向量內(nèi)積的坐標運算與距離公式教學設計

7.4.2向量【教學目標】1.掌握向量內(nèi)積的坐標表示，并應用向量內(nèi)積的知識解決有關長度、角度和垂直的問題．2.能夠根據(jù)平面向量的坐標，判斷向量是否垂直．3.通過學習向量的坐標表示，使學生進一步了解數(shù)形結(jié)合思想，認識事物之間的相互聯(lián)系，培養(yǎng)學生辯證思維能力．【教學重點】向量內(nèi)積的坐標表達式，向量垂直的充要條件，向量長度的計算公式的應用．【教學難點】向量內(nèi)積的坐標表達式的推導，即a·b＝|a||b|cos?a，b?與a·b＝a1b1＋a2b2兩個式子的內(nèi)在聯(lián)系．【教學方法】本節(jié)課采用啟發(fā)式教學和講練結(jié)合的教學方法．向量內(nèi)積的坐標表達式，是向量運算內(nèi)容與形式的統(tǒng)一．無論是向量的線性運算還是向量的內(nèi)積運算，最終歸結(jié)為直角坐標運算．教學中教師要引導學生抓住這條線索，不斷使學生的平面向量知識系統(tǒng)化、條理化，從而有利于學生知識體系的形成．【教學過程】環(huán)節(jié)教學內(nèi)容師生互動設計意圖導入1．已知非零向量a與b，則a與b的內(nèi)積表達式是怎樣的？由內(nèi)積表達式怎樣求cos?a，b?？2．a(chǎn)b；3．|a|與EQ\R(,a·a)有何關系？教師提出問題．學生回憶解答．師生共同回憶舊知識．師：對平面向量的內(nèi)積的研究不能僅僅停留在幾何角度，還要尋求其坐標表示．引出探究問題．為知識遷移做準備．新課新課新課新課已知e1，e2是直角坐標平面上的基向量，a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，你能推導出a·b的坐標公式嗎？探究過程a·b＝(a1e1＋a2e2)·(b1e1＋b2e2)＝a1b1e1·e1＋a1b2e1·e2＋a2b1e1·e2＋a2b2e2·e2，又因為e1·e1＝1，e2·e2＝1，e1·e2＝0，所以a·b＝a1b1＋a2b2．定理在平面直角坐標系中，已知e1，e2是直角坐標平面上的基向量，兩個非零向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則a·b＝a1b1＋a2b2．這就是說，兩個向量的內(nèi)積等于它們對應坐標的乘積的和．我們還可以得到以下結(jié)論：(1)向量垂直的充要條件為a⊥ba1b1＋a2b2＝0；(2)兩向量夾角余弦的計算公式為cos?a，b?＝eq\f(a1b1＋a2b2,eq\r(a12＋a22)eq\r(b12＋b22))．問題：(1)若已知a＝(a1，a2)，你能用上面的定理求出|a|嗎？解因為|a|2＝a·a＝(a1，a2)·(a1，a2)＝a12＋a22，所以|a|＝eq\r(a12＋a22)．這就是根據(jù)向量的坐標求向量長度的計算公式．(2)若已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，你能求出|eq\o(→,AB)|嗎？解因為A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以eq\o(→,AB)＝(x2－x1，y2－y1)．因為|a|＝eq\r(a12＋a22)，所以|eq\o(→,AB)|＝eq\r((x2－x1)2＋(y2－y1))2，這就是根據(jù)兩點的坐標求兩點之間的距離公式．例1設a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求：(1)a·b；(2)|a|；(3)|b|；(4)?a，b?．解(1)a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝3＋2＝5；(2)|a|＝eq\r(32＋(－1)2)＝eq\r(10)；(3)|b|＝eq\r(12＋(—2)2)＝eq\r(5)；(4)因為cos?a，b?＝＝eq\f(5,eq\r(10)×eq\r(5))＝eq\f(eq\r(2),2)，所以?a，b?＝eq\f(π,4)．例2已知A(2，－4)，B(－2，3)，求|eq\o(→,AB)|．解因為A(2，－4)，B(－2，3)，所以eq\o(→,AB)＝(－2，3)－(2，－4)＝(－4，7)，所以|eq\o(→,AB)|＝eq\r(72＋(－4)2)＝eq\r(65)．例3已知A(1，2)，B(3，4)，C(5，0)，求證：△ABC是等腰三角形．證明因為eq\o(→,AB)＝(3－1，4－2)＝(2，2)，eq\o(→,AC)＝(5－1，0－2)＝(4，－2)，eq\o(→,BC)＝(5－3，0－4)＝(2，－4)，|eq\o(→,AC)|＝eq\r(42＋(－2)2)＝eq\r(20)，|eq\o(→,BC)|＝eq\r(22＋(－4)2)＝eq\r(20)，所以|eq\o(→,AC)|＝|eq\o(→,BC)|．因此△ABC是等腰三角形．例4已知A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，求證：eq\o(→,AB)eq\o(→,AC)．證明因為eq\o(→,AB)＝(2－1，3－2)＝(1，1)，eq\o(→,AC)＝(－2－1，5－2)＝(－3，3)，可得eq\o(→,AB)·eq\o(→,AC)＝(1，1)·(－3，3)＝0．所以eq\o(→,AB)eq\o(→,AC)．練習1．已知A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，求證：BAC=eq\f(π,2)．2．已知點P的橫坐標是7，點P到點N(－1，5)的距離等于10，求點P的坐標．學生討論并回答，教師再提出的下列問題：（1）(a1e1＋a2e2)·(b1e1＋b2e2)是怎樣進行運算的？（2）e1·e1，e2·e2，e1·e2的內(nèi)積是怎樣計算的？教師針對學生的回答進行點評．師生共同寫出詳細的探究過程．教師給出向量內(nèi)積的直角坐標運算公式．并引導學生用文字敘述．在教師的引導下學生討論得出．教師提出問題，稍加點撥．學生討論解答．教師總結(jié)得出這就是根據(jù)向量的坐標求向量長度的計算公式．教師提出問題．學生討論解答．教師總結(jié)得出這就是根據(jù)兩點的坐標求兩點之間的距離公式．學生嘗試解答．教師針對學生的回答進行點評．教師點撥，學生解答．教師針對學生的回答進行點評．教師點撥，學生討論解答．小組討論時教師巡視，并針對學生的回答給予補充、完善．最后師生共同完成此題．教師給出具體的解題步驟．教師點撥，學生解答．教師針對學生的回答進行點評．師生合作共同完成．問題為復習向量的線性運算和向量的內(nèi)積而設計．通過學生的探究給出結(jié)論，比直接給出更符合學生的特點，容易被學生接受．通過結(jié)論的探究，讓學生初步感受到無論是向量的線性運算還是向量的內(nèi)積運算，最終都歸結(jié)為直角坐標運算．通過對問題的詳細探究得到性質(zhì)，比直接給出結(jié)論更容易被學生接受．同時加深對a·b＝a1b1＋a2b2的理解．從而提高學生的思維能力．使剛剛學過的知識及時得到應用．通過例1可讓學生加深對向量內(nèi)積的直角坐標運算公式及向量的長度公式的理解和記憶．鞏固公式，形成技能．在板書證明的過程中，突出解題思路與步驟．通過學生討論，老師點撥，可以突出解題思路，深化解題步驟，分解難點．順利幫助學生完成．學習新知后緊跟練習，有利于幫助學生更好的梳理和總結(jié)本節(jié)所學內(nèi)容．有利于教師檢驗學生的掌握情況．小結(jié)本節(jié)課我們主要學習了平面向量內(nèi)積的坐標運算與距離公式，常見的題型主要有：(1)直