2021新高考數(shù)學(xué)新課程一輪復(fù)習(xí)學(xué)案第三章第1講任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)

第三章三角函數(shù)、解三角形第1講任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)[考綱解讀]1.了解任意角的概念及弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化．(重點(diǎn))2.理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義，并能熟練運(yùn)用基本知識(shí)與基本技能、轉(zhuǎn)化與化歸思想等．(重點(diǎn)、難點(diǎn))[考向預(yù)測(cè)]從近三年高考情況來(lái)看，本講內(nèi)容屬于基礎(chǔ)考查范圍．預(yù)測(cè)2021年高考會(huì)考查三角函數(shù)的定義、根據(jù)終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)求三角函數(shù)值或根據(jù)三角函數(shù)值求參數(shù)值．常以客觀題形式考查，屬中、低檔試題.1．任意角的概念(1)定義：角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著eq\o(□,\s\up4(01))端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形．(2)角的分類(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定義和公式(1)定義：把長(zhǎng)度等于eq\o(□,\s\up4(01))半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角．正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.(2)公式3．任意角的三角函數(shù)定義：設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么sinα＝eq\o(□,\s\up4(01))y，cosα＝eq\o(□,\s\up4(02))x，tanα＝eq\o(□,\s\up4(03))eq\f(y,x).1．概念辨析(1)銳角是第一象限的角，第一象限的角也都是銳角．()(2)角α的三角函數(shù)值與其終邊上點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)．()(3)不相等的角終邊一定不相同．()(4)三角形的內(nèi)角必是第一、第二象限角．()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．小題熱身(1)下列與eq\f(9π,4)的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是()A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋eq\f(9π,4)(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)答案C解析角度制與弧度制不能混用，排除A，B；因?yàn)閑q\f(9π,4)＝2π＋eq\f(π,4)，所以與eq\f(9π,4)終邊相同的角可表示為k·360°＋45°(k∈Z)或k·360°－315°等，故選C.(2)若角θ同時(shí)滿足sinθ<0且tanθ<0，則角θ的終邊一定落在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案D解析因?yàn)閟inθ<0，所以θ的終邊位于x軸的下方，又因?yàn)閠anθ<0，所以角θ的終邊一定落在第四象限．(3)已知扇形的圓心角為120°，其弧長(zhǎng)為2π，則此扇形的面積為_(kāi)_______．答案3π解析設(shè)此扇形的半徑為r，由題意得eq\f(2π,3)r＝2π，所以r＝3，所以此扇形的面積為eq\f(1,2)×2π×3＝3π.(4)設(shè)角θ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4，－3)，那么2cosθ－sinθ＝________.答案eq\f(11,5)解析因?yàn)閞＝|OP|＝eq\r(42＋－32)＝5，所以cosθ＝eq\f(4,5)，sinθ＝－eq\f(3,5)，所以2cosθ－sinθ＝2×eq\f(4,5)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝eq\f(11,5).題型一象限角與終邊相同的角1．若角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊在直線y＝－eq\r(3)x上，則角α的取值集合是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ－\f(π,3)，k∈Z)))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝kπ－\f(2π,3)，k∈Z)))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝kπ－\f(π,3)，k∈Z))))答案D解析因?yàn)橹本€y＝－eq\r(3)x的傾斜角是eq\f(2π,3)，所以終邊落在直線y＝－eq\r(3)x上的角的取值集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝kπ－\f(π,3)，k∈Z))))，故選D.2．若角α是第二象限角，則eq\f(α,2)是第________象限角．答案一或三解析因?yàn)榻铅潦堑诙笙藿牵?kπ＋eq\f(π,2)<α<2kπ＋π，k∈Z，所以kπ＋eq\f(π,4)<eq\f(α,2)<kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.所以eq\f(α,2)是第一或第三象限角．3．設(shè)角α1＝－350°，α2＝860°，β1＝eq\f(3π,5)，β2＝－eq\f(7π,3).(1)將α1，α2用弧度制表示出來(lái)，并指出它們各自所在的象限；(2)將β1，β2用角度制表示出來(lái)，并在－720°～0°之間找出與它們有相同終邊的所有角．解(1)α1＝－350°＝－350×eq\f(π,180)＝－eq\f(35π,18)＝－2π＋eq\f(π,18)，α2＝860°＝860×eq\f(π,180)＝eq\f(43π,9)＝4π＋eq\f(7π,9)，所以α1是第一象限角，α2是第二象限角．(2)β1＝eq\f(3π,5)＝eq\f(3,5)×180°＝108°，與β1有相同終邊的角為k·360°＋108°(k∈Z)，由－720°≤k·360°＋108°＜0°，解得k＝－2或k＝－1.所以在－720°～0°之間與β1終邊相同的角為－612°，－252°；β2＝－eq\f(7π,3)＝－eq\f(7,3)×180°＝－420°＝－360°－60°.與β2有相同終邊的角為k·360°－60°(k∈Z)，由－720°≤k·360°－60°＜0°，解得k＝0或k＝－1.所以在－720°～0°之間與β2終邊相同的角為－60°.1.象限角的兩種判斷方法(1)圖象法：在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角.(2)轉(zhuǎn)化法：先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角．如舉例說(shuō)明3中判斷α1，α2是第幾象限角.2.表示區(qū)間角的三個(gè)步驟(1)先按逆時(shí)針?lè)较蛘业絽^(qū)域的起始和終止邊界.(2)按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的－360°～360°范圍內(nèi)的角α和β，寫出最簡(jiǎn)區(qū)間.(3)起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角α，β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)間角集合．如舉例說(shuō)明2中角α的表示方法.1.已知α是第二象限的角，則180°－α是第________象限的角.答案一解析α的終邊與－α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，－α的終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得180°－α的終邊，所以由α是第二象限角可知，180°－α是第一象限角.2.在－720°～0°范圍內(nèi)所有與45°終邊相同的角為_(kāi)_______.答案－675°或－315°解析與45°終邊相同的角可表示為α＝k·360°＋45°(k∈Z)，當(dāng)k＝－1時(shí)，α＝－360°＋45°＝－315°；當(dāng)k＝－2時(shí)，α＝－720°＋45°＝－675°，所以在－720°～0°范圍內(nèi)所有與45°終邊相同的角為－675°或－315°.3.已知角α的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內(nèi)(不包括邊界)，則角α用集合可表示為_(kāi)_______.答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)<α<2kπ＋\f(5π,6)，k∈Z))))解析在[0,2π)內(nèi)，終邊落在陰影部分的角的集合為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,6)))，所以所求角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)<α<2kπ＋\f(5π,6)，k∈Z)))).題型二弧度制、扇形的弧長(zhǎng)及面積公式的應(yīng)用1.已知扇形的周長(zhǎng)是4cm，則扇形面積最大時(shí)，扇形的圓心角的弧度數(shù)是()A.2 B．1C.eq\f(1,2) D．3答案A解析解法一：設(shè)此扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，圓心角為α，則2r＋l＝4，面積S＝eq\f(1,2)rl＝eq\f(1,2)r(4－2r)＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，故當(dāng)r＝1時(shí)S最大，這時(shí)l＝4－2r＝2.從而α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,1)＝2.解法二：設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為α，弧長(zhǎng)為l，則l＋eq\f(2l,α)＝4.故l＝eq\f(4,1＋\f(2,α)).又S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(l2,2α)＝eq\a\vs4\al(\f(4,1＋\f(2,α)))2eq\f(1,2α)＝eq\f(8,α＋\f(4,α)＋4)≤eq\f(8,4＋4)＝1.當(dāng)且僅當(dāng)α＝eq\f(4,α)，即α＝2時(shí)，S取最大值.2.已知2弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為1，那么這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是________.答案eq\f(1,sin1)解析如圖所示，設(shè)半徑為R，則eq\f(\f(1,2),R)＝sin1，所以R＝eq\f(1,2sin1)，弧長(zhǎng)l＝αR＝2R＝eq\f(1,sin1).應(yīng)用弧度制解決問(wèn)題的方法(1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度.(2)求扇形面積最大值的問(wèn)題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，利用配方法使問(wèn)題得到解決．如舉例說(shuō)明1.(3)在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形1.扇形弧長(zhǎng)為20cm，圓心角為100°，則該扇形的面積為_(kāi)_______cm2.答案eq\f(360,π)解析由弧長(zhǎng)公式l＝|α|r，得r＝eq\f(20,\f(100π,180))＝eq\f(36,π)(cm)，∴S扇形＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×20×eq\f(36,π)＝eq\f(360,π)(cm2).2.一扇形是從一個(gè)圓中剪下的一部分，半徑等于圓半徑的eq\f(2,3)，面積等于圓面積的eq\f(5,27)，則扇形的弧長(zhǎng)與圓周長(zhǎng)之比為_(kāi)_______.答案eq\f(5,18)解析設(shè)扇形的半徑為R1，圓半徑為R，∵S扇形＝eq\f(1,2)LR1，S圓＝πR2，R1＝eq\f(2,3)R，S扇形＝eq\f(5,27)S圓，∴eq\f(1,2)LR1＝eq\f(5,27)πR2，即eq\f(1,2)L×eq\f(2,3)R＝eq\f(5,27)πR2，∴L＝eq\f(5,9)πR，C圓＝2πR，eq\f(L,C圓)＝eq\f(\f(5,9)πR,2πR)＝eq\f(5,18).題型三任意角三角函數(shù)的定義及應(yīng)用角度1利用三角函數(shù)的定義求值1.(2020·白銀摸底)已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸正半軸重合，若A(x,3)是角θ終邊上一點(diǎn)且cosθ＝－eq\f(\r(10),10)，則x＝()A.－3eq\r(3) B．3eq\r(3)C．1 D．－1答案D解析cosθ＝－eq\f(\r(10),10)<0及A(x,3)是角θ終邊上一點(diǎn)?x<0，由三角函數(shù)的定義，得eq\f(x,\r(x2＋9))＝－eq\f(\r(10),10)，解得x＝－1.2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為2，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，在△AOC中，若cos∠AOC＝－eq\f(\r(5),3)，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為()A.－eq\r(5)B.eq\r(5)C．－3 D．3答案A解析設(shè)∠AOC＝θ，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(OAcosθ，OAsinθ)，由cosθ＝－eq\f(\r(5),3)，sin2θ＋cos2θ＝1，以及OAsinθ＝2.得到sinθ＝eq\f(2,3)，OA＝3.故得到OAcosθ＝－eq\r(5)，即點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為－eq\r(5).角度2三角函數(shù)值符號(hào)的判定3.sin2·cos3·tan4的值()A.小于0 B．大于0C．等于0 D．不存在答案A解析因?yàn)閑q\f(π,2)<2<3<π<4<eq\f(3π,2)，所以2rad和3rad的角是第二象限角，4rad的角是第三象限角，所以sin2>0，cos3<0，tan4>0，所以sin2·cos3·tan4<0.1.三角函數(shù)定義應(yīng)用策略(1)已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，可直接根據(jù)三角函數(shù)的定義求解.(2)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后用三角函數(shù)的定義推廣eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(y,r)，cosα＝\f(x,r)，tanα＝\f(y,x)))求解.(3)已知角α的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后用三角函數(shù)的定義的推廣形式求解.(4)已知角α的某三角函數(shù)值(含參數(shù))或角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)(含參數(shù))，可根據(jù)三角函數(shù)的定義列方程求參數(shù)值．如舉例說(shuō)明1.(5)已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角α終邊上某特定點(diǎn)的坐標(biāo)．如舉例說(shuō)明2.2.三角函數(shù)值符號(hào)的記憶口訣一全正、二正弦、三正切、四余弦．如舉例說(shuō)明3.1.若sinθ·cosθ<0，eq\f(tanθ,sinθ)>0，則角θ是()A.第一象限角 B．第二象限角C.第三象限角 D．第四象限角答案D解析由eq\f(tanθ,sinθ)>0，得eq\f(1,cosθ)>0，cosθ>0，又sinθ·cosθ<0，所以sinθ<0，所以θ為第四象限角，選D.2.已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，y))，則sinα·tanα等于()A.－eq\f(\r(3),3) B．±eq\f(\r(3),3)C.－eq\f(3,2) D．±eq\f(3,2)答案C解析因?yàn)辄c(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，y))在單位圓上，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋y2＝