平面向量與三角形三心及平面向量與解三角形

PAGE我們負(fù)責(zé)傳遞知識(shí)！向量與三角形內(nèi)心、外心、重心、垂心知識(shí)的交匯一、四心的概念介紹（1）重心——中線的交點(diǎn)：重心將中線長(zhǎng)度分成2：1；（2）垂心——高線的交點(diǎn)：高線與對(duì)應(yīng)邊垂直；（3）內(nèi)心——角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心）：角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等；（4）外心——中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。二、四心與向量的結(jié)合（1）是的重心.證法1：設(shè)是的重心.證法2：如圖三點(diǎn)共線，且分為2：1是的重心（2）為的垂心.證明：如圖所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.同理，為的垂心（3）設(shè),,是三角形的三條邊長(zhǎng)，O是ABC的內(nèi)心為的內(nèi)心.證明：分別為方向上的單位向量，平分,)，令（)化簡(jiǎn)得（4）為的外心。典型例題分析[例題]已知點(diǎn)G是內(nèi)任意一點(diǎn),點(diǎn)M是所在平面內(nèi)一點(diǎn).試根據(jù)下列條件判斷G點(diǎn)可能通過(guò)的_______心.(填“內(nèi)心”或“外心”或“重心”或“垂心”).[提出問(wèn)題](1)若存在常數(shù),滿足,則點(diǎn)G可能通過(guò)的__________.(2)若點(diǎn)D是的底邊BC上的中點(diǎn),滿足,則點(diǎn)G可能通過(guò)的__________.(3)若存在常數(shù),滿足,則點(diǎn)G可能通過(guò)的__________.(4)若存在常數(shù),滿足,則點(diǎn)G可能通過(guò)的__________.[思路分析]以上四個(gè)問(wèn)題的解決要求不同,除了熟悉三角形的“四心”的性質(zhì),同時(shí)更要熟悉平面向量的性質(zhì),對(duì)于平面向量與三角函數(shù)的結(jié)合也要相當(dāng)熟悉.[解答過(guò)程](1)記,則.由平面向量的平行四邊形或三角形法則知,點(diǎn)G是角平分線上的點(diǎn),故應(yīng)填內(nèi)心.(2)簡(jiǎn)單的變形后發(fā)現(xiàn)點(diǎn)G是BC邊中垂線上的點(diǎn),故應(yīng)填外心.(3)記,則.由平面向量的平行四邊形或三角形法則知,點(diǎn)G是BC邊的中線上的點(diǎn),故應(yīng)填重心.(4)分析后發(fā)現(xiàn),本題學(xué)生難以找到解決問(wèn)題的突破口,主要在于平面向量的數(shù)量積的充分利用.由,得,(關(guān)鍵點(diǎn))于是.從而,點(diǎn)G是高線上的點(diǎn),故應(yīng)填垂心.[點(diǎn)評(píng)]以上四個(gè)問(wèn)題處理的方法各不相同,注意到平面向量及三角形的“四心”的性質(zhì)在解答問(wèn)題時(shí)的作用.特別注意第四問(wèn)兩邊同乘以某個(gè)表達(dá)式的技巧.總結(jié)：（1）是的重心.（2）為的垂心.（3）設(shè),,是三角形的三條邊長(zhǎng)，O是ABC的內(nèi)心為的內(nèi)心.為的外心?；蛘呷酎c(diǎn)為內(nèi)任意一點(diǎn)，若點(diǎn)滿足:1．;2.兩點(diǎn)分別是的邊上的中點(diǎn),且;3.;4..結(jié)合運(yùn)用：例1：是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的（）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心分析：如圖所示，分別為邊的中點(diǎn).//點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的重心，即選.例2：是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的（B）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心分析：分別為方向上的單位向量，平分,點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的內(nèi)心，即選.例3：是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的（）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心分析：如圖所示AD垂直BC，BE垂直AC，D、E是垂足.===+=0點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的垂心，即選.練習(xí)：1．已知三個(gè)頂點(diǎn)及平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，若實(shí)數(shù)滿足：，則的值為（）A．2B．C．3D．62．若的外接圓的圓心為O，半徑為1，，則()A．B．0C．1D．3．點(diǎn)在內(nèi)部且滿足，則面積與凹四邊形面積之比是（）A．0B．C．D．4．的外接圓的圓心為O，若，則是的（）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心5．是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，若，則是的（）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心6．的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，，則實(shí)數(shù)m=7．已知非零向量與滿足(+)·=0且·=eq\f(1,2),則△ABC為()A．三邊均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等邊三角形D．等邊三角形8．已知三個(gè)頂點(diǎn)，若，則為（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．既非等腰又非直角三角形練習(xí)答案：C、D、C、D、D、1、D、C第八單元平面向量與解三角形(120分鐘150分)第Ⅰ卷一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.銳角△ABC的三內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a、b、c,若2csinB=b,則角C的大小為A.π6B.π3C.π2解析:由正弦定理得2sinB=bc=sinBsinC,∴sinC=1答案:A2.若向量u=(3,-6),v=(4,2),w=(-12,-6),則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是A.u⊥vB.v∥wC.w=u-3vD.對(duì)任一向量AB,存在實(shí)數(shù)a,b,使AB=au+bv解析:因?yàn)閡·v=0,所以u(píng)⊥v,顯然w∥v,因?yàn)閡與v不共線,所以對(duì)任意向量AB,存在實(shí)數(shù)a,b,使AB=au+bv.答案:C3.在△ABC中,B=π3,三邊長(zhǎng)a,b,c成等差數(shù)列,且ac=6,則bA.2 B.3 C.5 D.6解析:因?yàn)?b=a+c,由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-3ac,化簡(jiǎn)得b=6.答案:D4.在△ABC中,AB=4,∠ABC=30°,D是邊BC上的一點(diǎn),且AD·AB=AD·AC,則AD·AB等于A.—4 B.0 C.4 D.8解析:由AD·AB=AD·AC,得AD·(AB-AC)=AD·CB=0,即AD⊥CB,所以|AD|=2,∠BAD=60°,所以AD·AB=4×2×12=4答案:C5.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c,若a2+b2=2c2,則cosC的最小值為A.32 B.22 C.12解析:cosC=a2+b2-c22ab=答案:C6.設(shè)A(a,1),B(2,b),C(4,3)為坐標(biāo)平面上三點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若OA與OB在OC方向上的投影相同,則a與b滿足的關(guān)系式為A.5a-4b=3 B.4a-3b=5 C.4a+5b=14 D.5a+4b=14解析:由OA與OB在OC方向上的投影相同,可得OA·OC=OB·OC?(a,1)·(4,3)=(2,b)·(4,3),即4a+3=8+3b,4a-3b=5.答案:B7.在△ABC內(nèi),角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若bsinB+asinA=csinC,c2+b2-a2=3bc,則B等于A.π3 B.2π3 C.π解析:因?yàn)閏2+b2-a2=3bc,所以cosA=c2+b2-a22bc因?yàn)閎sinB+asinA=csinC,所以b2+a2=c2,所以C=π2,B=π答案:A8.已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),其中x>1,y>0,若a∥b,則log2(x-1)+log2y等于A.1 B.2 C.3 D.4解析:∵a∥b,則x-14=2y,∴(x-1)y=8,∴l(xiāng)og2(x-1)+log2y=log2(x-1)y=log2答案:C9.在△ABC中,若(a+b+c)(a+b-c)=3ab且sinC=2sinAcosB,則△ABC是A.等腰三角形 B.等邊三角形C.等腰直角三角形 D.直角三角形解析:因?yàn)?a+b+c)(a+b-c)=3ab,所以a2+b2-c2=ab,cosC=a2+b2-c22ab=12,所以C=π3,因?yàn)閟inC=2sinAcosB答案:B10.如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在邊CD上,若AB·AF=22,則AE·BFA.3 B.2C.32 D.解析:如圖所示建立直角坐標(biāo)系,因?yàn)锳B=2,BC=2,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),所以B(2,0),D(0,2),C(2,2),E(2,1),設(shè)F(x,2),則AF=(x,2),AB=(2,0),所以AF·AB=2x=22,所以x=12,AE=(2,1),BF=(12-2,2),所以AE·BF=2(12-2)+答案:D11.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若△ABC的面積為S,且2S=(a+b)2-c2,則tanC等于A.34 B.43 C.-43解析:因?yàn)?S=(a+b)2-c2,所以absinC=a2+b2-c2+2ab=2abcosC+2ab,所以sinC=2cosC+2,又因?yàn)閟in2C+cos2C=1,所以sinC=45,cosC=-35,tanC=-答案:C12.在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)向量OA=a,OB=b,其中a=(3,1),b=(1,3),若OC=λa+μb,且0≤λ≤μ≤1,C點(diǎn)所有可能的位置區(qū)域用陰影表示正確的是解析:設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y),由題意知x=3λ+μ,y=λ+3μ,解得λ=3x-y8,μ=3y-x8,代入0≤λ≤μ≤1,解得y≤3x答案:A第Ⅱ卷二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上.13.已知向量|a|=1,|b|=2,a⊥(a-b),則向量a與b的夾角的大小是.

解析:因?yàn)閍⊥(a-b),所以a·a-a·b=0,cos<a,b>=12,<a,b>=π答案:π14.在△ABC中,B=30°,AB=23,AC=2,則△ABC的面積為.

解析:∵AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB,∴4=12+BC2-43×32BC∴BC2-6BC+8=0,∴BC=2或BC=4.當(dāng)BC=2時(shí),S=12·AB·BC·sinB=12×23×2×12當(dāng)BC=4時(shí),S=12AB·BC·sinB=12×23×4×12=答案:3或2315.在△ABC中,已知內(nèi)角A,B,C依次成等差數(shù)列,AB=8,BC=5,則△ABC外接圓的面積為.

解析:記△ABC的外接圓半徑為R,依題意得2B=A+C,因此有B=π3所以AC=AB2+BC2-2AB·故△ABC的外接圓的面積是πR2=49π答案:4916.如圖所示圓O的半徑為2,A、B是圓上兩點(diǎn)且∠AOB=23π,MN是一條直徑,點(diǎn)C在圓內(nèi)且滿足OC=λOA+(1-λ)OB(0<λ<1),則CM·CN的最小值為解析:因?yàn)镺C=λOA+(1-λ)OB(0<λ<1),所以C在線段AB上,因?yàn)镃M·CN=(OM-OC)·(ON-OC)=OC2-(OM+ON)·OC+OM·ON=OC2所以當(dāng)OC⊥AB時(shí)取得最小值,(CM·CN)min=1-4=-3.答案:-3三、解答題:本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.17.(本小題滿分10分)已知向量a,b滿足:|a|=4,|b|=3,且(2a+3b)·(2a-b)=61.(1)求a·b的值;(2)求向量a與b的夾角.解析:(1)由(2a+3b)·(2a-b)=61,得4a2+4a·b-3b2=61.又|a|=4,|b|=3,可得a·b=6. 6分(2)設(shè)向量a與b的夾角為θ,則cosθ=a·b|a||可知向量a與b的夾角為60°. 10分18.(本小題滿分12分)已知向量a=(1,2),b=(-2,1),k,t為正實(shí)數(shù),x=a+(t2+1)b,y=-1ka+1(1)若x⊥y,求k的最大值;(2)是否存在k,t,使x∥y?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解析:x=(1,2)+(t2+1)(-2,1)=(-2t2-1,t2+3),y=(-1k-2t,-2k+(1)若x⊥y,則x·y=0,即(-2t2-1)(-1k-2t)+(t2+3)(-2k+1整理得,k=tt2+1=1t+1t≤12,當(dāng)且僅當(dāng)t=1t(2)假設(shè)存在正實(shí)數(shù)k,t,使x∥y,則(-2t2-1)(-2k+1t)-(t2+3)(-1k-2化簡(jiǎn)得t2+1k+1t=0,即t因?yàn)閗,t是正實(shí)數(shù),故滿足上式的k,t不存在,所以不存在k,t,使x∥y. 12分19.(本小題滿分12分)在△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若b-12c=acos(1)求角A的大小;(2)若△ABC的面積為23,且2abcosC-bc=a2+c2,求a.解析:(1)根據(jù)正弦定理可知,b-12c=acosC可化為sinB-12sinC=sinAcos因?yàn)閟inB=sin(A+C),所以sin(A+C)-12sinC=sinAcosC整理可得cosAsinC=12sinC,即cosA=12,因?yàn)?<A<π,所以A=π(2)因?yàn)?abcosC-bc=a2+c2,所以2ab·a2+b2-c22ab-bc=a2+c2,即a2得b2-2c2-bc=0,b=2c,因?yàn)镾△ABC=23=12bcsinA=34bc,得b=4,c=2,所以a2=b2+c2-2bccosA=16+4-2×4×2×12=12,所以a=23.20.(本小題滿分12分)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,且1+tanAtanB(1)求角A;(2)若m=(0,-1),n=(cosB,2cos2C2),試求|m+n|的最小值解析:(1)1+tanAtanB=2cb?1+sinAcos所以sin(A+B)sinBcosA=2sinCsin(2)m+n=(cosB,2cos2C2-1)=(cosB,cosC所以|m+n|2=cos2B+cos2C=cos2B+cos2(2π3-B)=1-12sin(2B-因?yàn)锳=π3,所以B+C=2π3,B∈(0,2π3).從而-π6<當(dāng)sin(2B-π6)=1,即B=π3時(shí),|m+n|2取得最小值12.所以,|m+n|min=21.(本小題滿分12分)在△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且滿足(2a-c)BA·BC=cCB·CA.(1)求角B的大小;(2)若BA-BC=6,求△ABC面積的最大值.解析:由題意(2a-c)cosB=bcosC,根據(jù)正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,所以2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C),即2sinA