三角函數(shù)圖像復(fù)習(xí)講義-2023-2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（教師版）

目錄

三角函數(shù)圖象及性質(zhì)...............................................................2

【知識梳理】.....................................................................2

1正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象及性質(zhì)................................................2

2、三角函數(shù)中的平移變換..........................................................3

【考點分類】.....................................................................5

考點一、三角函數(shù)的圖象變換.......................................................5

考點二、已知圖象求解析式.........................................................6

考點三、三角函數(shù)綜合.............................................................8

【易錯題】......................................................................16

三角曲數(shù)圖象及性質(zhì)

【知盟機理】

1正弦、余弦，正切函教的圖象及性質(zhì)

定義

RR{x∣x≠-^?÷kπ]次∈Z

域

值域[-M][-M]R

周期T=2萬7=2乃T=7Γ

奇偶

奇偶奇

性

對稱

尋50）（打

（左肛0）

中心

當X=當X=2kτr,

Nmax=1

‰=1

最值無

TT

當X=2kπ-----,當x=2A"+<τ,

2

=

>min=Tymin-1

對稱

π

X=κfπ+-x=kπ無

軸2

2kπ--,2kπ^--增

單調(diào)L22][2kπ-π,2kπ]i^（壯g%乃+5）增

[2kπ,2kπ+

性2%)+工，2%4+紅減

_22

注：凡是涉及到K的都要注明AeZ.

2,三角曲敷中的平移變換

2.1圖像的變換

4.平移變換：上加下減，左加右減.比如由y=sinx的圖象得y=sinx+Z>的圖象；由

y=$山彳的圖象得)》=$山(0>*+0)圖象.

。.伸縮變換：此變換主要是指在X軸、y軸方向上的伸縮.比如由y=Sinx的圖象得

y=sm(ωx+φ)的圖象.

C,翻折變換：此變換主要適用于作函數(shù)解析式中帶有絕對值的函數(shù)圖象，比如由y=Sinx

的圖象得y=kin%∣的圖象，可將y=sinx的圖象在X軸上方的圖象不變.下方的圖象翻折

到X軸上方.

總結(jié)：由y=sinx的圖象得到y(tǒng)=AsinQyx+°)(其中a>>O,A>O)的圖象的過程

先畫出函數(shù)y=sinx的圖象，再把正弦曲線向左(右)平移。個單位長度，得到

y=sin(x+°)的圖象，然后使曲線上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼腖,得到函數(shù)

ω

y=sin(s+0)的圖象，最后把曲線上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到函數(shù)

y=Asin(ωx+φ)的圖象.

2.2函數(shù)的性質(zhì)

y=Asm(ωx+φ)(其中A>O,<w>O)的性質(zhì)

(D定義域

y=As?n{ωx+φ)的定義域為R.

(2)值城

y-ASin(iyχ+e)的值域為[-A,A]

(3)周期性

,2萬

y=Asin(o%+e)的周期T=-；~r.

陶

(4)奇偶性

TT

0=左乃(Z∈Z)時，函數(shù)為奇函數(shù)；當妒0=萬+女乃∕∈Z)時，函數(shù)為偶函數(shù).

(5)單調(diào)性

函數(shù)y=ASin(mr+0)(A>O,<υ>O,x∈R)的單調(diào)區(qū)間求法

(D單調(diào)增區(qū)間可由2AτF-?^≤5+e≤2?τr+?^,Z∈Z解?得；

(2)單調(diào)減區(qū)間可由2kπ+~~-ωx+9<2k兀+?,左∈Z解得.

(6)對稱中心

y=Asin(ωx+φ)的對稱中心的橫坐標可由叫ωx+φ=kπ(k∈Z)解得，縱坐標為0.

Jl

⑺對稱軸y=AsinQx+°)的對稱軸方程可由6λr+9=萬+%萬(攵∈Z)解得

【考點分類】

考點一，三角咨數(shù)的圖象變換

【例1】★求函數(shù)y=l+3cosx的值域,取得最值時X的值.

4

【答案】：6彳］取得最大值時X=2A?,取得最小值時χ="+2A?

【例2】將函數(shù)y=cosx的圖象上的每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍、縱坐標不變，再將所

π

得圖象向右平移.個單位，則最后得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為()

?

A/八71、C_.2τc、

A.y=cos(2x一耳)B.γ=cos(2x--)

C.y=cos(?-g)D.y=cos(；_g)

2326

【答案】D

【例3】將函數(shù)y=sin(2x+2)的圖象向左平移"z("z>O)個單位長度,得到函數(shù)y=∕(x)圖

6

象在區(qū)間［-二,2］上單調(diào)遞減,則〃7的最小值為

1212

(A)—(B)-(C)-(D)-

12643

答案：C

【例4】已知函數(shù)f(x)=sin(5+￥)3>0)的最小正周期為4兀,則

6

(A)函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于原點對稱

(B)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線X=W對稱

(C)函數(shù)/(x)圖象上的所有點向右平移:個單位長度后,所得的圖象關(guān)于原點對稱

(D)函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,兀)上單調(diào)遞增

答案：C

考點二，已知圖象求解析或

1.函數(shù)/(X)=ASin(<υx+9)(A>0,0>0,帆|苫)的部分圖象如圖所示,

則CO=；函數(shù)/(x)在區(qū)間g,π］上的零點為.

答案：2j7π∕12

2.若函數(shù)y=sin((yχ+φ)(刃>(),時<：)的部分圖象如圖所示,則CO=(φ=

答案：4;-?

3.已知函數(shù)/(x)=Asin(0x)(ω>0)的圖象如圖所示.

(I)求〃x)的解析式；

答案：解：(1)由圖象可知A=2,

設(shè)函數(shù)/(X)的周期為T,則:J―r(―TWr)=3=τ,

424

求得7=π,從而<y=2,

所以/(x)=2sin2x.............5分

4★如圖，已知函數(shù)"x）=ASin（S+夕）的圖象（部分），則函數(shù)的表達式為

γr

【答案】：/(x)=Sin2x+-

V3

)

5★函數(shù):二s?Kcχr+⑼（、￡艮。＞0,04。＜2?。┑牟糠謭D象如圖，則

考點三、三角諂數(shù)舔合

1、設(shè)/>0,若函數(shù)y=COS2OX的最小正周期為,則出

答案：2

2已知函數(shù)/(x)=COSX(COSX+6SinX).

(I)求F(X)的最小正周期;

答案：解：(I)/(X)=Λ∕3sinxcosX+cos2x

√3,n1Cl

/(X)=——sin2x+-cos2x+-

222

TTI

/(x)=sin(2x÷-)+—

272π

1=—=—=Tr

⑷2

/(x)的最小正周期為

3τr3jr

3.已知函數(shù)f(x)=sin2xcos--cos2xsin—.

(I)求F(X)的最小正周期

答案：解:

3Jr3J73τr

(1)/(x)=sin2xcosr^--cos2xsin2^-=sin(2x-2^-)-

所以/U)的最小正周期T=T=兀

/?

4.已知函數(shù)/(x)=sin①X(CoS(OX-+sinωx)+-(ω>0)的最小正周期為—.

22

(I)求。的值;

答案：解：因為/(x)=Sin<υx(cos6υx-J5^sin6zr)+^

=sin69%?cos①X-GSin2ωx-?--

2

JSin2s+正cos20X

22

=sin(2w+/)，

(I)又因為函數(shù)/(X)的最小正周期為方,

所以行V

解得①=2.

5.已知函數(shù)f(χ)=?sinωx+^/?cos2--?-,co>0.

(II)若/弓)=1,求/(X)的最小正周期T的表達式并指出T的最大值.

答案：(∏)?/(?)=?sin(y%+^cos2?-?

=Lis+2。S*

22

=sin(0x+工)

3

JL'JLJL

/(—)=sin(-^+―)=1

333

TCTCTC八,

/.—CO4—=—F2k兀

332

得0=4+2攵(火∈N),<υ>0

2

又因為函數(shù),(X)的最小正周期T喂,且?>0,

所以當0=g時,T的最大值為4萬.

6.已知函數(shù)f(χ)=cosx(sin?+>∕3cos%)-?,x∈R.

(I)求/(x)的最小正周期

答案：(I)/(x)=cosx(sin%÷>∕3cosx)--?

=sinXCosX+^^-(2cos2X-1)

=JSin2x+立cos2x

4分

22

Tt

=sin(2x+-),6分

3

9jr

所以函數(shù)/(X)的最小正周期T='=兀.7分

7已知函數(shù)/(x)=2An(如).8S(M)+2c<√(M)(…),且函數(shù)f(x)的最小正周期為

π.

(I)求G的值;

答案：解析：(1)/(x)=2√3sin(?69x)?cos(-!-ωx)+2cos2(-!-69x)(69>0),

222

括SinS+1+cosωx

=2sin(69X+-)+1

2%

T=—=兀、CO=2.

ω

8已知函數(shù)/(x)=SiH°x十2SinXCOSX-COS2X.

(I)求/(X)的最小正周期；

答案：(I)由題意得:/(χ)=Sin2x-cos2x=JΣsin(2Λ,-乙)，

4

_2π

.,.T=—=π

2

9.已知函數(shù)f(x)=2cos2χ(2吧+1)—1.

COSX

(I)求的最小正周期；

答案：(I)由COSX≠0得,x≠→far,(A：∈Z)

TT

所以/(X)的定義域為{X∣XW]+E,%∈Z}

因為/(?)=2(-^^+1)?cos2X-1

COSX

=2sinxcosx+2COS2X-?

=Sin2X+COS2Λ

=^sin(2x+-)

4

所以/(幻的最小正周期為T=T2ττ=兀

10.已知函數(shù)/(x)=2cos2X+273sinXCoSx-1.

(I)求函數(shù)/(χ)的最小正周期；

答案：(I)f(x)=2cos2X+2>^sinXCOSX-I

=cos2x+y∣3sin2x

=2(gcosIx+sin2x)

π

=2sin(2x+-)

所以周期為T=型=π

2

11己知函數(shù)f(x)=2sin(--x)cos(--x)+-J3sin2x.

44

(I)求函數(shù)/(%)的最小正周期；

答案：(I)f(χ)=sin(^-2x)+sin2x

=cos2x÷^sin2x

π

=2sin(2x+-)

所以/(X)的最小正周期是T=TE=兀

12已知函數(shù)/(x)=tan(x+().

(I)求/(x)的定義域；

答案：解：(I)由x+2,≠%π+工，得XWE+乙，k∈Z.[3分]

424

所以函數(shù)/⑴的定義域是{X∣X≠E+[A∈Z}?[4分]

13.已知函數(shù)f(x)=(1÷?/?tan?)cos2?.

(i?)求函數(shù)/a)的定義域和值域.

答案：(H)解：函數(shù)/(㈤的定義域為{x∣xwR,?x≠Λπ+∣Λ∈Z}

化簡，得f(x)=(l+y∣3tanx)cos2x

=(1+6S'"")cos2x

COSX

=cos2x+Λ∕3sinxcosx

1+cos2x√3.?

=-------------+—sιn2x.....................1ι0n分

22

=Sin(2x+工)+1...................12分

62

Tl

因為x∈R,且x≠E+5,kwZ,

所以2x+2w2?π+",

66

TT

所以一IWSin(2工+—)WL

6

所以函數(shù)/(X)的值域為[-：,京..........13分

TTTT

(注：或許有人會認為“因為XHE+?,所以/(X)X。"，其實不然，因為/(-z)=0?)

15已知函數(shù)f(Λ)=(1+tanX)-sin2x.

(I)求/(x)的定義域；

答案：(I)因為函數(shù)y=tanx的定義域是{xeR∣x∕kπ+],k∈Z},

Tr

所以/(χ)的定義域為{χ∈R∣χ≠Z兀+5,Z∈Z}.

16已知函數(shù)/(x)=2cos2χ(受空+1)—1.

COSX

(I)求/(x)的定義域

答案：(I)由COSX≠0得,x≠]+E,(AeZ)

JT

所以/(X)的定義域為{x∣XH/+λπ,Z∈Z}

17已知函數(shù)/(x)=J^Sin2x+α?cos2x(αiR).

(I)若/(看)=2,求〃的值

答案：(I)因為/(—)??/?sin2?+0?cos2—=2,

所以33+”?1上2.

22

所以Q二L

18已知函數(shù)f(x)=(1+?/?tanx)cos2x.

(1)若。是第二象限角,且Sina=@,求/(a)的值；

3

答案：因為α是第二象限角，且Sina=在，

3

所以cosa=->∕l-sin2a=--.....................2分

3

所以tanα=Sina=_近,........4分

COSa

所以?(ɑ)=(1-√3×√2)(-^)2=.....................6分

19.已知函數(shù)/(x)=Sin2xcos--cos2Λsin—.

(I)求/(x)的對稱軸的方程；

答案：解：(I)f(x)=sin2xcos--cos2xsin—=sin(2x--)-

555

令2x——-=—+?,?∈Z,

52

得X=+=kπ,kwZ.

202

所以/(X)的對稱軸方程為尤=零+；E?eZ.

3冗π3ππ

或者：/(X)的對稱軸方程為2R一3=1+2E和2x—1=—1+2E,Z∈Z,

EIrIlTr-fTr11r-r

即X=------Fkfu和X=-----Fkjt,攵∈Z.

2020

/?

20已知函數(shù)/(x)=CoSX(SinX+近cos%)——,x∈R.

(II)設(shè)α>0,若函數(shù)g(")=∕α+α)為奇函數(shù),求二的最小值.

答案：(H)解：由題意，得8(幻=/&+。)=011(21+2?+三)，

因為函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，且x∈R,

所以(θ)=。，即sin(2a+^)=0,

所以2α+2=E,?∈Z,

3

解得α=包-2,AreZ,驗證知其符合題意.

26

又因為c>0,

所以α的最小值為W.

【易播題】

【例1】★已知函數(shù)：①y=tanx,②y=sin∣x∣,③y=∣sinx∣,④y=∣cosx∣,其中周期為π,且

在（0,-）上單調(diào)遞增的是

2

A.①②B.①③C.①②③D.①③④

【答案】B

【例2】★★已知函數(shù)f(χ)=3sin(ωx--?ω>0)和g(x)=2cos(2x+@(0<e<;r)的圖象的

6

對稱軸完全相同，則小上）的值是

【答案】-2

【例3】★函數(shù)y=xsinx在［-辦句上的圖象是

∕ΛCτ^?√δ?√7`

<A)<B}

【答案】A

【例4】★函數(shù)y=f（X）在區(qū)間_%,兀上的簡圖如圖所示，則函數(shù)y=f（X）的解析式可

以是（）

B?f(x)=sin(2x---)

TT

C?/(x)=sin(x+-)D./W=sin(x-y)

【答案】B

【例5】若將函數(shù)f(x)=(2x+g的圖象向右平移?個單位后得到的函數(shù)y=g(x)的圖象,求

g(χ)的單調(diào)遞增區(qū)間.

TTTT

【答案】伙萬一%,A?+5］(Z∈Z)

【例6】設(shè)函數(shù)y=sinx在區(qū)間t,t+^上的最大值為M(t),最小值為m(t),則M(t)

-m(t)的最小值和最大值分別為()

A.1,2B.1,√2C.1--,1D.1--

22

【答案】解：函數(shù)y=sinx在區(qū)間［t,t+5］上的最大值為M(t),最小值為m(t),

區(qū)間的長度為工，正好為函數(shù)的周期的工，

24

故當函數(shù)y=sinx在區(qū)間［t,t+今］上單調(diào)時，則M(t)-m(t)取得最大值.

不妨假設(shè)函數(shù)y=sinx在區(qū)間［t,tl?］上單調(diào)遞增，

則M(t)-m(t)取得最大值為Sin(t+---)-Sint=CoSt-Sint=&cos(t+--)≤Λ∕2>

24

故M(t)-m(t)取得最大值為

當區(qū)間［t,t+今］關(guān)于它的圖象的對稱軸對稱時，M(t)-m(t)取得最小值，

此時，sin(t+3-)=÷I>不妨設(shè)sin(t+3-)=1,即t+上L=2kπ+Z~,k∈Z,

4442

TT

即t=2kπ+-----，k∈Z,

4_

則M(t)-m(t)取得最小值為sin(t+2I-)-sint=l-sin(2kπ+2L)=1-

442

故M(t)-m(t)的最小值和最大值分別為I-尊，√2.

故選：D.

【課后檢測】

L★函數(shù)γ=1-sinx的對稱中心是,對稱軸方程為。

答案：(ATr,1)χ---?-kπ

2

2.★如果函數(shù)y=tan(x+φ)的圖象經(jīng)過點((,O),那么φ可以是()

A.--B.-巴C.—D.π

3663

【答案】A

3.下列函數(shù)中，最小正周期為兀的是()

Xx

A.γ=cos4xB?y=sin2xC.y=sin-D.V=COS-

*4

【答案】B

4.★己知tanα=-l,月.[0,兀)，那么α的值等于

5τr

A.-B.—C.—D.

3344

【答案】C

5.先把函數(shù)y=cosx的圖象上所有點向右平移(個單位，再把所得各點的橫坐標縮短到原來

的L倍(縱坐標不變)，得到的函數(shù)圖象的解析式為()

2

A.V=COS(2x+工)B.y=cos(2x--)C.y=cos(?x+?)D.y=cos(LX--)

332323

【答案】B

6.為得到函數(shù)y=cos(x+2)的圖象，只需將函數(shù)y=sinx的圖象()

6

A.向左平移C個長度單位B.向右平移巳個長度單位

33

C.向左平移立個長度單位D.向右平移至個長度單位

33

【答案】C

41

7.★設(shè)函數(shù)/(x)=A+Bsinx,若B<0時,/(x)的最大值是二，最小值是一一，則A=，

22

B=0

【答案】--1

2

8.判斷大小：tan(――)tan(—-),tan—tan—

5786

【答案】：>,<

9.★已知Sin龍='.當—,-π時;求角X的值；

2|_22」

【答案】χ=π--=-

66

10.★★已知函數(shù)y=Asin(S+°)+〃2的最大值為4,最小值為0,最小正周期為直線

X=工是其圖像的一條對稱軸，則下列各式中符合條件的解析式是()

3

A.γ=4sin(4xd——)B.y=2sin(2x+j∣0+2

TTJT

C.y=2sin(4x+y)D.y=2sin(4x+q)+2

答案:D

II.將函數(shù)y=sin(2x-^)圖象上的點p((,d向左平移s(s>O)個單位長度得到點R若產(chǎn)

位于函數(shù)y=sin2x的圖象上，貝∣J()

A√=-,S的最小值為工Bl=N,s的最小值為工

2626

Cj=I,s的最小值為￡Dl=@，s的最小值為巳

2323

【答案】:A

12.★★設(shè)函數(shù)/(x)=|sin(2x+q)|,則下列關(guān)于函數(shù)/(x)的說法中正確的是()

A./(x)是偶函數(shù)B.f(x)最小正周期為π

C.“X)圖象關(guān)于點(-%,0)對稱D./(χ)在區(qū)間任,衛(wèi)］上是增函數(shù)

6312

答案:D

13.給出下列命題：

①正切函數(shù)的圖象的對稱中心是唯一的；

②y=∣siar∣、y=∣taru∣的周期分別為n、］；

③若x1>x2,則sinΛ1>sinx2:

④若f(x)是R上的奇函數(shù)，它的最小正周期為T,則/(一T)=Q

其中正確命題的序號是.

【答案】④

14.設(shè)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,-π<φ≤π)在X=工處取得最大值2,

π

其圖象與X軸的相鄰兩個交點的距離為2.求f（X）的解析式.

【答案】解：（1）由題意可得：f（X）max=A=2,65

2兀2兀

于是3==2,

Tπ

故f(x)=2sin(2x+φ),

由f（x）在X?處取得最大值2可得：2X

=-j-+Φ=2kπ÷y?>Φ=2kπ?^(k∈Z),

6

又一π<φ<π,故

因此f(x)的解析式為f(χ)=2sin(2x÷^^)

【課后作業(yè)】

1.★正弦函數(shù)f（x）=SinX圖象的一條對稱軸是（)

冗π

A.X=OBβ.X=—C.X=-D.x=π

42

【答案】C

2.★★函數(shù)/（x）=ASin（S+Q）（A>0M>0,∣加Vl）的部分圖象如圖所示，則

/(1)+/(2)++/(11)的值等于

A.2B.2÷Λ∕∑C.2+D.-2-2,χ∕J

【答案IC

3.已知函數(shù)TU)=Sin(S+s)[G>0∣e∣<^∣),A-（為段）的零點'A（為產(chǎn)於）圖象的

π5π

對稱軸，且yu）在上單調(diào)，則口的最大值為（）

18,36

A.11B.9C.7D.5

【答案】：B

4.★★求函數(shù)y=l-gcosx的單調(diào)區(qū)間.

【答案】單調(diào)增區(qū)間為：［2?,2A萬+句,keZ

單調(diào)減區(qū)間為：[~π+2kπ,2kπ],keZ

5.★★已知函數(shù)/(x)=2sin[:j-2X

(1)求函數(shù)最小正周期；

(2)求函數(shù)取得最大值時X的取值；

(3)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(4)求函數(shù)對稱軸;

(5)求函數(shù)對稱中心;

【答案工

血回4,+部，Z2[*臼;對稱軸“三+凈eZ;對稱中心(錚在

6.★求函數(shù)y=3tan[x+(?}-V≤x≤^?的值域

【答案】r[0,3√3]

7.★★已知函數(shù)/(x)=-2qsin(2x+?)+2〃+伙a>0)。

(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間。

(2)若函數(shù)的定義域為[