2022-2023學(xué)年黑龍江省大慶市高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年黑龍江省大慶市高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.設(shè)集合A={x∣log2?r<2},B=∣x∣x2<9∣,則AB=()

A.(0,3)B,(-3,3)C.(0,4)D.(—3,4)

【答案】A

【分析】解出集合A、Ii,利用交集的定義可求得集合AC8.

【詳解】因?yàn)锳={x∣log2X<2}={Hθ<x<4},B=HX2<9}={χ卜3<x<3},

因此，A3=(0,3).

故選：A.

2.命題“VreR,V+x-1>0”的否定是()

A.3x∈R,√+χ-l<0B.3x∈R,χ2+χ-?≤0

C.?x∈R,x2+x-l≤0D.3x∈R,χ2+χ-l≥0

【答案】B

【分析】利用全稱量詞命題的否定可得出結(jié)論.

2,,

【詳解】命題“VreR,f+χτ>o”為全稱量詞命題，該命題的否定為"》∈R,χ+χ-l≤0?

故選：B.

3.甲、乙、丙3人站到共有5級(jí)的臺(tái)階上(每級(jí)臺(tái)階足夠長(zhǎng)，可站多人)，同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)分

站的位置，則不同的站法種數(shù)是()

A.35B.105C.125D.4854

【答案】C

【分析】分析可知甲、乙、丙3人每人都有5種選法，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.

【詳解】由題意可知，甲、乙、丙3人每人都有5種選法，

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的站法種數(shù)是5?=125種.

故選：C.

4.有10件產(chǎn)品，其中3件是次品，從中任取兩件，若X表示取得次品的件數(shù)，則P(X<2)=()

7C8-14c15

A.—B.—C.—D.—

15151516

【答案】C

【分析】根據(jù)超幾何分布的定義計(jì)算即可.

【詳解】由題意知X的可能取值為0,1,2,X服從超幾何分布，所以

P(X=①唔=卷P(X=I)=警卡所以P(X<2)=P(X=0)+P(X=I)=(+(=￡.

故選：C項(xiàng).

5.云計(jì)算是信息技術(shù)發(fā)展的集中體現(xiàn)，近年來(lái)，我國(guó)云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模持續(xù)增長(zhǎng).己知某科技公司2018

年至2022年云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模數(shù)據(jù)，且市場(chǎng)規(guī)模y與年份代碼X的關(guān)系可以用模型y=qe"*（其中e

為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）擬合，設(shè)Z=Iny,得到數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表如下：

年份2018年2019年2020年2021年2022年

年份代碼工12345

云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模y/千萬(wàn)元7.4112036.655

Z=Iny22.43.03.64.0

由上表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程z=S52x+0,則2025年該科技公司云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模V的估計(jì)值為（）

585661265

A.e0B.e?C.eD.e

【答案】B

【分析】求出I、W的值，代入回歸方程求出“的值，可得出Z關(guān)于X的回歸方程，然后在回歸方程

中令x=8可得出Z的值，即可求得〉的值，即可得解.

1+2+3+4+5-2+24+3+3.6+4_

【詳解】由題意可得X==3,z=------------------------=3,

55

X=3

將C代入回歸方程Z=O.52x+α可得α=3-3x().52=1.44,

z=3

所以，Z關(guān)于X的回歸方程為Z=O.52x+1.44,

當(dāng)x=8時(shí)，z=0.52×8+1.44=5.6=lny,此時(shí)，y=e".

故選：B.

6.某學(xué)校選派甲，乙，丙，丁，戊共5位優(yōu)秀教師分別前往A,8,C,。四所農(nóng)村小學(xué)支教，用實(shí)際

行動(dòng)支持農(nóng)村教育，其中每所小學(xué)至少去一位教師，甲，乙，丙不去B小學(xué)但能去其他三所小學(xué)，

T，戊四個(gè)小學(xué)都能去，則不同的安排方案的種數(shù)是（）

A.72B.78C.126D.240

【答案】B

【分析】分組討論結(jié)合組合排列關(guān)系計(jì)算即可.

【詳解】要求每所小學(xué)至少去一位教師，則需要將5人分成4組,

則①甲，乙，丙中有2位教師去同一所學(xué)校有：

C：A；A；=36種情況，

②甲，乙，丙中有1位教師與丁去同一所學(xué)校有：

C；A；A；=36種情況，

③丁，戊兩人選擇同一所學(xué)校有：A；=6種情況,

所以滿足題意的情況為：36+36+6=78,

故選：B.

7.三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家趙家為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”,

它由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形構(gòu)成.現(xiàn)對(duì)該圖進(jìn)行涂色，有5種不同的顏色可供選擇，相

鄰區(qū)域所涂顏色不同.在所有的涂色方案中隨機(jī)選擇一種方案，該方案恰好只用到四種顏色的概率是

【答案】C

【分析】先求出所有的涂色方案種數(shù)，然后求出只用到四種顏色的涂色種數(shù)，利用古典概型的概率

公式可求得所求事件的概率.

【詳解】先考慮所有的涂色方案種數(shù)：區(qū)域⑤有5種涂色方法，區(qū)域①有4種涂色方法，區(qū)域②有3

種涂色方法.

若區(qū)域③和區(qū)域①同色，則區(qū)域④有3種涂色方法；

若區(qū)域③和區(qū)域①異色，則區(qū)域③有2種涂色方法，區(qū)域④有2種涂色方法.

綜上所述，所有的涂色方法種數(shù)為5x4x3x(lx3+2x2)=420種.

接下來(lái)考慮只用到四種顏色的涂色方案種數(shù)：先從5種顏色選擇4種顏色，共C；種,

區(qū)域⑤有4種涂色方法，則區(qū)域①③同色或區(qū)域②④同色，

若區(qū)域①③同色，則區(qū)域②④異色；若區(qū)域②④同色，則區(qū)域①③異色.

此時(shí)，不同的涂色方案種數(shù)為c*4xC；xC；XA；=240種.

2404

因此，該方案恰好只用到四種顏色的概率是P=商

故選：C.

8.甲乙兩人進(jìn)行乒乓球賽，現(xiàn)采用三局兩勝的比賽制度，規(guī)定每局比賽都沒(méi)有平局(必須分出勝負(fù)),

且每一局甲贏的概率都是P,隨機(jī)變量X表示最終的比賽局?jǐn)?shù)，若0<p<g,則()

5911on

A.E(X)=5B,f(X)>yC.D(X)>-D.D(X)<-

【答案】D

【分析】結(jié)合二項(xiàng)分布可計(jì)算隨機(jī)變量X的分布列，再利用公式可求E(X)、O(X),最后利用二

次函數(shù)的性質(zhì)可求其范圍.

【詳解】隨機(jī)變量X可能的取值為2,3.

p(χ=2)=Cl,p2+C；(l-/?)2=2p2-2p+l.

P(X=3)=G/?(I-P)P+C；Ml-P)(I-p)=2p-2",

故X的分布列為：

X23

P2p2-2p+i2p-2p2

故E(X)=2x(2p2_2p+l)+3x(2p-2p2)=_2p2+2p+2=-2(p-；)+∣

1222252221

因?yàn)?<”",故2<E(X)營(yíng)，而三<|看<￡,故A、B錯(cuò)誤.

[fUD(X)=4x(2/72-2/?+l)+9x(2p-2p2)-(-2p2+2/?+2)\

令f=2p-2p2=-21p—+?>因?yàn)?<p<g<g,

?0<f<-,止匕時(shí)O(X)=4χ(l-f)+%-(r+2)2=-f2+fe]θ,券],

9\oi√

O(X)<；必成立，故C錯(cuò)誤，D正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、期望、方差的計(jì)算以及函數(shù)的值域的求法，計(jì)算分布

列時(shí)可借助常見(jiàn)的分布列(如二項(xiàng)分布等)來(lái)計(jì)算，估計(jì)方差的范圍時(shí)，注意利用換元法把高次函

數(shù)的值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域問(wèn)題?

二、多選題

9.下列結(jié)論正確的是()

A.若。則儲(chǔ)>〃B.?ac2<bc2,則a<8

C.若a>b,od,則α+c>b+dD.若a>b,c>d,貝!]αc>bd

【答案】BC

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合特殊值判斷.

【詳解】A.取特殊值，a=-?,b=-2,顯然不滿足結(jié)論；

B.由加2<加2可知C2>0,由不等式性質(zhì)可得4<〃，結(jié)論正確；

C.由同向不等式的性質(zhì)知，a>b,c>d可推出α+c>b+4,結(jié)論正確；

D.取4=3,b=0,c=-1,"=一2,滿足條件，顯然“c>仇/不成立，結(jié)論錯(cuò)誤.

故選：BC.

10.隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，若P(X=Q)=%則下列結(jié)論正確的有()

3

B.D(X)=-

A.P(X=I)=W,)16

C.E(2X+1)=~D.D(2X+1)=-

【答案】ABD

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布的定義以及期望，方差的性質(zhì)即可解出.

1a

【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，P(X=O)=;,所以P(X=1)=；,

331335

故E(X)===因i?,f(2X+l)=2E(X)+l=2×-+l=∣,

33

D(2X+l)=4D(X)=4×-=j,所以正確的是ABD.

故選：ABD.

11.廉江紅橙是廣東省廉江市特產(chǎn)、中國(guó)國(guó)家地理標(biāo)志產(chǎn)品.設(shè)廉江地區(qū)某種植園成熟的紅橙單果

質(zhì)量用(單位：g)服從正態(tài)分布N(165,/)，且P(M<162)=0.15,P(165<M<167)=0.3.下列

說(shuō)法正確的是()

A.若從種植園成熟的紅橙中隨機(jī)選取1個(gè)，則這個(gè)紅橙的質(zhì)量小于167g的概率為0.7

B.若從種植園成熟的紅橙中隨機(jī)選取1個(gè)，則這個(gè)紅橙的質(zhì)量在167g?168g的概率為0.05

C.若從種植園成熟的紅橙中隨機(jī)選取600個(gè)，則質(zhì)量大于163g的個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為480

D.若從種植園成熟的紅橙中隨機(jī)選取600個(gè)，則質(zhì)量在163g?168g的個(gè)數(shù)的方差為136.5

【答案】BCD

【分析】A.由M~N(165,σ2)求解判斷；B.由P(165<M<168)=P(162<M<165)=0?5-0.15=0.35

求解判斷；C.由質(zhì)量大于163g的個(gè)數(shù)X~8(600,0.8)求解判斷；D.由質(zhì)量在163g?168g的個(gè)數(shù)

丫~8(600,0?65)求解判斷.

【詳解】解：因?yàn)镸~N(165,/),所以P(M<167)=0.5+0.3=0.8,所以A錯(cuò)誤.

因?yàn)镻(165<M<168)=P(162<M<165)=0.5-0.15=0.35,所以

P(167<M<168)≈0.35-0.3=0.05,所以B正確.

P(M>163)=P(M<167)=0.8,若從種植園成熟的紅橙中隨機(jī)選取600個(gè)，則質(zhì)量大于163g的個(gè)

數(shù)X~8(600,0.8).所以E(X)=600x0.8=480,所以C正確.

因?yàn)槭?65<M<167)=0.3,所以尸(163vM<165)=0.3,又因?yàn)槭?M<162)=0.15,所以

P(162<M<163)=∕3(Λ∕<165)-P(163<M<165)-P(M<162)=0.5-0.3-0.15=0.05,則

P(167<M<168)=0.05,

所以

P(163<M<168)=P(163<Λ∕<165)+P(165<Λ∕<167)+P(167<Λ∕<I68)=0.3+0.3+0.05=0.65

=0.65,

若從種植園成熟的紅橙中隨機(jī)選取600個(gè)，則質(zhì)量在163g?168g的個(gè)數(shù)y~B(6(X),().65),所以

r>(r)=6(X)×0.65X(1-0.65)=136.5,所以D正確.

故選：BCD

12.一個(gè)不透明的袋子里，裝有大小相同的3個(gè)紅球和4個(gè)藍(lán)球，每次從中不放回地取出一球，則下

列說(shuō)法正確的是()

3

A.取出1個(gè)球，取到紅球的概率為'

B.取出2個(gè)球，在第一次取到藍(lán)球的條件下，第二次取到紅球的概率為T(mén)

C.取出2個(gè)球，第二次取到紅球的概率為g

9

D.取出3個(gè)球，取到紅球個(gè)數(shù)的均值為1

【答案】ABD

【分析】根據(jù)古典概型概率公式可求得A正確；根據(jù)條件概率公式可求得B正確；將第二次取到紅

球分為兩種情況，將概率加和可求得C錯(cuò)誤；記取到的紅球數(shù)為X,計(jì)算可得X每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概

率，根據(jù)均值求法可求得D正確.

【詳解】對(duì)于A,取出1個(gè)球，取到紅球的概率P=,A正確;

對(duì)于B,記笫一次取到藍(lán)球?yàn)槭录嗀,第二次取到紅球?yàn)槭录?,

2

則P(AB)=舞VP(A)g???P(B∣A)=瞽?=’；，B正確;

7

321

對(duì)于C,若第一次取到紅球，第二次也取到紅球，則概率為士X：=一;

767

432

若第一次取到藍(lán)球，第二次取到紅球，則概率為二X二==；

767

123

???第二次取到紅球的概率P=]+?=',C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,記取到的紅球數(shù)為X,則X所有可能的取值為OJ2,3,

??.p(x=0),χ3-,P(X=I)="143143310818

'776521035'7765765765210-35

3243424272123216

P(X=2)=-X-X—+—X-X-÷-×-×P(X=3)=—X—X—=

765765765210-3576521035

二?取到紅球個(gè)數(shù)的均值為Ox—4+lx1，8+2x1—2+3x—1=4上5=93，D正確.

35353535357

故選：ABD.

三、填空題

13.空間中有7個(gè)點(diǎn)，其中任何4個(gè)點(diǎn)不共面，過(guò)每3個(gè)點(diǎn)作一個(gè)平面，可以作個(gè)平面.

(用數(shù)字作答)

【答案】35

【分析】利用組合計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.

【詳解】空間中有7個(gè)點(diǎn)，其中任何4個(gè)點(diǎn)不共面，過(guò)每3個(gè)點(diǎn)作一個(gè)平面，能作的平面的個(gè)數(shù)為

C=35個(gè).

故答案為：35.

14.(2x-3(l-x)'”展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.

X

【答案】10

【分析】根據(jù)給定條件，確定展開(kāi)式常數(shù)項(xiàng)的構(gòu)成形式，再借助二項(xiàng)式定理求解作答.

【詳解】(2x-3(l-X)K)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是(I-X尸展開(kāi)式的含X的項(xiàng)與-L相乘的積，

XX

r

(Ir尸展開(kāi)式的通項(xiàng)公式加=，)(-》=(-l)C[0√,r∈N,r≤10,

當(dāng)〃=1時(shí)，T1=Cjo(-x)=-lOx,

所以(2x-1)(l-x)'°展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為-IOX?(-3=10.

XX

故答案為：10

15.有一批同規(guī)格的產(chǎn)品，由甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)，其中甲、乙、丙工廠分別生產(chǎn)2000件、3000

件、5000件，而且甲、乙、丙工廠的次品率依次為6%、5%、5%,現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取一件，則

取到次品的概率為.

【答案】0.052

【分析】記事件A、4、A分別表示所抽取的產(chǎn)品由甲、乙、丙工廠生產(chǎn)，記事件8為“所抽的產(chǎn)

品為次品”，利用全概率公式可求得所求事件的概率.

【詳解】記事件4、&、&分別表示所抽取的產(chǎn)品由甲、乙、丙工廠生產(chǎn)，記事件8為“所抽的產(chǎn)

品為次品”，

則P(A)=O.2,尸(4)=0.3,P(A)=O.5,P(B∣4)=0.06,P(B∣A2)=P(B∣AJ)=O.O5,

3

由全概率公式可得P(B)=ZP(AJP(BIAJ=O.2x0.06+0.3x0.05+0.5x0.05=0.052.

?=I

故答案為：0.052.

16.南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》一書(shū)中畫(huà)了一張表示二項(xiàng)式展開(kāi)式的系數(shù)構(gòu)成的三角

形數(shù)陣(如圖所示)，在“楊輝三角''中，第20行所有數(shù)字的平方和等于.(用一個(gè)組合數(shù)

作答)

第0行1

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

【答案】CM

【分析】把(1+X)40寫(xiě)成(l+χ)2°?(χ+l)2°,再利用二項(xiàng)式定理求出Y。項(xiàng)的系數(shù)作答.

【詳解】依題意,在“楊輝三角”中，第20行所有數(shù)字的平方和等于(CO)2+(C；o)2+(C)++(C為2,

可視為(l+χ產(chǎn)按X升基展開(kāi)與(χ+l嚴(yán)按X降幕展開(kāi)的兩個(gè)多項(xiàng)式乘積展開(kāi)式的含x”項(xiàng)的系數(shù),

20202j

βp(1+%)?(x+1)=(Cθ0+c^ox+C^0x++C^χ2θ)Co∕+C>9+Go/++C20)展開(kāi)式含爐。項(xiàng)

的系數(shù)，

而(1+Λ)20?(X+1)20=(1+X)4°,(1+%)40展開(kāi)式中含一項(xiàng)的系數(shù)為CM,

所以(CO)<(c，++(C竊=4嗡+c?++caJ=Cr

故答案為:c∞.

四、解答題

17.2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國(guó)家境內(nèi)舉行,

也是繼2002年韓日世界杯之后時(shí)隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽，某中學(xué)高二年級(jí)共

300人，其中男生150名，女生150名，學(xué)校團(tuán)委對(duì)是否喜歡觀看該世界杯進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，男生

喜歡觀看的人數(shù)為90,女生喜歡觀看的人數(shù)為60.

(1)根據(jù)題意補(bǔ)全2x2列聯(lián)表:

喜歡觀看不喜歡觀看合計(jì)

男生150

女生150

合計(jì)300

⑵依據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該校學(xué)生喜歡觀看世界杯與性別有關(guān)?

參考臨界值表：

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

2n?ad-?c)^

”(α+?)(c+rf)(α+c)(?+d)'

【答案】⑴2x2列聯(lián)表見(jiàn)解析；

(2)能認(rèn)為該校學(xué)生喜歡觀看世界杯與性別有關(guān).

【分析】(I)根據(jù)題設(shè)數(shù)據(jù)確定男女生喜歡、不喜歡觀看球賽的人數(shù)，即可完成列聯(lián)表;

(2)應(yīng)用卡方公式求卡方值，根據(jù)獨(dú)立檢驗(yàn)的基本思想即可得結(jié)論.

【詳解】(1)依題設(shè)，喜歡觀看的男生有90人，不喜歡觀看的男生有150-90=60人;

喜歡觀看的女生有60人，不喜歡觀看的女生有150-60=90人,

列聯(lián)表如下圖示:

喜歡觀看不喜歡觀看合計(jì)

男生9060150

女生6090150

合計(jì)150150300

⑵…黑:然漂黑33

所以依據(jù)小概率值α=Q(X)I的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能認(rèn)為該校學(xué)生喜歡觀看世界杯與性別有關(guān).

18.已知函數(shù)/(x)=InV-αr,αe(θ,l).

⑴若時(shí)，求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

⑵求/(x)在口，2］上的最小值.

【答案】(1)遞增區(qū)間為(。，2),遞減區(qū)間為(2,+∞):

(2)答案見(jiàn)解析.

【分析】(1)把“=；代入，利用導(dǎo)數(shù)求出/(x)的單調(diào)區(qū)間作答.

(2)利用導(dǎo)數(shù)分段討論函數(shù)f(x)在。,2］上的單調(diào)性，再求出最小值作答.

【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，/(x)=hrv-gX的定義域?yàn)?0,+8),求導(dǎo)得/(X)=T-；，

當(dāng)0<x<2時(shí)，∕,(x)>O,當(dāng)χ>2時(shí)，∕V)<0,即函數(shù)/U)在(0,2)上單調(diào)遞增，在(2,+8)上單調(diào)

遞減，

所以函數(shù)/(X)的遞增區(qū)間為(0.2),遞減區(qū)間為(2,+∞).

(2)O<α<l,函數(shù)/(x)=lnx-αr,求導(dǎo)得八X)=,一。，由XeU,2］,得工

XX2

當(dāng)O<a≤g時(shí)，f'(x)≥O,當(dāng)x=2,α=g時(shí)取等號(hào)，因此函數(shù)/(χ)在［1,2］上單調(diào)遞增，

/(x)∏?=?ΛD=-α,

當(dāng),<α<l時(shí)，由/'(x)>0,得14x<',由/'(x)<O,得J<x≤2,

2aa

于是函數(shù)/(X)在U」)上單調(diào)遞增，在(±2]上單調(diào)遞減，/(1)=-oj(2)=ln2-24,

aa

由/⑴―/(2)=α-ln2=0,得α=ln2,當(dāng);<"ln2時(shí)，/U)min=/(D=-?,

當(dāng)α=ln2時(shí)，-1)=/(2)=-In2,當(dāng)ln2<α<l時(shí)，/Wmin=/(2)=In2-2?,

所以當(dāng)0<a≤ln2時(shí)，函數(shù)的最小值為一。，當(dāng)ln2<α<l時(shí)，函數(shù)/⑴的最小值為ln2-功.

19.已知公差不為零的等差數(shù)列｛q｝滿足%是4，%的等比中項(xiàng)，出+&=".

⑴求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

(2)從下面兩個(gè)條件選擇一個(gè)作為已知條件，求數(shù)列｛，｝的前”項(xiàng)和S”.

①H=""";

②"=-鼠+ι)?

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】⑴%=n;

(2)答案見(jiàn)解析

【分析】(1)先利用題給條件求得等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)與公差，進(jìn)而求得數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)選①利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列｛〃,｝的前〃項(xiàng)和S,,；選②利用裂項(xiàng)相消法即可求得數(shù)歹M2｝

的前”項(xiàng)和S“

【詳解】(1)等差數(shù)列｛4｝滿足/是如4的等比中項(xiàng)，

2

：.a^=ata4,即(ɑ∣+c∕)=αl(?,+34).

由％+4=11，可得(4+4d)+(a∣+5d)=ll.

(q+d)2=α∣(q+3d)]

由∣(q+4d)+(q+5d)=ll,可得竹一,

d≠0I

,

..an=4+(〃-l)d=〃.

(2)若選①:bn=n?T,則S,,=lx2'+2x22+?+n-2".

2S,,=l×22+2×23++n-2,,t'

.?.5,,=n?2"+l-2-(22+23++2”)

=n-2"+'-)=n-2,,+l+2(l-2")=(π-l)2"+l+2；

若選②："(2"j"l)?

1H--------------------=I-I-------------------

(2∕ι-l)(2π+l)2(2〃-12n+l

20.“綠色出行，低碳環(huán)保”已成為新的時(shí)尚，近幾年國(guó)家相繼出臺(tái)了一系列的環(huán)保政策，在汽車行

業(yè)提出了重點(diǎn)扶持新能源汽車的政策，為新能源汽車行業(yè)的發(fā)展開(kāi)辟了廣闊的前景.某公司對(duì)A充電

樁進(jìn)行生產(chǎn)投資，所獲得的利潤(rùn)有如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，并計(jì)算得之G-可(y-y)=30.

A充電樁投資金額力萬(wàn)元3467910

所伏利潤(rùn)W百萬(wàn)元1.5234.567

(1)已知可用一元線性回歸模型擬合y與X的關(guān)系，求其經(jīng)驗(yàn)回歸方程；

⑵若規(guī)定所獲利潤(rùn)y與投資金額X的比值不低于，則稱對(duì)應(yīng)的投入額為“優(yōu)秀投資額記2分，所

獲利潤(rùn)y與投資金額X的比值低于;且大于則稱對(duì)應(yīng)的投入額為“良好投資額”，記1分，所獲利

潤(rùn)y與投資金額X的比值不超過(guò)g，則稱對(duì)應(yīng)的投入額為“不合格投資額”，記0分，現(xiàn)從表中6個(gè)投

資金額中任意選2個(gè)，用X表示記分之和，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

__

∑(χ,一￡)(%-區(qū))∑χ∕-"Xy

附：方=J-----------=弓---------.a=y-bx.

Σ(Λ--J)2Σ^V,2-∞2

/=I/=I

【答案】⑴3=0?8X-1?2;

⑵分布列見(jiàn)解析，|.

【分析】(1)利用給定的數(shù)表求出工亍，再利用最小二乘法公式求解作答.

(2)求出X的可能值，及對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望作答.

-3+4+6+7+9+101.5+2÷3+4.5+6÷7，

【詳解】(1)由數(shù)表知,X=-------------------------=6.5,y=-----------------------------=4

66

y(X.-X)2=(3-6.5)2+(4-6.5)2+(6-6.5)2+(7-6.5)2÷(9-6.5)2+(10-6.5)2=37.5,

/=I

^(x,.-x)(χ-y)

因此5=----------------息3?=γ-?x=4-0.8×6.5=-1.2,

之日-元)2

/=1

所以所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程為9=0?8x7?2.

1523114.5627

(2)由數(shù)表知，y=^=∣=∣—<——<——<一

279310

因此“優(yōu)秀投資額”有2個(gè)，“良好投資額，有1個(gè)，“不合格投資額”有3個(gè),

X的可能值為0,123,4,

21

P(X=O)=MC=3二」1,P(X=I)=C工×129/(X6冷曝I

或155

C1×1OC2

∕>(X=3)=^-=-,P(X=4)=?=1

C15G15

所以X的分布列為:

X01234

??221

P

555百15

數(shù)學(xué)期望E(X)=0x-1+lx1-+22x*+3χ2-+4x1-=j5

55515153

21.設(shè)“x)=or+lnx+1.

⑴當(dāng)α=l時(shí)，求函數(shù)/(x)在x=l處的切線方程；

⑵若對(duì)任意的x>0,/(x)≤Λe2'恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(l)>=2x

(2)(-∞,2]

【分析】(1)當(dāng)α=l時(shí)，求出/(1)、/⑴的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程；

(2)分離參數(shù)得到ɑ≤*-則土?,構(gòu)造函數(shù)〃z(x)=e2'-也土Lx>O),求導(dǎo)確定函數(shù)的最小值即

XX

可得到。的取值范圍?

【詳解】(I)解：當(dāng)。=1時(shí)，/(x)=x+∣nx+l,則/'(χ)=l+g,所以，/(l)=r(l)=2,

所以，當(dāng)α=l時(shí)，求函數(shù)f(x)在x=l處的切線方程為y-2=2(x-1),即y=2x.

(2)解：因?yàn)?(x)=Or+lnx+1,所以對(duì)任意的x>0,/(同工房、恒成立，

等價(jià)于a<e2v-也F在(o,+8)上恒成立.

?/X)χlιur+l/,,/?2x2e2x+Inx

令tn[x}=e^------—(x>0nλ),則mlm'(χ)=-------?-----.

XX

再令"(X)=2x2e2x+Inx,則"(x)=4(f+xje2A÷^>O,

所以MX)=2X?2A+Inx在(0,+向上單調(diào)遞增.

因?yàn)椤?；)=《-2ln2<0,n(l)>O,所以〃(x)=ZxVrinr有唯一零點(diǎn)工,

且;CXOcL

所以當(dāng)O<x<x°時(shí),m,(x)<0,當(dāng)x>%時(shí),m(x)>0.

所以函數(shù)，MX)在(0,不)上單調(diào)遞減，在(飛,”)上單調(diào)遞增.

2j

因?yàn)?InA0=O,即e?"=一磐，即2?e--?In?,

因?yàn)閯t1<,<4,

4?

令MX)=XInX,其中χ>l,則∕ι'(x)=lnx+l>O,

所以，函數(shù)〃(x)在(l,+∞)上為增函數(shù)，

由=Lln-!-可得e2%lne%=-!-ln-!-,即〃(合'。)=〃]'],

????`，IX(J

因?yàn)閑2%>l,?>l,所以，e2A?=—,可得2x°=In'=Tn/,

xo??

2x1IU+12A+1

所以"Mx)≥w(?)=e°_H=±_-?=2,則°≤2.

???

所以“的取值范圍為(—,2].

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于對(duì)，"(x)=e2，-沖l(x>0)求導(dǎo)后，把導(dǎo)數(shù)構(gòu)造成新的函數(shù)

再次求導(dǎo)，借助隱零點(diǎn)求出機(jī)(X)=e2*-gil(x>0)的最小值，進(jìn)而借助恒成立的內(nèi)容進(jìn)行解答.

22.某企業(yè)對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行優(yōu)化升級(jí)，升級(jí)后的設(shè)備控制系統(tǒng)由殊-IHeN，)個(gè)相同的元件組成，

每個(gè)元件正常工作的概率均為p(θ<p<l),各元件之間相互獨(dú)立.當(dāng)控制系統(tǒng)有不少于上個(gè)元件正常

工作時(shí)，設(shè)備正常運(yùn)行，否則設(shè)備停止運(yùn)行，記設(shè)備正常運(yùn)行的概率為“(例如：P2表示控制系統(tǒng)

由3個(gè)元件組成時(shí)設(shè)備正常運(yùn)行的概率；表示控制系統(tǒng)由5個(gè)元件組成時(shí)設(shè)備正常運(yùn)行的概率).

(1)若P=：,當(dāng)％=2時(shí)，求控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望，并求P?;

(2)已知設(shè)備升級(jí)前，單位時(shí)間的產(chǎn)量為。件，每件產(chǎn)品的利潤(rùn)為1元，設(shè)備升級(jí)后，在正常運(yùn)行狀

態(tài)下，單位時(shí)間的產(chǎn)量是原來(lái)的4倍，且出現(xiàn)了高端產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成為高端產(chǎn)品的概率為J,每

件高端產(chǎn)品的利潤(rùn)是2元?記設(shè)備升級(jí)后單位時(shí)間內(nèi)的利潤(rùn)為y(單位：元).

(i)請(qǐng)用0.表示E(Y)；

(ii)設(shè)備升級(jí)后，在確?？刂葡到y(tǒng)中元件總數(shù)為奇數(shù)的前提下，分析該設(shè)備能否通過(guò)增加控制系統(tǒng)

中元件的個(gè)數(shù)來(lái)提高利潤(rùn).

【答案】⑴