2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)串講（北師大版）：全等三角形證明方法：手拉手模型（解析版）

專題06全等三角形證明方法一一手拉手模型

基本模型:

（1）條件：如圖，A3E和.ACF均為等邊三角形

結(jié)論：①，ABbWAEC；②ZBoE=NBAE=60。（“八字型”模型證明）；③。4平分NEoF（全等三

角形的性質(zhì)+角平分線的判定）.

（2）條件：如圖，ABC和CDE均為等邊三角形，A、C、E三點(diǎn)共線,

結(jié)論：①.ACDgaBCE；②AD=BE；③NACB=NA03=60°；④.PCQ為等邊三角形

(一PCDMQCE)；⑤PQ//AE；@AP=BQ(APC^BQC)；⑦OC平分ZAOE；⑧

OA=OB+OC(在上截取OM=OC,證二AMgqBoC)⑨OE=OC+OD(在OE上截取

OH=OC,證OC四一E7/C).

（3）條件：如圖，-ABr）和-ACE均為等腰直角三角形

結(jié)論：①一胡年一Q4C；②BE=CD;③BELCD.

（4）條件：如圖，四邊形AB砂和AC”。均為正方形

結(jié)論：①一BADT_E4C;@BD=FC,③B￡>_LFC

BC

例題精講：

例1.(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，一ABC和_￡DC都是等邊三角形，點(diǎn)8、。、E在同一條直線上，連接AE.

①NAEC的度數(shù)為；

②線段AE、B。之間的數(shù)量關(guān)系為；

(2)拓展探究：如圖②，.ABC和一￡7)C都是等腰直角三角形、NACδ=ZDCE=90°,點(diǎn)B、D、E

在同一條直線上，CM為右即。中OE邊上的高，連接AE,試求ZMB的度數(shù)及判斷線段。W、AE.

之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)解決問題：如圖③，.ABe和一Ef)C都是等腰三角形，NAC6=/DCE=36°,點(diǎn)8、D,E在同

一條直線上，請(qǐng)直接寫出N￡4?+NEeB的度數(shù).

【答案】（1）①120°；②A￡=即；（2）CM+AE=BM,理由見解析；（3）180°

【詳解】解：（1）①YABC和，EZ）C都是等邊三角形，

：.CE=CD,C4=CB,NECD=ZACB=60。，

.?.ZECD-ZACD=ZACB-ZACD,即ZECA=ZDCB,

在-Ec4和-OCH中，

CE=CD

<ZECA=ZDCB,

CA=CB

.?.ECAgDCB（SAS）,

.?.ZAEC=NBDC=T20。,

故答案為：120。；

②?：一ECg-DCB,

.,?AE—BD,

故答案為：AE=BD;

（2）CM+AE=BM,理由如下:

DC是等腰直角三角形，

NCDE=45°,

：.NCDB=I35。,

由(1)得_反4空DCB,

：.ZCEA=ZCDB=135o,AE=BD,

?：NCEB=45。，

.?.ZAEB=ZCEA-ZCEB=90°,

：一EQC是等腰直角三角形，CM為一EDC中。E邊上的高，

：.CM=EM=MD,

：.CM+AE=BM;

(3)Y.EDC是等腰三角形，Nz)CE=36°,

.?.NCDE=72。，

.?.NCDB=IO8。，

?：-ECAaDCB,

.?.NCE4=NCDB=108。，

.?.ZE4C+ZEC4=72o,

?.?.ABC是等腰三角形，NACB=36°,

.?.ZCAB=72°,

：.ZEAB+ZECB=ZEAC+ZCAB+ZECA+ZACB+1T+36o?180°.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的

性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵.

例2._ABC與.BDE均為等腰直角三角形，ZABC=ZDBE=90。.

(1)如圖1,當(dāng)D,B,C在同一直線時(shí)，CE的延長(zhǎng)線與AO交于點(diǎn)R求證：NCE4=90°；

(2)當(dāng)，ABC與.8。E的位置如圖2時(shí)，CE的延長(zhǎng)線與AO交于點(diǎn)F,猜想NCE4的大小并證明你的結(jié)

論；

(3)如圖3,當(dāng)A,E,。在同一直線時(shí)(4,。在點(diǎn)E的異側(cè))，CE與AB交于點(diǎn)G,ZBAD=ZACE,

求證：BG+ABAC.

【答案】（I）見解析；（2）ZCFA=90°,理由見解析；（3）見解析

【詳解】（1）證明：???_ABC和,BaE是等腰直角三角形，

ΛAB^BC,BD=BE,ZABC=NoBE=90。，

在，ABD和.CBE中,

AB=BC

<NABD=NCBE,

BD=BE

：.ABD^CBE（SAS）,

：.NBAD=NBCE,

'：ZBAD+ZAFE+ZFEA=ZBCE+ZABC+ZBEC=180°,

又?:/FEA=ZBEC,

：.NCE4=ZABC=90。.

（2）解：NCE4=90°.

理由如下：

同理可證，ABD^.CBE（SAS）,

：.ZBAD=ZBCE,

：.NCE4=ZABC=90。.

（3）過(guò)點(diǎn)G作GHL4C于點(diǎn)H,同（2）可知/BAD=NBCE,

'：ZBAD=ZACE,

.?.ZACE=/BCE,

VABlBC,GH上AC,

：.BG=GH,

'：ABAC=45°,

：.NBAC=ZAGH=45。,

：.GH=AH,

：.AH=BG,

在RJBCG和RLHCG中,

CG=CG

BG=HG'

：.RtBCGmRtHCG(HL),

：.BC=CH,

：.AC^AH+CH=BG+BCBG+AB.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了三角形內(nèi)角和定理，等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與

性質(zhì)；證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵.

例3.如圖1,在一ABC中，NEAC=90°,AB^AC,直線MN過(guò)點(diǎn)A且W〃BC,點(diǎn)。是直線MN

上一點(diǎn)，不與點(diǎn)A重合.

（1）若點(diǎn)E是圖I中線段AC上一點(diǎn)，且Z）E=A4,請(qǐng)判斷線段DE與ZM的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）如圖2,在（1）的條件下，連接C。，過(guò)點(diǎn)。作。P,Cz）交線段AB于點(diǎn)P,請(qǐng)判斷線段Co與OP

的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）如圖3,在圖1的基礎(chǔ)上，改變點(diǎn)。的位置后，連接CD,過(guò)點(diǎn)。作OPJ_8交線段84的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)P，請(qǐng)判斷線段CO與。P的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】（1）DEYDA,理由見解析；（2）CD=PD,理由見解析；（3）CD=PD,理由見解析

【詳解】解：（I）DE±DA,理由:

在RtABC中，AB=AC,

.?.NB=NC=45。，

,.?MN〃BC,

.?NMAC=45。，

,.?DE=DA,

：.ZAED=NMAC=45。,

.?.ZADE=90。，

：.DEVDM

(2)CD=PD,理由：

,.?DPLCD,

：.NCDP=90°,

??ZADE=90。，

.?.NCDP=ZADE,

.?.ZCDP-ZPDE=ZADE-ZPDE,

：.ZCDE=ZPDA,

■：ZDAP=ZMAC+ABAC=135o,ZCED=↑80o-ZAED=↑35o,

：.ZCED=ZDAP,

'?'DE-DA,

ΛC￡D^,7?D(ASA),

：.CD=PDi

(3)CD=PD,理由：如圖3,

過(guò)點(diǎn)。作”_LA〃交AC的延長(zhǎng)線于F,

：.ZADF=90°,

■：DPLCD,

：.NCf)P=90。，

.?.AADF=/CDP,

：.ZCDF=ZADP,

由(1)知，ZCW=45°,

.?.ZF=90°—NCW=45°,ZPAM=900-ZCAM=45°,

：.ZF^ZPAM,

同（1）的方法得，DF=DA,

CZx.Pm（AAS），

.?CD=PD.

【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和

性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解（3）的關(guān)鍵.

專練過(guò)關(guān)：

1.如圖，在AAOB和一CoD中，0A=0B,OC=OD,若ZAOB=NeOD=60°.

（.1）求證：AC=BD.

【答案】（1）見解析；（2）60°

【詳解】（1）證明：：NAOB=NCQD=60°,

.?.ZAOC=ZBOD,

在▲AOC和.30□中，

OA=OB

<ZAOC=NBOD,

OC=OD

：.AOC^BOD（SAS）,

AC—BD.

（2）解：V^AOC^BOD,

：.ZOAC=ZOBD,

?.?ZOAC+ZBAC=ZOAB,ZABO+ZOBD=ZABP,

：./PAB+ZPBA=ZOAB+ZOBA,

?；OA=OB,ZAOB=60°,

.?..AaB是等邊三角形，

.?.ZPAB+ZPBA^noo,

：.ZAPB=180o-(ZPAB+NPBA)=180°-120°=60°.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握SAS定

理判定三角形全等.

2.如圖所示，ABC是一個(gè)等腰直角三角形，其中AB=AC.。是斜邊BC上一點(diǎn)，連接線段A。，并

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至E,連接線段CE.

(1)證明：ABD^..ACE.

(2)判斷工OCE的形狀.

BDC

【答案】（1）見解析；（2）..OCE為直角三角形

【詳解】（1）證明：ABC是一個(gè)等腰直角三角形，其中AB=AC,

.?.ZBAC=90°,

?：線段AD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,

：.ZDAE=90°,AD=AE,

'：ZBAD+ZDAC=ZDAC+ZCAE=90°,

二NBAD=NCAE,

在，ABD和..ACE中，

AB=AC

<ZBAD=ZCAE,

AD=AE

：..ABr^ACE（SAS）.

(2)解：由(1)知，ΔABD^ΔACE,

.?.NB=ZACE,

?/OABC是一個(gè)等腰直角三角形，

.?.NB=ZACB=45°,

.?.NACE=45。，

.?.ZDCE=ZAC6+ZACE=90°,

：._DCE為直角三角形.

【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以

及全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

3.如圖1,在OABC中，ZBAC90°,AB^AC,ADLBC于點(diǎn)。，NMDN=90°,將/MDN繞

點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交48、AC于點(diǎn)￡、F.

(1)求證：BDE^ADF；

(2)如圖2,若DM=DN,連接技以、NA,求證：BM=NA.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【詳解】證明：（I）..?NB4C=9O°,AB=AC,

：._ABC為等腰直角三角形，

：.NB=NC=45。，

'：ADYBC,

：.ZZMF=45o,BD=CD=AD=-BC,

2

,NB=NDAF=45。,

?.?ZBDE+ZADE=ZADB=90o,ZADE+ZADF=ZMDN=90°,

.?.NBDE=ZADF,

在4BDE和,ADF中，

NB=NDAF

?BD—AD,

NBDE=ZADF

：.BDEmADF(ASA)i

(2)由(1)知，BD=AD,ABDM=ZADN,

在，。和JW)中，

BD=AD

<NBDM=ZADN,

DM=DN

：.MBD^NAD(SAS),

：.BM=AN.

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定三角形全

等的方法是解題關(guān)鍵.

4.閱讀與理解：如圖I,等邊3。E按如圖所示方式設(shè)置.

操作與證明：

(I)操作：固定等邊-ABC,將3。E繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120。，連接A。，CE,如圖2；在圖2

中，請(qǐng)直接寫出線段CE與AO之間具有怎樣的大小關(guān)系.

(2)操作：若將圖1中的班>￡,繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度α(60°Vα<180°),連接A￡>,

CE,AT>與CE相交于點(diǎn)M,連,如圖3；在圖3中線段CE與AO之間具有怎樣的大小關(guān)系？NEMD

的度數(shù)是多少？證明你的結(jié)論.

猜想與發(fā)現(xiàn)：

(3)根據(jù)上面的操作過(guò)程，請(qǐng)你猜想在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，NZ)MB的度數(shù)大小是否會(huì)隨著變化而變化？請(qǐng)證明

你的結(jié)論.

D

圖1圖2圖3

【答案】（1）CE=AD;⑵CE=AD,NEMD=60。,理由見解析；（3）不變，理由見解析

【詳解】解：（1）CE=AO;

?.?將BDE繞點(diǎn)、B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°,

：.ZABD=∕CBE,

在,EBC和右。84中，

BE=BD

<NEBC=NDBA,

BC=AB

：.EBC^,DBA（SAS）,

CE-AD；

（2）CE=AD,NJM）=60°,理由如下：

設(shè)AD與BE交于點(diǎn)。，

：將BZ)E繞點(diǎn)2按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)ɑ度,

NEBC=NDBA=a,

,/二ABC與.3Z)E是等邊三角形，

ΛBCAB,BD=BE,

：.EBCmDBA(SAS),

.?.CE=AD,NCEB=ZADB,

?：ZEOM=ZDOB,

.?.NEMD=ZEBD=60。,

(3)不變，理由如下：

過(guò)點(diǎn)B作B"_LAD于點(diǎn)H,BFΔ.EC于點(diǎn)F,

E

D

'：_EBC—DBA,

.?Sebc=sdba,AD=EC,

：.BH=BF,

：.MB平分NDMC,

：.ZDMB=-NDMC=60o,

2

.?.NDMB的度數(shù)大小不變.

【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，

角平分線的判定等知識(shí)，證明aEBCgZ?O8A是解題的關(guān)鍵.

5.(1)如圖1,ABC與ADE均是頂角為40。的等腰三角形，BC、DE分別是底邊，求證：BD=CE;

(2)如圖2,AeB和,.OCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、。、E在同一直線上，連接5E.

填空：NAEB的度數(shù)為；線段BE與AO之間的數(shù)量關(guān)系是.

(3)拓展探究

如圖3,-AcB和a。。E均為等腰直角三角形，NACB=NOCE=90°,點(diǎn)A、。、E在同一直線上，CM

為一。CE中。E邊上的高，連接BE.請(qǐng)判斷ZMB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并

說(shuō)明理由.

【答案】（1）見解析；（2）60o,BE=AD-.（3）AE=BE+2CM

【詳解】(1)證明：'：ABACZDAE40°,

：.ABAC-ADAC=ADAE-ADAC,

即NBW=Ne4E,

在，84。和JC4￡中，

AB=AC

<ZBAD=ZCAE,

AD=AE

：.^BAD^^CAE,

.?.BD=CE.

(2)解：：，AeB和,。CE均為等邊三角形，

ΛAC=BC,CD=CE,ZACB=NDCE=60。,NcDE=NCfD=60。,

ΛZACB-ZDCB=ZDCE-ADCB,

即ZACD=NBCE,

在dACD和-BCE中，

AC=BC

<ZACD=ZBCE,

CD=CE

：.ACD^..BCE,

：.BEAD,ZADC=NBEC,

點(diǎn)4,D,E在同一直線上，

.?.ZADC=I80°—60°=120°,

.?.NBEC=I20。,

：.ZAEB=ZBEC-ZCED=120o-60°=60°,

綜上，可得

NA的度數(shù)為60°；線段BE與AO之間的數(shù)量關(guān)系是：BE=AD.

故答案為：60°、BE=AD.

(3)解：Y,4CB和二OCE均為等腰直角三角形，

ΛAC=BC,CD=CE,ZACB=NDCE=90°,NCDE=NCED=45。,

：.ZACB-ZDCB=ZDCE-NDCB,

即ZACD=ZBCE,

在qACD和」BCE中，

AC=BC

<ZACD=NBCE,

CD=CE

.?..ACD^.BCE,

：.BE=AD,ZADC=NBEC,

：點(diǎn)A,D,E在同一直線上，

.?.ZADC=I80°-45°=135°,

.?.NBEC=I35°,

：.ZAEB=ZBEC-ZCED=135o-45o=90o,

VZDCE90°,CD=CE,CMLDE,

：.CM=DM=EM,

：.ED=DM+EM=2CM,

：.AE=AD+DE=BE+2CM.

【點(diǎn)睛】（1）此題主要考查了全等三角形的判定方法和性質(zhì)，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在

判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

（2）此題還考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：等腰直角三角

形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì).

6.在_ABC中，AB=AC,點(diǎn)。是直線BC上一點(diǎn)（不與8、C重合），以4。為一邊在AD的右側(cè)作」ADE,

使4）=AE,NDAE=/BAC,連接CE.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)