2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)高考真題（解析版）

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(新課標(biāo)全國∏卷

)

數(shù)學(xué)

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的。

1.在復(fù)平面內(nèi)，(l+3ι)(3τ)對應(yīng)的點位于().

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象

限

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.

【詳解】因為(l+3i)(3T)=3+8i-驢=6+8i,

則所求復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為(6,8),位于第一象限.

故選：A.

2.設(shè)集合A={0,—〃},B={1,4Z-2,2^-2},若則Q=().

2

A.2B.1C.—D.—1

3

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)包含關(guān)系分a—2=0和2。一2=0兩種情況討論，運算求解即可.

【詳解】因為4仁8,則有：

若a-2=0,解得a=2,此時A={0,—2},B={1,0,2},不符合題意；

若2a-2=0,解得a=l,此時A={0,-1},B={l,-1,0},符合題意；

綜上所述：?=1.

故選：B.

3.某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調(diào)查，

擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200

名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有().

A.C<?C盛種B.C禽?C品種

C,C加4種D.CQC機種

【答案】D

【解析】

【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.

【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取60χ%=40人，高中部共抽取

600

6Z0CX-2-0--0-2C0C,

600

根據(jù)組合公式和分步計數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有C：QC鼠種.

故選：D.

2r-1

4.若/(x)=(x+α)ln芯工?為偶函數(shù)，則α=().

A.-1B.0C.?D.1

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，利用特殊值法求出。值，再檢驗即可.

【詳解】因為/(X)為偶函數(shù)，則/(1)=?(-l),.?.(1+α)In?=(-1+?)In3,解得α=0,

當(dāng)α=0時，/(x)=xln^-1,(2x-l)(2x+l)>0,解得χ>?L或一，,

I,2x+l'八/22

則其定義域為{x∣x)∕或X<-?k關(guān)于原點對稱.

/(-Λ)=(-%)In2!?~-=(-χ)ln2λ+1=(-x)lnf—~∩=Xln—~~-=?(?),

v7v72(-x)+lv,2x-l、){2x+l)2x+lv,

故此時/(x)為偶函數(shù).

故選：B.

5.已知橢圓C:§+y2=1的左、右焦點分別為片，F(xiàn)2,直線y=x+機與C交于A,B

兩點，若面積是面積的2倍，則"?=().

?2r√2r√22

3333

【答案】C

【解析】

【分析】首先聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用A>(),求出〃?范圍，再根據(jù)三角形面積比得

到關(guān)于的方程，解出即可.

y=x+m

22

【詳解】將直線y=χ+m與橢圓聯(lián)立〈X9,消去可得4X+6mx+3nΓ-3=0?

一+y-l

13,

因為直線與橢圓相交于AB點，則A=36∕√-4x4(3m2-3)>0,解得-2<m<2,

設(shè)Fl到AB的距離4，罵到AB距離d2,易知6卜形,0),K(√2,θ),

6.已知函數(shù)/(x)=αe'Tnx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則”的最小值為().

2

AjB.eC.e^'D.e^

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)r(x)=ɑe`,-J≥0在(l,2)上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出.

【詳解】依題可知，/'(x)=αe'-L≥o在(1,2)上恒成立，顯然α>(),所以XeX≥L

Xa

設(shè)g(x)=xe”,x∈(l,2),所以g'(x)=(x+l)e*>0,所以g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增,

g(x)>g(l)=e,故e≥L,即α≥J=eT,即α的最小值為e^j?

cie

故選：C.

7.已知α為銳角，CoSa=匕且，貝IJSin4=().

42

?3-番-l+>∕53-小

A.-------------rD.----------------rV?.-------------πL√.

884

-1+逐

4-

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)二倍角公式(或者半角公式)即可求出.

【詳解】因為COSa=I_2sin24=H^,而α為銳角，

24

解得：Sinq=β-√5_MT);逐T.

故選：D.

8.記S“為等比數(shù)列｛4｝的前〃項和，若$4=-5,S6=21S2,則Sg=().

A.120B.85C.-85D.-120

【答案】C

【解析】

【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前〃項和公式求出公比，再根據(jù)S4,Sg的關(guān)系即可解

出；

方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前〃項和的性質(zhì)求解.

【詳解】方法一：設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4,首項為卬，

若q=l,則S6=6q=3x2q=302,與題意不符，所以q#l；

由$4=-5,S6=2iS2可得，4(7,4°①=21x>(l-')①,

[―qI—qT-q

由①可得，l+√+√=21,解得：q2=4,

所以Sg=)=41一4)X(I+/)=_5X(1+16)=-85.

故選：C.

方法二：設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4,

因為§4=一5,S6=21S2,所以“7-1,否則S4=O,

從而，S2,S14-S2,S6—Sil,Sg-§6成等比數(shù)列,

,5

所以有，(―5-?S2)-=S2(2iS2+5),解得：52=-1或邑="

當(dāng)§2=-1時，S2,S4-S2,Sb-S4,S8-S6,即為—1,-4,—16,Sg+21,

易知，Sjj+21=—64,BPSs=-85；

=(α∣+αj(l+g~)=(l+q~)s,>0,

當(dāng)S2=一時，S4=Ω1+a2+a3+a4

與54=-5矛盾，舍去.

故選：C.

【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的前“項和公式的應(yīng)用，以及整體思想的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是

把握S=Sg的關(guān)系，從而減少相關(guān)量的求解，簡化運算.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有

多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知圓錐的頂點為P,底面圓心為。，AB為底面直徑，NApB=I20°,FA=2，點C

在底面圓周上，且二面角產(chǎn)一AC-O為45。，則().

A.該圓錐的體積為兀B.該圓錐的側(cè)面積為4小

C.AC=2√2D.Z?P4C的面積為G

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)圓錐的體積、側(cè)面積判斷A、B選項的正確性，利用二面角的知識判斷C、D

選項的正確性.

o

【詳解】依題意，ZAPB=?20,JR4=2,所以O(shè)P=I,OA=OB=G,

A選項，圓錐的體積為:xπx(6jxl=兀，A選項正確；

B選項，圓錐的側(cè)面積為兀xGx2=2島，B選項錯誤；

C選項，設(shè)。是AC的中點，連接ORPO,

則AC_L0D,AC_LP￡),所以NPDO是二面角P—AC—0的平面角，

則NPr)O=45°,所以O(shè)P=QD=1,

故A。=Cr)=J口=JI,則AC=2J5,C選項正確；

D選項，PD=Jl2+f=0，所以SpAC=；x2拒x0^=2,D選項錯誤.

故選：AC.

P

Aζ-∕-l-^Q.____?B

×>∕--^7Zx^,Jz

_______/

C

10.設(shè)。為坐標(biāo)原點，直線y=—后(XT)過拋物線Uy2=2px(p>0)的焦點，且與C

交于M,N兩點，/為C的準(zhǔn)線，則().

Q

A.p=2B.∣MN∣=-

C.以MN為直徑的圓與/相切D.OMN為等腰三角形

【答案】AC

【解析】

【分析】先求得焦點坐標(biāo)，從而求得P,根據(jù)弦長公式求得IMNI,根據(jù)圓與等腰三角形的

知識確定正確答案.

【詳解】A選項：直線y=-G(x-1)過點(1,0),所以拋物線C：y2=2px(p>0)的焦

點F(1,O),

所以5=l,p=2,2"=4,則A選項正確，且拋物線。的方程為y=4x.

B選項:^M(xi,yi),N(x2,y2),

>=—6(XT)消去>并化簡得3f-IoX+3=(χ-3)(3x-l)=O,

由，

y~=4x

111Z：

解得玉=3,工2=]，所以IMNl=X]+z+P=3+1+2=,B選項錯誤.

C選項：設(shè)MN的中點為A,M,MA到直線/的距離分別為4,4，d,

因為d=g(4+d2)=g(MF∣+INFI)=g∣MN∣,

即A到直線/的距離等于MN的一半，所以以MN為直徑的圓與直線/相切，C選項正確.

D選項：直線y=—G(X—1),即JJx+y-6=0,

。到直線氐+y—6=0的距離為d=且，

2

所以三角形OMN的面積為Lχ3χ且=生巨，

2323

由上述分析可知Y=—6(3-1)=-2√3,%=-Ij=

所以IoM=J32+卜2商=A^TjONl=J+手

所以三角形OMN不是等腰三角形，D選項錯誤.

故選：AC.

bC

11.若函數(shù)/(x)=αlnx+7+}(αHθ)既有極大值也有極小值，則().

A.bc>OB.ab>OC.b2+Sac>OD.ac<O

【答案】BCD

【解析】

【分析】求出函數(shù)/(X)的導(dǎo)數(shù)/'(X),由已知可得/'(X)在(0,+8)上有兩個變號零點，轉(zhuǎn)化

為一元二次方程有兩個不等的正根判斷作答.

bc

【詳解】函數(shù)/")=QlnX+一+=的定義域為(0,+8),求導(dǎo)得

XX

1

rf/xab2cax-bx-2c

/(X)=-----------r=--------ξ----------

XXX'X

因為函數(shù)/(X)既有極大值也有極小值，則函數(shù)/'(X)在(0,+8)上有兩個變號零點，而

4≠O,

因此方程0√一"一2c=0有兩個不等的正根和9，

N=b'+8。C>O

b

于是《X∣+%2=—>()即有62+8αc>0,ab>O,ac<O,顯然/^evθ,即

a

2cn

X2=-------->O

a

bc<O,A錯誤，BCD正確.

故選：BCD

12.在信道內(nèi)傳輸O,1信號，信號的傳輸相互獨立.發(fā)送O時，收到1的概率為

?(0<?<1),收到O的概率為1—。；發(fā)送1時，收到O的概率為"0<?<1),收到1

的概率為1-￡.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送

【次，三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次

傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例

如，若依次收到1,0,1,則譯碼為1).

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(1-a)(l-")2

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為￡(1Y

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為4(I-/)?+。-尸P

D.當(dāng)0<α<05時，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方

案譯碼為0的概率

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用相互獨立事件的概率公式計算判斷AB；利用相互獨立事件及互斥事件的概率

計算判斷C；求出兩種傳輸方案的概率并作差比較判斷D作答.

【詳解】對于A,依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0

接收0、發(fā)送1接收1的3個事件的積，

它們相互獨立，所以所求概率為(1—，)(1一。)(1—￡)=(1—a)(l—￡)2,A正確；

對于B,三次傳輸，發(fā)送1,相當(dāng)于依次發(fā)送1,1,1,則依次收到1,0,1的事件，

是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1的3個事件的積，

它們相互獨立,所以所求概率為(I-A)?0(1-A)=月(1一月I,B正確;

對于C,三次傳輸，發(fā)送1,則譯碼為1的事件是依次收到1,1,0、1,0,1、0,1,1

和1,1,1的事件和，

它們互斥,由選項B知，所以所求的概率為C；知(1一夕>+(1-￡)3=(1—%)2(1+2/7),C

錯誤;

對于D,由選項C知，三次傳輸，發(fā)送0,則譯碼為0的概率尸=（1-。）2（1+2。），

單次傳輸發(fā)送0，則譯碼為0概率P=l-α,而0<α<0.5,

因此P—P'=（l—α>（l+20）—（1一。）=a（l—。）（1一2。）>0,即P>P,D正確.

故選：ABD

【點睛】關(guān)鍵點睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互

斥事件的和，相互獨立事件的積是解題的關(guān)鍵.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量力,［滿足,一司=Λ∕J,卜+〃卜慳一1,則W=.

【答案】√3

【解析】

【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運算律運算求解；法二：換元令\=5_力，結(jié)

合數(shù)量積的運算律運算求解.

【詳解】法一：因為∣α+.=∣2α-可，即+=（2。一人了，

r?rrr?r?rrr??

則Q+2a?b+b=4。-Aa?b+b,整理得α-2a?b=0，

又因為,一*石，即（〃一6『=3,

則m。+九九3,所以w=3

Irrrrrrrrr

法二：設(shè)［=』」，則H=?^,α+b=c+282α-b=2c+h,

222222

由題意可得：（e+2?）=（2c+?）,≡e+4I+4=4+4I+?'

整理得:自￡即M=8=G

故答案為：叢.

14.底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2,高為3

的正四棱錐，所得棱臺的體積為.

【答案】28

【解析】

【分析】方法一：割補法，根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)以及棱錐體積公式求得正確答案；方法

二：根據(jù)臺體的體積公式直接運算求解.

2I

【詳解】方法一：由于一=—,而截去的正四棱錐的高為3,所以原正四棱錐的高為6,

42

所以正四棱錐的體積為gx(4χ4)x6=32,

截去的正四棱錐的體積為:x(2x2)x3=4,

所以棱臺的體積為32—4=28.

方法二：棱臺的體積為Lχ3x(16+4+J16χ4)=28.

故答案為：28.

15.己知直線/:x-my+l=O與0C：(x—I)?+；/=4交于A,8兩點，寫出滿足“ABC

O

面積為一"的m的一個值.

5

【答案】2(2,L中任意一個皆可以)

22

【解析】

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求出弦長∣AB∣,以及點。到直線A3的距離，結(jié)合面

積公式即可解出.

【詳解】設(shè)點C到直線ΛB的距離為d，由弦長公式得|4回=2"-下2，

所以Sz^c=gxdx2j4-"2=?,解得：”=生叵或4=撞，

2555

11+11224Λ∕522亞

由df=—/=---7=]-----7，所以=或----=-----，解得：加=±2或

?Jl+nr√l÷m^1l+m1、√l+m25

m=±—.

2

故答案為：2(2,-2,工,-‘中任意一個皆可以).

22

16.已知函數(shù)/(x)=sin(3x+e),如圖A,B是直線y=；與曲線y=∕(x)的兩個交

點，若∣A8∣=g則〃兀)=______.

6

??AΓ

?A\/:

VV

【答案】—正

2

【解析】

【分析】設(shè)4(%]),8(尤2，()，依題可得，%—玉=Tt1

—,結(jié)合SinX=—的解可得，

62

*-不)專,從而得到力的值,再根據(jù)噌1T)=O以及/(0)<0，即可得

/(x)=sin^4x-∣π^,進(jìn)而求得〃兀).

【詳解】設(shè)Au,小2，；)，由可得/rπ

'=6'

.1Tt5兀

由SinX=—可知，X=—+2E或X=2——卜2kπ,kwZ,由圖可知，

266

=-1,.*.69=4.

cox2(p~(^cox^÷-Ji——=f即/(W"X∣)=~

因為/(■!兀]=sin(]?+夕=O,所以?+9=也，即8,

(P=-CTl+kit,kwZ.

(Q、，C、

所以/(?)=sin[4x-1Ti+E=Sin[4x——π+^π,

3)

所以/(x)=Sin4x-:兀1或/(X)=.(.2)

-sinAx——π,

I3)

又因為/(0)<0,所以/(x)=sin(4/'^∣π^.??∕(π)=sin^4π-∣π^∣=-y.

故答案為：-B.

2

【點睛】本題主要考查根據(jù)圖象求出。以及函數(shù)/(x)的表達(dá)式，從而解出，熟練掌握三

角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.

四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程

或演算步驟。

17.記ABC的內(nèi)角A8,C的對邊分別為“∕,c,已知ABC的面積為G,O為BC中點,

且AO=L

?Tt

(1)若ZADC=—,求tan3；

3

(2)若從+(?=8,求"J

【答案】(1)立；

5

(2)h=c=2.

【解析】

【分析】(1)方法1,利用三角形面積公式求出。，再利用余弦定理求解作答；方法2,利

用三角形面積公式求出。，作出BC邊上的高，利用直角三角形求解作答.

(2)方法1,利用余弦定理求出“，再利用三角形面積公式求出/4)C即可求解作答；方

法2,利用向量運算律建立關(guān)系求出”,再利用三角形面積公式求出/4)C即可求解作答.

【小問1詳解】

TT

方法1：在VABC中，因為。為3C中點，ZADC=-,AD=I,

3

則Sadc=—AD?DCsinZADC='χlx,αx=a=—Sarc=，解得

λdc2222822

a=4,

在AABD中，ZADB=—,由余弦定理得/二班下+人^NAZJB，

即C2=4+1—2X2X1X(—')=7,解得C=√7,則CoS8=?t≤=偵,

22√7×214

sinB=Vl-∞s2B-

sinB_?/3

所以tan3

cosβ5

一π

方法2：在一ABC中，因為。為BC中點，ZADC=-,AD=I,

則SmC=LA。。CSinNA。C=IXlX,αχ正=立α=,s=?,解得

λdc2222822

Q=4,

ACD中，由余弦定理得。2=CD'+AD2-2CD-ADcosZADB，

即〃=4+l-2x2xlxg=3,解得b=石，有AC2+Af>2=4=Cf>2,則Ncw=今,

C=5,過A作LBe于E，于是CE=ACCoSC=3,AE=ACSinC=立，

622

BE=)

2

AE

所以tanB

~BE

【小問2詳解】

方法1：在aABO與Aa）中，由余弦定理得

,1,1

c-=—cr+l-2×-α×l×cos(π-ZADC)

42

11

Z9r--cr9+l-2×-6[×1×cosZADC

42

整理得g∕+2=02+c2,而〃+。2=8,則α=2b,

又S=,χ6χlXSinNAr>C=走，解得SinNAr)C=1,而O<NADC<兀，于是

adc22

π

ZADC=-,

2

所以b=c=jA°2+cr>2=2?

方法2：在-ABC中，因為。為BC中點，則2AO=A6+4C,又CB=AB—AC，

2?

于是4AD-+C3-=(AB+AC)2+(AB-AC)2=232+。2)=]6，即4+/=16,解得

a—2y∣3，

又SADC=；x6xlXSinNAoC=今，解得SinZAr)C=1,而°<ZAT>C<π,于是

π

ZADC=-,

2

所以/=C=JAD2+cr>2=2?

∣8.已知｛見｝為等差數(shù)列，a]2：〃為偶數(shù)，記加刀,分別為數(shù)列也,｝，也｝的

前〃項和，§4=32,1=16.

（1）求｛凡｝的通項公式；

（2）證明：當(dāng)〃>5時，Tn>S11.

【答案】（1）an=2n+3i

（2）證明見解析.

【解析】

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,用4，4表示S”及7；,即可求解作答.

（2）方法1,利用（1）的結(jié)論求出S“，bn,再分奇偶結(jié)合分組求和法求出T“，并與S“作

差比較作答；方法2,利用（1）的結(jié)論求出S”，bn,再分奇偶借助等差數(shù)列前〃項和公式

求出7.，并與S”作差比較作答.

【小問I詳解】

Q—6〃=2k—?

e

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d，而瓦n-2k,%N*,

則4=01-6,fe2=2a2=2%+2d,H=a3-6=aλ+2d—6,

S=4q+6d=32

于是V4,解得4=5,d=2,%=q+(〃一l)d=2〃+3,

7；=4q+44—12=16

所以數(shù)列｛4｝的通項公式是all=2n+3.

【小問2詳解】

?,..,C”(5+2〃+3)242〃-3,〃=2攵-1

方法1：由(z1x)知，S=-------------=π^+4n,左∈N*,

n24〃+6,/I=2k

當(dāng)〃為偶數(shù)時，=2(〃-1)-3+4〃+6=6〃+1,

13+(6n+l)/?397

-----------=一九~+一〃,

2222

22

當(dāng)〃>5時，^-5n=(∣H+∣n)-(n+4n)=∣n(n-l)>0,因此7；>S.，

3735

22

當(dāng)?為奇數(shù)時,T11=η,+1-?+,=-(H+l)+-(n+l)-[4(n+l)+6]=-n+-n-5.

351

22

當(dāng)〃>5時，T11-S,l=(-n+-n-5)-(n+4?)=-(n+2)(H-5)>O,因此7；〉S”,

所以當(dāng)〃〉5時，Tn>S,?.

n(5+2/7÷3)2〃-3,〃=2%—1,*

方法2：由(1)知，S=+4〃,k∈N,

n24n+6,n=2k

當(dāng)〃為偶數(shù)時,

-l+2(∕ι-l)-3n14+4n÷6"327

T=(?+?H----也_])+(%+―+?+?)=-------------------------------1-------------------—=—n~+—7?

n13222222

3272i

當(dāng)〃〉5時，Tn-SM=(-n+-n)-(n+4n)=-n(n-1)>O,因此<>$〃,

當(dāng)〃為奇數(shù)時，若〃≥3,則

-1+2〃-3H+114+4(71-1)+6/7-1

T=(?+?++?)+(?+?++?-)=--------------------+

n141222F

353S

=-H2+-H-5,顯然Z=4=T滿足上式，因此當(dāng)〃為奇數(shù)時，T=-n2+-n-5,

22ιι22

3Si

12

當(dāng)〃>5時，Tll-S,l=(-n+-n-5)-(n+4n)=-(n+2)(n-5)>Q,因此7；〉S“,

所以當(dāng)〃〉5時，Tn>S11.

19.某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異,

經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖:

α^O

‰3S

u

o3O

00.o3l

利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c,將該指標(biāo)大于C的人判定為陽性，小

于或等于C的人判定為陰性.此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為

P(c);誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為4(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布,

以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

(1)當(dāng)漏診率P(C)=O.5%時，求臨界值C和誤診率q(c)；

(2)設(shè)函數(shù)F(C)=P(C)+g(c),當(dāng)c∈［95,105］時,求/(C)的解析式，并求/(C)在

區(qū)間［95,105］的最小值.

【答案】⑴c=97.5.4(c)=3.5%；

-0.008c+0.82,95≤c≤100

(2)/(C)=<，最小值為0.02.

0.01c-0.98,100<c≤105

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意由第一個圖可先求出c,再根據(jù)第二個圖求出c≥97.5的矩形面積即

可解出；

(2)根據(jù)題意確定分段點100,即可得出/(C)的解析式，再根據(jù)分段函數(shù)的最值求法即可

解出.

【小問1詳解】

依題可知，左邊圖形第一個小矩形的面積為5X0.002>0.5%,所以95<c<100,

所以(C—95)x0.002=0.5%,解得：c=97.5,

q(c)=0.01X(97.5-95)+5×0.∞2=0.035=3.5%.

【小問2詳解】

當(dāng)c∈［95,100］時,

/(c)=P(C)+q(c)=(c-95)X0.∞2+(100-C)Xo.01+5x0.002

=-0.008c+0.82>0.02：

當(dāng)Ce(IoO,105］時，

/(c)=MC)+q(c)=5×0.002+(C-IoO)Xo.012+(105-C)X0.∞2

=0.01c-0.98>0.02,

-0.008c+0.82,95≤c<100

故/?=

0.0k?-0.98,100<c≤105

所以/(C)在區(qū)間［95,105］的最小值為0.02.

20.如圖，三棱錐A—BCD中，DA=DB=DC,BDA.CD,

ZADB=ZADC=6Q，E為BC中點.

(1)證明：BCLDA-,

(2)點F滿足EE=DA，求二面角O—A3—F的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；

⑵息.

3

【解析】

【分析】(I)根據(jù)題意易證BCI平面AOE,從而證得5C_LZM；

(2)由題可證AEL平面BCD，所以以點E為原點，￡。,七8,￡4所在直線分別為龍,丁"

軸，建立空間直角坐標(biāo)系，再求出平面A8。,ABP的一個法向量，根據(jù)二面角的向量公式

以及同角三角函數(shù)關(guān)系即可解出.

【小問1詳解】

連接AE,OE,因為E為BC中點，DB=DC,所以DELBC①,

因為ZM=OB=。。，ZADB=ZADC=60，所以,ACD與Z?ABf)均為等邊三角

形，

ΛACAB,從而AELBC②，由①②，AEiDE=E,AE,DEu平面AZ)E，

所以，BCl平面ADE,而ADU平面ADE，所以BC_LD4.

【小問2詳解】

不妨設(shè)∩4=O3=r>C=2,BDLCD,:.BC=2垃,DE=AE=丘.

：,AEr+DE2AD1,..AELDE,又AELBC,DEBC=E,DE,8CU平

面BCD.?.AE平面BCO.

以點E為原點，￡0,所,￡4所在直線分別為乂乂2軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所

設(shè)D(√2,0,0),Λ(0,0,√2),8(0,√2,0),E(0,0,0),

設(shè)平面DAB與平面ABF的一個法向量分別為∕η=(Λ?,y1,z1)√ι2=(x2,y2,z2),

二面角￡>—AB—F平面角為夕而ΛB=(θ,√2,-√2),

因為所=D4=(—J5,0,J5),所以尸卜企,0,忘)，即有Ab=卜形,0,0),

[--?/??,+√2z,—O

???jj∑,√Σo,取%=1'所以4=(I，I，D；

{*-[z2=°'取%=1，所以巧=(0,1,1)，

所以，ICoSel=；〔]二逐2形=坐,從而Sine=Jl-?∣=*.

所以二面角D—AB—F的正弦值為巫.

3

21.已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點，左焦點為(—2逐,0),離心率為6.

(1)求C的方程；

(2)記C的左、右頂點分別為A∣,A2,過點(一4,0)的直線與C的左支交于M,N兩點，

M在第二象限，直線MA與N4交于點R證明:點P在定直線上.

2V2

【答案】(1)—x-?-?l

416

(2)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)由題意求得的值即可確定雙曲線方程；

(2)設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點的坐標(biāo)分別寫出直線M4∣與NA2的方程，

X+21

聯(lián)立直線方程，消去y,結(jié)合韋達(dá)定理計算可得——=即交點的橫坐標(biāo)為定值，據(jù)此

x-23

可證得點P在定直線X=-I上.

【小問1詳解】

22_

設(shè)雙曲線方程為二一二=l(α>Q,b>0),由焦點坐標(biāo)可知c=2√5.

Q~b

則由e=￡=逐可得。=2,b=Jc2-O2=4?

a

22

雙曲線方程為三一2=1.

416

【小問2詳解】

由⑴可得A(-2,0),4(2,0),設(shè)M(X,yJ,N(七,%),

顯然直線的斜率不為0,所以設(shè)直線MN的方程為X=4,且—,</〃<!>,

22

與K=I聯(lián)立可得(W-l)√-32wj+48=0,且A=64(W+3)>0,

,直線NA2的方程為y=一三(》一2),

—λ

聯(lián)立直線MAi與直線NA2的方程可得:

x+2=%(玉+2)=%(，町-2)=吵％-2(弘+%)+25

%-2yl(x2-2)yl(my2-6)myxy2-6yl

48C32mC-16mC

m---∑----2?——5——÷2y——∑——+2y.

4"一］4m"-11_4m~-1_1

^1848/77U3，

m×——∑——-e??wπ-6j1

4m--1

X+2i

由——=一；可得X=-1,即XP=-1,

x-23

據(jù)此可得點P在定直線X=-I上運動.

【點睛】關(guān)鍵點點睛:求雙曲線方程的定直線問題,意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和

綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)設(shè)而不求的思想,利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系可以簡化運算,

是解題的關(guān)鍵.

22.(1)證明：當(dāng)O<x<l時，χ-χ2<sinχ<χ;

(2)已知函數(shù)/(x)=CoSar—In?！?),若X=O是/(χ)的極大值點，求〃的取值范

圍.

【答案】⑴