2022-2023學(xué)年湖南省張家界市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年湖南省張家界市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知z=2-i,則z（W+i）=（）

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

2.運(yùn)動(dòng)員甲10次射擊成績(jī)（單位：環(huán)）如下：7,8,9,7,4,8,9,9,7,2,則下列關(guān)于

這組數(shù)據(jù)說(shuō)法不正確的是（）

A.眾數(shù)為7和9B.平均數(shù)為7C.中位數(shù)為7D.方差為s?=4.8

3.目前，甲型流感病毒在國(guó)內(nèi)傳播，據(jù)某市衛(wèi)健委通報(bào)，該市流行的甲型流感病毒，以甲

型HINI亞型病毒為主,假如該市某小區(qū)共有IoO名感染者,其中有10名年輕人,60名老年人，

30名兒童，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取20人進(jìn)行檢測(cè)，則做檢測(cè)的老年人人數(shù)為（）

A.6B.10C.12D.16

4.已知某圓錐的母線長(zhǎng)為4,高為2門(mén)，則圓錐的全面積為（）

A.10πB.12πC.14πD.16π

5.某校從高一新生中隨機(jī)抽取了一個(gè)容量為10的身高樣本，數(shù)據(jù)（單位：Crn）從小到大排序

下：158,165,165,167,168,169,x,172,173,175.若樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是170,

則x=（）

A.169B.170C.171D.172

6.已知向量區(qū)B滿足I百|(zhì)=2,商|=3,ab=l,則方在五上的投影向量為（）

A.-?B.-?C.?D.?

4949

7.張益唐是當(dāng)代著名華人數(shù)學(xué)家.他在數(shù)論研究方面取得了巨大成就，曾

經(jīng)在微學(xué)年刊》發(fā)表糠數(shù)間的有界間隔》，證明了存在無(wú)窮多對(duì)質(zhì)數(shù)

間隙都小于7000萬(wàn).2013年張益唐證明了攣生素?cái)?shù)猜想的一個(gè)弱化形式.

李生素?cái)?shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個(gè)問(wèn)題之一，可以這樣描述：

存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)P，使得p+2是素?cái)?shù)，素?cái)?shù)對(duì)（p,p+2）稱(chēng)為攣生素?cái)?shù).在

不超過(guò)12的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，能夠組成季生素?cái)?shù)的概率是（)

A?5BAc??D-20

8.三棱錐S-ABC中，SA_L平面ABC,AB1BC,SA=AB=BC.

過(guò)點(diǎn)4分別作AEISB,AFISC交SB、SC于點(diǎn)E、F,記三棱錐

B

S-R4E的外接球表面積為S「三棱錐S-ABC的外接球表面積為S2，則￡=（）

c.C

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.已知復(fù)數(shù)z=3-4i（其中i是虛數(shù)單位），則下列命題中正確的為（）

A.?z?=5B.z的虛部是4

C.z-3是純虛數(shù)D.z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限

χ

10.有一組樣本數(shù)據(jù)χ2>???>n>由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y2>???>為，其中yt=

%+c（i=l,2,???,n）,c為非零常數(shù)，則（）

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

11.設(shè)m,H為不同的直線，α,6為不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.若m〃a,n∕∕a,則m〃n

B.若Tnj.α,n1a,則m〃n

C.若m〃a,muβ,則《7/￡

D.若mlα,nLβ,Tnln,則αJ.0

12.隨機(jī)投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子兩次，記錄朝上一面的點(diǎn)數(shù).設(shè)事件A="第一次為

偶數(shù)"，B="第二次為偶數(shù)”,C="兩次點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”，則（）

A.P（A）=1—P（B）B.A與B對(duì)立

C.B與C相互獨(dú)立D.P（AUB）=,

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.如圖所示，在正方體中，異面直線AB與C。所成的角為.

14.已知向量五=(m,l)1=(2,m-I)，若五〃石，則實(shí)數(shù)m=.

15.甲、乙兩名乒乓球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行羽毛球單打比賽，根據(jù)以往比賽的勝負(fù)情況知道，每一局

甲勝的概率為0.6,乙勝的概率為0.4,如果比賽采用“三局兩勝”制(先勝兩局者獲勝).若第

一局甲勝，則本次比賽甲獲勝的概率為.

16.在△力BC中，NA=60。，AB=6,AC=4,。為AABC的外心，則4。=.若而=

λAB+μAC>則，+〃的值為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

己知復(fù)數(shù)Z=2+bi(b>0,i為虛數(shù)單位)，且z2為純虛數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)b的值；

(2)若復(fù)數(shù)3=擊，求3的模.

18.(本小題12.0分)

已知向量五了滿足Ial=2,?b?=1,五與石的夾角為60。,，=2五+3RZ=3有+kB,當(dāng)實(shí)數(shù)k為

何值時(shí)，

(l)cld；

(2)∣dI=2√-13?

19.(本小題12.0分)

某校選拔若干名學(xué)生組建數(shù)學(xué)奧林匹克集訓(xùn)隊(duì)，要求選拔過(guò)程分前后兩次進(jìn)行，當(dāng)?shù)谝淮芜x

拔合格后方可進(jìn)入第二次選拔，兩次選拔過(guò)程相互獨(dú)立.根據(jù)甲、乙、丙三人現(xiàn)有的水平，第

一次選拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次為0.5,0.6,0.4；第二次選拔，甲、乙、丙三人

合格的概率依次為0.6,0.5,0.5.

(1)求第一次選拔后甲、乙兩人中只有甲合格的概率；

(2)求甲、乙、丙經(jīng)過(guò)前后兩次選拔后，恰有一人合格的概率.

20.(本小題12.0分)

隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，移動(dòng)支付(又稱(chēng)手機(jī)支付)越來(lái)越普遍，某學(xué)校興趣小組為了了解移動(dòng)支

付在大眾中的熟知度，對(duì)15?65歲的人群隨機(jī)抽樣調(diào)查，調(diào)查的問(wèn)題是“你會(huì)使用移動(dòng)支付

嗎？”其中，回答“會(huì)”的共有n個(gè)人，把這n個(gè)人按照年齡分成5組：第1組［15,25),第2組

［25,35),第3組［35,45),第4組［45,55),第5組［55,65),然后繪制成如圖所示的頻率分布直方

圖，其中第一組的頻數(shù)為20.

(1)求n和X的值，并根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù),

(2)從第1,3,4組中用分層抽樣的方法抽取6人，求第1,3,4組抽取的人數(shù),

(3)在(2)抽取的6人中再隨機(jī)抽取2人，求所抽取的2人來(lái)自同一個(gè)組的概率.

21.(本小題12.0分)

如圖，在矩形ZBCD中，AB=C,BC=1，沿對(duì)角線2。把△BCD折起，使C移到C',且C'在

面ABC內(nèi)的射影。恰好落在AB上.

(1)求證：AD1CBi

(2)求AB與平面CBD所成的角的正弦值.

22.(本小題12。分)

在△"BC中，內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為α,b,c,??+短=焉?

(1)求學(xué)的值；

QZ

(2)記44BC的面積為S,點(diǎn)P是4ABC內(nèi)一點(diǎn)，S.ΛPAB=LPBC=?PCA=θ,證明:

?tanA=

（2）tanA=2tanθ.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

把Z=2-i代入Z(W+i),再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.

【解答】

解：?.?z=2-i,

Z(Z+i)=(2—i)(2+i+i)

=(2-i)(2+2i)=4+4i-2i-2i2=6+2i.

故選：C.

2.【答案】C

【解析】解：由題意，這組數(shù)據(jù)中7和9都出現(xiàn)3次，其余數(shù)出現(xiàn)次數(shù)沒(méi)超過(guò)3次，故眾數(shù)為7和9,

A正確；

計(jì)算平均數(shù)為7+8+9+7+4+8+9+9+7+2

7,故B正確;

將10次射擊成績(jī)從小到大排列為：2,4,7,7,7,8,8,9,9,9,則中位數(shù)為竽=7.5,故C

錯(cuò)誤；

-I

方差為s2=三X[(7-7)2X3+(8—7)2X2+(9—7)2X3+(4-7)2+(2-7)2]=4.8,故D

正確，

故選：C.

根據(jù)眾數(shù)的含義可判斷4計(jì)算出平均數(shù)判斷B,算出中位數(shù)判斷C；計(jì)算出方差判斷D.

本題考查了求平均數(shù)與方差和眾數(shù)、中位數(shù)的問(wèn)題，記住平均數(shù)與方差、中位數(shù)的公式是解題的

關(guān)鍵.

3.【答案】C

【解析】解：老年人做檢測(cè)的人數(shù)為20X謂=12.

故選：C.

利用分層抽樣比例求解.

本題主要考查分層抽樣的定義，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：由題意可知，該圓錐的底面半徑為r=J42.(20=2,

則圓錐的全面積為T(mén)r×22+∣×(2π×2)×4=12τr.

故選:B.

根據(jù)題意，由勾股定理得出r,進(jìn)而由面積公式得出全面積.

本題考查圓錐的面積計(jì)算，涉及圓錐的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：因?yàn)?0%Xlo=6,

則第60百分位數(shù)為蟹≡=170,解得X=171,

故選：C.

根據(jù)百分位數(shù)的定義建立方程即可求解.

本題考查了百分位數(shù)的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：設(shè)向量方，石的夾角為。，

因?yàn)閨回=2,?b?=3,ab=l^

所以口?b=?a??b?cosθ=2×3×cosθ=1，

所以CoSe=?,

o

所以方在五上的投影向量為：IBlCOSe-=3cosθ?=3×7,7=∑2?

故選：C.

先求出向量五，方夾角的余弦值，然后利用求解投影向量的方法求解即可.

本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解：不超過(guò)12的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11,共5個(gè)，其中任取兩個(gè)數(shù)的基本事件為:

(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(3,5),(3,7),(3,11),(5,7),(5,11),(7,11),共10個(gè),

其中是攣生素?cái)?shù)為(3,5),(5,7),共2個(gè),

故在不超過(guò)12的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，能夠組成攣生素?cái)?shù)的概率是看=g?

故選：B.

根據(jù)已知條件，結(jié)合古典概型的概率公式，以及列舉法，即可求解.

本題主要考查古典概型的概率公式，以及列舉法，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】B

【解析】解：取SA的中點(diǎn)。1，SC的中點(diǎn)。2,連0m,O1F,O2A,O2B,

因?yàn)镾A平面力BC,AB,BC,4CU平面ABC,所以SA_L4B,S41BC,

SAlAC,

因?yàn)锳B1BC,SA∏AB^A,SA,ABU平面SAB,所以BC1平面SAB,

因?yàn)镾BU平面54B,所以BC1SB,

在直角三角形S4C中，。2是斜邊SC的中點(diǎn)，所以。2人=QS=。2。

在直角三角形SBC中，O?是斜邊SC的中點(diǎn)，所以O(shè)2B="S=QC,

所以。2是三棱錐S-ABC的外接球的球心，SC為該球的直徑.

因?yàn)锳EJ.SB,Oi是斜邊S4的中點(diǎn)，所以O(shè)lE=OI4=O/,

因?yàn)锳F1SC,%是斜邊S4的中點(diǎn)，所以O(shè)IF=O1A=O1S,

所以O(shè)i是三棱錐S-FAE的外接球的球心，S4為該球的直徑.

設(shè)Sa=AB=BC=a,則SC=√SA2+AB2+BC2=√-3α.

2222

則SI=4兀?(γ)=aπ,S2=4π?(y)=4π?=3αττ>

所喝=a2π_1

3α2τr3

故選：B.

取S4的中點(diǎn)01，SC的中點(diǎn)。2，連。［E,01F,O2A,O2B,證明5是三棱錐S-ABC的外接球的球

心，SC為該球的直徑；Oi是三棱錐S-FAE的外接球的球心，S4為該球的直徑，設(shè)Syl=AB=BC=

α,求出SC,根據(jù)球的表面積公式可求出結(jié)果.

本題考查球的表面積相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.

9.【答案】ACD

【解析】解：因?yàn)閆=3—43

所以IZl=5,A正確；

Z的虛部為—4,B錯(cuò)誤：

Z-3=3-4i—3=-4i為純虛數(shù)，C正確；

Z=3-4對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(3,-4)在第四象限,。正確.

故選：ACD.

由已知結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的概念檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本概念的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】CD

【解析】

【分析】

本題考查平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差，是基礎(chǔ)題.

利用平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的定義直接判斷即可.

【解答】

解：對(duì)于4兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的差為c,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)的差是c,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,設(shè)原樣本數(shù)據(jù)的樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為A，”,新數(shù)據(jù)的樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為。2,

。2，

因?yàn)?=/+c(i=1,2,…,九)，???DL=D2，???JDi=y]D?，即

???兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同，故。正確；

對(duì)于yi=勺+c(i=1,2,C為非零常數(shù),

x

原數(shù)據(jù)組的樣本極差為%mα%-min^新數(shù)據(jù)組的樣本極差為(XnaX+C)-(/nin+0=Xmax一

Xmin,

兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同，故。正確.

故選：CD.

11.【答案】BD

【解析】解：對(duì)4：若π√∕α,n∕∕a,則m〃n或nι與n相交或πι與n異面，故選項(xiàng)4錯(cuò)誤;

對(duì)B：若?n1a,n1a,則7n〃n,故選項(xiàng)B正確；

對(duì)C：若n√∕α,muβ,則a〃夕或a與夕相交，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)D：若mJ.a,mln,貝Un〃a或nua,又n10,則a_L0,故選項(xiàng)。正確.

故選：BD.

根據(jù)線線、線面、面面的位置關(guān)系，逐一分析各選項(xiàng)即可得答案.

本題考查了線線、線面、面面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】ACD

【解析】解：由題意可得P(A)=怖=：,P(B)U

bZoZ

所以P(4)=1-P(B),故A正確；

因?yàn)槭录,B可以同時(shí)發(fā)生，故兩事件不是對(duì)立事件，故8錯(cuò)誤；

因?yàn)槭录?,B互不影響，所以4B為相互獨(dú)立事件，

11111

×+X-

則P(C)=P(AB)+P(AB)2-2-2-2-2-

111

-X-=-

因?yàn)槭录﨎n。表示第一次為偶數(shù)且第二次為偶數(shù)，所以P(BC)224

又P(B)P(C)=；=P(B)P(C),所以B與C相互獨(dú)立，故C正確;

事件AUB表示第一次或第二次為偶數(shù)，它的對(duì)立事件為第一次和第二次都是奇數(shù)，

1-10

所以P(4UB)=1--X-=-,故。正確.

故選：ACD.

利用古典概型求出PQ4)，P(B),即可判斷4根據(jù)對(duì)立事件的定義即可判斷B；根據(jù)相互獨(dú)立事件

的定義即可判斷C;根據(jù)事件4UB表示第一次或第二次為偶數(shù)，求出此事件的對(duì)立事件的概率即

可求出P(4U8),即可判斷D.

本題主要考查互斥事件與對(duì)立事件，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】I

【解析】解:連接BE、AE,

由CD〃BE,

則異面直線AB與CD所成的角的平面角為N4BE(或其補(bǔ)角),

又AABE為正三角形，

則乙4BE=≡

故答案為：≡

連接BE、AE,由CD〃BE,則異面直線力B與C。所成的角的平面角為乙4BE(或其補(bǔ)角)，然后求解

即可.

本題考查了異面直線所成角的求法，重點(diǎn)考查了異面直線所成角的作法，屬基礎(chǔ)題.

14.【答案】2或一1

【解析】解：因?yàn)槲?(m,1),b=(2,zn—1)，且口〃b，

所以m(m—1)=1X2,即m?—巾―2=0,

解得Zn=2或??1=—1.

故答案為：2或一1.

根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示可得.

本題主要考查向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】0.84

【解析】解：本次比賽甲獲勝的概率為0.6+0.6X0.4=0.84.

故答案為：0.84.

直接利用互斥事件和概率的關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：互斥事件和概率的關(guān)系式，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬

于基礎(chǔ)題.

16.【答案】2yΓ2l11

318

【解析】解：在AABC中，因?yàn)橐?=60。，AB=6,AC=4,

o

由余弦定理得SC?=AB2+AC2_2AB??Ccos60=36+16-2×6×4×?=28,

所以BC=

設(shè)AHBC的外接圓的半徑為R,可得2R=餐r=守，所以a。=R=*1,

SinA33

^(AO-AB=?AM?-?AB?=18

如圖所示,因?yàn)橥庑氖侨呏写咕€的交點(diǎn),Λ

'"說(shuō).正=I?VI?∣ΛC∣=8

f(λAB+μAC)-AB=18??,.?,.?“———>―>

即rπ—.—.—.,又因?yàn)橐姚?=60。，AB=6,AC=4,r可zr得j48?AC=12,

{QλAB+μAC)-AC=8

所以配沈:解得。/所以”奈

故答案為：守；?

3?o

由余弦定理求得BC=2「，利用正弦定理求得外接圓的半徑為R,結(jié)合4。=R,再由外心是三

邊中垂線的交點(diǎn)，結(jié)合向量數(shù)量積的幾何意義，列出方程組，求得/1=：,〃=:，即可求解.

VO

本題主要考查平面向量的基本定理，屬于中檔題.

22

17.【答案】解：(1)由Z=2+bi,得=(2+hi)=4—b+Abi9

???Z?為純虛數(shù),

(4-b2=0

=b=±2;

,,(4h≠0

又b>0,

???b=2；

2+2i_(2+2i)(l+i)_4i

(2)3口="ιτΓ=(i-0(i+0=72i,

【解析】(1)由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算結(jié)合純虛數(shù)的定義求解即可;

(2)由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算結(jié)合模長(zhǎng)公式求解即可.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解:(1)解由題意得:α?h=∣α∣?∣h∣?CoS60。=1，

當(dāng)下IZ時(shí)，"2=0,則(2l+3〉)?(3五+>方)=0,

.?.6a2+3kb2+(9+2∕c)α?K=0>即6X4+3kX1+(9+2k)x1=0，解得k=-「；

(2)∣dI=?3a+kb?=I(3a+kb)2=J9a2+k2b2+6ka-b=√∕c2+6fc+36=2ΛΛ13)

：.∕c2+6∕c-16=0,解得k=2或—8.

【解析】(1)由口結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算求解即可；

(2)由模長(zhǎng)公式結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算得出k.

本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】解：(1)分別設(shè)甲、乙經(jīng)第一次選拔后合格為事件B1,

設(shè)E表示第一次選拔后甲合格、乙不合格，

則P(E)=P(Al?Bl)=0.5X0.4=0.2：

(2)分別設(shè)甲、乙、丙經(jīng)過(guò)前后兩次選拔后合格為事件4B,C,事件尸表示經(jīng)過(guò)前后兩次選拔后,

恰有一人合格，

則P(A)=0.5X0.6=0.3,P(B)=0.6X0.5=0.3,P(C)=0.4X0.5=0.2,

所以P(F)≈P(A?B?C)+P(A?B?C')+P(AB?C)

=0.3X0.7X0.8+0.7X0.3X0.8+0.7X0.7X0.2

217

=。434=能

【解析】(1)根據(jù)相互獨(dú)立事件概率乘法公式可得；

(2)由互斥事件的概率加法公式和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式可得.

本題主要考查了互斥事件的概率加法公式和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于基礎(chǔ)題.

20.【答案】解：(1)由頻率分布直方圖得第1組□5,25)的頻率為0.020X10=0.2,

??,第一組的頻數(shù)為20,

1

?*?0.020+0.036+%+0.010+0.004=—,

解得％=0.030.

眾數(shù)為：至尹=30.

(2)由頻率分布直方圖得第1組的人數(shù)為0.020×10×100=20,

第3組的人數(shù)為0.030×10×100=30,

第4組的人數(shù)為0.010×10×IOO=10,

從第1,3,4組中用分層抽樣的方法抽取6人，

則第1組抽取6X--?-=2人，

?UIOViJLU

第3組抽取6X扁熹=3人，

第4組抽取6X扁%=1人.

(3)在(2)抽取的6人中再隨機(jī)抽取2人，

基本事件總數(shù)TI=盤(pán)=15,

所抽取的2人來(lái)自同一個(gè)組包含的基本事件m=廢+廢=4,

所抽取的2人來(lái)自同一個(gè)組的概率P曙=卷

【解析】(1)由頻率分布直方圖求出第1組［15,25)的頻率為0.2,再由第一組的頻數(shù)為20,能求出n,

由頻率分布直方圖中小矩形面積之和為1,能求出X的值，并能求出眾數(shù).

(2)由頻率分布直方圖得第1組的人數(shù)為20,第3組的人數(shù)為30,第4組的人數(shù)為10,從第1,3,4組

中用分層抽樣的方法抽取6人，由此能求出第1,3,4組抽取的人數(shù).

(3)在(2)抽取的6人中再隨機(jī)抽取2人，基本事件總數(shù)n=叱=15,所抽取的2人來(lái)自同一個(gè)組包

含的基本事件m=廢+或=4,由此能求出所抽取的2人來(lái)自同一個(gè)組的概率.

本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用、考查眾數(shù)、分層抽樣、概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真

審題，注意頻率分布直方圖的合理運(yùn)用.

21.【答案】解：(1)證明：由已知易得：C'。_L平面48。，???C'。J.40,

5L-：ABLAD,C'OC?AB=O,CO,力BU平面C'AB,

.?.AD_L平面CZB,???CBU平面CZB,

.?.AD1CB；

(2)由(1)知：AD1CB,

,

又???C'D1C'B,ADdCD=DfADfC'Du平面C'4D,

?C,B1平面CzD,

,,

又C'/U平面CZDΛCB1CAf

在Rt△4C，B中，C'0=c'b^'a=?j?=?`

設(shè)點(diǎn)a到平面c'80的距離為d,

1I

由

得

匕%d=-

3-αBD3

11

新

即1d√6

-X-XX√63

323,

.??力B與平面OBD所成的角的正弦值為焉=

【解析】(1)根據(jù)已知，先證AC平面CzB,然后由線面垂直的性質(zhì)可證；

(2)先證C'B1C'4然后由等體積法求點(diǎn)2到平面CBD的距離，即可求得所求.

本題考查線面垂直的判定定理與性質(zhì)，線面角的求解，屬中檔題.

22?【答案】解：⑴由熹+熹=高，即篝+暮=黑,

CosBsinC+sinBcosCsin2∕l

得:cosA=SinA?