2024年中考數(shù)學(xué)必考考點總結(jié)+題型專訓(xùn)（全國通用）專題25 菱形篇（原卷版+解析）

專題25菱形考點一：菱形的性質(zhì)知識回顧知識回顧菱形的定義：有一組鄰邊相等的四邊形是菱形。菱形的性質(zhì)：①具有平行四邊形的一切性質(zhì)。②菱形的四條邊都相等。③菱形的對角線相互垂直，且平分每一組對角。④菱形既是一個中心對稱圖形，也是一個軸對稱圖形。對稱中心為對角線交點，對稱軸為對角線所在直線。⑤面積計算：除了用計算平行四邊形的面積計算方法面積，還可以用對角線乘積的一半來計算面積。微專題微專題1．(2023?廣東）菱形的邊長為5，則它的周長是．2．(2023?通遼）菱形ABCD中，對角線AC＝8，BD＝6，則菱形的邊長為．3．(2023?達州）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AC＝24，BD＝10，則菱形ABCD的周長為．第3題第4題4．(2023?甘肅）如圖，菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，若AB＝2cm，AC＝4cm，則BD的長為cm．5．(2023?樂山）已知菱形ABCD的兩條對角線AC、BD的長分別是8cm和6cm．則菱形的面積為cm2．6．(2023?河池）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，下列結(jié)論中錯誤的是（）第6題第7題A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC7．(2023?貴陽）如圖，將菱形紙片沿著線段AB剪成兩個全等的圖形，則∠1的度數(shù)是（）A．40° B．60° C．80° D．100°8．(2023?德州）如圖，線段AB，CD端點的坐標分別為A（﹣1，2），B（3，﹣1），C（3，2），D（﹣1，5），且AB∥CD，將CD平移至第一象限內(nèi)，得到C′D′（C′，D′均在格點上）．若四邊形ABC′D′是菱形，則所有滿足條件的點D′的坐標為．第8題第9題9．(2023?綿陽）如圖1，在菱形ABCD中，∠C＝120°，M是AB的中點，N是對角線BD上一動點，設(shè)DN長為x，線段MN與AN長度的和為y，圖2是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，圖象右端點F的坐標為（2，3），則圖象最低點E的坐標為（）A．（，2） B．（，） C．（，） D．（，2）10．(2023?湘西州）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作DH⊥AB于點H，連接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面積為32，則CD的長為（）第10題第11題A．4 B．4 C．8 D．811．(2023?淄博）如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，E為AD邊的中點，連接CE交對角線BD于點F．若∠DEF＝∠DFE，則這個菱形的面積為（）A．16 B．6 C．12 D．3012．(2023?蘭州）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，E為AD的中點，連接OE，∠ABC＝60°，BD＝4，則OE＝（）第12題第13題第14題A．4 B．2 C．2 D．13．(2023?呼和浩特）如圖，四邊形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，點E是DA中點，F(xiàn)是對角線AC上一點，且∠DEF＝45°，則AF：FC的值是（）A．3 B．+1 C．2+1 D．2+14．(2023?湖北）由4個形狀相同，大小相等的菱形組成如圖所示的網(wǎng)格，菱形的頂點稱為格點，點A，B，C都在格點上，∠O＝60°，則tan∠ABC＝（）A． B． C． D．15．(2023?河南）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E為CD的中點．若OE＝3，則菱形ABCD的周長為（）第15題第16題A．6 B．12 C．24 D．4816．(2023?株洲）如圖所示，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點C作CE∥BD交AB的延長線于點E，下列結(jié)論不一定正確的是（）A．OB＝CE B．△ACE是直角三角形 C．BC＝AE D．BE＝CE17．(2023?甘肅）如圖1，在菱形ABCD中，∠A＝60°，動點P從點A出發(fā)，沿折線AD→DC→CB方向勻速運動，運動到點B停止．設(shè)點P的運動路程為x，△APB的面積為y，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，則AB的長為（）第17題第18題A． B．2 C．3 D．418．(2023?麗水）如圖，已知菱形ABCD的邊長為4，E是BC的中點，AF平分∠EAD交CD于點F，F(xiàn)G∥AD交AE于點G．若cosB＝，則FG的長是（）A．3 B． C． D．19．(2023?自貢）如圖，菱形ABCD對角線交點與坐標原點O重合，點A（﹣2，5），則點C的坐標是（）第19題第20題A．（5，﹣2） B．（2，﹣5） C．（2，5） D．（﹣2，﹣5）20．(2023?鞍山）如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠ABC＝60°，對角線AC與BD交于點O，E為OB中點，F(xiàn)為AD中點，連接EF，則EF的長為．21．(2023?青島）圖①是藝術(shù)家埃舍爾的作品，他將數(shù)學(xué)與繪畫完美結(jié)合，在平面上創(chuàng)造出立體效果．圖②是一個菱形，將圖②截去一個邊長為原來一半的菱形得到圖③，用圖③鑲嵌得到圖④，將圖④著色后，再次鑲嵌便得到圖①，則圖④中∠ABC的度數(shù)是°．22．(2023?銅仁市）如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝80°，延長BC到E，在∠DCE內(nèi)作射線CM，使得∠ECM＝30°，過點D作DF⊥CM，垂足為F．若DF＝，則BD的長為（結(jié)果保留根號）．第22題第23題23．(2023?哈爾濱）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E在OB上，連接AE，點F為CD的中點，連接OF．若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，則線段OF的長為．24．(2023?黑龍江）如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，∠BAD＝60°，AD＝3，AH是∠BAC的平分線，CE⊥AH于點E，點P是直線AB上的一個動點，則OP+PE的最小值是．第24題第25題25．(2023?天津）如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，∠DAB＝60°，E為AB的中點，F(xiàn)為CE的中點，AF與DE相交于點G，則GF的長等于．考點二：菱形的判定知識回顧知識回顧直接判定：四條邊都相等的四邊形是菱形。幾何語言：∵AB=BC=CD=DA，∴四邊形ABCD是菱形利用平行四邊形判定：①定義：一組領(lǐng)邊相等的平行四邊形是菱形。②對角線的特殊性：對角線相互垂直的平行四邊形是菱形。微專題微專題26．(2023?襄陽）如圖，?ABCD的對角線AC和BD相交于點O，下列說法正確的是（）A．若OB＝OD，則?ABCD是菱形 B．若AC＝BD，則?ABCD是菱形 C．若OA＝OD，則?ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，則?ABCD是菱形27．(2023?營口）如圖，將△ABC沿著BC方向平移得到△DEF，只需添加一個條件即可證明四邊形ABED是菱形，這個條件可以是．（寫出一個即可）第27題第28題28．(2023?齊齊哈爾）如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，AB∥CD，要使四邊形ABCD為菱形，應(yīng)添加的條件是．（只需寫出一個條件即可）29．(2023?遼寧）如圖，CD是△ABC的角平分線，過點D分別作AC，BC的平行線，交BC于點E，交AC于點F．若∠ACB＝60°，CD＝4，則四邊形CEDF的周長是．專題25菱形考點一：菱形的性質(zhì)知識回顧知識回顧菱形的定義：有一組鄰邊相等的四邊形是菱形。菱形的性質(zhì)：①具有平行四邊形的一切性質(zhì)。②菱形的四條邊都相等。③菱形的對角線相互垂直且平分每一組對角。④菱形既是一個中心對稱圖形，也是一個軸對稱圖形。對稱中心為對角線交點，對稱軸為對角線所在直線。⑤面積計算：除了用計算平行四邊形的面積計算方法面積，還可以用對角線乘積的一半來計算面積。微專題微專題1．(2023?廣東）菱形的邊長為5，則它的周長是．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)即可解決問題；【解答】解：∵菱形的四邊相等，邊長為5，∴菱形的周長為5×4＝20，故答案為20．2．(2023?通遼）菱形ABCD中，對角線AC＝8，BD＝6，則菱形的邊長為．【分析】根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分求出OA、OB，再利用勾股定理列式進行計算即可得解．【解答】解：解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝AC＝4，OB＝BD＝3，AC⊥BD，∴AB＝＝5故答案為：53．(2023?達州）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AC＝24，BD＝10，則菱形ABCD的周長為．【分析】菱形的四條邊相等，要求周長，只需求出邊長即可，菱形的對角線互相垂直且平分，根據(jù)勾股定理求邊長即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，∵AC＝24，BD＝10，∴AO＝AC＝12，BO＝BD＝5，在Rt△AOB中，AB＝＝＝13，∴菱形的周長＝13×4＝52．故答案為：52．4．(2023?甘肅）如圖，菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，若AB＝2cm，AC＝4cm，則BD的長為cm．【分析】由菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，BO＝DO，由勾股定理可求BO，即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，AC＝4cm，∴AC⊥BD，BO＝DO，AO＝CO＝2cm，∵AB＝2cm，∵BO＝＝4cm，∴DO＝BO＝4cm，∴BD＝8cm，故答案為：8．5．(2023?樂山）已知菱形ABCD的兩條對角線AC、BD的長分別是8cm和6cm．則菱形的面積為cm2．【分析】根據(jù)菱形的面積＝對角線乘積的一半，可以計算出該菱形的面積．【解答】解：∵菱形ABCD的兩條對角線AC、BD的長分別是8cm和6cm，∴菱形的面積是＝24（cm2），故答案為：24．6．(2023?河池）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)即可一一判斷．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠BAC＝∠DAC，AB＝AD，AC⊥BD，故A、B、D正確，無法得出AC＝BD，故選：C．7．(2023?貴陽）如圖，將菱形紙片沿著線段AB剪成兩個全等的圖形，則∠1的度數(shù)是（）A．40° B．60° C．80° D．100°【分析】根據(jù)菱形的對邊平行，以及兩直線平行，內(nèi)錯角相等即可求解．【解答】解：∵菱形的對邊平行，∴由兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠1＝80°．故選：C．8．(2023?德州）如圖，線段AB，CD端點的坐標分別為A（﹣1，2），B（3，﹣1），C（3，2），D（﹣1，5），且AB∥CD，將CD平移至第一象限內(nèi)，得到C′D′（C′，D′均在格點上）．若四邊形ABC′D′是菱形，則所有滿足條件的點D′的坐標為．【分析】利用勾股定理可得AB＝CD＝5，根據(jù)菱形性質(zhì)可得AD′＝AB＝5，再由平移規(guī)律即可得出答案．【解答】解：如圖，∵A（﹣1，2），B（3，﹣1），C（3，2），D（﹣1，5），∴AB∥CD，AB＝CD＝5，∵四邊形ABC′D′是菱形，∴AD′＝AB＝5，當點D向右平移4個單位，即D′（3，5）時，AD′＝5，當點D向右平移3個單位，向上平移1個單位，即D′（2，6）時，AD′＝5，故答案為：（3，5）或（2，6）．9．(2023?綿陽）如圖1，在菱形ABCD中，∠C＝120°，M是AB的中點，N是對角線BD上一動點，設(shè)DN長為x，線段MN與AN長度的和為y，圖2是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，圖象右端點F的坐標為（2，3），則圖象最低點E的坐標為（）A．（，2） B．（，） C．（，） D．（，2）【分析】由函數(shù)圖象可得點F表示圖1中點N與點B重合時，即可求BD，BM的長，由銳角三角函數(shù)可求解．【解答】解：如圖，連接AC，NC，∵四邊形ABCD是菱形，∠BCD＝120°，∴AB＝BC，AC垂直平分BD，∠ABC＝60°，∠ABD＝∠DBC＝30°，∴AN＝CN，△ABC是等邊三角形，∴AN+MN＝CN+MN，∴當點N在線段CM上時，AN+MN有最小值為CM的長，∵點F的坐標為（2，3），∴DB＝2，AB+BM＝3，∵點M是AB的中點，∴AM＝BM，CM⊥AB，∴2BM+BM＝3，∴BM＝1，∵tan∠ABC＝tan60°＝＝，∴CM＝，∵cos∠ABD＝cos30°＝＝，∴BN'＝，∴DN'＝，∴點E的坐標為：（，），故選：C．10．(2023?湘西州）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作DH⊥AB于點H，連接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面積為32，則CD的長為（）A．4 B．4 C．8 D．8【分析】在Rt△BDH中先求得BD的長，根據(jù)菱形面積公式求得AC長，再根據(jù)勾股定理求得CD長．【解答】解：∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∵四邊形ABCD是菱形，∴OB＝OD，OC＝OA＝，AC⊥BD，∴OH＝OB＝OD＝（直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半），∴OD＝4，BD＝8，由得，＝32，∴AC＝8，∴OC＝＝4，∴CD＝＝8，故選C．11．(2023?淄博）如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，E為AD邊的中點，連接CE交對角線BD于點F．若∠DEF＝∠DFE，則這個菱形的面積為（）A．16 B．6 C．12 D．30【分析】連接AC交BD于O，如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD∥BC，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥BD，BO＝OD，OC＝AO，再利用∠DEF＝∠DFE得到DF＝DE＝2，證明∠BCF＝∠BFC得到BF＝BC＝4，則BD＝6，所以O(shè)B＝OD＝3，接著利用勾股定理計算出OC，從而得到AC＝2，然后根據(jù)菱形的面積公式計算它的面積．【解答】解：連接AC交BD于O，如圖，∵四邊形ABCD為菱形，∴AD∥BC，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥BD，BO＝OD，OC＝AO，∵E為AD邊的中點，∴DE＝2，∵∠DEF＝∠DFE，∴DF＝DE＝2，∵DE∥BC，∴∠DEF＝∠BCF，∵∠DFE＝∠BFC，∴∠BCF＝∠BFC，∴BF＝BC＝4，∴BD＝BF+DF＝4+2＝6，∴OB＝OD＝3，在Rt△BOC中，OC＝＝，∴AC＝2OC＝2，∴菱形ABCD的面積＝AC?BD＝×2×6＝6．故選：B．12．(2023?蘭州）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，E為AD的中點，連接OE，∠ABC＝60°，BD＝4，則OE＝（）A．4 B．2 C．2 D．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，∠ABO＝30°，AC⊥BD，則BO＝2，再利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴BO＝DO，∠ABO＝30°，AC⊥BD，AB＝AD，∴BO＝2，∴AO＝＝2，∴AB＝2AO＝4，∵E為AD的中點，∠AOD＝90°，∴OE＝AD＝2，故選：C．13．(2023?呼和浩特）如圖，四邊形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，點E是DA中點，F(xiàn)是對角線AC上一點，且∠DEF＝45°，則AF：FC的值是（）A．3 B．+1 C．2+1 D．2+【分析】連接DB，交AC于點O，連接OE，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得∠DAC＝∠DAB＝30°，AC⊥BD，OD＝BD，AC＝2AO，AB＝AD，從而可得△ABD是等邊三角形，進而可得DB＝AD，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線可得OE＝AE＝DE＝AD，然后設(shè)OE＝AE＝DE＝a，則AD＝BD＝2a，在Rt△AOD中，利用勾股定理求出AO的長，從而求出AC的長，最后利用等腰三角形的性質(zhì)，以及三角形的外角求出∠OEF＝∠EFO＝15°，從而可得OE＝OF＝a，即可求出AF，CF的長，進行計算即可解答．【解答】解：連接DB，交AC于點O，連接OE，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AC⊥BD，OD＝BD，AC＝2AO，AB＝AD，∵∠DAB＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴DB＝AD，∵∠AOD＝90°，點E是DA中點，∴OE＝AE＝DE＝AD，∴設(shè)OE＝AE＝DE＝a，∴AD＝BD＝2a，∴OD＝BD＝a，在Rt△AOD中，AO＝＝＝a，∴AC＝2AO＝2a，∵EA＝EO，∴∠EAO＝∠EOA＝30°，∴∠DEO＝∠EAO+∠EOA＝60°，∵∠DEF＝45°，∴∠OEF＝∠DEO﹣∠DEF＝15°，∴∠EFO＝∠EOA﹣∠OEF＝15°，∴∠OEF＝∠EFO＝15°，∴OE＝OF＝a，∴AF＝AO+OF＝a+a，∴CF＝AC﹣AF＝a﹣a，∴＝＝＝2+，故選：D．14．(2023?湖北）由4個形狀相同，大小相等的菱形組成如圖所示的網(wǎng)格，菱形的頂點稱為格點，點A，B，C都在格點上，∠O＝60°，則tan∠ABC＝（）A． B． C． D．【分析】連接CD，然后證B、C、D三點共線，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得：△OBD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BA⊥OD，∠ADB＝60°，進而可得∠ABC＝30°，進而可得tan∠ABC的值．【解答】解：如圖，連接CD，∵網(wǎng)格是由4個形狀相同，大小相等的菱形組成，∴∠3＝∠4，OD∥CE，∴∠2＝∠5，∵∠1+∠4+∠5＝180°，∴∠1+∠3+∠2＝180°，∴B、C、D三點共線，又∵網(wǎng)格是由4個形狀相同，大小相等的菱形組成，∴OD＝OB，OA＝AD，∵∠O＝60°，∴△OBD是等邊三角形，∴BA⊥OD，∠ADB＝60°，∴∠ABC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴tan∠ABC＝tan30°＝，故選：C．15．(2023?河南）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E為CD的中點．若OE＝3，則菱形ABCD的周長為（）A．6 B．12 C．24 D．48【分析】由菱形的性質(zhì)可得出AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出CD的長，結(jié)合菱形的周長公式即可得出結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，∴△COD為直角三角形．∵OE＝3，點E為線段CD的中點，∴CD＝2OE＝6．∴C菱形ABCD＝4CD＝4×6＝24．故選：C．16．(2023?株洲）如圖所示，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點C作CE∥BD交AB的延長線于點E，下列結(jié)論不一定正確的是（）A．OB＝CE B．△ACE是直角三角形 C．BC＝AE D．BE＝CE【分析】由菱形的性質(zhì)可得AO＝CO＝，AC⊥BD，通過證明△AOB∽△ACE，可得∠AOB＝∠ACE＝90°，OB＝CE，AB＝AE，由直角三角形的性質(zhì)可得BC＝AE，即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AO＝CO＝，AC⊥BD，∵CE∥BD，∴△AOB∽△ACE，∴∠AOB＝∠ACE＝90°，＝，∴△ACE是直角三角形，OB＝CE，AB＝AE，∴BC＝AE，故選：D．17．(2023?甘肅）如圖1，在菱形ABCD中，∠A＝60°，動點P從點A出發(fā)，沿折線AD→DC→CB方向勻速運動，運動到點B停止．設(shè)點P的運動路程為x，△APB的面積為y，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，則AB的長為（）A． B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)圖1和圖2判定三角形ABD為等邊三角形，它的面積為3解答即可．【解答】解：在菱形ABCD中，∠A＝60°，∴△ABD為等邊三角形，設(shè)AB＝a，由圖2可知，△ABD的面積為3，∴△ABD的面積＝a2＝3，解得：a1＝2，a2＝﹣2（舍去），故選：B．18．(2023?麗水）如圖，已知菱形ABCD的邊長為4，E是BC的中點，AF平分∠EAD交CD于點F，F(xiàn)G∥AD交AE于點G．若cosB＝，則FG的長是（）A．3 B． C． D．【分析】方法一：過點A作AH⊥BE于點H，過點F作FQ⊥AD于點Q，根據(jù)cosB＝＝，可得BH＝1，所以AH＝，然后證明AH是BE的垂直平分線，可得AE＝AB＝4，設(shè)GA＝GF＝x，根據(jù)S梯形CEAD＝S梯形CEGF+S梯形GFDA，進而可以解決問題．方法二：作AH垂直BC于H，延長AE和DC交于點M由已知可得BH＝EH＝1，所以AE＝AB＝EM＝CM＝4設(shè)GF＝x，則AG＝x，GE＝4﹣x，由三角形MGF相似于三角形MEC即可得結(jié)論．【解答】解：方法一，如圖，過點A作AH⊥BE于點H，過點F作FQ⊥AD于點Q，∵菱形ABCD的邊長為4，∴AB＝AD＝BC＝4，∵cosB＝＝，∴BH＝1，∴AH＝＝＝，∵E是BC的中點，∴BE＝CE＝2，∴EH＝BE﹣BH＝1，∴AH是BE的垂直平分線，∴AE＝AB＝4，∵AF平分∠EAD，∴∠DAF＝∠FAG，∵FG∥AD，∴∠DAF＝∠AFG，∴∠FAG＝∠AFG，∴GA＝GF，設(shè)GA＝GF＝x，∵AE＝CD＝4，F(xiàn)G∥AD，∴DF＝AG＝x，cosD＝cosB＝＝，∴DQ＝x，∴FQ＝＝＝x，∵S梯形CEAD＝S梯形CEGF+S梯形GFDA，∴×（2+4）×＝（2+x）×（﹣x）+（x+4）×x，解得x＝，則FG的長是．或者：∵AE＝CD＝4，F(xiàn)G∥AD，∴四邊形AGFD的等腰梯形，∴GA＝FD＝GF，則x+x+x＝4，解得x＝，則FG的長是．19．(2023?自貢）如圖，菱形ABCD對角線交點與坐標原點O重合，點A（﹣2，5），則點C的坐標是（）A．（5，﹣2） B．（2，﹣5） C．（2，5） D．（﹣2，﹣5）【分析】菱形的對角線相互平分可知點A與C關(guān)于原點對稱，從而得結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC，即點A與點C關(guān)于原點對稱，∵點A（﹣2，5），∴點C的坐標是（2，﹣5）．故選：B．20．(2023?鞍山）如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠ABC＝60°，對角線AC與BD交于點O，E為OB中點，F(xiàn)為AD中點，連接EF，則EF的長為．【分析】由菱形的性質(zhì)可得AB＝AD＝2，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，由三角形中位線定理得FH＝AO＝，F(xiàn)H∥AO，由勾股定理可求解．【解答】解：如圖，取OD的中點H，連接FH，∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝AD＝2，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，∴AO＝AB＝1，BO＝AO＝＝DO，∵點H是OD的中點，點F是AD的中點，∴FH＝AO＝，F(xiàn)H∥AO，∴FH⊥BD，∵點E是BO的中點，點H是OD的中點，∴OE＝，OH＝，∴EH＝，∴EF＝＝＝，故答案為：．21．(2023?青島）圖①是藝術(shù)家埃舍爾的作品，他將數(shù)學(xué)與繪畫完美結(jié)合，在平面上創(chuàng)造出立體效果．圖②是一個菱形，將圖②截去一個邊長為原來一半的菱形得到圖③，用圖③鑲嵌得到圖④，將圖④著色后，再次鑲嵌便得到圖①，則圖④中∠ABC的度數(shù)是°．【分析】先確定∠BAD的度數(shù)，再利用菱形的對邊平行，利用平行線的性質(zhì)即可求出∠ABC的度數(shù)．【解答】解：如圖，∵∠BAD＝∠BAE＝∠DAE，∠BAD+∠BAE+∠DAE＝360°，∴∠BAD＝∠BAE＝∠DAE＝120°，∵BC∥AD，∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，故答案為：60．22．(2023?銅仁市）如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝80°，延長BC到E，在∠DCE內(nèi)作射線CM，使得∠ECM＝30°，過點D作DF⊥CM，垂足為F．若DF＝，則BD的長為（結(jié)果保留根號）．【分析】連接AC，交BD于H，證明△DCH≌△DCF，得出DH的長度，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得出BD的長度．【解答】解：如圖，連接AC，交BD于點H，由菱形的性質(zhì)得∠ADC＝∠ABC＝80°，∠DCE＝80°，∠DHC＝90°，又∵∠ECM＝30°，∴∠DCF＝50°，∵DF⊥CM，∴∠CFD＝90°，∴∠CDF＝40°，又∵四邊形ABCD是菱形，∴BD平分∠ADC，∴∠HDC＝40°，在△CDH和△CDF中，，∴△CDH≌△CDF（AAS），∴DH＝DF＝，∴DB＝2DH＝．故答案為：．23．(2023?哈爾濱）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E在OB上，連接AE，點F為CD的中點，連接OF．若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，則線段OF的長為．【分析】由菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，AO＝CO＝4，BO＝DO，由勾股定理可求AE的長，BC的長，由三角形中位線定理可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝4，BO＝DO，∴AE＝＝＝5，∴BE＝AE＝5，∴BO＝8，∴BC＝＝＝4，∵點F為CD的中點，BO＝DO，∴OF＝BC＝2，故答案為：2．24．(2023?黑龍江）如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，∠BAD＝60°，AD＝3，AH是∠BAC的平分線，CE⊥AH于點E，點P是直線AB上的一個動點，則OP+PE的最小值是．【分析】連接OE，過點O作OF⊥AB，垂足為F，并延長到點O′，使O′F＝OF，連接O′E交直線AB于點P，連接OP，從而可得OP＝O′P，此時OP+PE的值最小，先利用菱形的性質(zhì)可得AD＝AB＝3，∠BAC＝∠BAD，OA＝OC＝AC，OD＝OB＝BD，∠AOD＝90°，從而可得△ADB是等邊三角形，進而求出AD＝3，然后在Rt△ADO中，利用勾股定理求出AO的長，從而求出AC的長，進而利用直角三角形斜邊上的中線可得OE＝OA＝AC＝，再利用角平分線和等腰三角形的性質(zhì)可得OE∥AB，從而求出∠EOF＝90°，進而在Rt△AOF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出OF的長，即可求出OO′的長，最后在Rt△EOO′中，利用勾股定理進行計算即可解答．【解答】解：連接OE，過點O作OF⊥AB，垂足為F，并延長到點O′，使O′F＝OF，連接O′E交直線AB于點P，連接OP，∴AP是OO′的垂直平分線，∴OP＝O′P，∴OP+PE＝O′P+PE＝O′E，此時，OP+PE的值最小，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝3，∠BAC＝∠BAD，OA＝OC＝AC，OD＝OB＝BD，∠AOD＝90°，∵∠BAD＝60°，∴△ADB是等邊三角形，∴BD＝AD＝3，∴OD＝BD＝，∴AO＝＝＝，∴AC＝2OA＝3，∵CE⊥AH，∴∠AEC＝90°，∴OE＝OA＝AC＝，∴∠OAE＝∠OEA，∵AE平分∠CAB，∴∠OAE＝∠EAB，∴∠OEA＝∠EAB，∴OE∥AB，∴∠EOF＝∠AFO＝90°，在Rt△AOF中，∠OAB＝∠DAB＝30°，∴OF＝OA＝，∴OO′＝2OF＝，在Rt△EOO′中，O′E＝＝＝，∴OP+PE＝，∴OP+PE的最小值為，故答案為：．25．(2023?天津）如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，∠DAB＝60°，E為AB的中點，F(xiàn)為CE的中點，AF與DE相交于點G，則GF的長等于．【分析】如圖，過點F作FH∥CD，交DE于H，過點C作CM⊥AB，交AB的延長線于M，連接FB，先證明FH是△CDE的中位線，得FH＝1，再證明△AEG≌△FHG（AAS），得AG＝FG，在Rt△CBM中計算BM和CM的長，再證明BF是中位線，可得BF的長，由勾股定理可得AF的長，從而得結(jié)論．【解答】解：如圖，過點F作FH∥CD，交DE于H，過點C作CM⊥AB，交AB的延長線于M，連接FB，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，∴FH∥AB，∴∠FHG＝∠AEG，∵F是CE的中點，F(xiàn)H∥CD，∴H是DE的中點，∴FH是△CDE的中位線，∴FH＝CD＝1，∵E是AB的中點，∴AE＝BE＝1，∴AE＝FH，∵∠AGE＝∠FGH，∴△AEG≌△FHG（AAS），∴AG＝FG，∵AD∥BC，∴∠CBM＝∠DAB＝60°，Rt△CBM中，∠BCM＝30°，∴BM＝BC＝1，CM＝＝，∴BE＝BM，∵F是CE的中點，∴FB是△CEM的中位線，∴BF＝CM＝，F(xiàn)B∥CM，∴∠EBF＝∠M＝90°，Rt△AFB中，由勾股