四川省成都市成華區(qū)某校高三上學(xué)期一模數(shù)學(xué)（文）試題

一診模擬考試高2021級數(shù)學(xué)（文科）一?選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，請把答案直接填涂在答題卷上.1.已知是實數(shù)集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合、，再進(jìn)行補(bǔ)集和交集運(yùn)算.【詳解】，，，所以，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.若復(fù)數(shù)滿足，則下列說法正確的是()A.的虛部為2 B.為實數(shù) C. D.【答案】C【解析】【分析】由給定等式求出z，再由復(fù)數(shù)z的特征判斷各選項得解.【詳解】，z的虛部為1，選項A錯；z是虛數(shù)，選項B錯；，選項C正確；，選項D錯.故選：C3.已知變量滿足約束條件，則的最大值（）A. B.1 C.4 D.8【答案】D【解析】【分析】作出可行域，作出目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線，平移直線可得最優(yōu)解，【詳解】作出可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），作直線，平移直線，當(dāng)直線過點(diǎn)時，取最大值．由解得，即，所以．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃，解題關(guān)鍵是作出可行域．屬于基礎(chǔ)題．4.已知方程表示焦點(diǎn)在軸的雙曲線，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程的特點(diǎn)，即可列出不等式，從而求得參數(shù)范圍.【詳解】因為方程表示焦點(diǎn)在軸的雙曲線，故可得，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查由方程表示雙曲線求參數(shù)范圍的問題，屬基礎(chǔ)題.5.已知，，，則（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：因為所以選C．考點(diǎn)：比較大小6.某調(diào)查機(jī)構(gòu)對全國互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，得到整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖，后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖，則下列結(jié)論錯誤的是（）注：后指年及以后出生，后指年之間出生，前指年及以前出生.A.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中從事技術(shù)和運(yùn)營崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的三成以上B.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的C.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營崗位的人數(shù)后一定比前多D.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)后一定比后多【答案】D【解析】【分析】根據(jù)整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖，對四個選項逐一分析，即可得出正確選項.【詳解】對于選項A，因為互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中，“后”占比為，其中從事技術(shù)和運(yùn)營崗位的人數(shù)占的比分別為和，則“后”從事技術(shù)和運(yùn)營崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的.“前”和“后”中必然也有從事技術(shù)和運(yùn)營崗位的人，則總的占比一定超過三成，故選項A正確；對于選項B，因為互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中，“后”占比為，其中從事技術(shù)崗位的人數(shù)占的比為，則“后”從事技術(shù)崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的.“前”和“后”中必然也有從事技術(shù)崗位的人，則總的占比一定超過，故選項B正確；對于選項C，“后”從事運(yùn)營崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比為，大于“前”的總?cè)藬?shù)所占比，故選項C正確；選項D，“后”從事技術(shù)崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，“后”的總?cè)藬?shù)所占比為，條件中未給出從事技術(shù)崗位的占比，故不能判斷，所以選項D錯誤.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖解決實際問題，解本題關(guān)鍵就是利用條形統(tǒng)計圖中“后”事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位的占比乘以“后”所占總?cè)藬?shù)的占比，再對各選項逐一分析即可.7.設(shè)是非零向量，則“存在實數(shù)λ，使得”是“”的（）A.充分必要條件 B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】結(jié)合向量共線和充分、必要條件等知識確定正確選項.【詳解】依題意是非零向量，“存在實數(shù)λ，使得”，“”同向，所以“存在實數(shù)λ，使得”是“”的必要而不充分條件.故選：C8.已知是上的奇函數(shù)，且為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性的定義，可得的最小正周期為4，結(jié)合已知條件，計算即可得到所求值．【詳解】解：是上的奇函數(shù)，且為偶函數(shù)，可得，即，且，可得，即有，的最小正周期為4，則，當(dāng)時，，可得，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的周期性和奇偶性的判斷和運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)圖象可求出的解析式為，再根據(jù)平移規(guī)則可得.【詳解】由圖象可知，，解得；由振幅可知；將代入可得，又，即可得，因此，易知，故選：C10.某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知中的三視圖，可知該幾何體是一個底面為正方形的四棱錐，然后求解幾何體的體積即可．【詳解】該三視圖還原成直觀圖后的幾何體是如圖的四棱錐:和是兩個全等的直角三角形；，幾何體的體積為：，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖求體積，解決本題的關(guān)鍵是還原該幾何體的形狀．11.等腰三角形中，點(diǎn)在底邊上，，，，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令，則，，然后分別在，中解三角形得出的值，再求出的值，最后利用即可求出的面積.【詳解】設(shè)，則，，中，，，則，中，，由正弦定理得，即，∴，得，，∴.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形的問題，涉及正弦定理及三角形的面積公式、三角恒等變換等知識，對運(yùn)算能力要求較高，屬中等難度題.12.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且滿足，若函數(shù)有6個零點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)有六個交點(diǎn)的問題，結(jié)合函數(shù)的解析式利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像的變化情況，由函數(shù)圖像即可確定實數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)有6個零點(diǎn)，等價于函數(shù)與有6個交點(diǎn)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，遞增，當(dāng)時，遞減，的極大值為：，作出函數(shù)的圖象如下圖，與的圖象有6個交點(diǎn)，須，表示為區(qū)間形式即.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)圖像的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.第II卷（共90分）二?填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題卷上）13.拋物線的準(zhǔn)線方程為__________.【答案】【解析】【分析】拋物線的準(zhǔn)線方程為，由此得到題目所求準(zhǔn)線方程.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程是.故答案為：.14.已知等差數(shù)列的前項和為，若，則__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件求出的值，然后利用等差數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，且該數(shù)列的前項和為，則，所以，，因此，.故答案為：.15.在中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且，則_______．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理化簡已知條件，求得，進(jìn)而求得.【詳解】由正弦定理，①，又，代入式①得：，∴，∵，∴，，故，又，∴．故答案：16.點(diǎn)，，，在同一球面上，，，若球的表面積為，則四面體體積的最大值為．【答案】【解析】【詳解】試題分析：依題意所以，設(shè)的中點(diǎn)為，球心為O,球的半徑為R，過三點(diǎn)的截面圓半徑為由球的表面積為知，，解得.因的面積為,所以要四面體體積最大，則為射線與球面交點(diǎn)，所以球心到過三點(diǎn)的截面的距離為，所以，所以四面體體積最大為考點(diǎn)：1.球的幾何性質(zhì)；2.幾何體的表面積、體積.三?解答題：本大題共7小題，其中1721題為必做題，每題12分，在22?23題選做一題，10分，共70分.17.為了進(jìn)一步推動智慧課堂的普及和應(yīng)用，市現(xiàn)對全市中小學(xué)智慧課堂的應(yīng)用情況進(jìn)行抽樣調(diào)查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：經(jīng)常應(yīng)用偶爾應(yīng)用或者不應(yīng)用總計農(nóng)村城市總計從城市學(xué)校中任選一個學(xué)校，偶爾應(yīng)用或者不應(yīng)用智慧課堂的概率是.（1）補(bǔ)全列聯(lián)表，判斷能否有的把握認(rèn)為智慧課堂的應(yīng)用與區(qū)域有關(guān)，并闡述理由；（2）在經(jīng)常應(yīng)用智慧課堂的學(xué)校中，按照農(nóng)村和城市的比例抽取個學(xué)校進(jìn)行分析，然后再從這個學(xué)校中隨機(jī)抽取個學(xué)校所在的地域進(jìn)行核實，求沒有抽取到農(nóng)村學(xué)校的概率.附：，臨界值表：.【答案】（1）表格見解析，有的把握認(rèn)為認(rèn)為智慧課堂的應(yīng)用與區(qū)域有關(guān)，理由見解析（2）【解析】【分析】（1）完善列聯(lián)表，計算出的觀測值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論；（2）分析可知，抽取的個樣本有個是農(nóng)村學(xué)校，個是城市學(xué)校，將個農(nóng)村學(xué)校分別記為、，個城市學(xué)校分別記為、、，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小問1詳解】解：列聯(lián)表如下表所示：經(jīng)常應(yīng)用偶爾應(yīng)用或者不應(yīng)用總計農(nóng)村城市總計.所以有的把握認(rèn)為認(rèn)為智慧課堂的應(yīng)用與區(qū)域有關(guān).【小問2詳解】解：由題意可知，偶爾應(yīng)用或者不應(yīng)用智慧課堂的學(xué)校中，農(nóng)村和城市的比例是，所以抽取的個樣本有個是農(nóng)村學(xué)校，個是城市學(xué)校，將個農(nóng)村學(xué)校分別記為、，個城市學(xué)校分別記為、、，從上述個學(xué)校中，隨機(jī)抽取個學(xué)校，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共種，其中，事件“沒有抽取到農(nóng)村學(xué)?！彼幕臼录校?、、，共種，故所求概率為.18.已知數(shù)列為等比數(shù)列，首項，公比，且是關(guān)于的方程的根.其中為常數(shù).（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求使的的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用韋達(dá)定理得出；再根據(jù)題目條件利用等比數(shù)列的通項公式，求出公比，進(jìn)而得到通項公式；（2）利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和數(shù)列裂項相消求和，得；再根據(jù)不等式的解法即可得出答案.【小問1詳解】因為是關(guān)于的方程的根，所以.又因為數(shù)列為等比數(shù)列，，公比.所以，解得：或（負(fù)值舍去），故：【小問2詳解】由（1）得：，所以：，所以：因為，所以，解得：（），故：的最大值為48.19.如圖，在四棱錐ABCD中，和都是等邊三角形，平面PAD平面ABCD，且，．（1）求證：CDPA；（2）E，F(xiàn)分別是棱PA，AD上的點(diǎn)，當(dāng)平面BEF//平面PCD時，求四棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由已知即可證得：，且，再利用是等邊三角形即可證得：，再利用面面垂直的性質(zhì)即可證得：平面，問題得證.（2）利用平面BEF//平面PCD可得：BF//CD，結(jié)合可得，即可求得：DF=，從而求得，利用（1）可得四棱錐的高，再利用錐體體積公式計算即可.【詳解】證明：（1）因為是等邊三角形，所以又，，所以，所以，且．又是等邊三角形，所以，所以．又平面平面，平面平面，平面所以平面．所以CDPA．（2）因為平面BEF//平面PCD，所以BF//CD，EF//PD，又所以．又在直角三角形ABD中，DF=，所以．所以．由（1）知平面，故四棱錐的體積．【點(diǎn)睛】本題主要考查了面面垂直的性質(zhì)、線線垂直的判定、面面平行的性質(zhì)及錐體體積計算公式，還考查了轉(zhuǎn)化思想及空間思維能力，屬于中檔題.20.已知橢圓的上頂點(diǎn)為，左?右焦點(diǎn)分別為，，離心率的面積為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與橢圓相交于點(diǎn)，則直線的斜率分別為，，且，則直線是否經(jīng)過某個定點(diǎn)？若是，請求出的坐標(biāo).【答案】（1）（2）直線經(jīng)過定點(diǎn)【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形面積和離心率得到方程組，求出，求出橢圓方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，表達(dá)出，，根據(jù)斜率之和得到方程，求出，代入直線方程，求出定點(diǎn).【小問1詳解】因為的面積，且，又，故解得，則，則陏圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】假設(shè)，直線與橢圓聯(lián)立得，消去整理得，則，又因為，所以，則，即，代入韋達(dá)定理得，即，化簡得，因為，則，即代入直線得，即所以直線經(jīng)過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】處理定點(diǎn)問題的思路：（1）確定題目中的核心變量（此處設(shè)為），（2）利用條件找到與過定點(diǎn)的曲線的聯(lián)系，得到有關(guān)與的等式，（3）所謂定點(diǎn)，是指存在一個特殊點(diǎn)，使得無論的值如何變化，等式恒成立，此時要將關(guān)于與的等式進(jìn)行變形，直至找到，①若等式的形式為整式，則考慮將含的式子歸為一組，變形為“”的形式，讓括號中式子等于0，求出定點(diǎn)；②若等式的形式是分式，一方面可考慮讓分子等于0，一方面考慮分子和分母為倍數(shù)關(guān)系，可消去變?yōu)槌?shù).21.已知函數(shù).（是自然對數(shù)的底數(shù)）（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）記，若，試討論在上的零點(diǎn)個數(shù).【答案】（1）（2）個【解析】【分析】（1）求出及函數(shù)的定義域，解不等式，可得出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：函數(shù)的定義域為.且.由得，可得，解得.所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】解：由已知.所以，，令，則.因為，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因為，.當(dāng)時，，.所以，存在，使得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因為，，故函數(shù)在上無零點(diǎn)，又因為，由零點(diǎn)存在性定理可得，則在上有且只有一個零點(diǎn)，綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在上僅有一個零點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題.選做題：（請在下面題目中選擇一題完成，注意在答題卡對應(yīng)位置將你選擇的題號用2B鉛筆填涂，并將選做題目答案寫在規(guī)定區(qū)域）選修44（極坐標(biāo)與參數(shù)方程）22.已知直線：(為參數(shù))，曲線：（為參數(shù)）．(1)設(shè)與相交于兩點(diǎn)，求；(2)若把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來的倍，縱坐標(biāo)壓縮為原來的倍，得到曲線，設(shè)點(diǎn)P是曲線上的一個動點(diǎn)，求它到直線的距離的最大值．【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）消去直線參數(shù)方程的參數(shù)，求得直線的普通方程.消