2023-2024屆新高考一輪復習人教A版 第三章 第三講　第二課時　導數(shù)與不等式恒(能)成立 學案

第二課時導數(shù)與不等式恒(能)成立

?互動探究

考點一分離參數(shù)法

例1(2022?石家莊模擬)已知函數(shù)fi,x)=axeχ-(a+l)(2χ-1).

(1)若α=l,求函數(shù)7U)的圖象在點(0,次0))處的切線方程；

⑵當x>0時，函數(shù)兀r)20恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

數(shù)學求∕'(X),數(shù)學二姓數(shù)學運算由/(I)N數(shù)學

?f(0)，旭)?≡≡rl0得a〉0?

_八川萬程-------

分離參數(shù)構(gòu)I數(shù)學2,∏?;邏輯I求α的取

衛(wèi)遇E轆負‘≡[≡≡-

［解析］(1)若α=l,則兀0=》8—2(2k一1).

即f'(x)=xev÷ev-4,

則/'(0)=-3,貝0)=2,

所以所求切線方程為3x+y~2=0.

(2)由70)20,得。2士〉0,

∩2x—1

則/(x)20對任意的x>0恒成立可轉(zhuǎn)化為F72一k對任意的x>0恒成立.

ClI1XC

【卡殼點】不能把看看作整體，分離出來

a+1

_,2x—1.(2x+l)(x—1)

設,n函數(shù)lkRX)=Wr(龍〉0),則rιl/(X)=--?

【易錯點】導數(shù)運算

當OVKl時，F(xiàn)'(X)>0；當尤>1時，F(xiàn)'(X)<0,

7

所以函數(shù)∕(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，所以F(X)max=

HD=;.

【卡殼點】不能確定F(%)max=F(I)

于是備注解得心占.

故實數(shù)α的取值范圍是占，+8).

名幃A披MINGSHIDIANBO

分離參數(shù)法解決恒成立問題的策略

(1)分離變量.構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

(2)αWXX)恒成立臺αx)max;

aWy(X)恒成立3a≤∕(x)mi∏.

〔變式訓練1〕

已知函數(shù)yu)=上普.

(1)若函數(shù)/U)在區(qū)間，，上存在極值，求正實數(shù)α的取值范圍；

⑵如果當x21時，不等式兀X)—備，。恒成立，求實數(shù)攵的取值范圍.

1—1—InYInγ

［解析］(1)函數(shù)的定義域為(O,+∞),f'(X)=一h-=—學，

令/'(x)=0,得X=L

當x∈(θ,D時,f'(x)>o,yu)單調(diào)遞增；

當x∈(l,+∞)?,f(x)<0,加)單調(diào)遞減.

所以X=I為函數(shù)?r)的極大值點，且是唯一極值點，所以0<a<l<a+；,

故T<α<l,即實數(shù)α的取值范圍為&11

⑵原不等式可化為當時，ZWa+Df+lnx)恒成立,令g(x)=

α+D(∣+m%2i),

[1÷lnx÷1+?lv-(x+1)(1÷lnx)

X-InX

則g'-----------------，----------------------

再令4(x)=χ-lnX(X21),則/?'(X)=I—所以∕ι(x)2%(l)=1,所以

g'。)>0，

所以g(x)為增函數(shù)，所以g(x)Ng(l)=2,故4≤2,即實數(shù)Z的取值范圍是(一

8,2］.

考點二分類討論法

例2(2023?綿陽市診斷性考試)已知函數(shù)?x)=(2m+2)χ-4In%—^πu2(∕∕2∈R).

(1)若函數(shù)g(x)=∕*)+gwu2有兩個零點，求機的取值范圍；

(2)若兀r)20,求機的取值范圍.

［解析］⑴由g(x)="x)+%iχ2=(2∕τz+2)χ-41nx,x>0,

徂，，、c4(2∕Π+2)A-4(w+l)χ-2

(x)-(2m+2)--------2X---------------?

,一I(加+1)%一2

①當m≤-l時，g'(%)=2×--------------<0,

此時g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

g(x)在(0,+8)上不可能有兩個零點，

故"zW—l不符合題意.

②當加>—1時，g(x)在區(qū)間(0,高?上單調(diào)遞減，在區(qū)間舄了，+8)上

單調(diào)遞增.

要使得函數(shù)g。)在(0,+8)上有兩個零點，

rll(2)2八，曰2-e

則gKd=4—4In后γ<0'侍一1<"K-Γ??

綜上，實數(shù)加的取值范圍是(-1,冶.

4

(2)∕z(x)=(2m+2)---mx

("優(yōu)一2)(九一2)

=―------------------,x>0.

X

①當0<機<1時，函數(shù)TW在(2,金上單調(diào)遞增，

在(0,2)和(高，+8)上單調(diào)遞減.

所以當x>4+2>短時，∕U)=Λ(2機+2—5UI-4InX勺(4+3<0,

IIIIlv\?III，

所以yu)eo不恒成立,

即0<m<1不符合題意.

②當加=1時，，(x)W0(僅在x=2時取等號)，√U)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

火x)20不恒成立，即〃2=1不符合題意.

③當21時，函數(shù)段)在&2)上單調(diào)遞增，在(0,和(2,+8)上單調(diào)遞

減，

所以當x>4+—>2時，危)=《2機+2—4InXd4+?)<0,

所以√U)20不恒成立，

即加>1不符合題意.

④當"zWO時，函數(shù)/U)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，

.*x)20恒成立的充要條件是7(2)20,

解得mN2In2-2,

所以21n2—2W"zW0.

綜上，實數(shù)為的取值范圍是［21n2—2,0］.

名幃點帔MINGSHIDIANBO

對于不適合分離參數(shù)的不等式，常常將參數(shù)看作常數(shù)直接構(gòu)造函數(shù)，常用分

類討論法，利用導數(shù)研究單調(diào)性、最值，從而得出參數(shù)范圍.

〔變式訓I練2〕

(2020?新高考全國I卷)已知函數(shù)<x)=αe*i—lnx+lnα.

(1)當α=e時，求曲線y=?r)在點(1,./U))處的切線與兩坐標軸圍成的三角

形的面積；

(2)若人》)21,求α的取值范圍.

［解析］(1)當α=e時，,*x)=ex-?lnx+l,

f'(x)=ev-p∕,(l)=e-l,χi)=e+l,曲線y=∕(x)在點(1,.穴1))處的切線

方程為y—(e+l)=(e-l)(χ-1).

即y=(e—I)X+2.

直線y=(e—l)x+2在X軸、y軸上的截距分別為了告，2.

因此所求三角形的面積為一2.

e—1

(2)當O<a<l時，Λl)=α+lnα<l.

當a=?時，yU)=eL∣-lnx,f'(x)=eλl-?

?

當x∈(O,D時,f'(X)<O;

當Λ∈(l,+∞)0t,f'(X)>0.

所以當χ=ι時，/U)取得最小值，最小值為y∏)=ι,從而.*x)2i.

l1

當”>l時，>∕(x)=tze'-ln%+lnα≥e'—Inx≥l.

綜上，α的取值范圍是［1,+∞).

考點三不等式能成立問題

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例3已知函數(shù)?x)=(x—l)e*"+g2,當0<∕%W6時，g(x)=xi-~-mx,x∈

(0,2］,若存在x∣∈R,X2∈(0,2］,使<XI)Wga2)成立，求實數(shù)機的取值范圍.

［解析］x∈(-8,+8)且/(%)=ev+l÷(χ-l)?ev+1+2mx=x(ex^'+2m),

當〃?〉0時，因為FHX),

所以ev'1+2m>0,

所以當x>0時，/(X)>0；

當x<0時，f'(x)<0.

故y(X)在區(qū)間(一8,0)上單調(diào)遞減，

在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以/(x)min=/(0)=-C.

又g'(X)=3X2÷^2-w≥4√3-m,

因為0<m≤6,所以g'(x)>0,

所以g(x)在(0,2］上為增函數(shù).

所以g(x)maχ=g(2)=8—2—2m=6—2m.

依題思有/(Xl)minWg(?X2)max,

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所以6—2〃z，一e,所以0<〃z<3+/,

故機的取值范圍為(0,3+f.

名幃A披MINGSHIDIANBO

1.存在型不等式成立主要是轉(zhuǎn)化為最值問題

如存在XI,Λ2∈[∏,切使√(xi)Wg(X2)成立兮∕U)minWg(x)max,轉(zhuǎn)化為最值問題

求解.

2.如果一個問題的求解中既有“存在性”又有“恒成立”，那么需要對問

題做等價轉(zhuǎn)化，這里一定要注意轉(zhuǎn)化的等價性、巧妙性，防止在轉(zhuǎn)化中出錯而使

問題的