2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.復(fù)數(shù)z=l+i,貝氏=()

A.—1+iB.—1—iC.1+iD.1—i

【答案】D

【分析】根據(jù)共扼復(fù)數(shù)的概念求解.

【詳解】因為復(fù)數(shù)z=l+i,所以I=IT,

故選:D.

2.向量a=(2,τ),Z?=(-1,2),則(2α+θ)?α=()

A.6B.5

C.1D.—6

【答案】A

【分析】利用向量加法和數(shù)量積的坐標運算直接求解即可.

【詳解】.2?+6=(3,0),.?.(2α+?)?α=3×2+0×(-l)=6.

故選：A.

3.在.?Λ3C中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若b=用,A=45o,8=60。，則”=()

A.1B.2&C.2D.母

【答案】D

【分析】利用正弦定理可得答案.

【詳解】由正弦定理得—一=3，

smAsinB

==—2-=√Σ.

sinB√r3

~2

故選：D.

4.如圖，一個水平放置的三角形ABO的斜二測直觀圖是等腰直角三角形A'8'0',若B1A=FO=I,

那么原三角形AB。的周長是()

y'

C.2√2+2D.√2+2

【答案】B

【分析】由斜二測畫法原理將直觀圖轉(zhuǎn)化為原圖，根據(jù)原圖運算求解即可.

12r222

【詳解】由題意可得：AO'=y∕(B'O')+(β'A)=√1+1=y/2,

由直觀圖可得原圖，如圖所示，可知：ZAOB=90o,BO=B'O'=l,AO=2A'O'=2√2,

可得A3=yjBO2+AO2=+(2何=3,

所以原三角形ABO的周長8O+AO+A8=l+2√Σ+3=4+2√∑.

5.正方體ABC。-A8∣GR中，與對角線AC成異面直線的棱有()

A.3條B.4條C.6條D.8條

【答案】C

【分析】由異面直線的定義即可得出答案.

【詳解】解：由圖可知與直線AC為異面直線的棱分別是8月、DD^A。、&A、B1C1、CQ共6

條.

故選：C

2

6.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z與三對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱，則Z等于（）

1-1

A.1+iB.-l-iC.1-iD.-l+i

【答案】D

2

【分析】計算得三=ι+i,關(guān)于虛軸對稱即關(guān)于y軸對稱，得出結(jié)果即可.

1-1

2

【詳解】由題意得三=1+i,

1-1

2

:?復(fù)數(shù)Z與三對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱對稱,

1—1

故選：D.

7.在,ΛBC中，點。在線段BC上，且%）=2QC,則AO=（）

Iur2ιu≡1iu?12

A.AD=-AB+-ACB.AD^-AB+-AC

3333

C.AD=AB+2ACD.AD=2AB+AC

【答案】B

【分析】根據(jù)向量的線性運算公式化簡可得.

【詳解】由已知A。=AB+BD=AB+-BC=AB+-（AC-AB）

12

所以AP=-A8+—AC,

33

故選：B.

BD

8.在一ABC中，內(nèi)角A,8,C所對的邊分別是0,6,c,若-卑=生史，則j的取值范圍為

COSCCC

A.(1,2)B.(1,2]

C?(普D?g苧

【答案】C

【詳解】由正弦定理及-嗎=犯吆得-2竺=空空？生，化簡可得COSC=-1，即C=尋，

cosCccosCSinC23

sinA+sin|--Λ∣sin(A+工]

a+bsinA+sinB(3J(3J,..πππ2π,

所cr以ιu——=—=-------/=------=-Q，由r0<A<q,得W<Aλ+w<-Γ,所rr以sl

cStnC√3√33333

T~2

■Ji(πAa+b(2>∕3

一<si"∣A+-∣≤1,所以----∈1,——.

2I3；cI3

故選C.

二、多選題

9.已知。涉,c是三條不同的直線，α,⑸/是三個不同的平面，下列命題正確的有（）

A.若aJ_b,a_Lc,則Z?〃c

B.^allb,allc,則R/c

C.若aJ_夕,αJ?y,則力〃y

D.%a"B,a"γ,則尸〃7

【答案】BD

【分析】根據(jù)線線、面面位置關(guān)系等知識確定正確答案.

【詳解】A選項，若”,仇“，c,則6,c可能異面，A選項錯誤.

B選項，若“∕∕3,R∕c,則∕√∕c,B選項正確.

C選項，若α,民。_Ly,則α,夕可能相交，C選項正確.

D選項，若α〃夕,α〃/,則///y,D選項正確.

故選：BD

10.已知在同一平面內(nèi)的向量a,。,C均為非零向量，則下列說法中正確的有（）

A.若?！╞,b〃c,則a〃d

B.若a?C=a?b，則b=d

C.{a?b^?c=a?（b?c^

D.若ab^.a±c,則c?(α+b)=O

【答案】AD

【分析】平面向量共線的傳遞性判斷A,由向量數(shù)量積的定義可判斷B,根據(jù)數(shù)量積及共線向量的

概念可判斷C,根據(jù)向量垂直及向量數(shù)量積的概念可判斷D.

【詳解】對A,在同一平面內(nèi)的向量α,b,c均為非零向量，若“∕∕b且b//c，則即A正確；

對B,若a?G=a?b，則IaHClCOSa,<:)=同例8§(4,〃)，又α≠0,所以WCOS=∣c∣cos(α,c),

因為Ac與α的夾角不一定相等，所以》=C不一定成立，即B錯誤；

對C,因為(α?8)?c與C共線，α?(b?c)與4共線，所以(α?6)?c="?(b?c)不一定成立，即C錯誤;

對D,^a∕∕bRalc,則ClZc?(α+〃)=c?a+c力=O,即D正確.

故選：AD.

11.在一ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為α,b,c,下列各組條件中使得/BC有兩個解的是

()

3

A.a=2??∕3,?=4,Λ=-πB.a=2，?=4,cosA=一

65

C.a=2邪,b=4fC=FD.a=26,b=4,B=T

66

【答案】AB

【分析】根據(jù)正弦定理、余弦定理的知識確定正確選項.

TT

【詳解】A選項，?sinA=4×sin-=2,bsinA<a<b,

6

所以/3C有兩個解，A選項正確.

B選項，a<6,cosA>0,A為銳角，

Γ.2A4...416

sιnAλ=√l-cosΛ=—,psmA=4Zi×-=—,

bsinA<a<bf所以一ABC有兩個解，B選項正確.

C選項,由余弦定理得c=+Z?2-2abcosC=4,

所以ABC有唯一解.

D選項，asinB=26xg=6,

asinB<a<bf所以_ABC有唯一解.

故選：AB

12.截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕亟?，即截去四面體的四個頂點所產(chǎn)生

的多面體.如圖，將棱長為3的正四面體沿棱的三等分點作平行于底面的截面得到所有棱長均為1

的截角四面體，則()

A.該截角四面體一共有12條棱

B.該截角四面體一共有8個面

C.該截角四面體的表面積為76

D.該截角四面體的體積為空區(qū)

12

【答案】BCD

【分析】確定截角四面體是由4個邊長為1的正三角形，4個邊長為1的正六邊形構(gòu)成，然后分別

求解四面體的表面積，體積即可判斷選項.

【詳解】對于AB,可知截角四面體是由4個邊長為1的正三角形，4個邊長為1的正六邊形構(gòu)成,

故該截角四面體一共有8個面，18條棱，故A錯誤，B正確;

對于C,邊長為1的正三角形的面積S=klχlχ巫=且，邊長為1的正六邊形的面積

224

S=6×>×?χ?速=典,故該截角四面體的表面積為s=4χ3+4x38=7√L故C正確；

22242

對于D,棱長為1的正四面體的高/z=Jι∕2χ3]=旦,利用等體積法可得該截角四面體的體積

V[32)3

^v?3x3×fx3xT-4xΓΓlx,xfxT=HF,故DJ≡

故選：BCD

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查多面體的表面積及體積求法，解題的關(guān)鍵是審清題意，清楚截角四

面體的定義及構(gòu)成，考查學(xué)生的空間想象能力與運算求解能力，屬于較難題.

三、填空題

13.已知α=(2,A),b=(1,2),若&//另,貝必=

【答案】4

【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標表示得到方程，解得即可.

【詳解】因為a=（2,左），b=（l,2）且“//〃，

所以&xl=2x2,解得出=4.

故答案為：4

14.寫出一個模為5,且在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限的復(fù)數(shù)Z=.

【答案】-3-4i（答案不唯一）

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)對應(yīng)點所在象限確定正確結(jié)論.

∣α<0

【詳解】設(shè)z=α+6i（α,b∈R）,則滿足心<0即可.

[a2+b2=25

所以-3-4,?符合題意.

故答案為：-3-4i（答案不唯一）

15.若圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為2圓心角為120的扇形，則該圓錐的體積為.

【答案】嶺互兀

81

【分析】計算出圓錐的底面半徑，進而可求得該圓錐的高，利用錐體的體積公式可求得該圓錐的體

積.

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為「，扇形的圓心角為手2ττ，由題意可得9看TTx2=2口，解得/?=（2,

因止匕，該圓錐的體積為V=』"％=，兀x（21χ逑=應(yīng)Z71.

33UJ381

故答案為：氏3.

81

16.小趙想利用正弦定理的知識測量某鐘塔的高度，他在該鐘塔塔底B點的正西處的C點測得該鐘

塔塔頂A點的仰角為30。，然后沿著東偏南67。的方向行進了180.8m后到達。點（8,C,D三點

處于同一水平面），且8點在。點北偏東37。方向上，則該鐘塔的高度為m.（參考數(shù)據(jù):

取sin53=0.8)

A

【答案】113

【分析】先利用正弦定理求出8C,再由銳角三角函數(shù)求出A3.

【詳解】如圖，

ZBCD=67°,ZCDB=90。-67°+37°=60°,貝IJZCBD=180o-60o-67°=53°.

BCCDCDsinZCDB180.8sin600

由正弦定理,得BC=

SmNCDBsinZ.CBDSinZCBDsin53°

180.8Sin60。180.8

所以A3=3C?tan300=?tan30°==113m.

sin53°1.6

故答案為：113.

四、解答題

17.已知向量α,0的夾角為弓,口=1平卜2.

(1)求α/的值；

(2)若2力和打+E垂直,求實數(shù)f的值.

【答案】(I)T

(2)2

【分析】(1)根據(jù)數(shù)量積的定義運算求解；

(2)根據(jù)向量垂直結(jié)合數(shù)量積的運算律運算求解.

【詳解】⑴由題意可得：?-U|?|-|l|cosy=lx2xf-ij=-l.

(2)若2α-匕和fα+b垂直，貝∣](2α-°)?,α+b)=2加一+(2?√)α?6-J=0,

即2f-(2-f)-4=0,解得/=2.

18.已知復(fù)數(shù)z=(2〃?2-3,〃-2)+("P-3機+2)i,其中i為虛數(shù)單位，meR.

(1)若Z是純虛數(shù)，求機的值；

(2)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，求相的取值范圍.

【答案】(1)〃?=-]；

⑵T-g,l)

【分析】(I)Z是純虛數(shù)需要滿足實部等于0,虛部不等于0,即可求出結(jié)果;

(2)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，需要滿足實部小于0,虛部大于0.

【詳解】(1)因為Z是純虛數(shù)，

2W2-3m-2-0

所以<

nr-3w+2≠0

解得，”=，

(2)因為Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限,

2nr-3∕H-2<0

所以《

m2—3/n÷2>0

解得-g<m<l,

所以力的取值范圍為me

19.如圖，直三棱柱ABC-ABe中，BC=A41=1.AB=無，cosNACB=￡,P為線段Ba上的

動點.

小G

c

B

(1)當(dāng)P為線段8G上的中點時，求三棱錐3-B4C的體積;

(2)當(dāng)P在線段BG上移動時，求AP+CP的最小值.

【答案】α咯

⑵技

【分析】(1)由余弦定理求出AC=石，即可求出AC=G的面積，再由等體積法求解即可;

(2)根據(jù)平面展開圖可確定AP+CP的最小值即AC長，由三角形余弦定理求解即可.

【詳解】⑴由已知可得SinNACB=巫,

3

由余弦定理有-2=1+AC2-2ACcosZACB,得至IJAC=B

在aACB中，有.SΛACB=-ACBCsinZACB=~×有XlXjL=昱,

δacs2232

PAC=VP-ACB=∕%-48C=/XqXI，電力

ACB6212

(2)將4BG繞Ba旋轉(zhuǎn)到與aCBG同一平面(如圖所示),

連接AC交BC于點《，此時AP+CP取得最小值，最小值即AC長.

在；A8C∣中，BCt=√2,AB=近,ACl=2,

222

?BC1+AB=AC1,故A8J.8G，即NABG=90。,

又易知NCBG=45。，故NABC=I35。，

O

由余弦定理得AC2=I+2-2×√2×1×COS135=5,所以AC=有,

（或者在AAGC中由勾股定理得ΛC=√5）

故AP+CP的最小值為√L

20.在ΔABC中，AB=3,AC=I,ZΛ=60o.

(1)求SinZACB；

（2）若。為BC的中點，求AO的長度.

【答案】（1）逑I；（2）叵

142

【分析】（1）在ΔABC中，根據(jù)余弦定理得到8C=JAB?+4C"-24B.4C.cosC=√7，再根據(jù)正弦定理

.??,即可得到SinNACB的值.

SinZACns?nA

（2）首先根據(jù)余弦定理求出“SC=-夸,在"S中,由余弦定理即可得到皿的值.

【詳解】(1)在A48C中，AB=3,AC=I,ZA=60o.

由余弦定理可得：BC=√Aβ2+AC2-2AB.AC.cosΛ=^32+l2-2×3×l×i=√7

aB

.I由正弦定理：缶=煞,可得：SMCB3x—3√21；

Aβ?sinA==------,

BC14

(2)。為BC的中點，???可得：CD=《BC=￡,

22

-AC2+BC2-AB21+7-9√7

又πcosC=--------------------=---------j==-----,

2AC.BC2×l×√714

在ΔACO中，由余弦定理可得：AD=y∣AC2+CD2-2AC.CD.cosC=^1+^-2×l×?^×

【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理，同時考查了學(xué)生的計算能力，屬于中檔題.

21.如圖在平面四邊形ABCO中，AC=近，AB=3,ΛDACZBAC,sinZBAC=—

14

（1）求邊BC；

（2）若NCD4=彳，求四邊形ABC。的面積.

【答案】（1）1;

⑵遇

4

【分析】（1）利用余弦定理即可求得邊BC的長;

（2）分別利用三角形面積公式求得SSAAQ的面積，進而求得四邊形ABCZ）的面積.

【詳解】（1）因為SinZBAC=立L/5AC為銳角,

14

所以COSN84C=

因為AC=",AB=3,在二ABC中,

由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2ACAB-COSZBAC,

S行

BPBC2=7+9-2×√7×3×?=1,得BC=1.

14

CDAC

（2）在〃比中‘由正弦定理得嬴礪

SinZADC

CD=百

即面二方，所以CO=L

在Z?ADC中，由余弦定理得cos/AQC='0^+C"一，

2ADCD

即」AD2+1-7

解得AD=2.

2IAD

因為SAABC=gx"x3x^|^=^^，5?ACD=^×1×2×sin~=~,

所以qA.Q"+B=注

SABe,

"△ARCT*-?ΛCD424

22?在銳角中‘內(nèi)角A'B，C所對的邊分別為〃