高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（人教A版2019必修二）綜合測(cè)試卷必修二全冊(cè)（提高篇）

必修二全冊(cè)綜合測(cè)試卷（提高篇）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2023春·浙江·高三開(kāi)學(xué)考試）復(fù)數(shù)z1=?12?32i，復(fù)數(shù)A．z2=?1C．z2的虛部為32i 【解題思路】由已知求出z2【解答過(guò)程】對(duì)于A，由已知可得，z2==?21?3對(duì)于B，因?yàn)閦2=?1對(duì)于C，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可知z2的虛部為3對(duì)于D，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可知z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為?故選：C.2．（5分）（2023秋·北京·高一期末）經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣獲得的樣本數(shù)據(jù)為x1,x2,?,xn，且數(shù)據(jù)xA．若數(shù)據(jù)x1,x2,?,B．若數(shù)據(jù)x1,x2,?,C．若數(shù)據(jù)x1,x2,?,D．若數(shù)據(jù)x1,x2,?,【解題思路】根據(jù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，方差，百分位數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)即可判斷.【解答過(guò)程】對(duì)于A，數(shù)據(jù)x1,x2,?,xn的方差s對(duì)于B，數(shù)據(jù)x1,x2,?,xn，的平均數(shù)為x對(duì)于C，數(shù)據(jù)x1,x2,?,xn的方差為s對(duì)于D，數(shù)據(jù)x1,x2,?,xn故選：C.3．（5分）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知事件A，B，C的概率均不為0，則PA=PBA．PA∪B=PAC．PAB=P【解題思路】根據(jù)和事件的概率公式判斷A、B，根據(jù)積事件的概率公式判斷C、D.【解答過(guò)程】解：對(duì)于A：因?yàn)镻A∪B=PA只能得到PA∩B=0，并不能得到對(duì)于B：因?yàn)镻A∪CPB∪C由PA∪C=PB∪C由于不能確定A，B，C是否相互獨(dú)立，故無(wú)法確定PA對(duì)于C：因?yàn)镻AB=P又PAB=P對(duì)于D：由于不能確定A，B，C是否相互獨(dú)立，若A，B，C相互獨(dú)立，則PAC=PA則由PAC=PBC故由PAC=PBC故選：C.4．（5分）（2022·高二單元測(cè)試）某社團(tuán)開(kāi)展“建黨100周年主題活動(dòng)——學(xué)黨史知識(shí)競(jìng)賽”，甲、乙兩人能得滿分的概率分別為34、23，兩人能否獲得滿分相互獨(dú)立，則下列說(shuō)法正確的是（A．兩人均獲得滿分的概率為1B．兩人至少一人獲得滿分的概率為7C．兩人恰好只有甲獲得滿分的概率為3D．兩人至多一人獲得滿分的概率為11【解題思路】利用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式和對(duì)立事件概率公式計(jì)算各自的概率，進(jìn)而作出判定【解答過(guò)程】解：∵甲、乙兩人能得滿分的概率分別為34、2兩人能否獲得滿分相互獨(dú)立，分別記甲，乙能得滿分的事件為M，N，則PM=34，PN∴兩人均獲得滿分的概率為PM∩N兩人至少一人獲得滿分的概率為1?PM∩N兩人恰好只有甲獲得滿分的概率為PM∩兩人至多一人獲得滿分的概率為1?PM∩N故選：A．5．（5分）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)于給定的△ABC，其外心為O，重心為G，垂心為H，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．AOB．OAC．過(guò)點(diǎn)G的直線l交AB、AC于E、F，若AE=λAB，AFD．AH與ABAB【解題思路】根據(jù)外心在AB上的射影是AB的中點(diǎn)，利用向量的數(shù)量積的定義可以證明A正確；利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則可以O(shè)A?OB=OA?OC即【解答過(guò)程】如圖，設(shè)AB中點(diǎn)為M，則OM⊥AB，∴AO∴AOOA·OB=OA·OC等價(jià)于對(duì)于一般三角形而言，O是外心，OA不一定與BC垂直，比如直角三角形ABC中，若B為直角頂點(diǎn)，則O為斜邊AC的中點(diǎn)，OA與BC不垂直，故B錯(cuò)誤；設(shè)BC的中點(diǎn)為D，則AG=∵E，F(xiàn)，G三點(diǎn)共線，∴13λ+AB=ABBCcos∴ABABcosB+AC∴ABABcosB故選：B.6．（5分）（2023·新疆·統(tǒng)考一模）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1CA．BB．BD與EF異面C．EH//平面D．平面EFGH//平面【解題思路】根據(jù)題目信息和相似比可知，BD1不可能平行于GH，BD與【解答過(guò)程】如下圖所示，連接A1根據(jù)題意，由A1EEB1同理可得GH//CD由GH//CD1，而CD易知BD與EF不平行，且不相交，由異面直線定義可知，BD與EF異面，即B正確；在長(zhǎng)方體ABCD?A1B所以EF//GH,EF=GH，即四邊形所以EH//FG，又BC//EH?平面ABCD，BC?平面ABCD，所以EH//平面ABCD由EF//A1B，EF?平面A1BCD1，又BC//FG，F(xiàn)G?平面A1BCD1，BC?平面又EF∩FG=F，且FG,EF?平面EFGH，所以平面EFGH//平面A故選：A.7．（2023春·河南·高三開(kāi)學(xué)考試）在△ABC中，若內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，BD=1且b=2，則△ABC周長(zhǎng)的最小值為（

）A．7 B．22 C．2+22【解題思路】先利用面積相等與三角形面積公式，結(jié)合正弦的倍角公式求得2accos∠ABC2=c+a，再利用余弦定理的推論與余弦的倍角公式得到【解答過(guò)程】由題可得，S△ABC=S又BD=1，所以2acsin∠ABC=csin因?yàn)?<∠ABC<π，所以0<∠ABC2所以2accos∠ABC2又因?yàn)閏os∠ABC=c2所以2c+a2ac2所以(c+a)2解得(c+a)2≥8或所以a+c≥22，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=則b+a+c≥2+22故△ABC周長(zhǎng)的最小值為2+22故選：C..8．（5分）（2022春·上海楊浦·高一期末）如圖，一張A4紙的長(zhǎng)P1P2=2a，寬P1P4①該多面體是三棱錐；②平面BAD⊥平面BCD；③平面BAC⊥平面ACD；④該多面體外接球的表面積為4π其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】將該多面體放入長(zhǎng)方體中，利用題干條件求出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，從而得到該多面體是三棱錐，①正確；求出各邊長(zhǎng)，求出AP2+CP2=AC2，得到AP⊥同理可證明出平面BAC⊥平面ACD，③正確；長(zhǎng)方體的外接球即為該幾何體的外接球，求出長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，從而求出外接球半徑和表面積.【解答過(guò)程】將該多面體放入長(zhǎng)方體中，如圖，設(shè)長(zhǎng)、寬、高分別為x,y,z，則x2+y從而該多面體是三棱錐，①正確；由勾股定理得：AP=CP=3a2?a由勾股定理逆定理得AP⊥CP，因?yàn)锳B=AD=3a，P為BD中點(diǎn)，所以AP⊥因?yàn)锽D∩CP=P，BD,CP?平面BCD，所以AP⊥平面BCD，因?yàn)锳P?平面BAD，所以平面BAD⊥平面BCD，②正確；取AC的中點(diǎn)H，連接HB，HD，因?yàn)锳B=BC=DA=DC=3a，故BH⊥AC，DH⊥且BH=DH=3a2?a2=2a因?yàn)镈H,AC?平面ACD，且DH∩AC=H，所以BH⊥平面ACD，又因?yàn)锽H?平面BAC，所以平面BAC⊥平面ACD，③正確；從圖形可知，長(zhǎng)方體的外接球即為該三棱錐的外接球，而長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為x2+y故該多面體外接球的表面積為4π5a2故選：D.二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）（2022秋·江蘇南京·高二階段練習(xí)）關(guān)于復(fù)數(shù)z，z1，z2，下列說(shuō)法正確的是（A．若復(fù)數(shù)z12B．若z=1，則z=±1C．若復(fù)數(shù)z13D．若復(fù)數(shù)z滿足1≤z≤3，則復(fù)數(shù)【解題思路】利用復(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷A，取特殊值判斷B，C，根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義計(jì)算復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形面積判斷D.【解答過(guò)程】對(duì)于選項(xiàng)A，若復(fù)數(shù)z12=所以z12=對(duì)于選項(xiàng)B，令z=12對(duì)于選項(xiàng)C，令z1=1，z2此時(shí)z1對(duì)于選項(xiàng)D，若復(fù)數(shù)z滿足1≤z則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形為半徑為3和半徑為1的兩個(gè)圓所夾的圓環(huán)，所以圖形面積為π×3故選：AD．10．（5分）（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·高一期末）下列說(shuō)法正確的有（

）A．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件M＝“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事件N＝“出現(xiàn)3點(diǎn)或4點(diǎn)”，則PB．袋中有大小質(zhì)地相同的3個(gè)白球和2個(gè)紅球．從中依次不放回取出2個(gè)球，則“兩球同色”的概率是3C．甲，乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶率為0.8，乙的中靶率為0.9，則“至少一人中靶”的概率為0.98D．某學(xué)生在上學(xué)的路上要經(jīng)過(guò)4個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是13，那么該生在上學(xué)路上到第3個(gè)路口首次遇到紅燈的概率為【解題思路】計(jì)算古典概率判斷A；利用列舉法結(jié)合古典概型計(jì)算判斷B；利用對(duì)立事件及相互獨(dú)立事件求出概率判斷CD作答.【解答過(guò)程】對(duì)于A，依題意，事件MN=“出現(xiàn)3點(diǎn)”，而擲骰子一次有6個(gè)不同結(jié)果，所以PMN對(duì)于B，記3個(gè)白球?yàn)閍1,aa1其中兩球同色的結(jié)果有：a1a2對(duì)于C，依題意，“至少一人中靶”的概率為1?(1?0.8)(1?0.9)=0.98，C正確；對(duì)于D，該生在上學(xué)路上到第3個(gè)路口首次遇到紅燈，即在前兩個(gè)路口都沒(méi)有遇到紅燈，第3個(gè)路口遇到紅燈，所以到第3個(gè)路口首次遇到紅燈的概率為(1?1故選：AC.11．（5分）（2022春·重慶北碚·高一階段練習(xí)）在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且3bcosC+3ccosA．若B+C=2A，則△ABC的外接圓的面積為3B．若A=π4，且△ABC有兩解，則bC．若C=2A，且△ABC為銳角三角形，則c的取值范圍為3D．若A=2C，且sinB=2sinC，O為△ABC的內(nèi)心，則【解題思路】根據(jù)條件3bcosC+3ccos選項(xiàng)A：根據(jù)條件B+C=2A求角A，根據(jù)正弦定理求外接圓的半徑，從而求外接圓的面積；選項(xiàng)B：由余弦定理得9=b2+c2選項(xiàng)C：根據(jù)正弦定理把邊c表示為6cosA，利用△ABC為銳角三角形求角A的范圍，從而求邊選項(xiàng)D：利用正弦定理求出角C，從而判斷出△ABC是直角三角形，利用直角三角形內(nèi)切圓半徑公式求△ABC的內(nèi)切圓半徑，從而求△AOB的面積.【解答過(guò)程】因?yàn)?bcosC+3ccos即3sin因?yàn)锳+B+C=π，所以sinB+C=sinA選項(xiàng)A：若B+C=2A，則A=π所以△ABC的外接圓的直徑2R=asinA所以△ABC的外接圓的面積為π×選項(xiàng)B：由余弦定理a2=b2+c2?2bccosA得9=選項(xiàng)C：由正弦定理，得asinA=因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以0<A<π20<B<π2所以c=6cos選項(xiàng)D：因?yàn)閟inB=2sinC因?yàn)锳=2C，所以sinB=所以由正弦定理bsinB=csin所以sin2C即2sinCcos所以cos2C=34，又因?yàn)锳=2C，所以C=π6，即△ABC是直角三角形，所以內(nèi)切圓的半徑為r=1所以△AOB的面積為S=1故選：ACD.12．（5分）（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=23，CB=2，DE是△ABC的中位線，沿DE將△ADE進(jìn)行翻折，連接AB，AC得到四棱錐A?BCED（如圖2），點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，在翻折過(guò)程中下列結(jié)論正確的是（

A．當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時(shí)，三角形ADE翻折旋轉(zhuǎn)所得的幾何體的表面積為3B．四棱錐A?BCED的體積的最大值為3C．若三角形ACE為正三角形，則點(diǎn)F到平面ACD的距離為3D．若異面直線AC與BD所成角的余弦值為34，則A、C兩點(diǎn)間的距離為【解題思路】A項(xiàng)，分析點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時(shí)三角形ADE翻折旋轉(zhuǎn)所得的幾何體類型，即可得到幾何體的表面積；B項(xiàng)，通過(guò)∠AEC表達(dá)出A?BCED的體積，即可求出四棱錐A?BCED的體積的最大值；C項(xiàng)，通過(guò)三角形的等面積法即可求出點(diǎn)F到平面ACD的距離；D項(xiàng)，通過(guò)C項(xiàng)的三角形ACE為正三角形時(shí)，由余弦定理得到異面直線AC與BD所成角的余弦值為34，即可求出異面直線AC與BD所成角的余弦值為34時(shí)，A、【解答過(guò)程】由題意，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=23，CB=2，DE是△ABC∴tanA=BCAC=33∴A=30°,AD=BD=1對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時(shí)，三角形ADE翻折旋轉(zhuǎn)所得的幾何體為以2為半徑高為1的半個(gè)圓錐，∴三角形ADE翻折旋轉(zhuǎn)所得的幾何體的表面積為：S=1故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)∠AEC=θ，則θ∈0,設(shè)點(diǎn)A到CE的距離為?，則?=AEsin∴四棱錐A?BCED的體積為：VA?BCDE在y=sinθ中，∴VA?BCDE∴四棱錐A?BCED的體積的最大值為32對(duì)于C，D項(xiàng)，當(dāng)三角形ACE為正三角形時(shí)，∠AEC=60°，AC=AE=CE=3過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AC，連接DG，取BC的中點(diǎn)H,連接FH，EH，EG在△ABD中，AD=BD,點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，由幾何知識(shí)得，F(xiàn)G⊥DF，AC⊥BC在△ACD中，AD=CD=2,∴AG=CG=12AC=32，在△ABC中，G為AC的中點(diǎn)，,點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，AC⊥BC∴FG⊥AC,AB=AC2在△ADG中，DG=在四邊形DEGF中，由幾何知識(shí)得，DE⊥EG,DE∥BC∥FG，∴四邊形DEGF是矩形，DG=EF=13設(shè)點(diǎn)F到平面ACD的距離為?1在△DFG中，DG??1=DF?FG，即13由幾何知識(shí)得，EH∥BD，F(xiàn)H∥AC,∴FH=12AC=32,此時(shí)∠FHE由余弦定理，EF代入數(shù)據(jù)，解得：cos∠FHE=∴異面直線AC與BD所成角的余弦值為34，則A、C兩點(diǎn)間的距離為3故D正確；故選：ABD.三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）從某地抽取1000戶居民用戶進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在50~650kW·h之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開(kāi)的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示.若根據(jù)圖示估計(jì)得該樣本的平均數(shù)為322，則可以估計(jì)該地居民月用電量的第60百分位數(shù)約為350.【解題思路】根據(jù)頻率分布直方圖及平均值計(jì)算出x,y，再根據(jù)由頻率分步直方圖求百分位數(shù)的方法求解.【解答過(guò)程】由題意可得400x+600y+0.36+0.9+0.36=322100100(2y+x+0.0018+0.003+0.0006)=1由0.12+0.18+0.3=0.6知，估計(jì)該地居民月用電量的第60百分位數(shù)約為350.故答案為：350.14．（5分）（2022·黑龍江哈爾濱·高二學(xué)業(yè)考試）給出如下幾個(gè)命題：①若A?是隨機(jī)事件，則0≤P（②若事件A?與B?是互斥事件，則A?與B?一定是對(duì)立事件；③若事件A?與B?是對(duì)立事件，則A?與B?一定是互斥事件；④事件A,B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率一定比A,B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率大．其中正確的是①③．（填序號(hào)）【解題思路】根據(jù)隨機(jī)事件的概念可判斷①；根據(jù)互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系可判斷②③；舉例當(dāng)事件A,B互斥時(shí)事件A,B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率和A,B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率一樣大，判斷④.【解答過(guò)程】①若A為不可能事件時(shí)，其概率為0，當(dāng)A為必然事件時(shí)，其概率為1，不可能事件和必然事件是作為隨機(jī)事件的兩個(gè)極端情形，故0≤P（A）②若事件A與B是互斥事件，則A與B不一定是對(duì)立事件，比如擲色子“朝上的面為1”和”朝上的面為2“互斥但不對(duì)立，所以不正確；

③若事件A與B是對(duì)立事件，即A與B不會(huì)同時(shí)發(fā)生，則A與B一定是互斥事件，所以正確；

④事件A,B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率不一定比A,B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率大，比如當(dāng)A、故答案為：①③.15．（5分）（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知平面向量a、b、c和實(shí)數(shù)λ滿足a=b=a+b=2，a?c【解題思路】根據(jù)a=b=a+b=2，可得a,b=2π3【解答過(guò)程】解：因?yàn)閍=b=則4+2a?b+4=4，所以因?yàn)閍,b∈則如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中A2,0，B則a=OA=因?yàn)閍?c+b?c=0因?yàn)閍?λc?則?4λ2b2?4則a?λc=2+3=24因?yàn)?3所以y=4λb+322+1在所以ymin=1，當(dāng)λb=?32?12時(shí)，y=2故a?λc+故答案為：2,2216．（5分）（2023春·江西吉安·高三階段練習(xí)）如圖，多面體ABCDEF中，底面ABCD為正方形，DE⊥平面ABCD,CF//DE，且AB=DE=2,CF=1，G為棱BC的中點(diǎn)，H為棱①當(dāng)H為DE的中點(diǎn)時(shí)，GH//平面ABE；②三棱錐B?GHF的體積為定值；③三棱錐E?BCF的外接球的表面積為12π其中正確的結(jié)論序號(hào)為①②．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）【解題思路】對(duì)于①，根據(jù)線面平行的判定定理進(jìn)行判斷；對(duì)于②，根據(jù)棱錐的體積公式即可判斷；對(duì)于③，根據(jù)三棱錐E?BCF的結(jié)構(gòu)特征，確定其外接球球心的位置，求出外接球半徑，即可求得外接球表面積，即可判斷.【解答過(guò)程】對(duì)于①：當(dāng)H為DE的中點(diǎn)時(shí)，取EA中點(diǎn)為M，連接MH,MB，如下圖所示：因?yàn)镠,M分別為ED,EA的中點(diǎn)，故可得MH//根據(jù)已知條件可知：BG//AD,BG=1故四邊形HMBG為平行四邊形，則HG//又MB?平面ABE,HG?平面ABE，故HG//平面ABE，故①正確；對(duì)于②：VB?GFH=VH?BGF，因?yàn)橛諨E//CF,CF?平面BGF,DE?平面BGF，故DE//平面又點(diǎn)H在DE上運(yùn)動(dòng)，故點(diǎn)H到平面BGF的距離是定值，故三棱錐H?BGF的體積為定值，則三棱錐B?GFH的體積為定值，則②正確；對(duì)于③：取△EFC的外心為O1，過(guò)O1作平面EFC的垂線則三棱錐B?EFC的外接球的球心O一定在O1因?yàn)镈E⊥平面ABCD,CF//DE，故FC⊥平面ABCD,CB?平面ABCD，則CF⊥CB，又CB⊥CD，CF∩CD=C,CF,CD?平面EFCD，故CB⊥平面即BC⊥平面EFC，又OO1⊥則OO1//CB，故OO1,BC由BC⊥平面EFC，O1C?平面EFC，則BC⊥O則四邊形OPCO1為矩形，則連接OB,OC，如圖所示．在△EFC中，知EF=2則由余弦定理可得cos∠EFC=5+1?825=?則由正弦定理可得O1設(shè)三棱錐E?FCB的外接球半徑為R，則OC=OB=R，在Rt△OBP中，OB=R,OP=102故由勾股定理可知：OB則三棱錐E?BCF外接球的表面積S=4πR2故答案為：①②．四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z1,z(1)若z1?z(2)若復(fù)數(shù)z=z1?【解題思路】（1）由復(fù)數(shù)線性運(yùn)算及模運(yùn)算建立方程求解；（2）由復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算得z，利用z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一、三象限的角平分線上建立方程求解.【解答過(guò)程】（1）z1解得a=?5或a=1；（2）z=z由于z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一、三象限的角平分線上，則?2a+3=a+6，解得a=?1.18．（12分）（2022秋·云南楚雄·高二階段練習(xí)）某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分組的頻率分布直方圖如圖：(1)求直方圖中的x的值(2)估計(jì)月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)，第80百分位數(shù)．(3)從月平均用電量在[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]內(nèi)的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，求從月平均用電量在[220，240)內(nèi)的用戶中應(yīng)抽取多少戶？【解題思路】（1）由各組數(shù)據(jù)頻率之和即所有矩形面積之和為1可得答案；（2）由直方圖中最高矩形底邊的中點(diǎn)得眾數(shù)，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊直方圖面積相等、第80百分位數(shù)左邊面積占總面積的80%（3）利用頻率估計(jì)月平均用電量為[220,240)的居民在四組中所占比例，即可得答案.【解答過(guò)程】（1）因直方圖中，各組數(shù)據(jù)頻率之和為所有矩形面積之和為1，則0.002+0.0025+0.005+x+0.0095+0.011+0.0125×20=1得x=0.0075.（2）月平均用電量的眾數(shù)是220+2402因前3個(gè)矩形面積之和為0.002+0.0095+0.011×20=0.45<0.5前4個(gè)矩形面積之和為0.002+0.0095+0.011+0.0125×20=0.7>0.5則中位數(shù)在220,240內(nèi)，設(shè)為y，則y?220×0.0125=0.5?0.45，得y=224因?yàn)榍?個(gè)矩形面積之和為0.7<0.8，前5個(gè)矩形面積之和為0.7+20×0.0075=0.85>0.8，則第80百分位數(shù)在[240，260)內(nèi)，設(shè)第80百分位數(shù)為a，則(a?240)×0.0075=0.8?0.7=0.1，解得a≈253.33，即第80百分位數(shù)約為253.33.（3）月平均用電量為[220,240)的居民對(duì)應(yīng)的頻率為：0.0125×20=0.25.又由（2）分析可知，月平均用電量為[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)的四組居民對(duì)應(yīng)頻率之和為：1?0.45=0.55.則應(yīng)抽取居民的戶數(shù)為：11×0.2519．（12分）（2022秋·云南·高二階段練習(xí)）某區(qū)A，B，C三所學(xué)校有意愿報(bào)考名校自招的人數(shù)分別為24，8，16人，受疫情因素影響，該區(qū)用分層隨機(jī)抽樣的方法從三所學(xué)校中抽取了6名學(xué)生，參加了該區(qū)統(tǒng)一舉辦的現(xiàn)場(chǎng)小范圍自招推介說(shuō)明會(huì).(1)從這6名中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行座談和學(xué)情調(diào)查，求這2名學(xué)生來(lái)自不同學(xué)校的概率；(2)若考生小張根據(jù)自身實(shí)際，報(bào)考了甲乙兩所名校的自招，設(shè)通過(guò)甲校自招資格審核的概率為23，通過(guò)乙校自招資格審核的概率為4【解題思路】（1）首先確定三所學(xué)校被抽到的人數(shù)，再利用編號(hào)，列舉的方法，即可所求概率；（2）首先求兩所學(xué)校都沒(méi)有通過(guò)的概率，再利用對(duì)立事件概率公式，即可求解.【解答過(guò)程】（1）用分層隨機(jī)抽樣的方法從三個(gè)學(xué)校中一共抽取了6名選手參加全市集訓(xùn)，現(xiàn)三所學(xué)校應(yīng)該抽取的人數(shù)分別為3，1，2，設(shè)來(lái)自A學(xué)校的三名學(xué)生分別為A1，A2，A3；來(lái)自B學(xué)校的學(xué)生為B；來(lái)自C學(xué)校的兩名學(xué)生分別為從這6名中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行座談和學(xué)情調(diào)查，樣本空間Q=A3Ω共包含15個(gè)樣本點(diǎn)，記這2名學(xué)生來(lái)自不同學(xué)校為事件D，事件D含A1,B，A1,C1，A1,C2，A2,B，A2,所以PD（2）記小張至少能通過(guò)一所學(xué)校自招資格審核為事件E，通過(guò)甲學(xué)校自招資格審核為事件M，通過(guò)乙學(xué)校自招資格審核為事件N，則事件E“至少通過(guò)一所學(xué)校自招資格審核”的對(duì)立事件是“兩所學(xué)校都通不過(guò)”，因?yàn)镸與N相互獨(dú)立，所以M與N相互獨(dú)立，所以PE答：小張至少能通過(guò)一所學(xué)校自招資格審核的概率為141520．（12分）（2022·全國(guó)·高一期末）如圖所示△ABC的兩邊BC=1，AC=2，設(shè)G是△ABC的重心，BC邊上的高為AH，過(guò)G的直線與AB，AC分別交于E，F(xiàn)，已知AE=λAB，(1)求1λ(2)若cosC=14，S△AEF=(3)若BF?CE的最大值為?5【解題思路】（1）利用重心的性質(zhì)以及三點(diǎn)共線的充要條件即可求解；（2）先解出λ與μ，再利用解三角形的知識(shí)求出EF和AH，最后將EH+AF?HF+EA化簡(jiǎn)即可求解（3）以AB和AC【解答過(guò)程】（1）AE=λAB?如圖所示，連接AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，則D為BC中點(diǎn)，因?yàn)镚為△ABC重心，所以AG=因?yàn)锳G，AE，AF起點(diǎn)相同，終點(diǎn)共線，所以13λ+1（2）設(shè)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，∴a=1，b=2，∵c2=aS△AEFS△ABC所以S△AEF由1λ+1μ∴AE=2×3在△ABC中cosA=在△AEF，EF在Rt△AHC，中AH=AC×EH+HF+∴EH+