截長補短構造全等

全等三角形常見輔助線作法板塊一、截長補短中，，、分別平分和，、交于點，試判斷、、的數(shù)量關系，并加以證明．，理由是：在上截取，連結，利用證得≌，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，利用證得≌，∴，∴．如圖，點為正三角形的邊所在直線上的任意一點(點除外)，作，射線與外角的平分線交于點，與有怎樣的數(shù)量關系?猜想.過點作交于點，，∴又∵，∴，而，∴，∴．如圖2-9所示．正方形ABCD中，M為CD的中點，E為MC上一點，且∠BAE=2∠DAM．求證：AE=BC+CE．分析證明一條線段等于兩條線段和的根本方法有兩種：(1)通過添輔助線“構造”一條線段使其為求證中的兩條線段之和()，再證所構造的線段與求證中那一條線段相等．(2)通過添輔助線先在求證中長線段()上截取與線段中的某一段(如)相等的線段，再證明截剩的局部與線段中的另一段()相等．我們用(1)法來證明．證延長到，使，那么由正方形性質(zhì)知下面我們利用全等三角形來證明．為此，連接交邊于．由于對頂角，所以，從而，于是，所以，是的平分線過引于．因為是∠EAF的平分線，所以GB=GH，從而Rt△GBF≌Rt△GHE(HL)，所以∠F=∠HEG，那么AF=AE(底角相等的三角形是等腰三角形)，即AE=BC+CE．說明我們也可以按分析(2)的方法來證明結論，為此可先作∠BAE的平分線AG交邊BC于G，再作GH⊥AE于H，通過證明△ABG≌△AHG知AB=AH=BC．下面設法證明HE=CE即可，請同學們自證．(“希望杯”競賽試題)如圖，AD⊥AB，CB⊥AB，DM=CM=，AD=，CB=，∠AMD=75°，∠BMC=45°，那么AB的長為()A.B.C.D.過點D作BC的垂線，垂足為E.∵∠AMD=75°，∠BMC=45°∴∠DMC=60°∵DM=CM∴CD=DM∵AD⊥AB，DE⊥BC，CB⊥AB，∠AMD=75°∴∠ADM=∠EDC∴△ADM≌△CDE∴AD=DE故ABED為正方形，AB=AD=，選D.：如圖，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求證：BE+DF=AE.延長CB至M，使得BM=DF，連接AM.∵AB=AD，AD⊥CD，AB⊥BM，BM=DF∴△ABM≌△ADF∴∠AFD=∠AMB，∠DAF=∠BAM∵AB∥CD∴∠AFD=∠BAF=∠EAF+∠BAE=∠BAE+∠BAM=∠EAM∴∠AMB=∠EAM∴AE=EM=BE+BM=BE+DF.以的、為邊向三角形外作等邊、，連結、相交于點．求證：平分．因為、是等邊三角形，所以，，，那么，所以，那么有，，．在上截取，連結，容易證得，．進而由．得；由可得，即平分．如下圖，是邊長為的正三角形，是頂角為的等腰三角形，以為頂點作一個的，點、分別在、上，求的周長．如下圖，延長到使.在與中，因為，，，所以，故.因為，，所以.又因為，所以.在與中，，，，所以，那么，所以的周長為.如下圖，是邊長為的正三角形，是頂角為的等腰三角形，以為頂點作一個的，點、分別在、上，求的周長．如下圖，過作交于，使得；過作交于，使得.因為，為等腰三角形，所以，又因為為正三角形，所以.注意到，，，所以，可知.同理，，.那么有，，，.又因為，，那么.而，，故，因此，那么，，進而可知的周長為.另解：如下圖，在上取一點，使得.在和中，，，，因此，從而.在和中，，，，.因此，從而，進而可知的周長為．五邊形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求證：AD平分∠CDE延長DE至F，使得EF=BC，連接AC.∵∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180°∴∠ABC=∠AEF∵AB=AE，BC=EF∴△ABC≌△AEF∴EF=BC，AC=AF∵BC+DE=CD∴CD=DE+EF=DF∴△ADC≌△ADF∴∠ADC=∠ADF即AD平分∠CDE.板塊二、全等與角度如圖，在中，，是的平分線，且，求的度數(shù).如下圖，延長至使，連接、.由知，而，那么為等邊三角形.注意到，，，故.從而有，，故.所以，.【另解】在上取點，使得，那么由題意可知.在和中，，，，那么，從而，進而有，，.注意到，那么：，故.在等腰中，，頂角，在邊上取點，使，求.以為邊向外作正，連接.在和中，，，，那么.由此可得，所以是等腰三角形.由于，那么，從而，，那么.【另解1】以為邊在外作等邊三角形，連接.在和中，，，，因此，從而，.在和中，，，，故，從而，，故，因此.【另解2】如下圖，以為邊向內(nèi)部作等邊，連接、.在和中，，，，故，而，進而有.那么，故.【點評】上述三種解法均是向三邊作正三角形，然后再由三角形全等得到邊長、角度之間的關系.如下圖，在中，，，又在上，在上，且滿足，，求.過作的平行線交于，連接交于.連接，易知、均為正三角形.因為，，，所以，，，那么，，故.從而.進而有，.【另解】如下圖，在上取點，使得，由、可知.而，故，.在中，，，故，從而，進而可得.而，所以為等邊三角形.在中，，，故，從而.我們已經(jīng)得到，故是的外心，從而.在四邊形中，，，，，求的度數(shù).如下圖，延長至，使，由可得：，，故.又因為，，故，因此，，.又因為，故，.而，所以為等邊三角形.于是，故，那么，從而，所以.如下圖，在四邊形中，，，，，求的度數(shù).仔細觀察，發(fā)現(xiàn)角的度數(shù)都是的倍數(shù)，這使我們想到構造角，從而利用正三角形.在四邊形外取一點，使且，連接、.在和中，，，，故.從而.在中，，，故，，從而.而，故是正三角形，，.在中，，故.在和中，，，，故，從而，那么.(河南省數(shù)學競賽試題)在正內(nèi)取一點，使，在外取一點，使，且，求.如下圖，連接.因為，，，那么，故.而，，，因此，故.(北京市數(shù)學競賽試題)如下圖，在中，，為內(nèi)一點，使得，，求的度數(shù).在中，由可得，.如下圖，作于點，延長交于點，連接，那么有，，，所以.又因為，所以.而，因此，故.由于，那么，故.【穩(wěn)固】如下圖，在中，，，為三角形內(nèi)一點，且，，求的度數(shù).如下圖，延長交于，那么，.在上截取，連接，那么為等邊三角形.在上截取，連接、、，由邊角邊公理知.在中，因，，那么，易得.由角邊角公理知，于是.注意到，故.又由邊角邊公理知，從而.在中，因，，那么，從而，故.【習題1】點M，N在等邊三角形ABC的AB邊上運動，BD=DC，∠BDC=120°，∠MDN=60°，求證MN=MB+NC．(旋轉、等腰三角形、等邊三角形、線段證明)延長NC至E，使得CE=MB∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°∴∠DBC=∠DCB=30°∵△ABC是等邊三角形．∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=∠DCN=∠DCE=90°在Rt△DBM和Rt△DCE中，BD=DC，MB=CE，∴Rt△DMB≌Rt△DCE.∴DE=DM，∠1