2022-2023學(xué)年湖南省長沙市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年湖南省長沙市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

一、單選題

則L()

1.設(shè)z=l+i(其中i為虛數(shù)單位)，

Z

?11.C.-?-?iD.?-?i

A.—÷-1B.--+-i

22222222

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算計(jì)算作答.

II1-i1-iI?.

====-

【詳解】依題意，7T7?(i+i)(i-i)V2?*'

故選：D

2.已知〃元)=2-'+丈2、為奇函數(shù)，則/⑴的值為()

335

A.—B.1C.-D.—

222

【答案】A

【分析】利用奇函數(shù)的定義求出“，從而得解.

【詳解】因?yàn)?(x)為定義在R上的奇函數(shù)，

所以“0)=0,即2°+α?2°=0,解得a=—1,

當(dāng)a=T時,f(x)=2-χ-2x,

此時〃-X)=2'-2-'=-(2-J-2')=-∕(X),則為奇函數(shù)，

13

?∕(l)=--2=--.

故選：A.

3.已知｛4｝是等比數(shù)列，且4>°?若如?=4,則%=()

A.±2B.2C.-2D.4

【答案】B

【分析】運(yùn)用等比數(shù)列性質(zhì)及等比數(shù)列通項(xiàng)公式推論求解即可.

【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)知4%=姆=4,

又因?yàn)閝;七如>o,

所以&=2.

故選：B.

4.已知圓錐的側(cè)面積為S∣,底面積為S2,底面半徑為八且E=2S,若底面半徑同為一且體積與圓

h

錐相等的圓柱高為〃，則一=()

r

A.?B.?C.√3D.2

23

【答案】B

【分析】設(shè)圓錐母線長為/,高為力,結(jié)合圓錐的表面積公式可得∕=2r,利用勾股定理、圓柱和圓

錐的體積公式化簡即可求解.

【詳解】設(shè)圓錐母線長為/,高為％,則IL=駕='=2,得∕=2r,

S2τιrr

所以％=?∣l2-r2-y∣3r,

因?yàn)閳A錐和圓柱體積相同，所以±4=”,,解得也=也.

3r3

故選：B.

5.已知P是邊長為2的菱形ABCQ內(nèi)一點(diǎn)，若/840=120。，則AP?A3的取值范圍是()

A.(-2,4)B.(-2,2)C.(2,4)D.(T2)

【答案】A

【分析】由平面向量數(shù)量積的定義可得網(wǎng)COS(AP,AB)是AP在AB方向上的投影，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合

時，點(diǎn)P與點(diǎn)。重合時，分別求得取值范圍.

［詳解】AP?A8=IAHAqeOS(ARA,

而WHCOS(A尸,AB)是AP在A8方向上的投影，∣A8∣=2,

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時,得ApAB=IAPHAB∣=4?

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時，求得AP?AB=AB=1ABkoSI20"=-2,

所以APSB的取值范圍是(-2,4),

故選：A.

6.在數(shù)學(xué)中，有一個被稱為自然常數(shù)(又叫歐拉數(shù))的常數(shù)e=2?71828.小明在設(shè)置銀行卡的數(shù)字

密碼時，打算將自然常數(shù)的前6位數(shù)字2,7,1,8,2,8進(jìn)行某種排列得到密碼.如果排列時要求2

不排第一個，兩個8相鄰，那么小明可以設(shè)置的不同的密碼個數(shù)為()

A.30B.32C.36D.48

【答案】C

【分析】由題意，設(shè)置的密碼可分為8排第一位和8不排第一位兩類，結(jié)合插空法、捆綁法和分類

計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可求解.

【詳解】由題意，設(shè)置的密碼可分為8排第一位和8不排第一位兩類：

若8排第一位，則兩個8占第一、二位，

再從四個位置中選兩個位置給2,最后排7和1,共C；A；=12利

若8不排第一位，則7或者1排第一位，

兩個8捆綁，與兩個2,以及7和1剩的數(shù)排列，共噠=24種，

2

所以設(shè)置的不同密碼個數(shù)共36種，

故選：C.

7.如圖,直線χ=f與函數(shù)/(χ)=Iog/和g(χ)=l0g4χT的圖象分別交于點(diǎn)A,B,若函數(shù)y=√(χ)

的圖象上存在一點(diǎn)C,使得AABC為等邊三角形，貝h的值為()

"'X='/W=Iog4X

Ag(x)=log4x-1

0X

π

前

A.BB.C.√3D.更

242

【答案】C

djAB一?

【分析】運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)2計(jì)算即可.

V-AlA

【詳解】由題意可知，A(f,bg∕),8(f,log/-I),?AB?=l.

設(shè)C(X,l0g4x),

因?yàn)锳ABC是等邊三角形，

所以點(diǎn)C到直線AB的距離為孝’

則rτ=正，即：χ=t-B.

22

Zy-?I

11

根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得10g」”乎=°g^?l∑=Iog4f-??Iog41-Iog442=Iog4j,

\/

所以=L

22

所以，=立，解得∕=√L

22

故選：C.

8.在平面直角坐標(biāo)系中，A(2,0),8(0,2).以下各曲線:①?+/1；②(χ+2f+V=2;③丁=2》；

④/一丁=］中，存在兩個不同的點(diǎn)何、N,使得∣M4∣=∣Mδ∣且∣N4∣=∣M3∣的曲線是()

A.①②B.③④C.②④D.①③

【答案】D

【分析】求出A3的中垂線方程，逐項(xiàng)分析所給曲線是否與所求直線有兩個交點(diǎn)即可得解.

【詳解】因?yàn)楱OM4∣=∣M同且|24|=|八倒，

所以MN是AB的中垂線,又A(2,0),B(0,2),

所以A8中點(diǎn)為(覃)，=T，

故MN所在直線為yT=xT,即χ-y=O,

根據(jù)題意，直線χ-y=O與所給曲線有兩個交點(diǎn)則存在M,N滿足題意.

因?yàn)閤-y=O過原點(diǎn)，而原點(diǎn)在橢圓《+$=1內(nèi)部，故直線與橢圓必有兩個交點(diǎn)，符合題意；

32

因?yàn)?x+2p+y2=2的圓心為(-2,O),r=0^,所以圓心到直線x—y=O的距離"=匕詈?=0=，，

所以直線χ-y=o與圓相切，只有一個交點(diǎn)，不符合題意；

把x-y=O代入V=2χ,可得f=2χ,顯然方程有兩非負(fù)解，符合題意；

因?yàn)殡p曲線*2-丁=1的漸近線方程為y=士χ,所以直線A：->=。與雙曲線/一/=］無交點(diǎn)，故不符

合題意.

綜上，②④錯誤，①③正確.

故選：D

二、多選題

9.下列說法正確的有()

A.數(shù)據(jù)4,7,6,5,3,8,9,10的第70百分位數(shù)為8

B.線性回歸模型中，相關(guān)系數(shù)，?的絕對值越大，則這兩個變量線性相關(guān)性越強(qiáng)

C.回歸分析中常用殘差平方和來刻畫擬合效果好壞，殘差平方和越大，擬合效果越好

D.根據(jù)分類變量X與y的成對樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到/=3.218,依據(jù)α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)

(x005=3.841),沒有充分證據(jù)推斷原假設(shè)不成立，即可認(rèn)為X與Y獨(dú)立

【答案】ABD

【分析】將數(shù)據(jù)重排，再按照百分位數(shù)的計(jì)算規(guī)則計(jì)算即可判斷A,根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義判斷B,

根據(jù)相關(guān)指數(shù)的定義判斷C,根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想判斷D.

【詳解】對于A：數(shù)據(jù)重排后如下：3,4,5,6,7,8,9,10共8個數(shù)，由8x70%=5.6可得第70

百分位數(shù)為第6個數(shù)，即為8,故A正確；

對于B：線性回歸模型中，相關(guān)系數(shù)廠的絕對值越大，則這兩個變量線性相關(guān)性越強(qiáng)，故B正確；

對于C：回歸分析中殘差平方和越小，決定系數(shù)越接近于1,擬合效果越好，故C錯誤；

對于D：由獨(dú)立性檢驗(yàn)∕=3.2I8<3.84I可知，沒有充分證據(jù)推斷原假設(shè)不成立，即認(rèn)為X與Y獨(dú)

立，即D正確.

故選：ABD.

10.已知O是平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，拋物線Cy=；/的焦點(diǎn)為尸，P(5,M),Q(χ2,%)兩點(diǎn)

在拋物線C上，下列說法中正確的是()

A.拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為θ]

B.若IPFl=5,則IOH=4√Σ

C.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,4),則拋物線C在點(diǎn)P處的切線方程為y=x-4

D.若P,F,Q三點(diǎn)共線，則XR=T

【答案】BD

【分析】由拋物線的焦點(diǎn)的定義即可判斷A；由拋物線的定義求出點(diǎn)尸坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式計(jì)

算即可判斷B：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷C；設(shè)直線方程，聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理即

可判斷D.

【詳解】對于A,由C：y=；/,得V=”,則焦點(diǎn)為F(0,1),故A錯誤；

對于B,設(shè)P(XM,由拋物線的定義得，"1=5,解得y=4,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,4)或(T,4),所

以IOH=4近，故B正確；

對于C,y=^x2^y'=→,所以在點(diǎn)尸處的切線方程為y—4=2(x-4),.?.y=2x-4,故C錯誤;

對于D,拋物線f=4y焦點(diǎn)為F(0,1),易知直線尸。的斜率存在,

設(shè)直線PQ方程為y=h+1.

∫y=?x÷l

由得/一46-4=0則x+x=4?,ΛI(xiàn)X=-4,故D正確.

Iχ2=4yl22

故選：BD.

11.已知函數(shù)/(X)=卜i∏X+cosx,則下述結(jié)論正確是()

A./(x)是偶函數(shù)B.7(x)的周期是兀

C.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=π對稱D./(x)的值域?yàn)椋跿,√∑］

【答案】ACD

【分析】由奇偶函數(shù)的定義即可判斷A；由"0)=1和/(π)=T即可判斷B；驗(yàn)證/(π-x)="π+x)

即可判斷C；求出f(x)在區(qū)間［0,可上的值域?yàn)椋?1,0］,結(jié)合選項(xiàng)C的分析，即可判斷D.

【詳解】A：；/(r)=kin(-x)∣+cos(r)=卜inx∣+cosx=/(X),.?./(x)為偶函數(shù)，故A正確；

B：V/(0)=l,/(π)=T,.?.∕(x)的周期不是如故B錯誤；

C：*.*兀一X)=卜in(π-κ)∣+cos(π—X)=卜皿乂-COSX

/(π+x)=∣sin(π+x)∣+cos(π+x)=ISinX—COSx,

/(π-x)=∕(π+x),所以函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線X=兀對稱，故C正確;

D：當(dāng)0≤'W兀時，/(x)=sin%+cosx=√2sin^x+^,

由洛+96,得T≤∕(x)≤0,

444`/

又由C選項(xiàng)知函數(shù)“X)的圖象關(guān)于直線X=兀對稱，

所以函數(shù)”χ)在區(qū)間［o,兀］上的值域?yàn)椋郐印苔?

?.?∕(x+2π)=∕(x),故函數(shù)“x)的值域?yàn)椋?1,應(yīng)］,故D正確.

故選：ACD.

12.已知函數(shù)〃力=1巾I-X+：,則下列說法正確的是()

A.7(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減

B.7(x)恰有2個零點(diǎn)

C.若x∣wx2,/(xl)-∕(x,)=O,則XlX2W-I

D.若內(nèi)＞七＞0,/(xl)+∕(x2)=0,則占々=]

【答案】ABD

【分析】根據(jù)/'(X)＜0和定義域即可判斷A；由/(1)=/(-1)=0即可判斷B；i</，作出/(x)

的簡圖，由由/(%)=/(￡)可得(々-xj,土"?=In同且％-%＞。，不々＜°，

q<-l,0<x2<1

x?x2IXIl

不成立，即可判斷C；由FaJ=-F(X2)=/(千)可得Xl=T?，即可判斷D.

【詳解】對于AB,=故/(X)在區(qū)間(0,+8),(-8,0)上單調(diào)遞

X廠?x2)4

減，

但在定義域上不遞減，又/⑴=/(T)=0,故A正確，B正確;

對于C,不妨設(shè)占＜馬，作出/(x)的簡圖，如圖,

由/(%)=∕(??)知-1<%<°，馬>1或者芭<τ,。<當(dāng)<1或者Xl=-1,χ2=1

而/(%)=F(??)O(々-%)?+1=In存,RX2-X1>0,

xlx2<0,

XlX2IXl

但當(dāng)x∣<T,0<w<1時ln±<0,從而此時XlX2+l>°,故C錯誤;

對于D,/(x,)=-∕(x2)=/?,因?yàn)?(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減,

\X2J

1

所以用=一,即XlX2=1,故D正確.

工2

故選：ABD.

三、填空題

13.函數(shù)〃X)=用三+In(X-I)的定義域?yàn)?

【答案】(1,3)

【分析】根據(jù)給定的函數(shù)有意義，列出不等式組并求解作答.

―[x-l>0

【詳解】依題意，Q,解得l<x<3,

[3-x>0n

所以原函數(shù)的定義域?yàn)?1,3).

故答案為：(1,3)

14.已知正方體ABCD-AiBtCtDl,E,F分別是正方形ΛlB1ClDl和ADD1A1的中心,則EF和Co所成的角

的大小是.

【答案】?

4

【詳解】連接。G,A。，AG,E,尸分別是正方形ABCQ和ADRA的中心,所以￡尸分別為

TT

AG，Q的中點(diǎn)，故2〃%則g與8所成的角即為所和8所成的角'大小為丁

故答案盯

B

15.德國數(shù)學(xué)家高斯被認(rèn)為是世界上最重要的數(shù)學(xué)家之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù).他幼年時就表現(xiàn)

出超人的數(shù)學(xué)天賦，10歲時，他在進(jìn)行1+2++10()的求和運(yùn)算時，就提出了倒序相加的原理，該

原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成.已知某數(shù)列通項(xiàng)

2n-2022

aa+a+a

n=2?〃-2C0C2cQ3,?2+2O22=-----------------

【答案】2022

【分析】根據(jù)項(xiàng)數(shù)和為2023兩項(xiàng)和為2,分組求和可得結(jié)果.

2〃-20222(202320224〃—4046

+

【詳解】E???+?023-,,-2Π-20232(2023-71)-2023^2n-2023^'

所以4+<?022-a2+?2l='=aIOll+α∣012=2,

因此4+4++α,(P2=1011X2=2022.

故答案為：2022.

四、雙空題

16.已知函數(shù)/(x)=∣f:(1)若α=0,則/(x)>l的解集為______________；(2)

Ieβ-^ix,?x>>U

若關(guān)于X的不等式/(x)NO的解集為［-2,4W),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

【答案】(0,+<z>)

4

【分析】(1)解分段函數(shù)不等式即可.(2)先分別討論。<一2、-2<a<0,α≥0時x≤O,f(x)≥O

的解集，將其與χ>0,/?！?的解集取并集后為［-2,+=0),將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)x>0時，e`-加≥o恒

成立，運(yùn)用分離參數(shù)求最值即可求得結(jié)果.

【詳解】⑴當(dāng)…時，/)大f-x,(？x+2),χx>≤0

又因?yàn)?(X)>1,

x≤0?x>0

所以或

-x(x÷2)>1ev>l

解得：0或x>0,

所以/S)>1的解集為(0,+⑹.

三x≤0?

⑵①當(dāng)”-2時，ω-^+2)≥0≡=a"=,與題意不符，舍去;

x≤0?

②當(dāng)一2≤α<0時,(“-X)(X+2)≥。解得：-2≤x≤α,與題意不符，舍去;

③當(dāng)時,(二)(x+2)≥。解得：a5，

所以當(dāng)x>0時，e'-ɑ?zo恒成立，

即:〃4二在(0,+8)恒成立，

X

令g*)==，x>O,

Jr

則F(X)=魚券，

g'(x)>0=>x>2,g'(x)<0=>0<x<2,

所以g(“在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,”)上單調(diào)遞增,

e2

所以gOOm/g。)=］，

所以0≤α±

4

「e2l

即：〃的取值范圍為0,—.

4

「e2l

故答案為：(0,÷∞);0,—.

4

五、解答題

17.等差數(shù)列｛%｝滿足色=6,α4+4=27.等比數(shù)列｛"｝為遞增數(shù)列，且耳，b2,4e｛2,3,4,5,8｝.

⑴求數(shù)列｛叫和色｝的通項(xiàng)公式;

(2)刪去數(shù)列出｝中的九項(xiàng)(其中Z=I,2,3,保持剩余項(xiàng)的順序不變，組成新數(shù)列匕｝,求數(shù)

列｛%｝的前10項(xiàng)和九?

【答案】(1)4,=3",2=2"

6(2l5-l)

⑵3

7

α+J=6

【分析】(1)由題意可得2q+7d=27,根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出心結(jié)合等比數(shù)列的定義和

通項(xiàng)公式即可求解;

(2)由(1)知c“=b“一％,?=1,2,3,結(jié)合等比數(shù)列前〃項(xiàng)求和公式計(jì)算即可求解.

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛/｝的公差為“，由的=6,4+4=27,

,[a,+d=6」,(4=3

可得,二,解得，2，

[201÷7J=27[a=3

故a“=q+(〃-1)4=3+3(π-1)=3/7.

又耳，b2,?∈｛2,3,4,5,8),等比數(shù)列｛〃｝為遞增數(shù)列，故仿=2,瓦=4,?=8.

所以，數(shù)列｛2｝是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列.

因止匕2=2".

(2)由⑴知，%=怎,則?,="-%,k=1,2,3,,

-

所以品I=(4+t>2+b3++?∣5)(?+?+?+%+〃5)

5821

=2(2'-l)-(7~^

6(2I5-1)

7

18.在四邊形ABCZ)中，AB//CD,AD=BD=CD=T.

3

(1)若AB=],求Be；

(2)若A5=28C,求COSNBDC.

【答案】⑴立

⑵氏1

【分析】(1)在三角形說中，根據(jù)余弦定理可求出NA的大小，即為NBoC的大小，然后在三角

形BC。中根據(jù)余弦定理可以求出BC的值

(2)根據(jù)NA=NBDC,分別表示出兩角的余弦令其相等，可求出AB的長度，從而求出COSNBDC

B._________________A

【詳解】(1)

CD

AD-IΔΓy-_RΓ)2^T+1-13

在三角形ABO中，根據(jù)余弦定理可得，COSZA=一~—=J-=G,由題得：

2?A8?AD2X04

2

ZA=ZABD=ZBDC,所以CoSN8。C=CoSNA=之，在三角形58中，根據(jù)余弦定理可得，

4

BC2=HD2+CD2-2BDCDCOSΛBDC=?+?-2×~=-,所以，BC=立

422

(2)設(shè)AB=2BC=2α,在三角形ABD中，根據(jù)余弦定理可得，

CosNA=A*+A0-BD2=4q2+I=",在三角形BCO中，根據(jù)余弦定理可得，

2-AB-AD2×2tι×l

BD~+CD~—BC^1+1—Λ^2—cr-∣2-o~</—T/—,?、

cosNBDC=----------------------=--------=-----,所fc以r------=α,得s：α=j3-l或α=—√3—1(舍)，

2BDCD2×1×122

則CoSZBDC=cosZA=α=√3-l

19.受新冠病毒感染影響，部分感染的學(xué)生身體和體能發(fā)生了變化.為了了解學(xué)生的運(yùn)動情況，某中

學(xué)對高中三個年級的學(xué)生運(yùn)動情況進(jìn)行了分層抽樣調(diào)查.調(diào)查的樣本中高一年級有70%的學(xué)生每周

運(yùn)動總時間超過5小時，高二年級有65%的學(xué)生每周運(yùn)動總時間超過5小時，高三年級有56%的學(xué)

生每周運(yùn)動總時間超過5小時，且三個年級的學(xué)生人數(shù)之比為9：6：5,用樣本的頻率估計(jì)總體的

概率.

(1)從該校三個年級中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，估計(jì)該學(xué)生每周運(yùn)動總時間超過5小時的概率；

(2)假設(shè)該校每名學(xué)生每周運(yùn)動總時間為隨機(jī)變量X(單位：小時)，且X?N(5.5,4).現(xiàn)從這三個年

級中隨機(jī)抽取3名學(xué)生，設(shè)這3名學(xué)生中每周運(yùn)動總時間為5至6小時的人數(shù)為匕求隨機(jī)變量V

的期望.

【答案】⑴0.65

(2)0.9

【分析】(1)方法1：運(yùn)用全概率公式計(jì)算即可.

方法2：設(shè)出份數(shù)可得三個年級的學(xué)生人數(shù)及各年級每周運(yùn)動總時間超過5小時的人數(shù)的表達(dá)式，

運(yùn)用古典概型求概率即可.

(2)運(yùn)用正態(tài)分布的對稱性求得P(5<X<6),再結(jié)合Y服從二項(xiàng)分布，運(yùn)用二項(xiàng)分布的期望公式

計(jì)算即可.

【詳解】(1)法一：記隨機(jī)抽取一名學(xué)生分別來自高一、高二和高三為事件A,B,C,隨機(jī)一名學(xué)

生每周運(yùn)動總時間超過5小時為事件E.

965

則P(A)=而，P(B)=元，P(C)F

P(ElA)=O.7,P(E⑻=0.65,P(ElC)=O.56.

根據(jù)全概率公式，

P(E)=P(AE)+P(BE)+P(CE)=P(Λ)P(E∣Λ)+P(B)P(E∣B)+P(C)P(E∣C)=

2x0.7+色x0.65+上x0.56="=0.65,

20202020

即該學(xué)生每周運(yùn)動總時間超過5小時的概率為0.65.

法二：三個年級的學(xué)生人數(shù)之比為9：6：5,設(shè)1份人數(shù)為4，

所以高一年級每周運(yùn)動總時間超過5小時的人數(shù)為：‰-70%=6.3?,

高二年級每周運(yùn)動總時間超過5小時的人數(shù)為：6?-65%=3.9?,

高三年級每周運(yùn)動總時間超過5小時的人數(shù)為：5α?56%=2?‰?,

因此該學(xué)生每周運(yùn)動總時間超過5小時的概率為空手誓誓=0?65.

5a+6a+9a

(2)因?yàn)樵撔Ｃ棵麑W(xué)生每周運(yùn)動總時間為隨機(jī)變量X(單位：小時)，且X~N(5.5,/),

所以P(X>5?5)=0.5,

由(1)知，P(X>5)=0.65,

所以P(5<X<5.5)=0.65-0.5=0.15,

所以P(5<X<6)=2P(5<X<5.5)=0.3,

即該校學(xué)生每周運(yùn)動總時間為5至6小時的概率為0.3,

因此丫~8(3.0.3),

所以E(F)=3x().3=0.9,即：隨機(jī)變量Y的期望為0.9.

20.如圖，在三棱錐。-ABC中，ABYBD,BCLCD,M,N分別是線段AD8。的中點(diǎn),=2，

AB=2,BD=26,二面角￡)一BA-C的大小為60。.

(1)證明：AABC為直角三角形；

(2)求直線BM和平面MNC所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)運(yùn)用線面垂直判定定理證得MNL平面Ba),再結(jié)合線面垂直性質(zhì)可證得結(jié)果.

(2)根據(jù)已知條件可得二面角A-C的平面角為/C8O,運(yùn)用線面垂直判定定理可證得。C

平面ABC,以8為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用線面角公式求解即可.

【詳解】(1)在RtABCO中，N是斜邊8。的中點(diǎn)，所以NC=；BD=6,

因?yàn)镸,N是AD,的中點(diǎn)，

所以仞V=IAB=1,

2

又因?yàn)镸C=2,

所以MN2+NC?=MC"

所以MN_LNC,

又因?yàn)長B￡>,MN//AB,

所以MNLBD,

又因?yàn)锽DCNC=N,BD、NeU平面BCZ),

所以MN，平面BC。，

又因?yàn)镸V〃AB,

所以A8_L平面BCD

又因?yàn)锽Cu平面BCD,

所以Λβ18C.

所以AABC為直角三角形；

(2)由⑴ABJ.BC,AB工BD,

所以NeBD即為二面角-C的平面角，

故Nceo=60。，

因此BC=道，8=3,

又由（1）ABlDC,DCLCB,

又因?yàn)锳BCB=B,AB、CBU平面48C,

所以QC_L平面ABC,

以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA為X軸，BC為y軸，平行于OC的BZ為Z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

則吸,33),A(2,0,0),C(O,30),N

<>

所以AO的中點(diǎn)M[1,號BM=C,冷4.

(C

所以CN=θ,-?-,-,W=(1,0,0).

?L)

設(shè)平面MWC的法向量∕n=(x,y,z),

X=O

NM?m=0

則<?BP?√33，

CNm=Uy+-z=O

I22

取y=>/3,得m=(0,6,'),

設(shè)直線和平面MNC所成角為θ,

11

所以Sine=|COS(BA/,〃，I=∣BMT=—~+~—=—,

'1∣BΛ∕∣.∣m∣2x24

因此直線和平面MNC所成角的正弦值等」.

4

21.已知函數(shù)/(X)=e'+8SXTnr,%∈(O,?oo).

（1）若函數(shù)/（X）在（0,兀）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)W的取值范圍;

⑵若--l<m<e",證明：函數(shù)/（x）有兩個零點(diǎn).

iiπ

參考數(shù)據(jù)：e≈4.81,e≈2.85,e≈23.14

【答案】（I）Q,+8）

(2)證明見解析

【分析】(1)由題設(shè)可得r(x)=e「SinX-W≤0在(0,兀)上恒成立，進(jìn)而研究g(x)=f'(x)的單調(diào)性

并求最值，即可得參數(shù)范圍；

(2)應(yīng)用零點(diǎn)存在性定理判斷f'(x)=eXTinX-加在(0,+8)上的零點(diǎn)，根據(jù)其符號確定/(x)的單

調(diào)性并得到極值，進(jìn)而判斷其零點(diǎn)分布，即可證結(jié)論.

【詳解】(1)由/(x)在(0㈤上單調(diào)遞減,則洋(X)=e*-SinX-440在(0㈤上恒成立,

令g(x)=/'O)且X>0,貝!]g'(x)=ev-cosΛ>1-COSΛ>0,故g(x)=f'(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

要使/'(x)≤0在(0,兀)上恒成立,則/'(π)=e*-∕"≤0,解得機(jī)≥e",

即所求的實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為[e?+s)

(2)由(1)知：f'(x)=e*-Sinx-Zn在(0,+8)上單調(diào)遞增,

因?yàn)閑"'所以r(])=eJ-，"Oj'(π)=ek-∕n>°,

所以函數(shù)7(x)在(0,+8)上存在唯一零點(diǎn)Xoe(]π)，即/'(不)=°，此時，W=e刈-SinX0,

當(dāng)X∈(O,ΛO)時r(x)<0J(x)單調(diào)遞減；X∈5,M)時r(x)>0j(x)單調(diào)遞增，

又/(??)=e"+COSΛ0-∕M?=e"+cosA0_/(e"-sinx0)=(1-Λo)e與+∞s?+Λ?sin?,

i己g(x)=(l—x)e，+cosx+xsinx,xw(?∣?,兀],則

g<x)=-xcx÷XCOSX=-x(eχ-cosx)<-x(l-cosx)≤0,

所以g(x)在6,兀)上遞減，則g(x)<g圖=(1弓/+]=(1_U)X4.81+W<0