(2+√3)=7+4√3,

故f+y2的取值范圍為[7—4舊，7+4√3].

例4解析：